Đề thi thử Tốt nghiệp THPT Toán 2025-2026 Trường THPT An Dương (Hải Phòng) mã đề 111 có đáp án
22 câu hỏi
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu thí sinh chỉ chọn một phương án.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau
Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
\[\left( {1\,;\, + \infty } \right)\].
\[\left( { - \infty \,;\, - 1} \right)\].
\[\left( {0\,;\,1} \right)\].
\[\left( { - 1\,;\,1} \right)\].
Chọn A
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy: Hàm số đã cho nghịch biến trên các khoảng \[\left( { - 1\,;\,0} \right)\] và \(\left( {1\,;\, + \infty } \right)\).
Trong không gian với hệ tọa độ \[Oxyz,\] cho điểm \[A(3;2; - 1)\]. Tìm tọa độ điểm \[A'\] thuộc mặt phẳng \(\left( {Oxz} \right)\) sao cho độ dài đoạn thẳng \[AA'\] ngắn nhất.
\[A'(0;0; - 1)\].
\(A'\left( {0;2; - 1} \right).\)
\(A'( - 3;0;1).\)
\[A'(3;0; - 1)\].
Chọn D
\[AA'\]ngắn nhất nên \[A'\]là hình chiếu của \[A\] lên mp\(\left( {Oxz} \right)\). Vậy \[A'(3;0; - 1)\].
Cho hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\). Khi đó vectơ bằng vectơ \(\overrightarrow {AB} \) là vectơ nào dưới đây?
\(\overrightarrow {BA} \).
\(\overrightarrow {D'C'} \).
\(\overrightarrow {B'A'} \).
\(\overrightarrow {CD} \).
Chọn B
![Chọn D \[AA'\]ngắn nhất nên \[A'\]là hìn (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/12/15-1766993186.png)
Dễ dàng thấy \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {D'C'} \).
Đồ thị hình bên dưới là của hàm số nào?
\(y = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^x}.\)
\(y = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^x}.\)
\(y = {\left( {\sqrt 3 } \right)^x}.\)
\(y = {\log _{\frac{1}{3}}}x.\)
Chọn B
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy:
Hàm số có TXĐ: \(D = \mathbb{R},\) tập giá trị \(T = \left( {0; + \infty } \right)\) và hàm số nghịch biến trên \(\mathbb{R}\) (loại C và D).
Đồ thị hàm số đi qua điểm \(\left( { - 1;3} \right)\) (loại A).
Một chất điểm chuyển động thẳng được xác định bởi phương trình \(s = {t^3} - 3{t^2} + 5t + 2,\) trong đó \(t\) tính bằng giây và \(s\) tính bằng mét. Gia tốc của chuyển động khi \(t = 3\) là:
\(24m{\rm{/}}{s^2}.\)
\(17m{\rm{/}}{s^2}.\)
\(14m{\rm{/}}{s^2}.\)
\(12m{\rm{/}}{s^2}.\)
Chọn D
Ta có: Vận tốc của chuyển động \(v(t) = s'(t) = 3{t^2} - 6t + 5.\)
Gia tốc của chuyển động \(a(t) = v'(t) = 6t - 6.\) Khi \(t = 3 \Rightarrow a(t) = 12m/{s^2}.\)
Nghiệm của phương trình \[\cot x + \sqrt 3 \; = {\rm{ }}0\] là:
\(x = - \frac{\pi }{3} + k\pi \).
\(x = - \frac{\pi }{6} + k\pi \).
\(x = \frac{\pi }{6} + k\pi \).
\(x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \).
Chọn B
\[\cot x + \sqrt 3 \; = {\rm{ }}0\]\( \Leftrightarrow \cot x = - \sqrt 3 \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{6} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có \({u_1} = - 3,{u_5} = 5\). Tìm công sai \(d\).
−8.
8.
2.
−2.
Chọn C
Ta có \({u_5} = {u_1} + 4d \Leftrightarrow 5 = \left( { - 3} \right) + 4d \Leftrightarrow d = 2\).
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ.
Khi đó, \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ + }} f\left( x \right)\) bằng
\( + \infty \).
−2.
1.
\( - \infty \).
Chọn D
Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\]có đồ thị \(\left( C \right)\) như hình vẽ. Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là đường thẳng ?
![Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\]có đồ thị \(\left( C \right)\) như hình vẽ. Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là đường thẳng ? A. \[y = - 2\]. B. \(y = 2\). C. \[x = 1\]. D. \[x = - 1\]. (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/12/18-1766996415.png)
\[y = - 2\].
\(y = 2\).
\[x = 1\].
\[x = - 1\].
