Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán năm 2023-2024 Chuyên Hải Dương có đáp án

1. Cho hai số \(a,\,b\) thoả mãn các điều kiện \(a.b = 1,\,\,a + b \ne 0\). Rút gọn biểu thức:

\(Q = \frac{1}{{{{\left( {a + b} \right)}^3}}}\left( {\frac{1}{{{a^3}}} + \frac{1}{{{b^3}}}} \right) + \frac{3}{{{{\left( {{a^2} + {b^2} + 2} \right)}^2}}}\left( {\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}}} \right) + \frac{6}{{{{\left( {a + b} \right)}^4}}}\)

2. Cho hai số dương \(x,\,y\) thoả mãn \(x\sqrt {{y^2} + 1}  + y\sqrt {{x^2} + 1}  = \sqrt {15} \). Tính giá trị của biểu thức:

\(P = \left( {\sqrt {{x^2} + 1}  - x} \right)\left( {\sqrt {{y^2} + 1}  - y} \right)\)

1. Giải phương trình: \(\sqrt {{x^2} + 3x}  + 2\sqrt {x - 1}  = 2x + \sqrt {\frac{{{x^2} + 2x - 3}}{x}} \)

2. Giải hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}xy + 2x + y = 2\\{x^2} + {y^2} + 2x + 4y = 3\end{array} \right.\)

1. Tìm tất cả các số nguyên tố \(p\) lẻ sao cho \(2{p^4} - {p^2} + 16\)là số chính phương.

2. Tìm nghiệm nguyên của phương trình \(6{x^2} + 7xy + 2{y^2} + x + y - 2 = 0\).

1. Cho tam giác đều \(ABC\) nội tiếp đường tròn \(\left( O \right)\), điểm \(E\) thuộc cung nhỏ  của đường tròn \(\left( O \right)\,\,\left( {E \ne A,\,E \ne B} \right)\). Đường thẳng \(AE\) cắt các tiếp tuyến tại \(B,\,C\)của đường tròn \(\left( O \right)\) lần lượt tại \(M,\,N\).

        a) Chứng minh rằng \(MB.NC = A{B^2}\).

        b) Gọi \(F\) là giao điểm của \(MC\) và \(BN\), \(H\) là trung điểm \(BC\). Chứng minh rằng ba điểm \(E,\,F,\,H\) thẳng hàng.

        2. Cho đường tròn \(\left( O \right)\) và hai điểm \(A,\,B\) cố định nằm trên đường tròn \(\left( O \right)\) sao cho \(\widehat {AOB} = {120^0}\). Điểm \(M\) thay đổi trên cung lớn  của đường tròn \(\left( O \right)\). Đường tròn nội tiếp tam giác \(MAB\) tiếp xúc với \(MA,\,MB\) lần lượt tại \(E,\,F\). Chứng minh rằng đường thẳng \[EF\] luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định.

Cho \(a,\,b,\,c\) là các số không âm và không có hai số nào đồng thời bằng \(0\). Chứng minh rằng:

\(\frac{1}{{{a^2} + {b^2}}} + \frac{1}{{{b^2} + {c^2}}} + \frac{1}{{{c^2} + {a^2}}} \ge \frac{{10}}{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}}\)