Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán chuyên năm 2022-2023 sở GD&ĐT Hà Nam có đáp án

Cho biểu thức:

\[A = \left( {\frac{{\sqrt x  - 2}}{{\sqrt x  + 3}} + \frac{{\sqrt x  - 3}}{{2 - \sqrt x }} - \frac{{9 - x}}{{x + \sqrt x  - 6}}} \right):\frac{1}{{x + 2\sqrt x  - 3}}\,\,\,\,\,(x \ge 0;x \ne 1;x \ne 4).\]

1. Rút gọn biểu thức A.                        

2. Tìm tất cả các giá trị của \(x\) để \(A >  - 2\) .

1. Cho đường thẳng \(\left( d \right)\) có phương trình \(y = \left( {m - 2} \right)x + 2m - 1\) (với \(m\) là tham số) và điểm \(A\left( { - 1;2} \right)\). Tìm tất cả các giá trị của \(m\) để khoảng cách từ điểm \(A\) đến đường thẳng \(\left( d \right)\) đạt giá trị lớn nhất.

2. Giải hệ phương trình:  \[\left\{ \begin{array}{l}\left( {x - y - 1} \right).\left( {{x^2} + {y^2} + 1} \right) = {x^2} + {y^2} - x + y + 3\\\sqrt {x + 6}  + \sqrt {y + 3}  =  - {x^2} + 2x + 8\end{array} \right.\,\].

Cho tam giác \(ABC\) \(\left( {AB < AC} \right)\) có các góc nhọn nội tiếp đường tròn \(\left( {O;R} \right)\). Các đường cao \(AK,\,BE,\,CF\) của tam giác \(ABC\) cắt nhau tại \(H\) và cắt đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) tại các điểm lần lượt là \(M,\,N,\,P\) (\(M\) khác \(A\), \(N\) khác \(B\), \(P\) khác \(C\)).

1. Chứng minh \[EF\,{\rm{//}}\,PN.\] \(\)

2. Chứng minh diện tích tứ giác \(AEOF\) bằng \(\frac{{EF.R}}{2}.\)

3. Tính giá trị của biểu thức  \[\frac{{AM}}{{AK}} + \frac{{BN}}{{BE}} + \frac{{CP}}{{CF}}.\]

4. Gọi \(S\) và \(Q\) là chân đường vuông góc kẻ từ điểm \(K\) đến các cạnh \(AB,\,AC\). Đường thẳng \(QS\) cắt \(BC\) tại \(G\), đường thẳng \(GA\) cắt đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) tại điểm \(J\)

(\(J\) khác \(A\)). Gọi \(I\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác \(BCQS\). Chứng minh ba điểm \(I,\,K,\,J\) thẳng hàng.

Tìm tất cả các cặp số nguyên \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn:

\({x^4} - 6{x^3} + 18{x^2} - {y^2} - 32x + 4y + 20 = 0.\)

Cho ba số thực dương \(a,\,b,\,c\) thỏa mãn \({a^2} + {b^2} + {c^2} + ab - 2bc - 2ca = 0\).

Chứng minh: \[\frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{{a^2} + {b^2}}} + \frac{{{c^2}}}{{{{(a + b - c)}^2}}} + \frac{{\sqrt {ab} }}{{a + b}} \ge 3\].