Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán năm 2023-2024 Chuyên Khánh Hòa có đáp án

a)  Cho biểu thức \[M = \frac{1}{{\sqrt x  - \sqrt {x - 1} }} + \frac{1}{{\sqrt x  - \sqrt {x - 1} }} - 4 \cdot \frac{{x\sqrt x  - x}}{{1 - \sqrt x }},\] với \[x > 1.\]

Rút gọn M và tìm giá trị nhỏ nhất của M.

b) Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho \[A = \sqrt {n + 3}  + \sqrt {n + \sqrt {n + 3} } \] là số nguyên.

Cho phương trình \[{x^2} + bx - 7 + 2b = 0\,\,\left( 1 \right)\] (ẩn x), với b là tham số nguyên.

a)  Chứng minh phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt \[{x_1},\,\,{x_2}.\] Tìm b để \[x_2^2 = 9{x_1}.\]

b) Chứng minh rằng nếu b là số nguyên lẻ thì phương trình (1) không có nghiệm hữu tỉ.

a)  Chứng minh \[{p^4} - 1\] chia hết cho 240 với mọi số nguyên tố \[p > 5.\]

b) Lần cắt thứ nhất, bạn An cắt một mảnh giấy hình vuông thành 4 hình vuông nhỏ bằng nhau (hình vẽ). Lần cắt thứ hai, bạn An lấy một trong các hình vuông đó cắt thành 4 hình vuông nhỏ bằng nhau (như lần thứ nhất), và cứ làm như vậy nhiều lần. Hỏi sau bao nhiêu lần cắt thì bạn An có được 55 hình vuông?

a)  Chứng minh \[{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} \ge \sqrt 2 \left( {x + y - 2} \right)\left( {z - 1} \right),\] với mọi \[x,\,\,y,\,\,z \in \mathbb{R}.\]

b) Tìm số thực k nhỏ nhất sao cho bất đẳng thức sau luôn đúng với mọi \[x,\,\,y,\,\,z \in \mathbb{R}\]

\[k\left[ {{{\left( {x - 1} \right)}^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2} + {{\left( {z - 1} \right)}^2}} \right] \ge \left| {\left( {x + y - 2} \right)\left( {z - 1} \right).} \right|\]

Cho hai đường tròn\[\left( {O;\,\,R} \right)\]và \[\left( {O';\,\,R'} \right)\]cắt nhau tại A và B \[\left( {R > R',\,\,\widehat {OAO'} > 90^\circ } \right).\] Đường thẳng O'B cắt \[\left( {O;\,\,R} \right)\] và \[\left( {O';\,\,R'} \right)\] lần lượt tại E và P (khác B), đường thẳng OB cắt \[\left( {O';\,\,R'} \right)\] và \[\left( {O;\,\,R} \right)\] lần lượt tại F và Q (khác B). 

a) Chứng minh ba điểm A, P, Q thẳng hàng và \[PQ = 2 \cdot OO'.\]

b) Qua B dựng đường thẳng song song với EF, cắt \[\left( {O;\,\,R} \right)\] và \[\left( {O';\,\,R'} \right)\] lần lượt tại M và N. Chứng minh năm điểm O, A, O', E, F cùng thuộc một đường tròn và MABE là hình thang cân.

c) Tiếp tuyến với \[\left( {O';\,\,R'} \right)\] tại A cắt \[\left( {O;\,\,R} \right)\] tại C và tiếp tuyến với \[\left( {O;\,\,R} \right)\] tại A cắt \[\left( {O';\,\,R'} \right)\] tại D. Đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD cắt đường thẳng AB tại I (khác A). Chứng minh B là trung điểm của AI.