Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán năm 2023-2024 Chuyên Bắc Giang có đáp án

1) Rút gọn biểu thức Q=\(\left( {\frac{{\sqrt {{\rm{x}} - {\rm{y}}} }}{{\sqrt {{\rm{x}} - {\rm{y}}}  + \sqrt {{\rm{x}} - {\rm{y}}} }} + \frac{{{\rm{x}} - {\rm{y}}}}{{\sqrt {{{\rm{x}}^2} - {{\rm{y}}^2}}  - {\rm{x}} + {\rm{y}}}}} \right).\frac{{{{\rm{x}}^2} + {{\rm{y}}^2}}}{{\sqrt {{{\rm{x}}^2} - {{\rm{y}}^2}} }}\)với \({\rm{x}} > {\rm{y}} > 0\)

2)    Cho đường thẳng d có phương trình y = (3m + 1)x - 6m -1, m là tham số. Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng d là lớn nhất.

3)    Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình \({{\rm{x}}^2} - 2\left( {3{\rm{m}} - 1} \right){\rm{x}} + {{\rm{m}}^2} - {\rm{m}} - 4 = 0{\rm{\;}}\) có hai nghiệm phân biệt \({{\rm{x}}_1},{{\rm{x}}_2}\) thỏa mãn \(\left( {{{\rm{x}}_1} + {{\rm{x}}_2} + \sqrt {{{\rm{x}}_1}{{\rm{x}}_2}} } \right) + \left( {{{\rm{x}}_1} + {{\rm{x}}_2} - \sqrt {{{\rm{x}}_1}{{\rm{x}}_2}}  = 2008} \right)\)

1. Giải phương trình 4x+3−x−1=x+7.

2. Giải hệ phương trình : \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\rm{x}}^2} + x - 2xy = 2}\\{{{\rm{x}}^4} + {{\rm{x}}^2} - 4{{\rm{x}}^3}y = 4 - 4{{\rm{x}}^2}{{\rm{y}}^2}}\end{array}} \right.\)

1. tìm các bộ ba số nguyên dương (x,y,z) thỏa mãn đẳng thức dưới đây:

          \({{\rm{x}}^3} + {{\rm{y}}^3} + {{\rm{x}}^2}\left( {3{\rm{y}} + 2{\rm{z}}} \right) + {{\rm{y}}^2}\left( {3{\rm{x}} + 2{\rm{z}}} \right) + {{\rm{z}}^2}\left( {{\rm{x}} + {\rm{y}}} \right) + 4{\rm{xyz}} = 2023.\)

2. trên mặt phẳng cho 2\( \times 2024\)điểm phân biệt, trong đó không có bất kì 3 điểm nào thẳng hàng người ta tô 2024 điểm trong các điểm màu đỏ và tô 2024 điểm còn lại bằng màu xanh. Chứng minh rằng, bao giờ cũng tồn tại một cách nối tất cả các điểm màu đỏ với tất cả các điểm màu xanh bởi 2024 đoạn thẳng (mỗi đoạn thẳng có hai điểm đầu mút là một cặp điểm đỏ-xanh) sao cho hai đoạn thẳng bất kì trong đó không có điểm chung .

Cho đường tròn (O:R) và dây cung BC cố định của đường tròn thỏa mãn     BC\( < 2{\rm{R}}.{\rm{\;}}\)Một điểm A di chuyển trên (O:R) sao cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Các đường cao AD, BE, CF của tam giác ABC cắt nhau tại H. Đường phân giác của \(\widehat {{\rm{CHE}}}{\rm{\;k\'e o\;d\`a i\;}}\)về hai phía cắt AB và AC lần lượt tại M,N.

1. Chứng minh tam giác AMN cân tại A.

2. Gọi I , P, Q, J lần lượt là hình chiếu của D trên cạnh AB, BE, CF, AC. Chứng minh rằng bốn điểm I, P, Q, J cùng nằm trên một đường thẳng vuông góc với AO.

  3. Đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN cắt đường phân giác trong của \(\widehat {{\rm{BAC}}}\) tại điểm thứ hai K. chứng minh rằng HK luôn đi qua một điểm cố định.

Cho x, y, z là các số thực dương và thỏa  mãn điều kiện x + y + z = xyz. Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức P=\(\frac{1}{{\sqrt {1 + {{\rm{x}}^2}} }} + \frac{1}{{\sqrt {1 + {{\rm{y}}^2}} }} + \frac{1}{{\sqrt {1 + {{\rm{z}}^2}} }}.\)