Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán năm 2023-2024 Chuyên Sơn La có đáp án

Cho biểu thức Q = \(\frac{{x\sqrt y  + \sqrt x  - y\sqrt x  - \sqrt y }}{{1 + \sqrt {xy} }}\), với \(x \ge 0;y \ge 0\).

a)     Rút gọn biểu thức Q.

b)     Tính giá trị biểu thức Q khi \(x = 2024 + 2\sqrt {2023} ;y = 2024 - 2\sqrt {2023} \)

Cho parabol (P) : \(y = {x^2}\) và đường thẳng (d): \(y = \left( {2m - 3} \right)x + 3m - 5\;(m\) là tham số)

a)     Xác định giá trị của \(m\) để đường thẳng \(\left( d \right)\) đi qua điểm \(A\left( { - 2;3} \right)\).

b)     Tìm \(m\) để đường thẳng \(\left( d \right)\) tiếp xúc với parabol \(\left( P \right).\)

Hai đội thanh niên tình nguyện cùng làm chung một công việc thì hoàn thành trong 6 giờ. Nếu hai đội làm riêng thì thời gian hoàn thành công việc của đội thứ hai ít hơn thời gian hoàn thành công việc của đội thứ nhất là 5 giờ. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi đội hoàn thành công việc trong bao lâu?

Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để phương trình \({x^2} - 2mx + {m^2} - m + 1\) có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn \(x_2^2 - x_1^2 + 4m{x_1} = 16\)

Giải phương trình: \({x^2} - 4x + \sqrt {{x^2} - 4x - 5} = 7.\)

Giải hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} + xy - 2{y^2} = x + 2y}\\{{x^3} + 2{x^2}y = {x^2} + {y^2} - 1}\end{array}} \right.\)

Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O), các đường cao BE và CF cắt nhau tại H. Gọi S là giao điểm của đường thẳng BC và EF; I là giao điểm của SA và đường tròn (O) (với I khác A).

a)     Chứng minh rằng tứ giác AFHE là tứ giác nội tiếp.

b)     Chứng minh \(SF.SE = SI.SA\) và \(HI \bot SA\).

c)     Gọi M là trung điểm của BC, kẻ đường kính AD của (O). Chứng minh ba điểm H, M, D thẳng hàng và H là trực tâm tam giác ASM.

d)     Giả sử T là điểm nằm trên đoạn thẳng HC sao cho AT vuông góc với BT. Chứng minh hai đường tròn ngoại tiếp của tam giác IST và tam giác ECT tiếp xúc với nhau.

Cho \(x,y,z\) là các số thực dương thỏa mãn \(x + y + z = xyz.\) Chứng minh rằng:

   \(\frac{{1 + \sqrt {1 + {x^2}} }}{x} + \frac{{1 + \sqrt {1 + {y^2}} }}{y} + \frac{{1 + \sqrt {{z^2}} }}{z} \le xyz.\)