Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán năm 2023-2024 Chuyên Cần Thơ có đáp án

a) Với \(x \ge 0\) và \(x \ne 4,x \ne 9\), ta có:

\(P = \frac{{2\sqrt x - 9}}{{x - 5\sqrt x  + 6}} - \frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x - 2}} - \frac{{2\sqrt x + 1}}{{3 - \sqrt x }}\)

\( = \frac{{2\sqrt x - 9}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} - \frac{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {3 - \sqrt x } \right) + \left( {2\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {3 - \sqrt x } \right)}}\)

\( = \frac{{2\sqrt x - 9}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} - \frac{{9 - x + 2x - 3\sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {3 - \sqrt x } \right)}}\)

\( = \frac{{2\sqrt x - 9 + 9 - x + 2x - 3\sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}\)

\( = \frac{{ - \sqrt x + x - 2}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}\)

\( = \frac{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 3}}\)

b)

\(P = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 3}} = \frac{{\sqrt x - 3 + 4}}{{\sqrt x - 3}} = 1 + \frac{4}{{\sqrt x - 3}}\)

Để \(P\) nhận giá trị là số nguyên thì \(\frac{4}{{\sqrt x - 3}}\) phải nhận giá trị là số nguyên\( \Rightarrow \frac{4}{{\sqrt x - 3}} \in \left\{ { - 4; - 2; - 1;1;2;4} \right\}\)

·          \(\frac{4}{{\sqrt x - 3}} = - 4 \Leftrightarrow \sqrt x - 3 = - 1 \Rightarrow x = 4\) (loại)

·          \(\frac{4}{{\sqrt x - 3}} = 1 \Leftrightarrow \sqrt x - 3 = 4 \Rightarrow x = 49\)

·          \(\frac{4}{{\sqrt x - 3}} = - 2 \Leftrightarrow \sqrt x - 3 = - 2 \Rightarrow x = 1\)

·          \(\frac{4}{{\sqrt x - 3}} = 2 \Leftrightarrow \sqrt x - 3 = 2 \Rightarrow x = 25\)

·          \(\frac{4}{{\sqrt x - 3}} = - 1 \Leftrightarrow \sqrt x - 3 = - 4 \Leftrightarrow \sqrt x = - 1\) (loại)

·          \(\frac{4}{{\sqrt x - 3}} = 4 \Leftrightarrow \sqrt x - 3 = 1 \Rightarrow x = 16\)

Vậy \(x \in 1;16;25;49\} \) thì \(P\) nhận giá trị là số nguyên

Ta có phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( P \right)\) và \(\left( d \right)\):

\({x^2} = 2mx - 4m + 5\)

\( \Rightarrow {x^2} - 2mx + 4m - 5 = 0\)

\({\rm{\Delta }} = 4{m^2} - 16m + 20 > 0\left( {\forall m} \right)\)

\( \Rightarrow \)Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_A} = \frac{{2m + \sqrt {4{m^2} - 16m + 20} }}{2} = m + \sqrt {{m^2} - 4m + 5} \Rightarrow {y_A} = {{\left( {m + \sqrt {{m^2} - 4m + 5} } \right)}^2}}\\{{x_B} = \frac{{2m - \sqrt {4{m^2} - 16m + 20} }}{2} = m - \sqrt {{m^2} - 4m + 5} \Rightarrow {y_B} = {{\left( {m - \sqrt {{m^2} - 4m + 5} } \right)}^2}}\end{array}} \right.\)

\({\rm{\Delta }}AOB\) vuông tại \(O\)

\( \Rightarrow O{A^2} + O{B^2} = A{B^2}\) (Định lý Pythagoras)

\( \Leftrightarrow x_A^2 + y_A^2 + x_B^2 + y_B^2 = {\left( {{x_A} - {x_B}} \right)^2} + {\left( {{y_A} - {y_B}} \right)^2}\)