Chọn D
Cho hình chóp \[S.ABCD\] có đáy \[ABCD\] là hình chữ nhật với \[AB = a\], cạnh bên \[SA\] vuông góc với đáy và \[SA = a\]. Số đo của góc nhị diện \[\left[ {S,BC,D} \right]\] bằng
\[90^\circ \]
\[45^\circ \].
\[30^\circ \].
\[60^\circ \].
ChọnB
\[\left[ {S,BC,D} \right] = \left[ {S,BC,A} \right] = \widehat {SBA} = {45^0}\].
Bất phương trình \({\log _3}\left( {2x - 1} \right) < 3\) có nghiệm là
\[x > 14.\]
\[x > \frac{1}{2}.\]
\[\frac{1}{2} < x < 14\].
\[x < 14\].
Chọn C
Ta có \({\log _3}\left( {2x - 1} \right) < 3 \Leftrightarrow 0 < 2x - 1 < {3^3} \Leftrightarrow \frac{1}{2} < x < 14\).
Thống kê nhiệt độ tại một địa điểm trong 40 ngày, ta có bảng số liệu sau:
Nhiệt độ \(\left( {^\circ C} \right)\) | \(\left[ {19;22} \right)\) | \(\left[ {22;25} \right)\) | \(\left[ {25;28} \right)\) | \(\left[ {28;31} \right)\) |
Số ngày | 7 | 15 | 12 | 6 |
Nhiệt độ trung bình là?
25,456.
23,021.
24,775.
22,036.
Chọn C
Ta có bảng giá trị đại diện là:
Nhiệt độ \(\left( {^\circ C} \right)\) | \(\left[ {19;22} \right)\) | \(\left[ {22;25} \right)\) | \(\left[ {25;28} \right)\) | \(\left[ {28;31} \right)\) |
Số ngày | \(7\) | \(15\) | \(12\) | \(6\) |
Giá trị đại diện | \(20,5\) | \(23,5\) | \(26,5\) | \(29,5\) |
Nhiệt độ trung bình là: \(\frac{{7.20,5 + 15.23,5 + 12.26,5 + 6.29,5}}{{40}} = 24,775\)
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng (Đ) hoặc sai (S)
Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) có đồ thị như hình vẽ dưới đây:
Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - 1\,;\,1} \right)\).
Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có toạ độ \(\left( {0\,;\,1} \right)\).
\(a - b + c + d = - 1\).
Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 1\).
Lời giải
a) Đúng: Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - 1\,;\,1} \right)\).
b) Đúng: Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là \(\left( { - 1;3} \right)\) và \(\left( {1;\, - 1} \right)\) suy ra toạ độ tâm đối xứng là \(\left( {0;\,1} \right)\) nên đồ thị hàm số cắt trục tung tại \(\left( {0;\,1} \right)\).
c) Đúng: Ta có: \(f'\left( x \right) = 3a{x^2} + 2bx + c\). Từ hình vẽ ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( { - 1} \right) = 3\\f\left( 1 \right) = - 1\\f'\left( { - 1} \right) = 0\\f'\left( 1 \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - a + b - c + d = 3\\a + b + c + d = - 1\\3a - 2b + c = 0\\3a + 2b + c = 0\end{array} \right.\).
Giải hệ này ta được \(a = 1\,;\,b = 0\,;\,c = - 3\,;\,d = 1\). Vậy \(T = a - b + c + d = - 1\).
d) Đúng: Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 1\).
Một doanh nghiệp kinh doanh sản xuất đồng hồ có đồ thị hàm tổng chi phí theo số sản phẩm, là một phần của đồ thị của hàm số \[f\left( x \right) = \frac{{a{x^2} + bx + c}}{{2x + e}}\]như hình vẽ (mỗi đơn vị trên trục hoành tương ứng với 100 sản phẩm, mỗi đơn vị trên trục tung tương ứng với 1000 USD). Biết rằng tâm đối xứng của đồ thị hàm số đó là điểm \[I\left( { - \frac{1}{2};1} \right)\]và đường tiệm cận xiên của đồ thị đó đi qua điểm B(3;2)
Hàm số nghịch biến trên khoảng \[\left( { - \frac{1}{2};0} \right)\].
Hàm số có thể viết lại dưới dạng \[f\left( x \right) = \frac{2}{7}\left( {x + 4} \right) + \frac{d}{{2x + 1}}\] , với d là số thực thuộc \[R\].
Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng là \[x = \frac{1}{2}\].
