Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán năm 2023-2024 Chuyên Nam Định có đáp án

1) Tính giá trị biểu thức \[P = \sqrt {2024 + 2\sqrt {2023} }  - \sqrt {2025 + 2\sqrt {2024} } \].

2) Tìm tọa độ của điểm \(M\) là giao điểm của đường thẳng \(y = x + 1\) với trục \(Oy\).

3) Tính diện tích hình tròn ngoại tiếp tam giác vuông có cạnh huyền bằng \[2\sqrt 2 \,cm\].

4) Tính thể tích của hình nón có đường sinh bằng \[10\,cm\] và bán kính đáy bằng \[6\,cm\].

Cho biểu thức \(P = \left( {\frac{{x + 2}}{{x\sqrt x  - 1}} + \frac{{\sqrt x }}{{x + \sqrt x  + 1}} - \frac{1}{{\sqrt x  - 1}}} \right).\frac{1}{{\sqrt x  - 1}}\) (với \(x \ge 0\) và \(x \ne 1\)).

1) Rút gọn biểu thức \(P\).

2) Tìm \(x\) để \(P = \frac{1}{3}\).

1) Cho phương trình \({x^2} - \left( {2m + 1} \right)x + 4m - 2 = 0\,\,\,\left( 1 \right)\) (với \(m\) là tham số).

a) Tìm tất cả giá trị của \(m\) để phương trình \(\left( 1 \right)\) có hai nghiệm phân biệt.

b) Gọi \({x_1},\,\,{x_2}\) là hai nghiệm phân biệt của phương trình \(\left( 1 \right)\). Tìm tất cả giá trị của \(m\) để \({x_1},\,\,{x_2}\) là độ dài hai cạnh của một hình chữ nhật có độ dài đường chéo bằng \[\sqrt {13} \].

2) Giải phương trình \(6\sqrt {2x + 5}  + 4\sqrt {x + 2}  = 3x + 20\).

Cho tam giác \(ABC\) nhọn \(\left( {AB < AC} \right)\) nội tiếp đường tròn tâm \(O\), \(AD\) là đường cao. Gọi \(E\), \(F\) lần lượt là hình chiếu của \(D\) trên \(AB\), \(AC\).

1) Chứng minh tứ giác \(AEDF\) nội tiếp và \(AE.AB = AF.AC\).

2) Gọi \(AP\) là đường kính của đường tròn \(\left( O \right)\). Chứng minh \(AP\) vuông góc với \(EF\).

3) Gọi \(H\) là trực tâm của tam giác \(ABC\). Đường tròn đường kính \(AH\) cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại điểm thứ hai \(T\). Gọi \(K\) là trực tâm của tam giác \(BTC\). Chứng minh tam giác \(HKT\) vuông tại \(H\).

1) Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {4{x^2} + 3}  - 2\sqrt y  = \sqrt {{y^2} + 3}  - 2\sqrt {2x} \\\sqrt {x + 1}  + \sqrt {3 - x}  = 2 + \sqrt {y + 3 - {x^2}} \end{array} \right.\).

2) Xét hai số thực dương \(x\), \(y\) thỏa mãn \(6x + y = 2xy\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = 3x + \frac{2}{{{x^2}}} + \frac{1}{x} + \frac{{42}}{y} + {\left( {\sqrt x  + \sqrt y } \right)^2}\).