Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán chuyên năm 2021-2022 sở GD&ĐT Trà vinh có đáp án
9 câu hỏi
Cho hai biểu thức: \(A = \frac{{2 + \sqrt x }}{{\sqrt x }}\) và \(B = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x }} + \frac{{2\sqrt x + 1}}{{x + \sqrt x }}\) (với \(x > 0)\).
1. Tính giá trị của \(A\) khi \(x = 64.\)
2. Rút gọn biểu thức \(B.\)
3. Tìm x để \(\frac{A}{B} > \frac{3}{2}.\)
\(1.\,A = \frac{{2 + \sqrt x }}{{\sqrt x }} = \frac{{2 + \sqrt {64} }}{{\sqrt {64} }} = \frac{5}{4}\)
\(2.\,B = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x }} + \frac{{2\sqrt x + 1}}{{x + \sqrt x }} = \frac{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)}} + \frac{{2\sqrt x + 1}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)}}\)
\( = \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x + 1}}\)
\(3.\,\,\frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x }}:\frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x + 1}} > \frac{3}{2} \Leftrightarrow \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x }} > \frac{3}{2}\)
\( \Leftrightarrow 0 < x < 4\)
Trong kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 trung học phổ thông chuyên, tổng số học sinh trúng tuyển của hai trường A và B là 22 em, chiếm tỉ lệ 40% trên tổng số học sinh dự thi của hai trường trên. Nếu tính riêng từng trường thì trường A có 50% học sinh dự thi trúng tuyển và trường B có 28% học sinh dự thi trúng tuyển. Hỏi mỗi trường có bao nhiêu học sinh dự thi?
Gọi số học sinh dự thi của hai trường A, B lần lượt là \(x,\,y\) (học sinh) \(\left( {x,y \in {\mathbb{N}^*}} \right)\)
Số học sinh trúng tuyển chiếm 40% nên ta có
\(\left( {x + y} \right)40\% = 22 \Leftrightarrow x + y = 55\)
Trường A có số học sinh trúng tuyển là \(50\% x = \frac{1}{2}x\)
Trường B có số học sinh trúng tuyển là \(28\% y = \frac{7}{{25}}y\)
Cả hai trường có 22 học sinh trúng tuyển
\(\frac{1}{2}x + \frac{7}{{25}}y = 22 \Leftrightarrow 25x + 14y = 1100\)
Hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 55\\25x + 14y = 1100\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 30\\y = 25\end{array} \right.\)
Cho hai biểu thức: \(A = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}}\) và \(B = \frac{{x - 4}}{{x\sqrt x - 8}} + \frac{{x + \sqrt x + 2}}{{{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2} + 3}}\)
(với \(x \ge 0,x \ne 4\)).
1. Tính giá trị của A khi \(x = 9\).
2. Rút gọn \(B\).
3. Tìm điều kiện của \(x\) để \(A \le B.\)
\(1.\,A = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}} = \frac{{\sqrt 9 }}{{\sqrt 9 - 2}} = 3\)
\(2.\,\,B = \frac{{x - 4}}{{x\sqrt x - 8}} + \frac{{x + \sqrt x + 2}}{{{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2} + 3}}\)
\( = \frac{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {x + 2\sqrt x + 4} \right)}} + \frac{{x + \sqrt x + 2}}{{x + 2\sqrt x + 1 + 3}}\) \( = \frac{{\sqrt x + 2}}{{x + 2\sqrt x + 4}} + \frac{{x + \sqrt x + 2}}{{x + 2\sqrt x + 4}}\)
\( = \frac{{x + 2\sqrt x + 4}}{{x + 2\sqrt x + 4}} = 1\)
\(3.\,\,A \le B\) \( \Leftrightarrow \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}} \le 1\)
\( \Leftrightarrow \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}} - 1 \le 0\)
\( \Leftrightarrow \frac{2}{{\sqrt x - 2}} \le 0\)
\( \Leftrightarrow \sqrt x - 2 < 0\) \( \Leftrightarrow x < 4\)
\(0 \le x < 4\)
Đầu năm học, trường A mua 245 quyển sách tham khảo gồm hai môn Toán và Ngữ văn. Cuối năm học, nhà trường đã dùng \(\frac{1}{2}\) số sách Toán và \(\frac{2}{3}\) số sách Ngữ văn để khen thưởng cho học sinh giỏi. Biết rằng mỗi học sinh giỏi nhận được một quyển sách Toán và một quyển sách Ngữ văn. Hỏi đầu năm học trường A mua mỗi loại bao nhiêu quyển sách?