Theo khảo sát, tổng doanh thu của doanh nghiệp này được mô tả bằng hàm số \[R\left( x \right) = {x^2} + 2{\rm{x}}\]và lợi nhuận thu về khi bán 200 sản phẩm là 5250 USD. Khi chi phí theo số sản phẩm đạt giá trị nhỏ nhất, số sản phẩm sản xuất được (làm tròn đến hàng đơn vị) là 325 sản phẩm.
a)Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Sai.
Gọi đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \[f(x)\] là \[y = {\rm{ax + b}}\]
Theo giả thiết ta có: \[\left\{ \begin{array}{l} - \frac{1}{2}a + b = 1\\3{\rm{a}} + b = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{2}{7}\\b = \frac{8}{7}\end{array} \right.\]
Suy ra cận xiên của hàm số có dạng \[y = \frac{2}{7}\left( {x + 4} \right)\]
Hàm số \[f\left( x \right) = \frac{{a{x^2} + bx + c}}{{2x + e}}\]được viết lại dưới dạng \[f\left( x \right) = \frac{2}{7}\left( {x + 4} \right) + \frac{d}{{2x + 1}}\]
Lợi nhận = Doanh thu – Chi phí \[P\left( x \right) = R\left( x \right) - f\left( x \right) = {x^2} + 2{\rm{x - }}\frac{2}{7}\left( {x + 4} \right) - \frac{d}{{2x + 1}}\]
Theo giả thiết lợi nhận thu về khi bán 200 sản phẩm bằng 5250USD.
Khi đó \[P\left( 2 \right) = 5,25 \Leftrightarrow \frac{{44}}{7} - \frac{d}{5} = 5,25 \Leftrightarrow \]\[d = \frac{{145}}{{28}}\]
Vậy \[f\left( x \right) = \frac{2}{7}\left( {x + 4} \right) + \frac{{145}}{{28}}.\frac{1}{{2x + 1}}\] có đạo hàm \[f'\left( x \right) = \frac{2}{7} - \frac{{290}}{{28{{\left( {2x + 1} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{\sqrt {145} - 2}}{4}(nhan)\\x = \frac{{ - \sqrt {145} - 2}}{4}(loai)\end{array} \right.\]
Bảng biến thiên
\(x\) | \(0\) | \(\frac{{\sqrt {145} - 2}}{4}\) |
|
| \( + \infty \) |
\(f'\left( x \right)\) |
| - 0 + |
|
|
|
\(f\left( x \right)\)
|
|
|
|
| \( + \infty \)
|
Vậy số sản phẩm khi chi phí đạt giá trị nhỏ nhất là \(\frac{{\sqrt {145} - 2}}{4}.100 \approx 251\) sản phẩm.
Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.\,A'B'C'\)có đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \(A\). Gọi \(E,\,F\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(AA'\). Cho biết \(AB = 2\), \(BC = \sqrt {13} \,\), \(CC' = 4\).
Đường thẳng BC vuông góc với đường thẳng A’B.
Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(A'B\) và \(CE\) bằng \(\frac{7}{6}\).
Thể tích khối lăng trụ \(ABC.\,A'B'C'\) bằng 24.
Côsin của góc giữa đường thẳng \(A'B\) và mặt phẳng đáy \(\left( {ABC} \right)\) bằng \(\frac{1}{{\sqrt 5 }}\).
a) Sai.
b) Sai
Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(A'B\) và \(CE\) bằng khoảng cách giữa A’B và (EFC)
\( \Rightarrow d(A'B,CE) = d(A'B,({\rm{EF}}C)) = d(B;({\rm{EF}}C)) = d(A;({\rm{EF}}C)) = AK\)
Với H là hình chiếu của A lên EC, K là hình chiếu của A lên FH.
\( \Rightarrow \frac{1}{{A{K^2}}} = \frac{1}{{A{C^2}}} + \frac{1}{{A{E^2}}} + \frac{1}{{{\rm{A}}{{\rm{F}}^2}}} = \frac{1}{9} + \frac{1}{1} + \frac{1}{4} = \frac{{49}}{{36}} \Rightarrow AK = \frac{6}{7}\).
c) Sai.
Tam giác ABC vuông tại A \( \Rightarrow AB = \sqrt {B{C^2} - A{B^2}} = \sqrt {13 - 4} = 3\)
\( \Rightarrow {V_{ltru}} = \frac{1}{2}.2.3.4 = 12\)
d) Đúng
Góc giữa đường thẳng \(A'B\) và mặt phẳng đáy \(\left( {ABC} \right)\) bằng A’BA
\( \Rightarrow \cos \widehat {A'BA} = \frac{{AB}}{{A'B}} = \frac{2}{{\sqrt {4 + 16} }} = \frac{1}{{\sqrt 5 }}\).