\( \Leftrightarrow x_A^2 + y_A^2 + x_B^2 + y_B^2 = x_A^2 - 2{x_A}{x_B} + x_B^2 + y_A^2 - 2{y_A}{y_B} + y_B^2\)

\( \Leftrightarrow {x_A}{x_B} + {y_A}{y_B} = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {m + \sqrt {{m^2} - 4m + 5} } \right)\left( {m - \sqrt {{m^2} - 4m + 5} } \right) + {\left( {m + \sqrt {{m^2} - 4m + 5} } \right)^2}{\left( {m - \sqrt {{m^2} - 4m + 5} } \right)^2} = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {m + \sqrt {{m^2} - 4m + 5} } \right)\left( {m - \sqrt {{m^2} - 4m + 5} } \right) = 0}\\{\left( {m + \sqrt {{m^2} - 4m + 5} } \right)\left( {m - \sqrt {{m^2} - 4m + 5} } \right) = - 1}\end{array}} \right.\)

Giải \(\left( 1 \right)\):

\(\left( {m + \sqrt {{m^2} - 4m + 5} } \right)\left( {m - \sqrt {{m^2} - 4m + 5} } \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow {m^2} - \left( {{m^2} - 4m + 5} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow 4m - 5 = 0\)

\( \Leftrightarrow m = \frac{5}{4}\) (loại vì khi \(m = \frac{5}{4}\) thì sẽ nhận được \({x_B} = 0\) và \({y_B} = 0\), điểm \(B\) trùng với điểm \(O\) không tạo được tam giác)

Giải \(\left( 2 \right)\):

\(\left( {m + \sqrt {{m^2} - 4m + 5} } \right)\left( {m - \sqrt {{m^2} - 4m + 5} } \right) = - 1\)

\( \Leftrightarrow {m^2} - \left( {{m^2} - 4m + 5} \right) = - 1\)

\( \Leftrightarrow 4m - 5 = - 1\)

\( \Leftrightarrow m = 1{\rm{\;}}\)(nhận)

vậy \(m = 1\)

a) Điều kiện xác định: \({x^2} - x + 1 \ge 0\) (đúng \(\forall x \in \mathbb{R}\))

\(2{x^2} - \left( {x - 2} \right)\sqrt {{x^2} - x + 1} = 5x - 2\)

\( \Leftrightarrow 2{x^2} - 5x + 2 = \left( {x - 2} \right)\sqrt {{x^2} - x + 1} \)

\( \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {2x - 1} \right) = \left( {x - 2} \right)\sqrt {{x^2} - x + 1} \)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {x - 2} \right) = 0{\rm{\;}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)}\\{\sqrt {{x^2} - x + 1} = 2x - 1{\rm{\;}}\,\,\,\,\,\left( 2 \right)}\end{array}} \right.\)

\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow x = 2\)(nhận)

\(\left( 2 \right) \Leftrightarrow {x^2} - x + 1 = 4{x^2} - 4x + 1\)

\( \Leftrightarrow {x^2} - x = 4{x^2} - 4x\)

\( \Leftrightarrow x\left( {x - 1} \right) = 4x\left( {x - 1} \right)\)

\( \Leftrightarrow 3x\left( {x - 1} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{x = 1}\end{array}{\rm{\;}}} \right.\) (nhận)

Vậy \(S = \left\{ {0,1;2} \right\}\)

b)

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^3} - {y^3} - 35 = 0}\\{2{x^2} - 4x + 3{y^2} + 9y = 0}\end{array}} \right.\)

Nhân hai vế của \(\left( 2 \right)\) với \(3\) ta được:

\(3\left( {2{x^2} - 4x + 3y + 9y} \right) = 0 \Leftrightarrow 6{x^2} - 12x + 9{y^2} + 27y = 0\)

lấy \(\left( 1 \right) - \left( 3 \right)\) ta được:

\({x^3} - {y^3} - 35 - 6{x^2} + 12x - 9{y^2} - 27y = 0\)

\( \Leftrightarrow {x^3} - 6{x^2} + 12x - 8 - {y^3} - 9{y^2} - 27y - 27 = 0\)

\( \Leftrightarrow {x^3} - 3{x^{2.2}} + 3x{.2^2} - {2^3} - {y^3} - 3{y^{2.3}} - 3y{.3^2} - {3^3} = 0\)

\( \Leftrightarrow {\left( {x - 2} \right)^3} - {\left( {y + 3} \right)^3} = 0\)

\( \Leftrightarrow {\left( {x - 2} \right)^3} = {\left( {y + 3} \right)^3}\)

\( \Leftrightarrow x - 2 = y + 3\)

\( \Leftrightarrow x = y + 5\)

\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left( {x - y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right) = 25\)

Thay \(x = y + 5\) vào \(\left( 4 \right)\) ta được:

\({\left( {y + 5} \right)^2} + y\left( {y + 5} \right) + {y^2} = 7\)

\( \Leftrightarrow {y^2} + 10y + 25 + {y^2} + 5y + {y^2} = 7\)

\( \Leftrightarrow 3{y^2} + 15y + 18 = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = - 2}\\{y = - 3}\end{array}} \right.\)

·          Với \(y = - 2\), ta có \(x = 3\)

·          Với \(y = - 3\), ta có \(x = 2\)

Vậy nghiệm của hệ là \(\left( {3; - 2} \right)\) và \(\left( {2; - 3} \right)\)

a)

\({x^2} - 2{y^2} - xy + 2x + 5y - 5 = 0{\rm{\;}}\left( {x,y \in \mathbb{Z}} \right)\)

\( \Leftrightarrow {x^2} - 2xy + 3x + xy - 2{y^2} + 3y - x + 2y - 3 = 2\)

\( \Leftrightarrow x\left( {x - 2y + 3} \right) + y\left( {x - 2y + 3} \right) - \left( {x - 2y + 3} \right) = 2\)

\( \Leftrightarrow \left( {x + y - 1} \right)\left( {x - 2y + 3} \right) = 2\)

Do đó ta có bốn trường hợp:

Trường hợp \(1\): \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y - 1 = 2}\\{x - 2y + 3 = 1}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \frac{4}{3}}\\{y = \frac{5}{3}}\end{array}} \right.} \right.\) (Loại)

Trường hợp \(1\): \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y - 1 = 1}\\{x - 2y + 3 = 2}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1}\\{y = 1}\end{array}} \right.} \right.\) (Nhận)

Trường hợp \(1\): \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y - 1 = - 1}\\{x - 2y + 3 = - 2}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - \frac{5}{3}}\\{y = \frac{5}{3}}\end{array}} \right.} \right.\) (Loại)

Trường hợp \(1\): \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y - 1 = - 2}\\{x - 2y + 3 = - 1}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 2}\\{y = 1}\end{array}} \right.} \right.\) (Nhận)

Vậy cặp \(\left( {x;y} \right)\) nguyên cần tìm là: \(\left( {1;1} \right)\) và \(\left( { - 2;1} \right)\)

b) Gọi:

·          \(h\) là chiều cao bình chứa nước, \(r\) là bán kính mặt đáy

·          Hình 1: \({h_1} = 8\) là chiều cao phần không chứa nước, \({r_1}\) là bán kính đáy phần không chứa nước

·Hình \(2:{h_2}\) là chiều cao phần chứa nước, \({r_2}\) là bán kính đáy phần chứa nước (\(h,r,{h_1},{r_1},{h_2},{r_2} \in \mathbb{R}\)) và (\(h,r,{h_1},{r_1},{h_2},{r_2} > 0\))

\(\frac{{{h_1}}}{h} = \frac{{{r_1}}}{r} \Rightarrow {r_1} = \frac{{{h_1}.r}}{h} = \frac{{8r}}{h}\)

