Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán năm 2023-2024 Chuyên Phú Thọ có đáp án

a) Xét phương trình \({x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + {m^2} - m = 0\) (1)

Ta có \(\Delta ' = {\left[ { - \left( {m - 1} \right)} \right]^2} - 1.\left( {{m^2} - m} \right) = {m^2} - 2m + 1 - {m^2} + m = - m + 1\)

Vì phương trình (1) là phương trình bậc hai nên để PT (1) có hai nghiệm phân biệt \({x_1};{x_2}\) thì \(\Delta ' > 0\)

                                                       \( \Leftrightarrow - m + 1 > 0 \Leftrightarrow m < 1\)

Khi đó áp dụng định lí Vi ét ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1} + {x_2} = 2\left( {m - 1} \right)}\\{{x_1}{x_2} = {m^2} - m\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\)

Theo đề bài ta có: \(2\left| {{x_1} + {x_2}} \right| = \left| {{x_1} - {x_2}} \right|\)

\( \Leftrightarrow 4{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} = {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2}\)

\( \Leftrightarrow 4{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2}\)

                         \( \Leftrightarrow 3{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} + 4{x_1}{x_2} = 0\)

\( \Rightarrow 3{\left[ {2\left( {m - 1} \right)} \right]^2} + 4\left( {{m^2} - m} \right) = 0\)

                           \( \Leftrightarrow 3\left( {4{m^2} - 8m + 4} \right) + 4{m^2} - 4m = 0\)

                                                  \( \Leftrightarrow 12{m^2} - 24m + 12 + 4{m^2} - 4m = 0\)

                                                                  \( \Leftrightarrow 16{m^2} - 28m + 12 = 0\)

                                                                      \( \Leftrightarrow 4{m^2} - 7m + 3 = 0\)

                                         \( \Leftrightarrow \left( {m - 1} \right).\left( {4m - 3} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m - 1 = 0}\\{4m - 3 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m = 1}\\{m = \frac{3}{4}}\end{array}} \right.} \right.\)

Mà \(m < 1\) nên \(m = \)\(\frac{3}{4}\)

b) Từ \(\frac{1}{y} - \frac{2}{x} = \frac{3}{{2x + y}}\) (đk : \(x \ne 0,\;y \ne 0;2x + y \ne 0)\)

\( \Rightarrow \frac{{x - 2y}}{{xy}} = \frac{3}{{2x + y}} \Leftrightarrow \left( {x - 2y} \right)\left( {2x + y} \right) = 3xy\)

                                                         \( \Leftrightarrow 2{x^2} + xy - 4xy - 2{y^2} = 3xy\)

                                                       \( \Leftrightarrow 2\left( {{x^2} - {y^2}} \right) = 6xy\)

                                                                       \( \Leftrightarrow {x^2} - {y^2} = 3xy\)

Suy ra P = \(\frac{{{x^2}}}{{{y^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{x^2}}} = \frac{{{x^4} + {y^4}}}{{{x^2}{y^2}}} = \frac{{{{\left( {{x^2} - {y^2}} \right)}^2} + 4{x^2}{y^2}}}{{{x^2}{y^2}}} = \frac{{{{\left( {3xy} \right)}^2} + 4{x^2}{y^2}}}{{{x^2}{y^2}}} = \frac{{13{x^2}{y^2}}}{{{x^2}{y^2}}}\) = 13

Vì \(\left( {x;y} \right)\) nguyên dương nên từ điều kiện \(2x + 1 \vdots {x^2} - x - 1\)

                                                                              \(2{x^2} + x \vdots {x^2} - x - 1\)

\( \Rightarrow 2{x^2} - 2x - 2 + 3x + 2 \vdots {x^2} - x - 1 \Rightarrow 3x + 2 \vdots {x^2} - x - 1\)

Từ đó suy ra \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x + 1 \vdots {x^2} - x - 1}\\{3x + 2 \vdots {x^2} - x - 1}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{6x + 3 \vdots {x^2} - x - 1}\\{6x + 3 \vdots {x^2} - x - 1}\end{array} \Rightarrow 1 \vdots {x^2} - x - 1} \right.\)

