Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán chuyên năm 2021-2022 sở GD&ĐT Kiên Giang có đáp án

a) Rút gọn biểu thức

Ta có:

 \(\begin{array}{l}A = \frac{{x(\sqrt x - 2) + 2(\sqrt x - 1) + (2x - x\sqrt x - 2)}}{{(\sqrt x - 1)(\sqrt x - 2)}}\\ = \frac{{x\sqrt x - 2x + 2\sqrt x - 2 + 2x - x\sqrt x - 2}}{{(\sqrt x - 1)(\sqrt x - 2)}}\\ = \frac{{2\sqrt x - 4}}{{(\sqrt x - 1)(\sqrt x - 2)}} = \frac{{2(\sqrt x - 2)}}{{(\sqrt x - 1)(\sqrt x - 2)}} = \frac{2}{{\sqrt x - 1}}\end{array}\)

b) 

Ta có \(x = 3 + 2\sqrt 2 = {(\sqrt 2 + 1)^2}\)

Do đó: \(A = \frac{2}{{\sqrt {{{(\sqrt 2 + 1)}^2}} - 1}} = \frac{2}{{\sqrt 2 + 1 - 1}} = \sqrt 2 \).

Theo định lí Vi-ét (thuận và đảo), \(a,b\) là các số thực thỏa mãn yêu cầu đề bài khi và chỉ khi :

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a \ne - 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)}\\{\frac{a}{3} + \frac{1}{{a + 2}} = - a\,\,(2)}\\{\frac{a}{3} \cdot \frac{1}{{a + 2}} = b\,\,\,\,\,\,\,\,(3)}\end{array}} \right.\]

Với \(a\) thỏa mãn (1) ta có \({\rm{ (2) }} \Leftrightarrow 4{a^2} + 8a + 3 = 0 \Leftrightarrow a = - \frac{1}{2},a = - \frac{3}{2}\)

Thay \(a = \frac{{ - 1}}{2}\) vào (3) ta được \(b = \frac{{ - 1}}{9}\)

Thay \(a = \frac{{ - 3}}{2}\) vào (3) ta được \(b = - 1\).

Vậy có tất cả hai cặp số thực \(a,b\) thỏa mãn yêu cầu là \(\left( {\frac{{ - 1}}{2};\frac{{ - 1}}{9}} \right),\left( {\frac{{ - 3}}{2}; - 1} \right)\).

Điều kiện: \(x \ge  - 1\) và \(y \le 16\). (1)

Với điều kiện đó, ta có:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^3} - 2y + x - 2{x^2}y = 0}\\{\sqrt {x + 1}  - \sqrt {16 - y}  = 3}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{(x - 2y)\left( {{x^2} + 1} \right) = 0}\\{\sqrt {x + 1}  - \sqrt {16 - y}  = 3}\end{array}} \right.} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2y}\\{\sqrt {2y + 1}  - \sqrt {16 - y}  = 3.}\end{array}} \right.\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}{\rm{ (3) }} \Leftrightarrow (\sqrt {2y + 1}  - 5) - (\sqrt {16 - y}  - 2) = 0\\ \Leftrightarrow \frac{{2(y - 12)}}{{\sqrt {2y + 1}  + 5}} + \frac{{y - 12}}{{\sqrt {16 - y}  + 2}} = 0\\ \Leftrightarrow (y - 12)\left( {\frac{2}{{\sqrt {2y + 1}  + 5}} + \frac{1}{{\sqrt {16 - y}  + 2}}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow y = 12.\end{array}\)

Thay \(y = 12\) vào (2), ta được \(x = 24\).

Cặp số \(\left( {x,y} \right) = \left( {24,12} \right)\) thỏa mãn (1). Vì thế, cặp số đó là nghiệm duy nhất của hệ phương trình đã cho.

Xét hai tam giác vuông \(ABM\) và \(ADN\), ta có:

\(AB = AD\),\(\widehat {BAM} = \widehat {DAN}\) (hai góc nhọn có cạnh tương ứng vuông góc)

Do đó tam giác \(\Delta ABM = \Delta ADN\) (cạnh góc vuông – góc nhọn). Suy ra, \(DN = BM\) (1).

Qua \(M\) kẻ đường thẳng song song \(ID\) cắt \(NC\) tại \[E\].

