Đề thi thử Tốt nghiệp THPT Toán 2025-2026 Trường THPT Phan Đình Phùng (Hà Nội) có đáp án

Lời giải

Chọn D

Ta có \[\int\limits_0^2 {\left[ {f\left( x \right) + 3{x^2}} \right]dx = } \int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx + } \int\limits_0^2 {3{x^2}dx = } \int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx + } 8 = 10 \Rightarrow \int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx = 2} \].

Lời giải

Chọn B

Ta có \[V = \int\limits_a^b {S\left( x \right){\rm{d}}x{\rm{ }}}  = \int\limits_0^4 {{{\left( {\sqrt {2x + 1} } \right)}^2}{\rm{d}}x{\rm{ }}}  = \int\limits_0^4 {\left( {2x + 1} \right)} \,{\rm{d}}x{\rm{ = }}\left( {{x^2} + x} \right)\left| \begin{array}{l}4\\0\end{array} \right. = 20\].

Lời giải

Chọn D

Ta có \[\int {\cos 2xdx = \frac{{\sin 2x}}{2} + C} \].

Lời giải

Chọn A

Hàm số \[g\left( x \right)\] là một nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right)\] trên khoảng \[K\] thì \[g'\left( x \right) = f\left( x \right),\,\forall x \in K\]

Lời giải

Chọn C

Theo định nghĩa nguyên hàm ta có: \[F'\left( x \right) = {2^x}\].

Lời giải

Chọn D

Hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số \[y = 2{x^2} + x\] và \[y =  - 2x + 2\] là nghiệm của phương trình

\[2{x^2} + x =  - 2x + 2 \Leftrightarrow 2{x^2} + 3x - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{1}{2}\\x =  - 2\end{array} \right.\]

Vậy diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số \[y = 2{x^2} + x\] và \[y =  - 2x + 2\] là

\[S = \int\limits_{ - 2}^{\frac{1}{2}} {\left| {2{x^2} + 3x - 2} \right|dx = \frac{{125}}{4}} \].

Lời giải

Chọn C

Ta có: \[{\left( {F\left( x \right) + G\left( x \right)} \right)^\prime } = F'\left( x \right) + G'\left( x \right) = f\left( x \right) + g\left( x \right)\].

\[{\left( {{\rm{k}}{\rm{.}}F\left( x \right)} \right)^\prime } = {\rm{k}}.F'\left( x \right) = {\rm{k}}.f\left( x \right)\].

\[{\left( {F\left( x \right).G\left( x \right)} \right)^\prime } \ne f\left( x \right).g\left( x \right)\].

\[{\left( {\frac{{F\left( x \right)}}{{G\left( x \right)}}} \right)^\prime } \ne \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}\] với \[g\left( x \right) \ne 0\].

Vậy mệnh đề (I) và (II) đúng.

Lời giải

Chọn A

Theo tính chất của nguyên hàm ta có: \(\int\limits_2^5 {3f\left( x \right)} {\mkern 1mu} {\rm{d}}x = 3\int\limits_2^5 {f\left( x \right)} {\mkern 1mu} {\rm{d}}x = 3.2 = 6\).

Lời giải

Chọn A

Ta có \(\int_0^1 {{e^x}dx}  = {e^x}\left| \begin{array}{l}1\\0\end{array} \right. = {e^1} - {e^0} = e - 1.\)

Lời giải

Chọn C

Khối chóp đều không phải là khối tròn xoay.

Lời giải

Chọn D

Ta có \(\int_2^4 {f(x)dx}  = \left. {F(x)} \right|_2^4 = F(4) - F(2) = 12 - 6 = 6\).

Lời giải

Chọn D

Thể tích của khối tròn xoay khi quay hình phằng \(\left( H \right)\)giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = \ln x,\,y = 0\) và hai đường thẳng \(x = 2,\,x = 4\) quanh trục hoành là \(V = \pi \int_2^4 {{{\ln }^2}xdx} .\)

Lời giải

a) Ta có \[\int {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]} dx = \int {f\left( x \right)} dx - \int {g\left( x \right)dx = } F\left( x \right) - G\left( x \right) + C\].

b) Ta có: \[\int {g\left( x \right)dx}  = \int {\left( {{5^x} - {e^x}} \right)dx}  = \frac{{{5^x}}}{{\ln 5}} - {e^x} + {C_2}\].

c) Ta có: \[\int\limits_1^2 {\left( {x\sqrt x  + 8} \right)dx}  = \int\limits_1^2 {\left( {{x^{\frac{3}{2}}} + 8} \right)dx}  = \left( {\frac{2}{5}{x^{\frac{5}{2}}} + 8x} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2\\1\end{array}} \right. = \frac{2}{5}\left( {4\sqrt 2  - 1} \right) + 8\]