Suy ra \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} - x - 1 = 1}\\{{x^2} - x - 1 = - 1}\end{array}} \right.\)

+) Với \({x^2} - x - 1 = 1 \Leftrightarrow {x^2} - x - 2 = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {x + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{x = - 1\;\;\left( {loai} \right)}\end{array}} \right.\)

Từ \(x = 2 \Rightarrow \left( {{y^2} + 2y - 9} \right) = 5 \Leftrightarrow {\left( {y + 1} \right)^2} = 15\;\;\)(loại)

+ Với \({x^2} - x - 1 = - 1 \Leftrightarrow {x^2} - x = 0 \Leftrightarrow x\left( {x - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{x = 0\;\;\left( {loai} \right)}\end{array}} \right.\)

Từ \(x = 1 \Rightarrow - \left( {{y^2} + y - 9} \right) = 3 \Leftrightarrow {y^2} + y - 6 = 0 \Leftrightarrow \left( {y + 3} \right)\left( {y - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = - 3\;\;\left( {loai} \right)}\\{y = 2\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\)

Vậy cặp số nguyên dương \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn \(\left( {{x^2} - x - 1} \right)\left( {{y^2} + xy - 9} \right) = 2x + 1\) là \(x;y) = \left( {1;2} \right).\)

b) 

Ta có: \({3^n} + {8^n} + {7^n} + {4^n} \vdots 11\) (vì \(n\) lẻ)

\( \Rightarrow {4^n} + {8^n} \vdots 11 \Rightarrow {4^n}\left( {1 + {2^n}} \right) \vdots 11 \Rightarrow {2^n} + 1 \vdots 11\)

                                                                             \(n = 10k + 5\;(k \in \mathbb{N}\)

Ta có \({6^n} = {6^{10k + 5}} = {\left( {{6^{10}}} \right)^k}{.6^5} \equiv - 1\left( {mod11} \right);{2023^n} \equiv - 1\left( {mod11} \right)\)

Suy ra \({2^n} + {6^n} + {2023^n} \equiv - 3 \equiv 8\left( {mod11} \right)\)

Vậy \({2^n} + {6^n} + {2023^n} \equiv 8\left( {mod11} \right)\)

a) Giải hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2\sqrt {x - 3y} = 16 - 3x + 9y\;\;\;\;\left( 1 \right)}\\{2\sqrt {x - 3} + \sqrt {y + 3} = 5y + 1\;\;\left( 2 \right)}\end{array}} \right.\;\;\;\;\left( {x;y \in \mathbb{R}} \right)\)

Điều kiện : \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge 3}\\{y \ge - 3}\\{x \ge 3y}\end{array}} \right.\)

Đặt \(\sqrt {x - 3y} = t \ge 0\) thay vào (1) ta được

\(2t = 16 - 3{t^2} \Leftrightarrow 9{t^2} + 6t + 1 = 49 \Leftrightarrow {\left( {3t + 1} \right)^2} = {7^2} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 2\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{t = \frac{{ - 8}}{3}\;\;\left( {loai} \right)}\end{array}} \right.\)

Với \(t = 2 \Rightarrow x - 2y = 4\) thay vào (2) ta được\(2\sqrt {3y + 1} + \sqrt {y + 3} = 5y + 1\;\;\;\left( 3 \right)\) ĐK \(y \ge \frac{{ - 1}}{5}\)

Suy ra \(4y - 2\sqrt {3y + 1} + y + 1 - \sqrt {y + 3} = 0\)

\( \Leftrightarrow \frac{{16{y^2} - 12y - 4}}{{4y + 2\sqrt {3y + 1} }} + \frac{{{y^2} + y - 2}}{{y + 1 + \sqrt {y + 3} }} = 0\)

