Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán năm 2023-2024 Chuyên Ninh Bình có đáp án

a) Cho a, b là hai số thực dương phân biệt thỏa mãn (1 – a)(1 − b) + 2\(\sqrt {ab} \) = 1. Tính giá trị của biểu thức

                                           P = \(\frac{{a\sqrt a  - b\sqrt b }}{{a - b}}\) - \(\frac{a}{{\sqrt a \; + \;\sqrt b }}\) + \(\frac{b}{{\sqrt a  - \;\sqrt b }}\)

 b) Biết đa thức f(x) = x3 – 23x + 24 có ba nghiệm phân biệt a, b, c. Tính giá trị của biểu thức

                                                                Q = a³ + b³ + c³.

a) Giải phương trình \(\left( {\sqrt {x + 23}  - \;\sqrt {x + 7} } \right)\left( {\sqrt {6 - x}  + 2} \right)\) = 8

b) Giải hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y + \;\frac{1}{x} + \;\frac{1}{y} = \frac{9}{2}}\\{\frac{9}{4} + \frac{3}{2}\left( {x + \frac{1}{y}} \right) = \left( {x + \frac{1}{y}} \right)\left( {y + \frac{1}{x}} \right)}\end{array}} \right.\)

Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 6. Chứng minh

\(\frac{a}{{\sqrt {{b^3} + 1} }} + \frac{b}{{\sqrt {{c^3} + 1} }} + \frac{c}{{\sqrt {{a^3} + 1} }}\; \ge 2\)

Cho tam giác ABC nhọn, không cân, nội tiếp đường tròn (O). Gọi E là điểm đối xứng của B qua AC và F điểm đối xứng của C qua AB. Đường thẳng BE cắt đường thẳng CF tại H.

a) Chứng minh các tứ giác AHBF và AHCE là tứ giác nội tiếp.

b) Đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABE và ACF cắt nhau tại điểm thứ hai là D. Chứng minh F,B,D thẳng hàng và DA là tia phân giác của góc EDF.

c) Gọi P, Q lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABE, ACF. Chứng minh sáu điểm B, C, D, O, P, Q cùng thuộc một đường tròn tâm I và giao điểm (khác D) của đường thẳng AD với đường tròn (I) là trực tâm tam giác APQ.

d) Giả sử H thuộc đường tròn (I). Chứng minh các đường thẳng AI, DH, BC, PQ đồng quy.

Cho p là một số nguyên tố.

a) Chứng minh nếu p lẻ và tồn tại số nguyên x sao cho (x2 + 1) \( \vdots \;\)p thì (p − 1) \( \vdots \) 4.

b) Chứng minh 2023p + 23p – 24 không là số chính phương.