Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán năm 2023-2024 Chuyên Phú Thọ có đáp án

a) Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để phương trình \({x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + {m^2} - m = 0\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\;{x_2}\) thỏa mãn \(2\left| {{x_1} + {x_2}} \right| = \left| {{x_1} - {x_2}} \right|.\)

b) Cho \(x;y\) là các số thực thỏa mãn \(\frac{1}{y} - \frac{2}{x} = \frac{3}{{2x + y}}.\) Tính giá trị của biểu thức P = \(\frac{{{x^2}}}{{{y^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{x^2}}}\).

a) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn \(\left( {{x^2} - x - 1} \right)\left( {{y^2} + xy - 9} \right) = 2x + 1\)

b) Cho \(n\) là số nguyên dương lẻ sao cho \({3^n} + {7^n}\) chia hết cho 11. Tìm số dư khi chia \({2^n} + {6^n} + {2023^n}\) cho 11.

a) Giải hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2\sqrt {x - 3y} = 16 - 3x + 9y\;\;\;\;\left( 1 \right)}\\{2\sqrt {x - 3} + \sqrt {y + 3} = 5y + 1\;\;\left( 2 \right)}\end{array}} \right.\;\;\;\;\left( {x;y \in \mathbb{R}} \right)\)

b) Viết lên trên bảng 2023 số \(1;\frac{1}{2};\frac{1}{3};.....;\frac{1}{{2022}};\frac{1}{{2023}}.\)Mỗi bước ta xóa đi 2 số x,y bất kỳ trên bảng rồi viết lên bảng số \(\frac{{xy}}{{x + y + 1}}\)(các số còn lại trên bảng giữ nguyên). Thực hiện liên tục thao tác trên cho đến khi trên bảng chỉ còn lại đúng 1 số. Hỏi số đó bằng bao nhiêu

Cho tam giác nhọn ABC với AB < AC nội tiếp đường tròn (O; R), các đường cao AD; BE; CF cắt nhau tại H. Gọi P là giao điểm thứ hai của AD và (O).

M là điểm đối xứng với P qua AB.

a) Chứng minh tứ giác AHBM nội tiếp.

b) Qua P kẻ đường thẳng song song với EF cắt (O) tại Q.

Chứng minh Q đối xứng với P qua OA.

c) Gọi K là trung điểm của EF.

Chứng minh rằng đường thẳng AK và các tiếp tuyến của (O) tại B; C đồng quy.

Xét ba số \(x;y;z \ge 2\) thỏa mãn \(4xyz = 9\left( {x + y + z} \right) + 27\)

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Q = \(\frac{{\sqrt {{x^2} - 4} }}{x} + \frac{{\sqrt {{y^2} - 4} }}{y} + \frac{{\sqrt {{z^2} - 4} }}{z}\)