Do đó, \[a = 2,b = 5,c = 4 \Rightarrow a + b + c = 11\].

d) Ta có: \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{F\left( x \right) = \frac{2}{5}{x^{\frac{5}{2}}} + 8x + {C_1}}\\{G\left( x \right) = \frac{{{5^x}}}{{\ln 5}} - {e^x} + {C_2}}\end{array}} \right.\]. Mặt khác \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{F\left( 1 \right) = \frac{2}{5}}\\{G\left( 0 \right) = \frac{1}{{\ln 5}} - 1}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{C_1} =  - 8}\\{{C_2} = 0}\end{array}} \right.\].

Do đó \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{F\left( x \right) = \frac{2}{5}{x^{\frac{5}{2}}} + 8x - 8}\\{G\left( x \right) = \frac{{{5^x}}}{{\ln 5}} - {e^x}}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{F\left( 4 \right) = \frac{{184}}{5}}\\{G\left( 1 \right) = \frac{5}{{\ln 5}} - e}\end{array}} \right.\].

Vậy \[F\left( 4 \right) - G\left( 1 \right) = \frac{{184}}{5} - \frac{5}{{\ln 5}} + e\].

Lời giải

a) Lợi nhuận khi bán được \(x\) đơn vị sản phẩm được tính bằng công thức

\(P\left( x \right) = \int {\left( { - 0,0006x + 9,4} \right)} \,{\rm{d}}x =  - 0,0003{x^2} + 9,4x + C\).

Do \(P\left( 0 \right) = 0\) nên \(C = 0\). Suy ra \(P\left( x \right) =  - 0,0003{x^2} + 9,4x\).

b) Lợi nhuận khi bán được \(40\) sản phẩm đầu tiên là

\(P\left( {40} \right) =  - 0,0003\,.\,{40^2} + 9,4\,.\,40 = 375,52\) (triệu đồng).

c) Lợi nhuận khi bán được \(45\) sản phẩm đầu tiên là

\(P\left( {45} \right) =  - 0,0003\,.\,{45^2} + 9,4\,.\,45 = 422,3925\) (triệu đồng).

Sự thay đổi của lợi nhuận khi doanh số tăng từ \(40\) lên \(45\) đơn vị sản phẩm là

\(P\left( {45} \right) - P\left( {40} \right) = 422,3925 - 375,52 = 46,8725\) (triệu đồng).

d) Theo đề bài, sự thay đổi của lợi nhuận khi doanh số tăng từ \(40\) lên \(a\) đơn vị sản phẩm lớn hơn \(350\) triệu đồng, ta có

\(\begin{array}{l}P\left( a \right) - P\left( {40} \right) > 350\\ \Leftrightarrow \left( { - 0,0003{a^2} + 9,4a} \right) - 375,52 > 350\\ \Leftrightarrow  - 0,0003{a^2} + 9,4a - 725,52 > 0\\ \Rightarrow 77,37 < a < 31255,96\end{array}\)

Mà \(a \in \mathbb{N} \Rightarrow {a_{\min }} = 78\).

Lời giải

a) \(\int\limits_1^5 {\left| {f'\left( x \right)} \right|{\rm{d}}x}  = 128 \Rightarrow  - \int\limits_1^5 {f'\left( x \right){\rm{d}}x}  = 128 \Rightarrow \int\limits_1^5 {f'\left( x \right){\rm{d}}x}  =  - 128\). Suy ra là mệnh đề sai.

b) \(\int\limits_{ - 1}^1 {\left| {f'\left( x \right)} \right|{\rm{d}}x}  = 20 \Rightarrow \int\limits_{ - 1}^1 {f'\left( x \right){\rm{d}}x}  = 20 \Rightarrow \int\limits_{ - 1}^1 {f'\left( x \right){\rm{d}}x}  > \int\limits_1^5 {f'\left( x \right){\rm{d}}x} \). Suy ra là mệnh đề sai.

c) \(\int\limits_{ - 1}^1 {f'\left( x \right){\rm{d}}x}  = 20 \Rightarrow f\left( 1 \right) - f\left( { - 1} \right) = 20 \Rightarrow f\left( 1 \right) = f\left( { - 1} \right) + 20 = 20 - \frac{{43}}{4} = \frac{{37}}{4}\). Suy ra là mệnh đề đúng.

d) \(\int\limits_{ - 1}^5 {f'\left( x \right){\rm{d}}x}  = \int\limits_{ - 1}^1 {f'\left( x \right){\rm{d}}x}  + \int\limits_1^5 {f'\left( x \right){\rm{d}}x}  = 20 - 128 =  - 108\). Suy ra là mệnh đề đúng.