Xét tam giác \(MNE\):

Do \(I\) là trung điểm của \(MN\) và \(ID\,{\rm{//}}\,ME\), nên \(D\) là trung điểm của \(NE\). Vì thế \(DE = DN = BM\) (theo (1)). Suy ra, \(MC = CE\) (2)

Do \(I,D\) tương ứng là trung điểm của \(MN,\,NE\), nên \(ID\) là đường trung bình của tam giác. Do đó, \(DI = \frac{1}{2}EM\).

Xét tam giác vuông (tại C) MCE, theo định lí Pitago, ta có:

\(EM = \sqrt {M{C^2} + C{E^2}} = \sqrt {2M{C^2}} \)(do (2))

\( = \sqrt 2 MC = \sqrt 2 \left( {BC - BM} \right) = \sqrt 2 \left( {8 - 5} \right) = 3\sqrt 2 \).

Vì thế \(DI = \frac{{3\sqrt 2 }}{2}\).

a)Với giả thuyết \(\widehat {{O_1}A{O_2}}\) là góc tù, ta có thế hình như ở trên.

Xét \(\left( {{O_1}} \right)\), ta có:

\(\widehat {AKM} = \widehat {MAB}\) (góc nọi tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và một dây, cùng chắn cung AM không chứa D). (1)

Xét \(\left( {{O_2}} \right)\), ta có:

\(\widehat {MLB} = \widehat {MAB}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung MB không chứa A). (2)

Từ (1) và (2), suy ra, \(\widehat {AKM} = \widehat {MLB}\).

Do đó, \(AK\,{\rm{//}}\,LB\) (vì có hai góc ở vị trí so le trong bằng nhau).

b)Xét \(\left( {{O_1}} \right)\) ta có:

\(\widehat {MDA} = \widehat {MAB}\) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và một dây, cùng chắn cung AM không chứa D). (3)

Xét \(\left( {{O_2}} \right)\) ta có

\(\widehat {MAD} = \widehat {MBA}\) (góc tạo bởi tiếp tuyến và một dây, góc nội tiếp, cùng chắn cung AM không chứa B) (4)

Từ (3) và (4), suy ra, .

Do đó, \(\frac{{MA}}{{MD}} = \frac{{MB}}{{MA}}\); mà \(MC = MA\)(gt), nên \(\frac{{MC}}{{MD}} = \frac{{MB}}{{MC}}\). (5)

Do trong một tam giác, mỗi góc ngoài bằng tổng hai góc trong không kề với nó, nên cộng (3) và (4), vế theo vế, ta được:

\(\widehat {DMC} = \widehat {CMB}\) (6)

Từ (5) và (6), suy ra, .

Do đó, \(\widehat {DCM} = \widehat {CBM}\).

Vì thế, ta có:

\(\begin{array}{l}\widehat {DCB} = \widehat {DCM} + \widehat {MCB} = \widehat {CBM} + \widehat {MCB}\\ = 180^\circ  - \widehat {BMC} = 180^\circ  - (\widehat {BAM} + \widehat {MBA})\\ = 180^\circ  - (\widehat {BAM} + \widehat {MAD})\quad ({\rm{do}}(4))\\ = 180^\circ  - \widehat {BAD}\end{array}\)

Suy ra, \(\widehat {BAD} + \widehat {DCB} = 180^\circ \). Do đó, \(ABCD\) là tứ giác nội tiếp.

a)Vì \(m,\,p\) là các số nguyên tố nên \(mp \ge 4\). Do đó, \(r \ge 5\). Mà \(r\) là nguyên tố nên r là số lẻ.

Vì thế, \(mp = r - 1\) là một số chẵn. Suy ra, trong hai số \(m,\,p\), có ít nhất một số bằng 2.

- Nếu \(m = 2\) thì \(r = 2p + 1\). Do đó:

\({p^2} + r = {p^2} + 2p + 1 = {\left( {p + 1} \right)^2}\),

Là một số chính phương.

