Đề toán tổng hợp ôn tập cuối năm

Có hai trường hợp xảy ra:

Trường hợp 1:

(P) đi qua A, song song với hai đường thẳng d và BC. Vectơ chỉ phương của d là $\overrightarrow{\mathrm{v}}$ (-3; -1; 2) và $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ (-2; 4; 0).

Do đó $\overrightarrow{{\mathrm{n}}_{\mathrm{P}}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{v}}$ ∧ $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = (-8; -4; -14).

Phương trình mặt phẳng (P) là: -8(x - 1) - 4(y - 2) - 14(z - 1) = 0 hay 4x + 2y + 7z - 15 = 0

Trường hợp 2:

(P) đi qua A, đi qua trung điểm F(1; 1; 1) của BC, và song song với d.

Ta có: $\overrightarrow{\mathrm{FA}}$ (0; 1; 0), $\overrightarrow{\mathrm{FA}}$ $\wedge$ $\overrightarrow{\mathrm{v}}$ = (2; 0; 3).

Suy ra phương trình của (P) là: 2(x - 1) + 3(z - 1) = 0 hay 2x + 3z - 5 = 0.

Gọi (Q) và (R) theo thứ tự là mặt phẳng trung trực của AB và BC.

Những điểm cách đều ba điểm A, B, C là giao tuyến $∆$ = (Q) $\cap$ (R).

(Q) đi qua trung điểm E(3/2; 1/2; 1) của AB và có $\overrightarrow{{\mathrm{n}}_{\mathrm{Q}}}$ = AB→ (1; -3; 0) do đó phương trình của (Q) là: x - 3/2 - 3(y - 1/2) = 0 hay x - 3y = 0

(R) đi qua trung điểm F(1; 1; 1) của BC và có $\overrightarrow{{\mathrm{n}}_{\mathrm{R}}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = (-2; 4; 0) do đó phương trình (R) là: x - 2y + 1 = 0

Ta có: $\overrightarrow{{\mathrm{n}}_{\mathrm{Q}}}$ $\wedge$ $\overrightarrow{{\mathrm{n}}_{\mathrm{R}}}$ = (0; 0; -2).

Lấy D(-3; -1; 0) thuộc (Q) $\cap$ (R)

Suy ra $∆$ là đường thẳng đi qua D và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{\mathrm{u}}$ (0; 0; 1)

nên có phương trình là: 

Ta chứng minh được d không song song với d' vì chúng có các vectơ chỉ phương không cùng phương.

Giải hệ phương trình

⇒ hệ phương trình vô nghiệm

Do đó d và d' chéo nhau.

Lấy A(3 + t; 1 - t; 2t) thuộc d và B(1 + t'; 2t'; -1 + t') thuộc d'. Ta có $\overrightarrow{\mathrm{MA}}$ = (1 + t; 2 - t; 2t), $\overrightarrow{\mathrm{MB}}$ = (-1 + t'; 1 + 2t'; -1 + t').

M, A, B thẳng hàng ⇔ $\overrightarrow{\mathrm{MB}}$ = k$\overrightarrow{\mathrm{MA}}$

Từ đó suy ra A(4; 0; 2), B(0; -2; -2.

Gọi (Q) là mặt phẳng đi qua A và song song với (P) thì phương trình của (Q) là (x + 2) + 2(y + 1) - (z - 1) = 0 hay x + 2y - z + 5 = 0. Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên (Q). Giả sử Δ là đường thẳng qua A và song song với (P), I là chân đường vuông góc kẻ từ B đến $∆$. Khi đó I $\in$ (Q) và BH $\le$ BI.

Do đó AH chính là đường phải tìm.

Gọi d là đường thẳng đi qua B và vuông góc với (Q).

Phương trình của d là:

Để tìm giao điểm H = d $\cap$ (Q) ta thay phương trình của d vào phương trình của (Q), ta có:

6 + t + 2(6 + 2t) - (5 - t) + 5 = 0 ⇒ t = -3.

Do đó H = (3; 0; 8)

Phương trình đường thẳng AH là:

Mặt cầu (S) tâm I(1; -2; -1) bán kính R = 5

d(I,(P)) = 3 < R

Do đó (P) cắt (S) theo một đường tròn, gọi đường tròn đó là (C).

