Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán năm 2023-2024 Chuyên Tin Phú Thọ có đáp án
5 câu hỏi
a) Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để phương trình \[{x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + {m^2} - m = 0\] có hai nghiệm phân biệt \({x_1}\),\({x_2}\) thỏa mãn \(2\left| {{x_1} + {x_2}} \right| = \left| {{x_1} - {x_2}} \right|\).
b) Cho \(x,y\) là các số thực thỏa mãn \(\frac{1}{y} - \frac{2}{x} = \frac{3}{{2x + y}}\). Tính giá trị của biểu thức \(P = \frac{{{x^2}}}{{{y^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{x^2}}}.\)
a) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn \[\left( {{x^2} - x - 1} \right)\left( {{y^2} + xy - 9} \right) = 2x + 1.\]
b) Cho \(n\) là số nguyên dương lẻ sao cho \({3^n} + {7^n}\) chia hết cho \(11\). Tìm số dư khi chia \({2^n} + {6^n} + {2023^n}\) cho \(11.\)
Cho tam giác nhọn \(ABC\) với \(AB < AC\) nội tiếp đường tròn \(\left( {O;R} \right),\) các đường cao \(AD,BE,CF\) cắt nhau tại \(H.\) Gọi \(P\) là giao điểm thứ hai của \(AD\) và \(\left( O \right),\) \(M\) là điểm đối xứng với \(P\) qua \(AB.\)
a) Chứng minh tứ giác \(AHBM\) nội tiếp.
b) Qua \(P\) kẻ đường thẳng song song với \(EF\) cắt \(\left( O \right)\) tại \(Q\). Chứng minh \(Q\) đối xứng với \(P\) qua \(OA.\)
c) Gọi \(K\) là trung điểm của \(EF\). Chứng minh đường thẳng\(AK\) và các tiếp tuyến của \(\left( O \right)\) tại \(B,C\) đồng quy.
Xét ba số \(x,\,y,\,z \ge 2\) thỏa mãn \(4xyz = 9\left( {x + y + z} \right) + 27;\) tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(Q = \frac{{\sqrt {{x^2} - 4} }}{x} + \frac{{\sqrt {{y^2} - 4} }}{y} + \frac{{\sqrt {{z^2} - 4} }}{z}.\)
a) Giải hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}2\sqrt {x - 3y} = 16 - 3x + 9y\\2\sqrt {x - 3} + \sqrt {y + 3} = 5y + 1\end{array} \right.{\rm{ }}\left( {x,y \in \mathbb{R}} \right).\]
b) Viết lên trên bảng 2023 số: \[1;\frac{1}{2};\frac{1}{3}; \cdots ;\frac{1}{{2022}};\frac{1}{{2023}}\]. Mỗi bước ta xoá đi 2 số \(x,y\) bất kì trên bảng rồi viết lên bảng số \[\frac{{xy}}{{x + y + 1}}\] (các số còn lại trên bảng giữ nguyên). Thực hiện liên tục thao tác trên cho đến khi trên bảng chỉ còn lại đúng một số. Hỏi số đó bằng bao nhiêu?