- Nếu \(p = 2\) thì \(r = 2m + 1\). Do đó

\({m^2} + r = {m^2} + 2m + 1 = {\left( {m + 1} \right)^2}\) là một số chính phương

b)Giả sử q là số nguyên tố thỏa mãn yêu cầu đề bài. Khi đó, sẽ tồn tại các số nguyên dương

\[n,\,k\] sao cho \({n^2} + 22q = {11^k}\). (1)

Do \({n^2} + 22q > 11\) nên \({11^k} > 11\); suy ra \(k \ge 2\). Vì thế, từ (1), ta có:

\(\left( {{n^2} + 22q} \right) \vdots {11^2}\). (2)

Do \(22q \vdots 11\) nên từ (1) suy ra, \({n^2} \vdots 11\); mà 11 là số nguyên tố, nên \({n^2} \vdots {11^2}\). (3)

Từ (2) và (3) suy ra, \(22q \vdots {11^2}\). Do đó,  \[q \vdots 11\]; mà \[q\] là số nguyên tố nên \(q = 11\).

Ngược lại, với \(q = 11\), ta có: \({33^2} + 22.11 = {11^2}.\left( {9 + 2} \right) = {11^3}\).

Vậy có duy nhất số q thỏa yêu cầu của đề bài là \(q = 11\).

Câu trả lời là "có". Lần lượt, từ trái qua phải, đánh số thứ tự các căn phòng bởi 1,2,3,4. Với mỗi \(k = 1,2,3,4\), gọi căn phòng được đánh số \(k\) là "phòng \(k\)". Trong phần trình bày dưới đây, thứ tự của các ngày được tính từ ngày đầu tiên mèo vào dãy phòng để lùng bắt chuột. Xét lịch trình lùng bắt chuột như sau của mèo:

- Tối ngày 1: Vào phòng 2;

- Tối ngày 2: Vào phòng 3;

- Tối ngày 3: Vào phòng 3;

- Tối ngày 4: Vào phòng 2.

Khi đó, nếu ngày 1, chuột trốn ở phòng 2 hoặc phòng 4, thì mèo sẽ bắt được chuột vào tối ngày 1, hoặc vào tối ngày 2 (bắt được vào tối ngày 1 nếu ngày 1 chuột trốn ở phòng  , và bắt được vào tối ngày 2 nếu ngày 1 chuột trốn ở phòng 4).

Nếu ngày 1, chuột trốn ở phòng 1 hoặc phòng 3, thì nó s thoát được mèo trong hai tối đầu tiên. Tuy nhiên, do sang ngày 3, theo cách trốn của mình, chuột sẽ lại trốn ở phòng 1 hoặc phòng 3 , nên nó sẽ bị mèo bắt vào tối ngày 3 , hoặc vào tối ngày 4 (bị bắt vào tối ngày 3 , nếu ngày 3 nó trốn ở phòng 3; và bị bắt vào tối ngày 4, nếu ngày 3 nó trốn ở phòng 1 ). Vậy, với lịch trình lùng bắt nêu trên, mèo sẽ bắt được chuột, sau tối đa bốn tối. Do đó, câu trả lời cho câu hỏi của bài ra là "có".

Lưu ý: Lịch trình lùng bắt trên đây không phải là lịch trình duy nhất để mèo đạt được mục tiêu đặt ra ở đề bài.

Từ giả thuyết đề bài suy ra \(\frac{{2021}}{x} + \frac{{2021}}{y} + \frac{{2021}}{z} = 2\)

Do đó \(\frac{{x - 2021}}{x} + \frac{{y - 2021}}{y} + \frac{{z - 2021}}{z} = 3 - 2 = 1\)

Suy ra \(x + y + z = (x + y + z)\left( {\frac{{x - 2021}}{x} + \frac{{y - 2021}}{y} + \frac{{z - 2021}}{z}} \right)\) (*)

Do \(x,y,z > 2021\) nên \(x - 2021,y - 2021,z - 2021 > 0\). Vì thế, bằng cách áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki cho hai bộ ba số thực dương \(\left( {\sqrt x ,\sqrt y ,\sqrt z } \right)\) và \(\left( {\frac{{\sqrt {x - 2021} }}{{\sqrt x }},\frac{{\sqrt {y - 2021} }}{{\sqrt y }},\frac{{\sqrt {z - 2021} }}{{\sqrt z }}} \right)\), từ (*) ta được:

\(x + y + z \ge {(\sqrt {x - 2021}  + \sqrt {y - 2021}  + \sqrt {z - 2021} )^2}\)

Do đó, \(\sqrt {x + y + z}  \ge \sqrt {x - 2021}  + \sqrt {y - 2021}  + \sqrt {z - 2021} \).

(Đẳng thức xảy ra khi \(x = y = z = \frac{{6063}}{2}\)).