Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán năm 2023-2024 Chuyên Sơn La có đáp án

a) Rút gọn biểu thức Q.

Q = \(\frac{{\sqrt {xy} \left( {\sqrt x - \sqrt y } \right) + \sqrt x - \sqrt y }}{{1 + \sqrt {xy} }} = \frac{{\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)\left( {\sqrt {xy} + 1} \right)}}{{1 + \sqrt {xy} }} = \) \(\sqrt x - \sqrt y \)

b) Tính giá trị biểu thức Q khi \(x = 2024 + 2\sqrt {2023} ;y = 2024 - 2\sqrt {2023} \)

\(x = 2024 + 2\sqrt {2023} = 2023 + 2\sqrt {2023} + 1 = {\left( {\sqrt {2023} + 1} \right)^2}\)

    \(y = 2024 - 2\sqrt {2023} = 2023 - 2\sqrt {2023} + 1 = {\left( {\sqrt {2023} - 1} \right)^2}\)

Khi \(x,\;y\) nhận các giá trị trên, ta có:

Q = \(\sqrt {{{\left( {\sqrt {2023} + 1} \right)}^2}} - \sqrt {{{\left( {\sqrt {2023} - 1} \right)}^2}} = \sqrt {2023} + 1 - \sqrt {2023} + 1 = 2\)

a) Xác định giá trị của \(m\) để đường thẳng \(\left( d \right)\) đi qua điểm \(A\left( { - 2;3} \right)\).

\(\left( d \right):y = \left( {2m - 3} \right)x + 3m - 5\) đi qua \(A\left( { - 2;3} \right)\)

                          \( \Leftrightarrow A \in \left( d \right) \Leftrightarrow \left( {2m - 3} \right).\left( { - 2} \right) + 3m - 5 = 3 \Leftrightarrow  - 4m + 6 + 3m - 5 - 3 = 0\)

\( \Leftrightarrow  - m = 2 \Leftrightarrow m =  - 2\).

b) Tìm \(m\) để đường thẳng \(\left( d \right)\) tiếp xúc với parabol \(\left( P \right).\)

Xét phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( P \right)\) và \(\left( d \right)\):

\({x^2} = \left( {2m - 3} \right)x + 3m - 5 \Leftrightarrow {x^2} - \left( {2m - 3} \right)x - 3m + 5 = 0\)   (*)

\(\left( d \right)\) tiếp xúc với \(\left( P \right) \Leftrightarrow \) phương trình (*) có nghiệm kép \( \Leftrightarrow \Delta  = 0\)

   \( \Leftrightarrow {\left[ { - \left( {2m - 3} \right)} \right]^2} - 4\left( { - 3m + 5} \right) = 0 \Leftrightarrow 4{m^2} - 12m + 9 + 12m - 20 = 0\)

                    \( \Leftrightarrow 4{m^2} = 11 \Leftrightarrow {m^2} = \frac{{11}}{4} \Leftrightarrow m =  \pm \frac{{\sqrt {11} }}{2}\)

Gọi \(x\) (giờ) là thời gian đội thứ nhất làm riêng hoàn thành công việc.

Gọi \(y\) (giờ) là thời gian đội thứ hai làm riêng hoàn thành công việc.

                                                                                                \((x > y > 6)\)

+ Mỗi giờ đội thứ nhất làm được: \(\frac{1}{x}\) công việc

+ Mội giờ đội thứ hai làm được: \(\frac{1}{y}\) công việc

+ Hai đội cùng làm sau 6 giờ thì xong nên mỗi giờ hai đội cùng làm được \(\frac{1}{6}\) công việc. Ta có phương trình: \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{6}\)   (1)

+ Nếu hai đội làm riêng, thời gian hoàn thành của đội thứ hai ít hơn đội thứ nhất 5 giờ nên ta có phương trình: \(x - y = 5\;\)   (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{6}}\\{x - y = 5}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{1}{x} + \frac{1}{{x - 5}} = \frac{1}{6}}\\{x - y = 5}\end{array}} \right.} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{6\left( {x - 5} \right) + 6x = x\left( {x - 5} \right)}\\{y = x - 5\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} - 17x + 30 = 0}\\{y = x - 5\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array} \Leftrightarrow } \right.} \right.\) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 15\;\;\left( {tm} \right)}\\{\;x = 2\;\;\left( {loai} \right)}\end{array}} \right.}\\{y = x - 5\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\)

                                       \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 15}\\{y = 10}\end{array}\;\;\left( {tm} \right)} \right.\)

Kết luận: Vậy nếu làm riêng đội thứ nhất hoàn thành công việc trong 15 giờ, đội thứ hai hoàn thành công việc trong 10 giờ.