Một chiếc máy bay đang bay trên không trung. Xét hệ trục tọa độ Oxyz được gắn như hình vẽ, trong đó gốc \(O\) là vị trí của trạm kiểm soát không lưu và \(M\left( {x;y;z} \right)\) (km) biểu thị vị trí máy bay trên không trung. Tại thời điểm 6h máy bay đang ở vị trí \(\left( {50;120;4} \right)\) và chuyển động với vận tốc \(\vec v = \left( {300;400;3} \right)\) (km/h)
Tại thời điểm 8h, khoảng cách giữa máy bay và một tháp truyền hình \(F\) có tọa độ \(\left( {1250;1020;0} \right)\) xấp xỉ 700km (sai số không quá 10km).
Tại thời điểm 6h, khoảng cách giữa máy bay và trạm kiểm soát không lưu nói trên xấp xỉ 140 km (sai số không quá 1km).
Khi đạt độ cao 10km, máy bay đổi vận tốc mới là \(\overrightarrow {{v_2}} = \left( {400;300; - 5} \right)\)để hướng đến sân bay \(B\). Tọa độ của máy bay khi vừa đáp xuống sân bay \(B\) là \(\left( {1450;1520;0} \right)\).
Tại thời điểm 7h độ cao của máy bay so với mặt đất là 7 km.
a) Sai | b) Sai | c) Đúng | d) Đúng |
a) Ta có \(\overrightarrow {OM} + 2\vec v = \left( {650;920;10} \right)\).
Vậy tại thời điểm 8h, tọa độ của máy bay là \({M_2}\left( {650;920;10} \right)\)
Ta có: \(\overrightarrow {{M_2}F} = \left( {600;100;10} \right) \Rightarrow {M_2}F = \sqrt {{{600}^2} + {{100}^2} + {{10}^2}} \approx 608,36\)
Vậy khoảng cách giữa máy bay và tháp truyền hình \(F\) xấp xỉ 600km. Suy ra ý a) Sai.
b) \(\overrightarrow {OM} = \left( {50;120;4} \right) \Rightarrow OM = \sqrt {{{50}^2} + {{120}^2} + {4^2}} \approx 130,06\)
Vậy khoảng cách giữa máy bay và trạm không lưu tại thời điểm 6h xấp xỉ 130km. Suy ra ý b) Sai.
c) Từ độ cao 10km, với tốc độ hạ độ cao là 5km/h thì máy bay cần 2h để đáp xuống đất.
Ta có: \(\overrightarrow {O{M_2}} + 2\overrightarrow {{v_2}} = \left( {1450;1520;0} \right)\).
Vậy tọa độ của máy bay khi đáp xuống là \({M_3}\left( {1450;1520;0} \right)\). Suy ra ý c) Đúng.
d) Ta có \(\overrightarrow {OM} + \vec v = \left( {350;520;7} \right)\)
Tại thời điểm 7h, tọa độ của máy bay là \({M_1}\left( {350;520;7} \right)\)
Vậy độ cao của máy bay so với mặt đất là 7km. Suy ra ý d) Đúng.
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thoi cạnh \(2a\), \(\widehat {ADC} = {60^0}\), \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) và \(SA = \sqrt 6 a\), \(G\) là trọng tâm tam giác \(SAC\). Khoảng cách từ \(G\)đến \((SCD)\) bằng: \(\frac{{a\sqrt m }}{n}\). Tính \(m + n\).
Lời giải
Đáp số : 5
Gọi \(M,I\)lần lượt là trung điểm \(CD,\,SC\).
Theo giả thiết ta có tam giác \(ACD\) đều. Suy ra \(AM = \frac{{AD\sqrt 3 }}{2} = \sqrt 3 a\).
Kẻ \(AH \bot SM\,\,\left( {H \in SM} \right)\) thì \(AH \bot \left( {SCD} \right)\).
Ta có \(GI = \frac{1}{3}AI\) nên \(d\left( {G,\left( {SCD} \right)} \right) = \frac{1}{3}d\left( {A,\left( {SCD} \right)} \right) = \frac{1}{3}AH\)
\( = \frac{1}{3}.\frac{{AM.SA}}{{\sqrt {A{M^2} + S{A^2}} }} = \frac{1}{3}.\frac{{\sqrt 3 a.\sqrt 6 a}}{{\sqrt {3{a^2} + 6{a^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 a}}{3}\)
Vậy \(d\left( {G,\left( {SCD} \right)} \right) = \frac{{\sqrt 2 a}}{3}\).