Gọi x, y (quyển) lần lượt là số sách Toán và Ngữ văn
(x, y > 0)
Theo đề bài: \(x + y = 245\)
Số sách Toán đã khen thưởng:\(\frac{1}{2}x\)(quyển)
Số sách Ngữ văn đã khen thưởng:\(\frac{2}{3}y\)(quyển)
Mỗi bạn học sinh giỏi nhận được một quyển sách Toán và một quyển sách Ngữ văn nên số sách Toán và Ngữ văn đã khen thưởng bằng nhau: \(\frac{1}{2}x = \frac{2}{3}y \Leftrightarrow \frac{1}{2}x - \frac{2}{3}y = 0\)
Hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 245\\\frac{1}{2}x - \frac{2}{3}y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 140\\y = 105\end{array} \right.\)
Đầu năm nhà trường mua 140 quyển sách Toán và 105 quyển sách Ngữ văn.
1. Giải hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}\left| {x + 2} \right| + 4\sqrt {y - 1} = 5\\3\left| {x + 2} \right| - 2\sqrt {y - 1} = 1\end{array} \right.\).
2. Giải phương trình: \({x^2} + \left( {3 - \sqrt {{x^2} + 2} } \right)x = 1 + 2\sqrt {{x^2} + 2} \) .
\(1.\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}\left| {x + 2} \right| + 4\sqrt {y - 1} = 5\\3\left| {x + 2} \right| - 2\sqrt {y - 1} = 1\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {y \ge 1} \right)\)
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| {x + 2} \right| + 4\sqrt {y - 1} = 5\\6\left| {x + 2} \right| - 4\sqrt {y - 1} = 2\end{array} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| {x + 2} \right| + 4\sqrt {y - 1} = 5\\7\left| {x + 2} \right| = 7\end{array} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt {y - 1} = 1\\\left| {x + 2} \right| = 1\end{array} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y - 1 = 1\\x + 2 = \pm 1\end{array} \right.\]
Nghiệm: (– 1; 2), (– 3; 2).
\(\begin{array}{l}2.\,\,{x^2} + \left( {3 - \sqrt {{x^2} + 2} } \right)x = 1 + 2\sqrt {{x^2} + 2} \\ \Leftrightarrow {x^2} + 3x - 1 = \left( {x + 2} \right)\sqrt {{x^2} + 2} \\ \Leftrightarrow {x^2} + 2 - \left( {x + 2} \right)\sqrt {{x^2} + 2} + 3\left( {x - 1} \right) = 0\end{array}\)
Đặt \(t = \sqrt {{x^2} + 2} \Rightarrow t \ge \sqrt 2 \)
Phương trình trở thành
\({t^2} - \left( {x + 2} \right)t + 3\left( {x - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 3\\t = x - 1\end{array} \right.\)
Suy ra \(\left[ \begin{array}{l}\sqrt {{x^2} + 2} = 3\\\sqrt {{x^2} + 2} = x - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} = 7 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt 7 \\\left\{ \begin{array}{l}x - 1 \ge 0\\2x = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow x = \frac{{ - 1}}{2}\,\,\left( {loai} \right)\end{array} \right.\)
Phương trình có nghiệm \(x = \pm \sqrt 7 \).
