Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán năm 2023-2024 Chuyên Toán Nam Định có đáp án

a)     Cho \(x,\;y,\;z\) là ba số thực khác 0 thỏa mãn: \(x + \frac{y}{2} + \frac{z}{3}\) =1 và \(\frac{1}{x} + \frac{2}{y} + \frac{3}{z}\)  = 0. Chứng minh rằng: \({x^2} + \frac{{{y^2}}}{4} + \frac{{{z^2}}}{9}\)  =1

b)    Cho \(f\left( n \right) = \) \(\frac{2}{{\sqrt

 a)    Giải phương trình \(2\left( {\sqrt {x - 1}  + 1} \right) = x + \sqrt {x + 2} \)b)Giải hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} + {y^2} = xy + x - y + 2}\\{{x^3} + {y^3} = y\left( {x + y + 4} \right) + x}\end{array}} \right.\)

Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O), các đường cao AD, BE, CF đồng quy tại H. Gọi M là trung điểm cạnh BC, N là trung điểm đoạn AH, đường thẳng EF cắt đường tròn (O) tại P, Q và cắt đường thẳng BC tại S sao cho P nằm giữa S và F. Chứng minh rằng:

a)     Tứ giác AOMN là hình bình hành.

b)    \(A{P^2} = A{Q^2} = AE.AC.\)

Tứ giác DMEF nội tiếp và \(\frac{{FP}}{{PS}} = \frac{{QE}}{{ES}}\)

a) Cho hai số nguyên dương \(a,b\) thỏa mãn \({a^3} \vdots b;{b^3} \vdots a\). Chứng minh \(\left( {{a^4} + {b^4}} \right) \vdots ab\)

b)Tìm tất cả các cặp số nguyên \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn \(x\left( {{x^2} - y} \right) + \left( {y - 3} \right)\left( {{x^2} + 1} \right) = 0\)

a)Cho các số thực \(x;y;z\) thỏa mãn \(0 \le x,\;y,z \le 4\). Chứng minh rằng:

          \({x^2}y + {y^2}x + {z^2}x + 16 \ge x{y^2} + y{z^2} + z{x^2}\)

b)Ban đầu trên bảng viết 2023 số thực. Mỗi lần biến đổi số trên bảng là việc thực hiện như sau: Chọn ra hai số \(a,b\) nào đó trên bảng, xóa hai số đi và viết thêm trên bảng số \(\frac{{a + b}}{4}\) . Giả sử ban đầu trên bảng ghi 2023 số 1 và ta thực hiện liên tiếp các biến đổi cho đến khi trên bảng chỉ còn lại một số, chứng minh rằng số đó lớn hơn \(\frac{1}{{{2^{11}}}}\)