\(\frac{{{h_2}}}{h} = \frac{{{r_2}}}{r} \Rightarrow {r_2} = \frac{{{h_2}.r}}{h} = \frac{{\left( {h - 2} \right).r}}{h}\)

Thể tích phần chứa nước ở hình 2 là \({V_1} = \frac{1}{3}{\rm{\pi }}r_2^2{h_2} = \frac{1}{3}{\rm{\pi }}\frac{{{{\left( {h - 2} \right)}^2}.{r^2}}}{{{h^2}}}\)

Thế tích phần chứa nước ở hình 1 là \({V_2} = \frac{1}{3}{\rm{\pi }}{r^2}h - \frac{1}{3}{\rm{\pi }}r_1^2{h_1} = \frac{1}{3}{\rm{\pi }}{r^2}h - \frac{{512{\rm{\pi }}{r^2}}}{{3{h^2}}}\)

\({V_1} = {V_2} \Leftrightarrow {h^3} - 512 = {\left( {h - 2} \right)^3}\)

\( \Leftrightarrow {h^2} - 2h - 84 = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{h = 1 + \sqrt {85} {\rm{\;}}\left( N \right)}\\{h = 1 - \sqrt {85} {\rm{\;}}\left( L \right)}\end{array}} \right.\)

Vậy chiều cao của bình là \(1 + \sqrt {85} \)

a) Gọi \(M\) là số lớn nhất trong \(16\) số trên bảng

Ta thấy tổng \(4\) số lớn nhất trong bảng không vượt quá tổng của \(4\) số \(M,M - 1,M - 2,M - 3\)

Trong khi đó tổng của \(12\) số còn lại đạt được nhỏ nhất là tổng \(12\) số nguyên dương đầu tiên

Nên ta có \(M + \left( {M - 1} \right) + \left( {M - 2} \right) + \left( {M - 3} \right) \ge 1 + 2 + 3 + \cdots + 12 = 78\)

\( \Leftrightarrow 4M \ge 84\)

\( \Leftrightarrow M \ge 21\)

Do đó giá trị nhỏ nhất của \(M\) là \(21\)

Xây dựng mô hình:

b) Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có

\(\frac{{\sqrt {ab - 1} }}{{b + c}} \le \frac{{\sqrt {ab - 1} }}{{2\sqrt {bc} }} = \frac{1}{2}\sqrt {\frac{a}{c} - \frac{1}{{bc}}} = \frac{1}{2}\sqrt {\frac{1}{c}\left( {a - \frac{1}{b}} \right)} \)

Lại theo bất đẳng thức AM-GM, ta có:

\(\frac{1}{2}\sqrt {\frac{1}{c}\left( {a - \frac{1}{b}} \right)} \le \frac{1}{2}.\frac{{\frac{1}{c} + a - \frac{1}{b}}}{2} = \frac{1}{4}\left( {\frac{1}{c} + a - \frac{1}{b}} \right)\)

Tương tự, ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{{\sqrt {ab - 1} }}{{\frac{{\sqrt {bc - c} }}{{c + a}}}} \le \frac{1}{4}\left( {\frac{1}{c} + a - \frac{1}{b}} \right)}\\{\frac{{\sqrt {ca - 1} }}{a}\left( {\frac{1}{a} + b - \frac{1}{c}} \right)}\\{\frac{{\sqrt {c + b} }}{4}\left( {\frac{1}{b} + c - \frac{1}{a}} \right)}\end{array}} \right.\)

Cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên, ta được:

\(\frac{{\sqrt {ab - 1} }}{{b + c}} + \frac{{\sqrt {bc - 1} }}{{c + a}} + \frac{{\sqrt {ca - 1} }}{{a + b}} \le \frac{{a + b + c}}{4}{\rm{\;}}\)(đpcm)

Đẳng thức xảy ra khi \(a = b = c = \sqrt 2 \)