Cho parabol \(\left( P \right):\,\,y = {x^2}\) và đường thẳng \(\left( d \right):\,\,y = 2\left( {m - 1} \right)x - 2m + 5\) (\(m\) là tham số). Tìm giá trị của \(m\) để đường thẳng \(\left( d \right)\) cắt parabol \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt có hoành độ tương ứng là \({x_1},\,\,{x_2}\) dương và \(\left| {\sqrt {{x_1}} - \sqrt {{x_2}} } \right| = 2.\)
Phương trình hoành độ giao điểm \({x^2} = 2\left( {m - 1} \right)x - 2m + 5\)
\( \Leftrightarrow {x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + 2m - 5 = 0\)
Để đường thẳng \(\left( d \right)\) cắt parabol \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt có hoành độ tương ứng là \({x_1},\,\,{x_2}\) dương thì
\(\left\{ \begin{array}{l}\Delta ' > 0\\S > 0\\P > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {m - 2} \right)^2} + 2 > 0\\2\left( {m - 1} \right) > 0\\2m - 5 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m > \frac{5}{2}\)
Theo định lí Viét \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m - 2\\{x_1}{x_2} = 2m - 5\end{array} \right.\)
\(\left| {\sqrt {{x_1}} - \sqrt {{x_2}} } \right| = 2 \Leftrightarrow {\left( {\sqrt {{x_1}} - \sqrt {{x_2}} } \right)^2} = 4\)
\( \Leftrightarrow {x_1} + {x_2} - 2\sqrt {{x_1}{x_2}} = 4\)
\( \Leftrightarrow 2m - 2 - 2\sqrt {2m - 5} = 4\)
\( \Leftrightarrow \sqrt {2m - 5} = m - 3\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ge 3\\{\left( {m - 3} \right)^2} = 2m - 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ge 3\\\left[ \begin{array}{l}m = 4 + \sqrt 2 \\m = 4 - \sqrt 2 \end{array} \right.\end{array} \right.\)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(P = {x^2} + 2{y^2} + 2xy - 2x + 2021.\)
\[\begin{array}{l}2P = 2{x^2} + 4{y^2} + 4xy - 4x + 4042\\ = {\left( {x + 2y} \right)^2} + {\left( {x - 2} \right)^2} + 4038 \ge 4038\\P \ge 2019\end{array}\]
Dấu “=” xảy ra khi\[\left\{ \begin{array}{l}x + 2y = 0\\x - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = - 1\\x = 2\end{array} \right.\]
Cho điểm M thuộc nửa đường tròn (O) đường kính \(AB = 2R\)(M khác A và B). Kẻ các tiếp tuyến Ax, By với nửa đường tròn (Ax và By cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn). Tiếp tuyến tại M của (O) cắt Ax, By lần lượt tại E và F, AF cắt BE tại K.
1. Chứng minh: \(AE.BF = {R^2}.\)
2. Kéo dài MK cắt AB tại H. Chứng minh K là trung điểm của MH.
Ta có \(OE \bot {\rm{OF}}\)
\(O{M^2} = ME.MF\)
\(ME.MF = {R^2}\)
\( \Rightarrow AE.BF = {R^2}\)
\(Ax//By \Rightarrow \frac{{AE}}{{BF}} = \frac{{EK}}{{KB}}\,\,\,\,\)(hệ quả định lí Talet)
Do \(AE = EM;\,\,BF = MF\) (T/c tiếp tuyến)
\( \Rightarrow \frac{{EM}}{{MF}} = \frac{{EK}}{{KB}}\,\, \Rightarrow MH//{\rm{Ax//By}}\)(Talet đảo)
Do đó \(\frac{{KH}}{{AE}} = \frac{{KB}}{{BE}}\,\, = \frac{{KF}}{{FA}} = \frac{{MK}}{{AE}}\) (Talet)
Suy ra \(KH = MK\)
Cho hình chữ nhật ABCD, kẻ CM vuông góc với BD \(\left( {M \in BD} \right).\) Gọi I, J lần lượt là trung điểm của MB và AD. Chứng minh IJ và IC vuông góc với nhau.
Gọi K là trung điểm của BC
Tứ giác CDJK nội tiếp đường tròn đường kính KD (1)
Do IK// MC, \(MC \bot BD\) \( \Rightarrow IK \bot BD\)
Nên \(\widehat {KID} = 90^\circ \)
Do đó CDIK nội tiếp đường tròn đường kính KD (2)
Từ (1) và (2) suy ra 5 điểm C, D, J, I, K nằm trên đường tròn đường kính KD.
\( \Rightarrow \widehat {CIJ} = 90^\circ \)
Hay \(IJ \bot CI\).