Gọi d là đường thẳng qua I và vuông góc với (P). Phương trình của d là

Tâm của (C) là điểm H = d $\cap$ (P). Để tìm H ta thay phương trình của d vào phương trình của (P).

Ta có: 1 + t - 2(-2 - 2t) + 2(-1 + 2t) - 12 = 0

Suy ra t = 1, do đó H = (2; -4; 1).

Bán kính của (C) bằng

Dễ thấy C(1; 1; 0), B'(1; 0; 1), D'(0; 1; 1), C'(1; 1; 1), D'(0; 1; 1)

Ta có: $\overrightarrow{\mathrm{A}\text{'}\mathrm{C}}$ = (1; 1; -1)

$\overrightarrow{\mathrm{BC}\text{'}}$ = (0; 1; 1)

$\overrightarrow{\mathrm{BD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{B}\text{'}\mathrm{D}\text{'}}$ = (-1; 1; 0)

do đó $\overrightarrow{\mathrm{A}\text{'}\mathrm{C}}$.$\overrightarrow{\mathrm{BA}\text{'}}$ = 0 và $\overrightarrow{\mathrm{A}\text{'}\mathrm{C}}$.$\overrightarrow{\mathrm{BD}}$ = 0

Từ đó suy ra A'C $\perp$ (BC'D)

Gọi IJ là đường vuông góc chung của B'D' và BC', $\overrightarrow{{\mathrm{n}}_1}$ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) qua B'D' và song song với AC', $\overrightarrow{{\mathrm{n}}_2}$ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Q) qua BC' và song song với A'C.

Khi đó $\overrightarrow{{\mathrm{n}}_1}$ = $\overrightarrow{\mathrm{A}\text{'}\mathrm{C}}\wedge \overrightarrow{\mathrm{B}\text{'}\mathrm{D}\text{'}}$= (1; 1; 2)

$\overrightarrow{{\mathrm{n}}_2}$ = $\overrightarrow{\mathrm{A}\text{'}\mathrm{C}}\wedge \overrightarrow{\mathrm{BC}\text{'}}$ = (2; -1; 1)

Phương trình của (P) là: (x - 1) + y + 2(z - 1) = 0 hay x + y + 2z - 3 = 0.

Phương trình của (Q) là: 2(x - 1) - y + z = 0 hay 2x - y + z - 2 = 0.

Phương trình của (B'D') là: x = 1 - t, y = t, z = 1.

Phương trình của (BC') là: x = 1, y = t, z = t.

I là giao điểm của đường thẳng B'D' và (Q), để tìm tọa độ của I ta thế phương trình đường thẳng B'D' vào phương trình của (Q)

Ta có: 2(1 - t) - t + 1 - 2 = 0, hay t = 1/3. Từ đó suy ra I(2/3; 1/3; 1)

Tương tự, ta tìm được J(1; 2/3; 1/3).

$\overrightarrow{\mathrm{SB}}$ = (1; 2; -2). Phương trình (P): x + 2y - 2z = 0.

Phương trình đường thẳng SB: x - t, y = 2t, z = 2 - 2t. Để tìm B' ta giải hệ

Tương tự, C'(0; 1; 1)

Đường thẳng qua B và vuông góc với (P) có phương trình:

x = 1 + t; y = 2 + 2t; z = -2t.

Để tìm giao điểm ${\mathrm{B}}_0$ của đường thẳng này với (P) ta giả hệ

Từ đó suy ra điểm đối xứng với B qua (P) là 

Dễ thấy $\overrightarrow{\mathrm{BC}}\perp \overrightarrow{\mathrm{AC}}$, $\overrightarrow{\mathrm{BC}\text{'}}\perp \overrightarrow{\mathrm{AC}}\text{'}$, $\overrightarrow{\mathrm{BB}\text{'}}\perp \overrightarrow{\mathrm{AB}}\text{'}$ nên A, B, C, B', C' cùng thuộc mặt cầu tâm I(1/2; 1; 0) là trung điểm của AB, bán kính IA = ($\sqrt{5}$) /2

Phương trình mặt cầu đó là

Vì điểm C' thuộc mặt cầu, nên mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu tại C' phải vuông góc với $\overrightarrow{\mathrm{IC}\text{'}}$ = (-1/2; 0; 1). Phương trình của mặt phẳng đó là: x - 2(z - 1) = 0 hay x - 2z + 2 = 0