Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán năm 2023-2024 Chuyên Vinh - Nghệ An có đáp án

a) Giải phương trình \({x^3} - 2{x^2} + x - 5\left( {x - 1} \right)\sqrt x  - 6 = 0\).

b) Giải hệ phương trình \[\]\(\left\{ \begin{array}{l}5x + y = {x^2}{y^2} - 15\\2x + 3y = 3{x^2}{y^2} - 13xy - 6\end{array} \right.\)

a) Tìm tất cả các cặp số nguyên \(\left( {x;y} \right)\)thỏa mãn \({x^2} - {y^2} + 2\left( {3y + y} \right) = 23.\)

b) Cho đa thức \(P\left( x \right) = {x^2} + bx + c\) có hai nghiệm nguyên. Biết rằng \(\left| c \right| \le 16\) và \(\left| {P\left( 9 \right)} \right|\) là số nguyên tố. Tìm các hệ số \(b,c.\)

Xét các số thực không âm \(a,b,c\)thỏa mãn \({a^2} + {b^2} + {c^2} = 1\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = \frac{1}{{\sqrt {a + 1} }} + \frac{1}{{\sqrt {b + 1} }} + \frac{1}{{\sqrt {c + 2} }}\).

Cho đường tròn \(\left( O \right)\) đường kính \(AB\). Đường thẳng \(\Delta \) tiếp xúc với \(\left( O \right)\) tại \(A\), \(I\) là điểm cố định trên đoạn \(AB\)và \(CD\)là dây cung thay đổi của \(\left( O \right)\) luôn đi qua \(I\). Các đường thẳng \(BC,BD\) cắt \(\Delta \) lần lượt tại \(M,N\).

            a) Chứng minh rằng \(CDMN\) là tứ giác nội tiếp.

            b) Gọi \(K\)là giao điểm thứ hai của đường tròn ngoại tiếp tam giác \(BMN\) với đường thẳng \(AB\). Chứng minh rằng \(KMCI\) là tứ giác nội tiếp và tích \(AM.AN\)không đổi.

            c) Gọi \(T\)là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác \(CDNM\). Tìm vị trí của \(CD\) sao cho độ dài đoạn thẳng \(BT\)nhỏ nhất.

Gọi \(M\)là tập hợp tất cả các số tự nhiên gồm \(2\)chữ số khác nhau. Tìm số nguyên dương \[k\]lớn nhất để tồn tại tập hợp con \[A\]có \[k\]phần tử của tập hợp \(M\)sao cho tích của \[4\] số bất kì thuộc tập hợp \[A\]đều chia hết cho \[3\].