Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán chuyên năm 2021-2022 sở GD&ĐT Lâm Đồng có đáp án

Tính giá trị biểu thức: \(A = \sqrt {4 - \sqrt {10 - 2\sqrt 5 } } - \sqrt {4 + \sqrt {10 - 2\sqrt 5 } } .\)

Cho \[B = 2 + {2^2} + {2^3} + {2^4} + ... + {2^{2021}} + {2^{2022}}\]. Chứng minh rằng \[B + 2\] không phải là số chính phương.

Cho tam giác\(ABC,\) đường cao \(AH{\rm{ }}\left( {H \in BC} \right).\)Biết\({\rm{ }}BC - AB = 2cm,\)\(AC = 10cm\) và \(\widehat {CAH} = 30^\circ \). Tính diện tích tam giác \(ABC.\)

Cho \[a,b,c\] là các số nguyên thỏa mãn \[a + b + 20c = {c^3}\].

Chứng minh rằng \[{a^3} + {b^3} + {c^3}\] chia hết cho \(6.\)

Trường THCS \(X\)có 60 giáo viên. Tuổi trung bình của tất cả thầy giáo và cô giáo là 42 tuổi. Biết rằng tuổi trung bình của các thầy giáo là \(50,\) tuổi trung bình của các cô giáo là \(38.\) Hỏi trường THCS X  có bao nhiêu thầy giáo, bao nhiêu cô giáo?

Giải hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {2x - y - 3}  + {x^2} - 9 = 0{\rm{ }}\left( 1 \right)\\{y^2} - 2xy + 9 = 0.{\rm{            }}\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Cho phương trình:\({x^2} + \left( {m - 1} \right)x - {m^2} - 2 = 0\)(*) (\(x\)là ẩn, \(m\)là tham số). Tìm giá trị của \(m\) để phương trình có hai nghiệm  trái dấu thỏa mãn \(2\left| {{x_1}} \right| - \left| {{x_2}} \right| = 4\) (biết \({x_1} < {x_2}\)).

Cho hình vuông \(ABCD\). Vẽ đường tròn tâm \(O\) đường kính \(BC\)và đường tròn\(\left( {A;AB} \right)\)chúng cắt nhau tại một điểm thứ hai là \(E\)( E khác B). Tia \(CE\)cắt \(AD\) tại điểm \(F.\) Chứng minh rằng \(F\)là trung điểm của\(AD\).

Cho \[a,\,\,b,\,\,c\] là các số dương và \[a + b + c = 6.\] Tìm giá trị nhỏ nhất biểu thức: \[P = \frac{{{a^3}}}{{{a^2} + 4ab + {b^2}}} + \frac{{{b^3}}}{{{b^2} + 4bc + {c^2}}} + \frac{{{c^3}}}{{{c^2} + 4ca + {a^2}}}.\]

Cho hình bình hành \(ABCD\) có \(\widehat {{\rm{BAD}}} > 90^\circ \).Gọi \(H\)là chân đường vuông góc kẻ từ \(A\) đến \(BC\). Đường trung tuyến kẻ từ \(C\) của tam giác \(ABC\)cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\)tại \(K\).Chứng minh rằng bốn điểm \(K,{\rm{ }}H,{\rm{ }}D,{\rm{ }}C\)cùng thuộc một đường tròn.