Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán năm 2023-2024 Chuyên Lai Châu có đáp án

Cho biểu thức \(A = \left( {\frac{{x + 4\sqrt x  + 4}}{{x + \sqrt x  - 2}} + \frac{{x + \sqrt x }}{{1 - x}}} \right):\left( {\frac{1}{{\sqrt x  + 1}} - \frac{1}{{1 - \sqrt x }}} \right)\) ( với \(x > 0;\,x \ne 1\))

a) Rút gọn biểu thức \(A\)

b) Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(x\) để \(A \ge \frac{{1 + \sqrt {2023} }}{{\sqrt {2023} }}\)

a) Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} + x + y = 8\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\2{x^2} + {y^2} - 3xy + 3x - 2y + 1 = 0\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

b) Tìm các giá trị của tham số \(m\) để đường thẳng \(\left( d \right):y =  - x + m + 1\) cắt \(\left( P \right):y = {x^2}\) tại hai điểm phân biệt có hoành độ \({x_1};{x_2}\) thỏa mãn điều kiện \({x_1}^2 - {x_2} - 4m + 1 = 0\)

a) Tìm nghiệm nguyên của phương trình \(\left( {2x + y} \right)\left( {x - y} \right) + x + 8y = 22\)

b) Cho \(a;b;c\) là các số thực dương thỏa mãn \(a + b + c = 3\). Chứng minh rằng : \(\frac{{ab}}{{\sqrt {{c^2} + 3} }} + \frac{{bc}}{{\sqrt {{a^2} + 3} }} + \frac{{ac}}{{\sqrt {{b^2} + 3} }} \le \frac{3}{2}\)

Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\). Trên cạnh \(AC\) lấy điểm \(F\), vẽ \(FE\) vuông góc với \(BC\) tại \(E\). Gọi \(\left( O \right)\) là đường tròn ngoại tiếp tam giác \(CEF\). Đường thẳng \(BF\) cắt \(\left( O \right)\) tại điểm thứ hai là \(D\), \(DE\) cắt \(AC\) tại \(H\).

a) Chứng minh rằng: \(ABEF\) là tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh: \(FH.CA = CH.FA\)

c) Đường thẳng \(AD\) cắt \(\left( O \right)\)tại điểm thứ hai \(G\), \(FG\) cắt \(CD\) tại \(I\), \(CG\) cắt \(FD\) tại \(K\). Chứng minh rằng \(K,I,H\) thẳng hàng.

Cho hình vuông \(ABCD\) và \(2025\) đường thẳng, biết mỗi đường thẳng thỏa mãn hai điều kiện:

i) Luôn cắt hai cạnh đối diện và không đi qua đỉnh nào của hình vuông.

ii) Chia hình vuông thành hai phần có tỉ số diện tích bằng \(\frac{1}{2}\).

Chứng minh rằng trong \(2025\) đường thẳng đó có ít nhất \(507\) đường thẳng cùng đi qua một điểm