\( \Leftrightarrow \frac{{4\left( {4y + 1} \right)\left( {y - 1} \right)}}{{4y + 2\sqrt {3y + 1} }} + \frac{{\left( {y + 2} \right)\left( {y - 1} \right)}}{{y + 1 + \sqrt {y + 3} }} = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {y - 1} \right)\left[ {\frac{{4\left( {4y + 1} \right)}}{{4y + 2\sqrt {3y + 1} }} + \frac{{\left( {y + 2} \right)}}{{y + 1 + \sqrt {y + 3} }}} \right] = 0 \Leftrightarrow y = 1\)

(vì \(y \ge \frac{{ - 1}}{5}\))

Từ \(y = 1 \Rightarrow x = 7\)

Vậy nghiệm của hệ là \(\left( {x;y} \right) = \left( {7;1} \right)\)

b) Bằng phương pháp quy nạp ta sẽ chứng minh với cách xóa như vậy thì dãy \(\frac{1}{1};\frac{1}{2};\frac{1}{3}; \ldots ;\frac{1}{n}\) còn lại số cuối cùng là \(\frac{1}{{\left( {1 + 1} \right).( + 1.\left( {3 + 1} \right) \ldots \left( {n + 1} \right) - 1}}\)   (*)

Thật vậy

Với \(n = 2\) thì (*) đúng.

Giả sử đúng với \(n = k\) thì dãy còn lại số \(\frac{1}{{\left( {1 + 1} \right).\left( {2 + 1} \right).\left( {3 + 1} \right) \ldots \left( {k + 1} \right) - 1}}\)

Cần chứng minh (*) đúng với \(n = k + 1\) tức là dãy còn lại số \(\frac{1}{{\left( {1 + 1} \right).\left( {2 + 1} \right).\left( {3 + 1} \right) \ldots \left( {k + 1} \right).\left( {k + 2} \right) - 1}}\)

Từ giả thiết quy nạp dãy \(\frac{1}{1};\frac{1}{2};\frac{1}{3}; \ldots ;\frac{1}{k};\frac{1}{{k + 1}}\)với quy luật xóa thì còn lại số \(\frac{1}{{\left( {1 + 1} \right).\left( {2 + 1} \right).\left( {3 + 1} \right) \ldots \left( {k + 1} \right) - 1}}\)

Khi đó dãy \(\frac{1}{1};\frac{1}{2};\frac{1}{3}; \ldots ;\frac{1}{k};\frac{1}{{k + 1}}\)còn lại hai số  \(\frac{1}{{\left( {1 + 1} \right).\left( {2 + 1} \right).\left( {3 + 1} \right) \ldots \left( {k + 1} \right) - 1}};\frac{1}{{k + 1}}\)

Khi đó còn lại số \(\frac{1}{{\left( {1 + 1} \right).\left( {2 + 1} \right).\left( {3 + 1} \right) \ldots \left( {k + 1} \right).\left( {k + 1} \right) - \left( {k + 1} \right) + \left( {k + 1} \right) + \left( {1 + 1} \right).\left( {2 + 1} \right).\left( {3 + 1} \right) \ldots \left( {k + 1} \right) - 1}}\)

= \(\frac{1}{{\left( {1 + 1} \right).\left( {2 + 1} \right).\left( {3 + 1} \right) \ldots \left( {k + 1} \right).\left( {k + 2} \right) - 1}}\)

Vậy (*) đúng.

Khi đó dãy \(\frac{1}{1};\frac{1}{2};\frac{1}{3}; \ldots ;\frac{1}{{2023}}\)với cách xóa như vậy số cuối cùng còn lại của dãy là

\(\frac{1}{{\left( {1 + 1} \right).\left( {2 + 1} \right).\left( {3 + 1} \right) \ldots \left( {2023 + 1} \right) - 1}} = \frac{1}{{2.3.4 \ldots 2024 - 1}}\)

a) Ta có tứ giác \(CDHE\) nội tiếp \( \Rightarrow \widehat {DCE} + \widehat {DHE} = {180^0}\)

