Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán năm 2023-2024 Chuyên Toán Hà Nam có đáp án

Cho biểu thức\[A = \left( {\frac{{x\sqrt x  - 1}}{{1 + x + \sqrt x }}} \right)\left( {\frac{{\sqrt x  + 1}}{{x - 1}} - \frac{{\sqrt x  - 2}}{{x - \sqrt x  - 2}}} \right)\]   với \[x \ge 0,x \ne 1,x \ne 4.\]

1. Rút gọn biểu thức \(A.\)

2.Tìm tất cả các số nguyên của \(x\) để \(\left| {2A - 1} \right| + 1 = 2A.\)

Tìm tất cả các số tự nhiên \(n\) để\({2^{2024}} + {2^{2027}} + {2^n}\) là số chính phương.

Cho biểu thức\[A = \left( {\frac{{x\sqrt x - 1}}{{1 + x + \sqrt x }}} \right)\left( {\frac{{\sqrt x + 1}}{{x - 1}} - \frac{{\sqrt x - 2}}{{x - \sqrt x - 2}}} \right)\]  với \[x \ge 0,x \ne 1,x \ne 4.\]

1.Giải phương trình (x−1)x2+6x+16=2x2−6x+4.

2.Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2{x^3} + xy(2y - x) + 2{x^2} + 6x = xy + {y^3} + 3y\,\,\,\,\,\,(1)\\\sqrt {3({x^2} + y) + 7} + \sqrt {5{x^2} + 5y + 14} = 4 - y - {x^2}\,\,(2)\end{array} \right..\)

Cho đường tròn \(\left( O \right)\) có dây cung \(BC\) cố định và không đi qua tâm \(O\). Gọi \(A\) là điểm di động trên đường tròn \(\left( O \right)\) sao cho tam giác \(ABC\) nhọn và \(AB < AC.\) Gọi \(M\) là trung điểm của cạnh \(BC\) và \(H\) là trực tâm tam giác \(ABC.\) Tia \(MH\) cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại \(K\), đường thẳng \(AH\) cắt cạnh \(BC\) tại \(D\) và \(AE\) là đường kính của đường tròn \(\left( O \right)\) .

1.  Chứng minh \(\widehat {BAD} = \widehat {CAE}.\)

2. Chứng minh rằng tứ giác \(BHCE\) là hình bình hành và \(HA.HD = HK.HM\).

3. Tia \(KD\) cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại \(I\) (\(I\) khác \(K\)), đường thẳng đi qua \(I\) và vuông góc với đường thẳng \(BC\) cắt \(AM\) tại \(J\). Chứng minh rằng các đường thẳng \(AK,\,\,BC\) và \(HJ\) cùng đi qua một điểm.

4.Một đường tròn thay đổi luôn tiếp xúc với \(AK\) tại \(A\) và cắt các cạnh \(AB,\,\,AC\) lần lượt tại \(P,\,\,Q\) phân biệt. Gọi \(N\) là trung điểm của đoạn thẳng \(PQ\). Chứng minh rằng đường thẳng\(AN\) luôn đi qua một điểm cố định.

Cho \(a,b,c\) là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện \(\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}} = 1\).

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

\(P = \frac{1}{{\sqrt {5{a^2} + 2ab + 2{b^2}} }} + \frac{1}{{\sqrt {5{b^2} + 2bc + 2{c^2}} }} + \frac{1}{{\sqrt {5{c^2} + 2ca + 2{a^2}} }}\).