Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán chuyên năm 2021-2022 sở GD&ĐT Trà vinh có đáp án

\(1.\,A = \frac{{2 + \sqrt x }}{{\sqrt x }} = \frac{{2 + \sqrt {64} }}{{\sqrt {64} }} = \frac{5}{4}\)

\(2.\,B = \frac{{\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x }} + \frac{{2\sqrt x  + 1}}{{x + \sqrt x }} = \frac{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 1} \right)}} + \frac{{2\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 1} \right)}}\)

\( = \frac{{\sqrt x  + 2}}{{\sqrt x  + 1}}\)

\(3.\,\,\frac{{\sqrt x  + 2}}{{\sqrt x }}:\frac{{\sqrt x  + 2}}{{\sqrt x  + 1}} > \frac{3}{2} \Leftrightarrow \frac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x }} > \frac{3}{2}\)

\( \Leftrightarrow 0 < x < 4\)

Gọi số học sinh dự thi của hai trường A, B lần lượt là \(x,\,y\) (học sinh) \(\left( {x,y \in {\mathbb{N}^*}} \right)\)

Số học sinh trúng tuyển chiếm 40% nên ta có

 \(\left( {x + y} \right)40\%  = 22 \Leftrightarrow x + y = 55\)

Trường A có số học sinh trúng tuyển là \(50\% x = \frac{1}{2}x\)

Trường B có số học sinh trúng tuyển là \(28\% y = \frac{7}{{25}}y\)

Cả hai trường có 22 học sinh trúng tuyển

 \(\frac{1}{2}x + \frac{7}{{25}}y = 22 \Leftrightarrow 25x + 14y = 1100\)

Hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 55\\25x + 14y = 1100\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 30\\y = 25\end{array} \right.\)

\(1.\,A = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 2}} = \frac{{\sqrt 9 }}{{\sqrt 9  - 2}} = 3\)

 \(2.\,\,B = \frac{{x - 4}}{{x\sqrt x  - 8}} + \frac{{x + \sqrt x  + 2}}{{{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)}^2} + 3}}\)

\( = \frac{{\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {x + 2\sqrt x  + 4} \right)}} + \frac{{x + \sqrt x  + 2}}{{x + 2\sqrt x  + 1 + 3}}\)  \( = \frac{{\sqrt x  + 2}}{{x + 2\sqrt x  + 4}} + \frac{{x + \sqrt x  + 2}}{{x + 2\sqrt x  + 4}}\)

\( = \frac{{x + 2\sqrt x  + 4}}{{x + 2\sqrt x  + 4}} = 1\)

 \(3.\,\,A \le B\)  \( \Leftrightarrow \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 2}} \le 1\)

  \( \Leftrightarrow \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 2}} - 1 \le 0\)

 \( \Leftrightarrow \frac{2}{{\sqrt x  - 2}} \le 0\)

 \( \Leftrightarrow \sqrt x  - 2 < 0\) \( \Leftrightarrow x < 4\)

     \(0 \le x < 4\)

Gọi x, y (quyển) lần lượt là số sách Toán và Ngữ văn

 (x, y > 0)

 Theo đề bài: \(x + y = 245\)

Số sách Toán đã khen thưởng:\(\frac{1}{2}x\)(quyển)

Số sách Ngữ văn đã khen thưởng:\(\frac{2}{3}y\)(quyển)

Mỗi bạn học sinh giỏi nhận được một quyển sách Toán và một quyển sách Ngữ văn nên số sách Toán và Ngữ văn đã khen thưởng bằng nhau: \(\frac{1}{2}x = \frac{2}{3}y \Leftrightarrow \frac{1}{2}x - \frac{2}{3}y = 0\)

Hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 245\\\frac{1}{2}x - \frac{2}{3}y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 140\\y = 105\end{array} \right.\)

Đầu năm nhà trường mua 140 quyển sách Toán và 105 quyển sách Ngữ văn.

\(1.\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}\left| {x + 2} \right| + 4\sqrt {y - 1}  = 5\\3\left| {x + 2} \right| - 2\sqrt {y - 1}  = 1\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {y \ge 1} \right)\)

 \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| {x + 2} \right| + 4\sqrt {y - 1}  = 5\\6\left| {x + 2} \right| - 4\sqrt {y - 1}  = 2\end{array} \right.\]  

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| {x + 2} \right| + 4\sqrt {y - 1}  = 5\\7\left| {x + 2} \right| = 7\end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt {y - 1}  = 1\\\left| {x + 2} \right| = 1\end{array} \right.\]

 \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y - 1 = 1\\x + 2 =  \pm 1\end{array} \right.\]

 Nghiệm: (– 1; 2), (– 3; 2).

Phương trình hoành độ giao điểm \({x^2} = 2\left( {m - 1} \right)x - 2m + 5\)

\( \Leftrightarrow {x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + 2m - 5 = 0\)

Để đường thẳng \(\left( d \right)\) cắt parabol \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt có hoành độ tương ứng là \({x_1},\,\,{x_2}\) dương thì

\(\left\{ \begin{array}{l}\Delta ' > 0\\S > 0\\P > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {m - 2} \right)^2} + 2 > 0\\2\left( {m - 1} \right) > 0\\2m - 5 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m > \frac{5}{2}\)

Theo định lí Viét \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m - 2\\{x_1}{x_2} = 2m - 5\end{array} \right.\)

\(\left| {\sqrt {{x_1}}  - \sqrt {{x_2}} } \right| = 2 \Leftrightarrow {\left( {\sqrt {{x_1}}  - \sqrt {{x_2}} } \right)^2} = 4\)

\( \Leftrightarrow {x_1} + {x_2} - 2\sqrt {{x_1}{x_2}}  = 4\)

\( \Leftrightarrow 2m - 2 - 2\sqrt {2m - 5}  = 4\)

\( \Leftrightarrow \sqrt {2m - 5}  = m - 3\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ge 3\\{\left( {m - 3} \right)^2} = 2m - 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ge 3\\\left[ \begin{array}{l}m = 4 + \sqrt 2 \\m = 4 - \sqrt 2 \end{array} \right.\end{array} \right.\)

\[\begin{array}{l}2P = 2{x^2} + 4{y^2} + 4xy - 4x + 4042\\ = {\left( {x + 2y} \right)^2} + {\left( {x - 2} \right)^2} + 4038 \ge 4038\\P \ge 2019\end{array}\]

Dấu “=” xảy ra khi\[\left\{ \begin{array}{l}x + 2y = 0\\x - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y =  - 1\\x = 2\end{array} \right.\]