          \(\widehat {APB} = \widehat {ACB}\) (cùng chắn cung AB)

          \(\widehat {APB} = \widehat {AMB}\) (tính chất đối xứng)

          \(\widehat {AHB} = \widehat {EHD}\) (đối đỉnh) \( \Rightarrow \widehat {AMB} + \widehat {AHB} = {180^0}\) . Vậy tứ giác \(AHBM\) nội tiếp

b) Ta có tứ giác \(BFEC\) nội tiếp \( \Rightarrow \widehat {FBC} = \widehat {AEF} = \widehat {ATC} \Rightarrow \widehat {ACT} = \widehat {AZE} = {90^0}\)

Mà \(PQ//FE\) suy ra \(Q\) đối xứng với \(P\) qua \(OA\)

c) Tiếp tuyến \(B\) và \(C\) cắt nhau tại \(L\), \(AL\) cắt đường tròn tại \(J\). Dễ có \(L{B^2} = LS.LA = LS.LO\)

Suy ra tứ giác \(AJSO \Rightarrow \widehat {JSL} = \widehat {XSL} \Rightarrow \widehat {ASC} = \widehat {ABJ};\widehat {AJB} = \widehat {ACS} \Rightarrow \Delta ABJ \sim \Delta ASC\) (g.g)

Mà \(\Delta ABC \sim \Delta AEF\) (g.g). Giả sử \(AJ\) cắt \(FE\) tại \(K'\)\( \Rightarrow \Delta FAK' \sim \Delta ABS\) (g.g)

Vì \(S\) là trung điểm \(BC\)\( \Rightarrow K'\) là trung điểm \(FE \Rightarrow K \equiv K'\). Vậy tiếp tuyến tại \(B,\;C\) và \(AK\) đồng quy.

Giải. Ta có \(\sqrt 5 Q\) = \(\frac{{\sqrt {5\left( {x - 2} \right)(x\_ + 2} }}{x} + \frac{{\sqrt {5\left( {y - 2} \right)\left( {y + 2} \right)} }}{y} + \frac{{\sqrt {5\left( {z - 2} \right)\left( {z + 2} \right)} }}{z}\)

\(\sqrt 5 Q \le \)\(\frac{{5\left( {x - 2} \right) + x + 2}}{{2x}} + \frac{{5\left( {y - 2} \right) + y + 2}}{{2y}} + \frac{{5\left( {z - 2} \right) + z + 2}}{{2z}}\)

 \( \Leftrightarrow \sqrt 5 Q \le \)\(\frac{{6x - 8}}{{2x}} + \frac{{6y - 8}}{{2y}} + \frac{{6z - 8}}{{2z}}\) = 9 – 4\(1\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}} \right)\)

Từ \(4xyz = 9\left( {x + y + z} \right) + 27 \Leftrightarrow \) 4 = 9\(\left( {\frac{1}{{xy}} + \frac{1}{{yz}} + \frac{1}{{xz}}} \right) + \frac{{27}}{{xyz}}\)\( \le \) 3\({\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}} \right)^2} + {\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}} \right)^3}\)

Đặt \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = t\)

Ta có

      \({t^3} + 3{t^2} - 4 \ge 0 \Leftrightarrow {t^3} - {t^2} + 4{t^2} - 4t + 4t - 4 \ge 0\)

                                     \( \Leftrightarrow \left( {t - 1} \right){\left( {t - 2} \right)^2} \ge 0\)

                                                                                     \( \Leftrightarrow t \ge 1\)

Suy ra \(\sqrt 5 Q \le 9 - 4.1 = 5 \Leftrightarrow Q \le \sqrt 5 \)

Vậy \(MaxQ = \sqrt 5 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x,y,z \ge 2;4xyz = 9\left( {x + y + z} \right) + 27\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{5\left( {x - 2} \right) = x + 2;5\left( {y - 2} \right) = y + 2;5\left( {z - 2} \right) = z + 2}\\{\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 1\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\)

                                                                              \( \Leftrightarrow x = y = z = 3\)