Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán năm 2023-2024 Chuyên Cao Bằng có đáp án

Rút gọn biểu thức sau:

\[P = \left( {\frac{{x - 108 + 23\sqrt x }}{{x - 16}} - 1} \right)\,:\,\left( {\frac{{75 - x}}{{x + \sqrt x - 12}} + \frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x + 4}}} \right)\,,\,\left( {x > 0,\,x \ne 9,\,x \ne 16} \right)\].

Trên mặt phẳng tọa độ \[Oxy\], cho parabol \[\left( P \right)\,:\,y = {x^2}\] và đường thẳng \[\left( d \right)\,:\,y =  - x + 6\] cắt

nhau tại hai điểm phân biệt \[A,\,B\]. Tính tổng độ dài \[OA\] và \[OB\] (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).

a) Giải hệ phương trình:\[\left\{ \begin{array}{l}\left| x \right| + {y^2} = 10\\2\left| x \right| - 3{y^2} = - 25\end{array} \right.\].

b) Giải phương trình: \[x + \frac{1}{x} + \sqrt {{x^2} + \frac{1}{{{x^2}}} - 4} = 3\].

a) Cho ba số thực \[a,\,b,\,c\] thỏa mãn \[abc = 2023\]. Tính giá trị của biểu thức:

\[M = \frac{{2023a}}{{ab + 2023a + 2023}} + \frac{b}{{bc + b + 2023}} + \frac{c}{{ca + c + 1}}\]

b) Cho \[n\] là số tự nhiên \[\left( {n > 1} \right)\]. Gọi \[a\] và \[b\] là hai nghiệm của phương trình \[{x^2} - 2025nx - 2024 = 0\]. Gọi \[c\] và \[d\] là hai nghiệm của phương trình \[{x^2} - 2023nx - 2024 = 0\]. Chứng minh rằng \[\left( {a - c} \right)\left( {b - c} \right)\left( {a + d} \right)\left( {b + d} \right)\] là một số chính phương.

Cho tam giác nhọn \[ABC\] nội tiếp đường tròn \[\left( O \right)\], \[AB < AC\]. Gọi \[H\] là hình chiếu vuông góc của \[A\] trên cạnh \[BC\]. Kẻ \[HM,\,HN\] lần lượt vuông góc với \[AB,\,AC\,\left( {M \in AB,\,N \in AC} \right)\].

a)     Chứng minh tứ giác \[AMHN\] nội tiếp.

b)    Gọi giao điểm của đường tròn tâm \[A\] bán kính \[AH\] với cung nhỏ \[AC\] của đường tròn \[\left( O \right)\] là điểm \[Q\]. Chứng minh ba điểm \[M,\,N,\,Q\] thẳng hàng.

c)     Khi điểm \[A\] cố định và hai điểm \[B,\,C\]di động trên đường tròn \[\left( O \right)\] sao cho tam giác \[ABC\] luôn là tam giác nhọn. Chứng minh \[MN\] song song với một đường thẳng cố định.

Với \[a,\,b,\,c\] là ba số thực dương, chứng minh rằng:

\[\frac{{{a^2}}}{{\sqrt {3{a^2} + 8{b^2} + 14ab} }} + \frac{{{b^2}}}{{\sqrt {3{b^2} + 8{c^2} + 14bc} }} + \frac{{{c^2}}}{{\sqrt {3{c^2} + 8{a^2} + 14ca} }} \ge \frac{{a + b + c}}{5}\].