Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán năm 2023-2024 Chuyên Quảng Trị có đáp án

1. Cho các số thực dương \(a,\,b,\,c\) thỏa mãn \(\frac{{ab}}{c} + \frac{{bc}}{a} + \frac{{ca}}{b} = a + b + c.\)

Chứng minh \(a = b = c.\)

2.  Giải phương trình     \(\sqrt {3x + 1}  - \sqrt {2x - 1}  = 1.\)

3.  Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + y - \sqrt {xy}  = 3\\\sqrt {x + 1}  + \sqrt {y + 1}  = 3\end{array} \right..\)

Cho các số thực dương \(a,\,\,b,\,\,c\) thỏa mãn \(ab + bc + ca = abc.\)

1.  Chứng minh  \(a + b + c \ge 9.\)

2.Chứng minh  \(a + b + c \ge 4\left( {\frac{a}{{bc}} + \frac{b}{{ca}} + \frac{c}{{ab}}} \right) + 5.\)

1.Chứng minh \({n^2} + 3n + 1\) là số lẻ với mọi số tự nhiên \(n.\)

2.  Tìm tất cả các số nguyên dương \(a,b\) sao cho \(4{a^2} + b + 4;\,\,4{b^2} + a + 4\) đều là số chính phương.

Cho tam giác \[ABC\] nhọn, \(AB < AC.\) Kẻ các đường cao \(AD,BE,CF\) cắt nhau tại H. Từ \[A\] kẻ hai tiếp tuyến \[AP,AQ\] đến đường tròn tâm \[O,\] đường kính \[BC\](\[P,Q\] là các tiếp điểm và \(P,F\) nằm cùng phía so với đường thẳng \(AD\)).

1.  Chứng minh \[A{P^2} = AB.AF\] và \[5\] điểm \(A,P,D,O,Q\) nằm trên một đường tròn.

2.  Chứng minh \[H,P,Q\] thẳng hàng.

3.  Chứng minh \[PF,QE,AD\] đồng quy.

Trên mặt phẳng có \[5\] điểm tùy ý, trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Chứng minh tồn tại \[4\] điểm là \[4\] đỉnh của một tứ giác lồi.