5 câu hỏi
|
1)\[P = \sqrt {{{\left( {\sqrt {2023} + 1} \right)}^2}} - \sqrt {{{\left( {\sqrt {2024} + 1} \right)}^2}} \] |
|
\[ = \sqrt {2023} + 1 - \left( {\sqrt {2024} + 1} \right) = \sqrt {2023} - \sqrt {2024} \]. |
|
2)Tọa độ giao điểm là \(M\left( { - 1;0} \right)\). |
|
3)Gọi \(R\) là bán kính của đường tròn ngoại tiếp. Từ giả thiết ta có \(2R = 2\sqrt 2 \Leftrightarrow R = \sqrt 2 \). |
|
Vậy diện tích của hình tròn là \(S = \pi {R^2} = 2\pi \,\left( {c{m^2}} \right)\). |
|
4)Thể tích của hình nón là \(V = \frac{1}{3}\pi {R^2}h = \frac{1}{3}\pi {.6^2}.8 = 96\pi \,\left( {c{m^3}} \right)\). |
|
1)\(P = \frac{{{{\left( {\sqrt x + 2} \right)}^2}}}{{\sqrt x + 2}} + \frac{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}{{\sqrt x - 3}}\) |
|
\( = \sqrt x + 2 + \sqrt x + 3\) |
|
\( = 2\sqrt x + 5\). |
|
2)\(P = 5 \Leftrightarrow \sqrt x = 0\) |
|
\( \Leftrightarrow x = 0\,\left( {tm} \right)\). |
|
1. a)Với \(m = 0\), phương trình \(\left( 1 \right)\) trở thành \({x^2} - x - 2 = 0\) |
|
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = 2\end{array} \right.\). |
|
b) Ta có \(\Delta = {\left( {2m + 1} \right)^2} - 4\left( {4m - 2} \right) = 4{m^2} - 12m + 9 = {\left( {2m - 3} \right)^2} \ge 0\,\,\forall m\). |
|
Áp dụng Viet \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m + 1\\{x_1}{x_2} = 4m - 2\end{array} \right.\) |
|
Ta có \(x_1^2 + x_2^2 = 13 \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = 13 \Leftrightarrow {\left( {2m + 1} \right)^2} - 2\left( {4m - 2} \right) = 13 \Leftrightarrow {m^2} - m - 2 = 0\) |
|
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = - 1\,\left( {tm} \right)\\m = 2\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\). Vậy \(m = - 1\), \(m = 2\). |
|
2) Điều kiện: \( - 1 \le x \le 4\). |
|
Phương trình trở thành \( \Leftrightarrow x + 1 + 2\sqrt {\left( {x + 1} \right)\left( {4 - x} \right)} + 4 - x = 2x + 9 \Leftrightarrow \sqrt {\left( {x + 1} \right)\left( {4 - x} \right)} = x + 2\) |
|
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge - 2\\ - {x^2} + 3x + 4 = {x^2} + 4x + 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge - 2\\2{x^2} + x = 0\end{array} \right.\) |
|
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\,\left( {tm} \right)\\x = - \frac{1}{2}\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\). Vậy nghiệm của phương trình là \(x = - \frac{1}{2}\), \(x = 0\). |
|
1)Ta có \(\widehat {AED} = 90^\circ \), \(\widehat {AFD} = 90^\circ \) |
|
Xét tứ giác \(AEDF\) có \(\widehat {AED} + \widehat {AFD} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \) suy ra tứ giác \(AEDF\) nội tiếp. |
|
Trong tam giác vuông \(ABD\) có \(DE\) là đường cao suy ra \(AE.AB = A{D^2}\,\,\,\left( 1 \right)\). |
|
Trong tam giác vuông \(ACD\) có \(DF\) là đường cao suy ra \(AF.AC = A{D^2}\,\,\,\left( 2 \right)\). Từ (1) và (2) ta có \(AE.AB = AF.AC\). |
|
2)Do \(AE.AB = AF.AC \Rightarrow \frac{{AB}}{{AF}} = \frac{{AC}}{{AE}}\), mà \(\widehat {BAC}\) chung Suy ra |
|
\( \Rightarrow \widehat {AEF} = \widehat {ACB}\) |
|
Ta có \(\widehat {BAP} = \widehat {BCP}\) |
|
Suy ra \(\widehat {AEF} + \widehat {BAP} = \widehat {ACB} + \widehat {BCP} = \widehat {ACP} = 90^\circ \) Vậy \(AP\) vuông góc với \(EF\). |
|
3)Ta có \(AH \bot BC\), \(TK \bot BC \Rightarrow AH\parallel TK\). |
|
Do \(BH \bot AC\), \(PC \bot AC \Rightarrow BH\parallel PC\). Do \(CH \bot AB\), \(PB \bot AB \Rightarrow CH\parallel PB\). Suy ra tứ giác \(BHCP\) là hình bình hành. Gọi \(I\) là trung điểm \(BC\), ta có \(OI = \frac{1}{2}AH\). |
|
Tương tự \(OI = \frac{1}{2}TK\). |
|
\( \Rightarrow AH = TK\). Vậy tứ giác \(AHKT\) là hình bình hành. |
|
1) Điều kiện: \[\left\{ \begin{array}{l} - 1 \le x \le 3\\y \ge - \frac{5}{2}\\y + 3 - {x^2} \ge 0\end{array} \right.\]. Phương trình (1) trở thành \(\left( {\sqrt {4x + 5} - \sqrt {2y + 5} } \right) + \left( {2x - y} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow \left( {2x - y} \right)\left( {\frac{2}{{\sqrt {4x + 5} + \sqrt {2y + 5} }} + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow y = 2x\). |
|
Thay vào phương trình (2) ta được \(\sqrt {x + 1} + \sqrt {3 - x} = 2 + \sqrt {2x + 3 - {x^2}} \) Đặt \(t = \sqrt {x + 1} + \sqrt {3 - x} \Rightarrow \sqrt {2x + 3 - {x^2}} = \frac{{{t^2} - 4}}{2}\) Khi đó \(t = 2 + \frac{{{t^2} - 4}}{2} \Leftrightarrow {t^2} - 2t = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 0\\t = 2\end{array} \right.\) Với \(t = 0\) ta được \(\sqrt {x + 1} + \sqrt {3 - x} = 0\left( {vn} \right)\). Với \(t = 2\) ta được \(\sqrt {x + 1} + \sqrt {3 - x} = 2 \Leftrightarrow \sqrt {\left( {x + 1} \right)\left( {3 - x} \right)} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\,\left( {tm} \right)\\x = 3\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\). Với \(x = - 1 \Rightarrow y = - 2\). Với \(x = 3 \Rightarrow y = 6\). Vậy nghiệm của hệ phương trình là \(\left( { - 1; - 2} \right)\), \(\left( {3;6} \right)\). |
|
2) Ta có \(P = \left( {4x + \frac{2}{{{x^2}}}} \right) + \left( {y + \frac{{36}}{y}} \right) + \left( {\frac{1}{x} + \frac{6}{y}} \right) = \left( {4x + \frac{2}{{{x^2}}}} \right) + \left( {y + \frac{{36}}{y}} \right) + 2\) Mà \(y + \frac{{36}}{y} \ge 2.6\) |
|
\(4x + \frac{2}{{{x^2}}} = 2x + 2x + \frac{2}{{{x^2}}} \ge 3.2\) Khi đó \(P \ge 20\). Dấu bằng xảy ra khi \(x = 1,y = 6\). Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P\) là \(20\). |