Lời giải

a) Sai

+ Vận tốc của chuyển động là \(v\left( t \right) = \int {\left( {5 - t} \right)dt = 5t - \frac{{{t^2}}}{2}}  + C\). Mà \(v\left( 0 \right) = 12 \Rightarrow C = 12\)

Vậy Vận tốc chuyển động của vật là \(v(t) =  - \frac{1}{2}{t^2} + 5t + 12\).

b) Đúng

\[v\left( t \right) = 5t - \frac{{{t^2}}}{2} + 12 \Rightarrow v\left( 2 \right) = 20\]

c) Đúng

+ Bảng biến thiên của v(t)

d) Sai

+ \[v\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow 5t - \frac{{{t^2}}}{2} + 12 = 0 \Rightarrow t = 12 \vee t =  - 2\].

+ Quãng đường đi được từ đầu cho đến khi dừng là \[S = \int\limits_0^{12} {\left( {5t - \frac{{{t^2}}}{2} + 12} \right)} dt = 216(m)\]

Lời giải

Đáp án: \[2\].

Vì \[F(x)\]là một nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}\] nên

\[F\left( \pi  \right) - F\left( 0 \right) = \int\limits_0^\pi  {\sin {\rm{x}}dx = 2 \Rightarrow } F\left( \pi  \right) = 2\].

Lời giải

Đáp án: 12

Ta có vận tốc \(v\left( t \right) = 500 - 10t\) (lít/phút), bể sẽ hết nước sau \(40\) phút kể từ lúc bắt đầu xả.

Khi đó lượng nước trong bể là \({V_n} = \int\limits_0^{40} {v\left( t \right){\rm{dt}} = } \int\limits_0^{40} {\left( {500 - 10t} \right){\rm{dt}} = \left. {\left( {500t - 5{t^2}} \right)} \right|_0^{40} = 12000} \)(lít).

Đổi đơn vị \(12000\) (lít) \( = 12\) (m³).

Lời giải

Đáp án: 91,9.

Khi quay hình phẳng \(\left( H \right)\) xung quanh trục hoành thì thể tích khối tròn xoay tạo thành bằng

\(V = \pi \int\limits_0^3 {{{\left( {x\sqrt {x + 1} } \right)}^2}} {\rm{d}}x\)\( = \pi \int\limits_0^3 {\left( {{x^3} + {x^2}} \right)} {\rm{d}}x = \pi \left. {\left( {\frac{{{x^4}}}{4} + \frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_0^3 = \frac{{117}}{4}\pi  \simeq 91,9\).

Lời giải

Đáp án: -1,1.

Hệ số góc tiếp tuyến của đồ thị \(\left( C \right)\) tại  là \(f'\left( x \right) = {k_M} = 3{x^2} + 2x - 1\)

\( \Rightarrow f\left( x \right) = \int {f'\left( x \right){\rm{d}}x}  = {x^3} + {x^2} - x + C\).

Mà \(M\left( {1;0} \right) \in \left( C \right) \Rightarrow {1^3} + {1^2} - 1 + C = 0 \Leftrightarrow C =  - 1\).

Vậy \(f\left( x \right) = {x^3} + {x^2} - x - 1 \Rightarrow f\left( {\frac{1}{2}} \right) = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^3} + {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} - \frac{1}{2} - 1 =  - \frac{9}{8} \approx  - 1,1\).

Lời giải

Đáp án: 2,48.

1. Xác định mốc thời gian (\(t\)):

Năm 2025 ứng với \(t = 0\).

Năm 2040 ứng với \(t = 2040 - 2025 = 15\).

Năm 2060 ứng với \(t = 2060 - 2025 = 35\).

2. Tìm hằng số \(k\):

Theo đề bài, mức tăng nhiệt độ đến năm 2040 là 0,99°C, tức là \(T(15) = 0,99\).

Ta có phương trình: \(0,99 = k\int_0^{15} {(420 + 2,5x + 0,02{x^2})} dx \Rightarrow k = \frac{{0,99}}{{6603,75}}\).