+ Phương trình có 2 nghiệm \({x_1},{x_2} \Leftrightarrow \Delta ' \ge 0 \Leftrightarrow {m^2} - \left( {{m^2} - m + 1} \right) \ge 0\)

                                                  \( \Leftrightarrow m - 1 \ge 0 \Leftrightarrow m \ge 1.\)

+ Theo hệ thức Vi-ét: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1} + {x_2} = 2m\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{{x_1}{x_2} = {m^2} - m + 1}\end{array}} \right.\)

+ Ta có: \(x_2^2 - x_1^2 + 4m{x_1} = 16 \Leftrightarrow x_2^2 - x_1^2 + 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right).{x_1} = 16\)

   \( \Leftrightarrow x_2^2 - x_1^2 + 2x_1^2 + 2{x_1}{x_2} = 16 \Leftrightarrow x_1^2 + x_2^2 + 2{x_1}{x_2} = 16\)

      \( \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} = 16 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1} + {x_2} = 4}\\{{x_1} + {x_2} = - 4}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{2m = 4\;\;\;\;}\\{2m = - 4}\end{array}} \right.} \right.\)

                     \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m = 2\;\;\left( {nhan} \right)}\\{m = - 2\;\;\left( {loai} \right)}\end{array}} \right.\)

Kết luận: Vậy \(m = 2\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

ĐK: \({x^2} - 4x - 5 \ge 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \le - 1}\\{x \ge 5}\end{array}} \right.\)

Phương trình đã cho \({x^2} - 4x - 5 + \sqrt {{x^2} - 4x - 5} - 2 = 0\)

Đặt \(t = \sqrt {{x^2} - 4x - 5} ,\;\left( {t \ge 0} \right)\) , ta được phương trình :

       \({t^2} + t - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 1\;\;\left( {nhan} \right)}\\{t = - 2\;\left( {loai} \right)}\end{array}} \right.\)

 + Với \(t = 1 \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} - 4x - 5} = 1 \Leftrightarrow {x^2} - 4x - 6 = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2 + \sqrt {10} }\\{x = 2 - \sqrt {10} }\end{array}\;\;} \right.\) (thỏa mãn)

Kết luận: Vậy phương trình có nghiệm: \(x = 2 \pm \sqrt {10} \).

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} + xy - 2{y^2} = x + 2y\;\;\;\left( 1 \right)}\\{{x^3} + 2{x^2}y = {x^2} + {y^2} - 1\;\;\;\left( 2 \right)}\end{array}\;} \right.\)

(1) \( \Leftrightarrow {x^2} + \left( {y - 1} \right)x - 2{y^2} - 2y = 0\)

                \(\Delta = {y^2} - 2y + 1 + 8{y^2} + 8y = 9{y^2} + 6y + 1 = {\left( {3y + 1} \right)^2}\)

Phương trình (1) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{{1 - y + 3y + 1}}{2} = y + 1}\\{x = \frac{{1 - y - 3y - 1}}{2} = - 2y}\end{array}} \right.\)

+Với \(x = y + 1\) thế vào (2) ta được:

                   \({x^3} + 2{x^2}\left( {x - 1} \right) = {x^2} + {\left( {x - 1} \right)^2} - 1 \Leftrightarrow {x^3} + 2{x^3} - 2{x^2} = {x^2} + {x^2} - 2x + 1 - 1\)

                                  \( \Leftrightarrow 3{x^3} - 4{x^2} + 2x = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0 \Rightarrow y = - 1\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{3{x^2} - 4x + 2 = 0\;\;\left( {v\^o \;nghiem} \right)}\end{array}} \right.\)

+ Với \(x = - 2y\) thế vào (2) ta được:

         \( - 8{y^3} + 2{\left( { - 2y} \right)^2}.y = 4{y^2} + {y^2} - 1 \Leftrightarrow 5{y^2} = 1 \Leftrightarrow y = \pm \frac{{\sqrt 5 }}{5}\; \Rightarrow x = - 2\left( { \pm \frac{{\sqrt 5 }}{5}} \right)\)

Kết luận: hệ phương trình có 3 nghiệm phân biệt: \(\left( {x;y} \right) = \left\{ {\left( {0; - 1} \right);\left( {\frac{{ - 2\sqrt 5 }}{5};\frac{{\sqrt 5 }}{5}} \right);\left( {\frac{{2\sqrt 5 }}{5};\frac{{ - \sqrt 5 }}{5}} \right)} \right\}\)

   \(\frac{{1 + \sqrt {1 + {x^2}} }}{x} + \frac{{1 + \sqrt {1 + {y^2}} }}{y} + \frac{{1 + \sqrt {{z^2}} }}{z} \le xyz.\)

Từ \(x + y + z = zyz\; \Rightarrow \).  \(\frac{1}{{xy}} + \frac{1}{{yz}} + \frac{1}{{xz}}\) = 1

Lại có: \(\frac{{\sqrt {1 + {x^2}} }}{x} = \sqrt {\frac{1}{{{x^2}}} + } = \sqrt {\frac{1}{{{x^2}}} + \frac{1}{{xy}} + \frac{1}{{yz}} + \frac{1}{{xz}}} \) (áp dụng \(\sqrt {ab} \le \frac{1}{2}\left( {a + b} \right)\))

\( \Rightarrow \frac{{1 + \sqrt {1 + {x^2}} }}{x} \le \frac{2}{x} + \frac{1}{{2y}} + \frac{1}{{2z}} \Rightarrow \frac{{1 + \sqrt {1 + {x^2}} }}{x} \le 3\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}} \right)\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow x = y = z\)

Chứng minh:

                                       \(3\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}} \right) \le xyz\)

                \( \Leftrightarrow 3\left( {xy + yz + zx} \right) \le {\left( {xyz} \right)^2}\)

     \( \Leftrightarrow 3\left( {xy + yz + zx} \right) \le {\left( {x + y + z} \right)^2}\)

\( \Leftrightarrow {\left( {x - y} \right)^2}2 + {\left( {y - z} \right)^2} + {\left( {z - x} \right)^2} \ge 0\) (đúng)

Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Dấu “=” xảy ra khi \(x = y = z = \sqrt 3 .\)