Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán năm 2023-2024 Chuyên Phú Yên có đáp án

a)Cho biểu thức A=\(\left( {\frac{{x + 2}}{{x\sqrt x  - 1}} + \frac{{\sqrt x }}{{x + \sqrt x  + 1}} + \frac{1}{{1 - \sqrt x }}} \right):\frac{{\;\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x  + 1}}\)       \[\]

 Rút gọn biểu thức A; tính giá trị của A, biết \(x = \frac{{6 + 2\sqrt 5 }}{{2 + \sqrt {6 + 2\sqrt 5 } }} + \frac{{6 - 2\sqrt 5 }}{{2 - \sqrt {6 - 2\sqrt 5 } }}\)

b)Cho biết \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \;\sqrt 2 \) (a>1,b>1). Chứng minh rằng \(ab - \sqrt {1 - {a^2}{b^2} + {a^2} + {b^2}}  = \)1

Giải các phương trình, hệ phương trình sau:

           a)\({\left( {x - \sqrt 3 } \right)^3} + {\left( {x + \sqrt 5 } \right)^3}\)+\({\left( {\sqrt 3  - \sqrt 5  - 2x} \right)^3}\)=0

           b)\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\left( {xy} \right)}^3} + {{\left( {x + \sqrt 5 } \right)}^3} + {{\left( {\sqrt 3  - \sqrt 5  - 2x} \right)}^3} = 0}\\{3x{y^3} = {y^2} + 2}\end{array}} \right.\)

Cho đoạn thẳng AB, với M là trung điểm. Trên đường trung trực Mt của đoạn thẳng AB lấy điểm I bất kì. Vẽ tia A\(x\) sao cho AI là phân giác góc BA\(x\). Đường thẳng BI cắt A\(x\) tại N. Gọi C là điểm đối xứng của A qua N,H là hình chiếu vuông góc của C lên AB.

a)     Chứng minh rằng tam giác NHB cân

b)     Chứng minh đẳng thức: B\({{\rm{H}}^2}\)= HI.BN

c)  c)    Khi điểm I di chuyển trên đường trung trực Mt đến vị trí làm cho tam giác ABC vuông tại C, hãy tính tỉ số \(\frac{{{\rm{AB}}}}{{{\rm{AC}}}}\)

Cho phương trình  \({\rm{a}}{{\rm{x}}^2} + {\rm{bx}} + {\rm{c}} = 0{\rm{\;\;}}\left( {{\rm{a}} \ne 0} \right),\)  với a,b,c là số thực thỏa

 \(2{\rm{a}} - {\rm{b}} + {\rm{c}} = 0.\) Chứng minh rằng phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt và 2 nghiệm không thể đều dương.

Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi D là trung điểm của AB, H là hình chiếu vuông góc của A lên đường thẳng DC. Đường thẳng qua C vuông góc với BC cắt đường thẳng AB tại E. Gọi I là hình chiếu vuông góc của E lên đường thẳng DC.

a)     Chứng minh BH vuông góc với  AI.

b)     Đường thẳng qua B vuông góc với BH cắt đường thẳng DC tại K. Chứng minh tứ giác BCEK nội tiếp.