3. Tính mức tăng nhiệt độ đến năm 2060 (\(T(35)\)):

\(\begin{array}{l}T(35) = k\int_0^{35} {(420 + 2,5x + 0,02{x^2})} dx = \frac{{0,99}}{{6603,75}}.\int_0^{35} {(420 + 2,5x + 0,02{x^2})} dx\\ = \frac{{0,99}}{{6603,75}}.\left[ {420x + 1,25{x^2} + \frac{{0,02}}{3}{x^3}} \right]_0^{35} \approx 2,47615...\end{array}\)

Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm, ta được: 2,48°C.

Lời giải

Trả lời: 62,4.

Chọn hệ tọa độ \(Oxy\) thỏa mãn:

Trục đối xứng của parabol trùng với trục \(Oy\), và mặt đường \(EF\) trùng với trục \(Ox\).

Khi đó, đỉnh \(I\) của parabol sẽ có tọa độ \((0,h)\) với \(h > 0\). Vì parabol là một cổng có dạng vòm nên nó quay bề lõm xuống dưới, suy ra phương trình của parabol có dạng \(y = a{x^2} + h\) với \(a < 0\).

Khung chắn \(ABCD\) là một hình vuông có cạnh dài \(6\) mét. Vì trục đối xứng của hình vuông trùng với trục \(Oy\) và \(A,D\) nằm trên parabol, \(B,C\) nằm trên mặt đất \(Ox\), ta có các tọa độ của các đỉnh hình vuông như sau: \(A( - 3,6)\), \(B( - 3,0)\), \(C(3,0)\), \(D(3,6)\)

Do các điểm \(A( - 3,6)\) (hoặc \(D(3,6)\)) thuộc parabol \(y = a{x^2} + h\), ta thay tọa độ của \(A\) vào phương trình parabol:

\(6 = a{( - 3)^2} + h \Rightarrow 6 = 9a + h\).

Từ đó, ta có \(a = \frac{{6 - h}}{9}\).

Vì parabol quay bề lõm xuống dưới nên \(a < 0\). Điều này có nghĩa là \(\frac{{6 - h}}{9} < 0 \Rightarrow 6 - h < 0 \Rightarrow h > 6\).

Parabol cắt trục \(Ox\) (mặt đất) tại hai điểm \(E\) và \(F\). Để tìm tọa độ của \(E,F\), ta cho \(y = 0\) trong phương trình parabol: \(a{x^2} + h = 0 \Rightarrow a{x^2} =  - h \Rightarrow {x^2} =  - \frac{h}{a}\).

Vì \(a < 0\) và \(h > 6\), nên \( - \frac{h}{a} > 0\). Suy ra \(x =  \pm \sqrt { - \frac{h}{a}} \). Vậy \(E( - \sqrt { - \frac{h}{a}} ,0)\) và \(F(\sqrt { - \frac{h}{a}} ,0)\).

Chiều dài đoạn \(EF\) là \(2\sqrt { - \frac{h}{a}} \).

Diện tích của phần cổng (hình phẳng giới hạn bởi parabol và trục \(Ox\)) được tính bằng công thức diện tích hình viên phân parabol:

Chiều dài đáy là \(EF = 2\sqrt { - \frac{h}{a}} \).

Chiều cao là tung độ đỉnh của parabol, tức là \(h\).

Do đó, diện tích \(S = \frac{2}{3}.\left( {2\sqrt { - \frac{h}{a}} } \right).h = \frac{4}{3}h\sqrt { - \frac{h}{a}} \).

Thay \(a = \frac{{6 - h}}{9}\) vào biểu thức diện tích \(S\): \(S = \frac{4}{3}h\sqrt { - \frac{h}{{\frac{{6 - h}}{9}}}}  = 4\sqrt {\frac{{{h^3}}}{{h - 6}}} \)

Xét hàm số \(f(h) = \frac{{{h^3}}}{{h - 6}}\). Ta có: \(f'(h) = \frac{{2{h^2}(h - 9)}}{{{{(h - 6)}^2}}}\).

Cho \(f'(h) = 0\)\( \Leftrightarrow \frac{{2{h^2}(h - 9)}}{{{{(h - 6)}^2}}} = 0\) \( \Rightarrow h = 9\). Vậy \(f(h)\) đạt giá trị nhỏ nhất tại \(h = 9\).

Thay \(h = 9\) vào công thức tính diện tích \(S\): \({S_{min}} = 4\sqrt {\frac{{{9^3}}}{{9 - 6}}}  = 36\sqrt 3 \).

Làm tròn kết quả đến hàng phần chục, ta được \({S_{min}} \approx 62.4\) (mét vuông).

Kết luận: Diện tích nhỏ nhất của phần cổng giới hạn bởi parabol \((P)\) và mặt đường \(EF\) là \(62.4\) mét vuông.