Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán năm 2023-2024 Chuyên Hà Nam có đáp án

1. Rút gọn biểu thức \(P\).
\(P = \frac{{\sqrt x  + 1 + \sqrt x }}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}:\frac{1}{{\sqrt x  - 1}}\)
\(P = \frac{{2\sqrt x  + 1}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}.\left( {\sqrt x  - 1} \right)\)
\(P = \frac{{2\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  + 1}}.\)

2. Tìm tất cả các giá trị nguyên của \(x\) để biểu thức \(P\) nhận giá trị nguyên.
\(P = 2 - \frac{1}{{\sqrt x  + 1}}.\) Biểu thức \(P\) nhận giá trị nguyên \(\frac{1}{{\sqrt x  + 1}}\) là số nguyên \( \Leftrightarrow \sqrt x  + 1\) là ước nguyên của \(1\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt x  + 1 = 1\\\sqrt x  + 1 =  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt x  = 0\,\,\\\sqrt x  =  - 2\,\,\left( {VN} \right)\end{array} \right. \Rightarrow x = 0.\) Vậy \(x = 0\)thỏa mãn.

1) Do \(\Delta ' = {\left( { - 2} \right)^2} - 1.2\sqrt 3  = 4 - 2\sqrt 3  = {\left( {\sqrt 3  - 1} \right)^2}\)

Nên phương trình có 2 nghiệm \({x_1} = 1 + \sqrt 3 ,{x_2} = 3 - \sqrt 3 .\)2) Điều kiện xác định \[x \ge 1;y \ne 0\]Đặt\[a = \sqrt {x - 1} \left( {a \ge 0} \right);\,\,b = \frac{1}{y}\,\]. Hệ trở thành\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\,\\b = 2\end{array} \right.\]\[ \Rightarrow \]\[\left\{ \begin{array}{l}x = 2\,\\y = \frac{1}{2}\end{array} \right..\]Vậy hệ có một nghiệm \(\left( {x;y} \right) = \left( {2;\frac{1}{2}} \right)\)

1) \(x = - 3 \Rightarrow y = 9\)Vậy \(M\left( { - 3;9} \right).\)

2)Ta có phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( d \right)\)và \(\left( P \right)\) là

\({x^2} = 2mx - {m^2} - m - 2 \Leftrightarrow {x^2} - 2mx + {m^2} + m + 2 = 0\,\,\left( 1 \right)\)

\(\Delta ' = {\left( { - m} \right)^2} - \left( {{m^2} + m + 2} \right) = - m - 2\)\(\left( d \right)\) cắt parabol \(\left( P \right)\) tại 2 điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình \(\left( 1 \right)\) có hai nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \Delta ' > 0 \Leftrightarrow - m - 2 > 0 \Leftrightarrow m < - 2\,\,\left( * \right)\)Ta có \({x_1} + {x_2} = 2m,\,\,\,\,\,{x_1}{x_2} = {m^2} + m + 2\)\[{x_1}{y_2} + {x_2}{y_1} = {x_1}.x_2^2 + {x_2}.x_1^2 = {x_1}.{x_2}\left( {{x_1} + {x_2}} \right)\]\( = 2m\left( {{m^2} + m + 2} \right)\)

\( = 2{m^3} + 2{m^2} + 4m\)\[2{m^3} + 2{m^2} + 4m = 2{m^3} + 6 \Leftrightarrow 2{m^2} + 4m - 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = - 3\end{array} \right.\]

Đối chiếu \(\left( * \right)\) vậy \(m = - 3\).

Gọi số tiền điện trong tháng 4 của nhà bác An là \(x\) (nghìn đồng), đkiện \(0 < x < 500\)

Gọi số tiền điện trong tháng 4 của nhà bác Bình là \(y\) (nghìn đồng), đkiện \(0 < y < 500\)

Vì trong tháng 4 cả hai gia đình dùng hết 500 nghìn tiền điện nên ta có phương trình

\(x + y = 500\) (1)

Vì sang tháng 5 nhà bác An giảm \(15\% \)và nhà bác Bình giảm \(10\% \) và cả hai nhà giảm được 65 nghìn đồng nên ta có phương trình

\(15\% x + 10\% y = 65 \Leftrightarrow 0,15x + 0,1y = 65\)(2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:\(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 500\\0,15x + 0,1y = 65\end{array} \right.\)

Giải hệ ta được \(\left\{ \begin{array}{l}x = 300\\y = 200\end{array} \right.\). Vậy trong tháng 4 nhà bác An dùng hết 300 nghìn đồng tiền điện, nhà bác Bình dùng hết 200 nghìn đồng tiền điện.

Có \(a + b + c = 1\)\( \Rightarrow c = c\left( {a + b + c} \right) \Rightarrow c + ab = c\left( {a + b + c} \right) + ab = \left( {c + a} \right)\left( {c + b} \right)\)

Áp dụng BĐT AM - GM với hai số dương \(x,\,\,y\) ta có:  .

Dấu “=” xảy ra khi \(x = y\)

\( \Rightarrow \frac{1}{{\sqrt {c + ab} }} = \frac{1}{{\sqrt {\left( {c + a} \right)\left( {c + b} \right)} }} \le \frac{{\frac{1}{{c + a}} + \frac{1}{{c + b}}}}{2}\, \Rightarrow \frac{{ab}}{{\sqrt {c + ab} }} \le \frac{{ab}}{2}\left( {\frac{1}{{c + a}} + \frac{1}{{c + b}}} \right)\,\,\left( 1 \right)\)

Tương tự:

\(\frac{{bc}}{{\sqrt {a + bc} }} \le \frac{{bc}}{2}\left( {\frac{1}{{b + c}} + \frac{1}{{b + a}}} \right)\,\,\left( 2 \right)\)         \(\frac{{ca}}{{\sqrt {b + ca} }} \le \frac{{ca}}{2}\left( {\frac{1}{{b + c}} + \frac{1}{{b + a}}} \right)\,\,\left( 3 \right)\)

Cộng (1), (2), (3) theo vế ta có:

\(P = \frac{{ab}}{{\sqrt {c + ab} }} + \frac{{bc}}{{\sqrt {a + bc} }} + \frac{{ca}}{{\sqrt {b + ca} }}\)

Từ đó giá trị lớn nhất của \(P\) là  đạt được khi và chỉ khi \(a = b = c = \frac{1}{3}\).