Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán năm 2023-2024 Chuyên Bà Rịa Vũng Tàu có đáp án

a) Rút gọn biểu thức: \(P = \left( {\frac{{x - 3\sqrt x }}{{x - 2\sqrt x - 3}} - \frac{{2x}}{{x - 1}}} \right):\frac{{1 - \sqrt x }}{{x - 2\sqrt x + 1}}\) , với \(x \ge 0;x \ne 1;x \ne 9.{\rm{ }}\)

b) Giải phương trình: \({x^2} - x + 6 = 2\sqrt {{x^3} + 8} \)

c) Giải hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{y^2} - 2{x^2} - xy - y + 2x = 0}\\{\sqrt {{x^2} - y - 1} + x + y = 1}\end{array}} \right.\)

a) Tìm tất cả các cặp số nguyên \(\left( {x\,,\,y} \right)\) thỏa mãn đẳng thức:

                       \({x^3} + {x^2}y - 2xy + 2x - 2{y^2} + 2y + 1 = 0\)

b) Cho 31 điểm bất kì nằm bên trong hình vuông ABCD có độ dài cạnh bằng 12 . Chứng minh rằng tồn tại một hình tròn có bán kính bằng 1 nằm bên trong hình vuông ABCD và không chứa điểm nào trong 31 điểm đã cho.

a) Cho \(a,\,b,\,c\) là các số thực thỏa mãn điều kiện: \(\frac{{b - 4c}}{a} \ge \frac{1}{4}\). Chứng minh rằng  phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\) có ít nhất một nghiệm âm

b) Với các số thực dương \(a,\,b,\,c\)thay đổi thoả mãn \(abc = 1\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

                      \(P = \frac{{{a^2}}}{{\sqrt {\left( {1 + 8{a^3}} \right)\left( {1 + 8{b^3}} \right)} }} + \frac{{{b^2}}}{{\sqrt {\left( {1 + 8{b^3}} \right)\left( {1 + 8{c^3}} \right)} }} + \frac{{{c^2}}}{{\sqrt {\left( {1 + 8{c^3}} \right)\left( {1 + 8{a^3}} \right)} }}\)

Cho đường tròn \(\left( {O\,;\,R} \right)\)và điểm A sao cho \(OA\, > \,2R\). Từ A vẽ hai tiếp tuyến \(AB\,,\,\,\,AC\)của (O) (B, C là hai tiếp điểm). Vẽ dây cung CD của (O) song song với AB. Đường thẳng AD cắt (O) tại E khác A và cắt BC tại G. Qua G vẽ đường thẳng vuông góc với OG lần lượt cắt hai đường thẳng AB, AC tại M và N.

            a) Chứng minh tam giác \(OMN\) cân

            b) Gọi I là trung điểm của DE, OA cắt BC tại K. Chứng minh: \(I{E^2} = IA \cdot IG\)

            c) Tia BE cắt AC ở H . Chứng minh CE đi qua trung điểm của HG.

Cho đường tròn (O) bán kính 1. Ba điểm phân biệt A, B, C thay đổi nằm trên đường tròn (O) sao cho điểm O nằm bên trong tam giác ABC . Các đường thẳng OA, OB, OC lần lượt cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác \[{\rm{OBC, OCA, OAB}}\] tại M, N, P khác O. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(S = O{M^2} + O{N^2} + O{P^2}\)