Cho hàm số \(y = \frac{{2x - 3}}{{x + 1}}\) .Gọi đường thẳng tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số lần lượt có phương trình: \[x = a;y = b\]. Khi đó tổng \(a + 3b\) bằng bao nhiêu?
Đáp án: 5
Đồ thị hàm số \(y = \frac{{2x - 3}}{{x + 1}}\) có đường tiệm cận đứng \(x = - 1\) và đường tiệm cận ngang \(y = 2\).
Vậy \(a + 3b = - 1 + 3 \cdot 2 = 5\).
Để chặn đường hành lang hình chữ L, người ta dùng một que sào thẳng dài đặt kín những điểm chạm với hành lang (như hình vẽ). Biết \[a = 27m\] và \[b = 8m\]. Hỏi cái sào thỏa mãn điều kiện trên có chiều dài tối thiểu là bao nhiêu mét ? ( Làm tròn đến hàng phần chục)
Đáp án : 46,9
Đặt các điểm như hình vẽ.
Đặt \(DF = x\), \(x > 0\), ta có \(\Delta ADF\) đồng dạng với \(\Delta BED\) nên \(\frac{{EB}}{{ED}} = \frac{{AF}}{{DF}}\)\( \Rightarrow EB = \frac{{ab}}{x}\)
Gọi \[l\] là chiều dài của que sào, ta có \({l^2} = A{B^2} = {\left( {x + b} \right)^2} + {\left( {a + \frac{{ab}}{x}} \right)^2} = f\left( x \right)\).
Đạo hàm: \(f'\left( x \right) = 2\left( {x + b} \right) - 2\frac{{ab}}{{{x^2}}}\left( {a + \frac{{ab}}{x}} \right) = 2\left( {x + b} \right)\left( {1 - \frac{{{a^2}b}}{{{x^3}}}} \right)\); \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = \sqrt[3]{{{a^2}b}} = 18\).
Dễ dàng suy ra được \(\min \,f\left( x \right) = f\left( {18} \right) = 2197\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của que sào là \(l = \sqrt {2197} = 13\sqrt {13} \approx 46,9\).
Trọng lực \(\vec P\) là lực hấp dẫn do Trái Đất tác dụng lên một vật, được tính theo công thức \(\vec P = m\vec g\), trong đó \(m\) là khối lượng của vật (đơn vị: \(kg\)), còn \(\vec g\) là vectơ gia tốc rơi tự do, có hướng đi xuống và có độ lớn \(g = 9,8\;m/{s^2}\). Tính độ lớn của trọng lực (đơn vị: N) tác dụng lên quả bưởi có khối lượng 2500gam (làm tròn đến hàng phần chục).
Lời giải
Đáp án: 24,5
Độ lớn của lực hấp dẫn của Trái Đất tác dụng lên quả bưởi: \(P = mg = 2,5.9,8 = 24,5N\)
Mảnh đất vườn của nhà anh Điệp có một phần ranh giới cũng là một phần đường cong (C):\(y = \frac{{x + a}}{{2x + b}}\), bao quanh nó là sông nước. Với hệ trục tọa độ Oxy thích hợp, đơn vị trên mỗi trục là 10 mét thì đường cong (C) đi qua điểm \(\left( {2\,;\,\,3} \right)\) và có đường tiệm cận đứng \(x = \frac{1}{2}\). Hàng ngày anh Điệp phải dùng thuyền máy để vận chuyển trái cây từ khu vườn của mình đến hai tuyến đường \({\Delta _1}:2x + y - 4 = 0\)và \({\Delta _2}:x + 2y - 2 = 0\) cho những người lái buôn từ nơi khác đến. Anh Điệp cần xác định một vị trí \(M\left( {{x_0}\,;\,\,{y_0}} \right)\) thuộc khu vườn của mình để tổng các khoảng cách từ vị trí M đó đến hai tuyến đường \({\Delta _1},\,\,{\Delta _2}\) là bé nhất. Hỏi khoảng cách từ vị trí được chọn làm gốc tọa độ đến điểm M là bao nhiêu mét ( làm tròn đến hàng phần chục)?
Đáp án: 34,5
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng \(x = - \frac{b}{2} = \frac{1}{2} \Rightarrow b = - 1\).
Khi đó đồ thị hàm số \(y = \frac{{x + a}}{{2x - 1}}\) qua \(\left( {2\,;\,\,3} \right) \Rightarrow 3 = \frac{{2 + a}}{{2.2 - 1}} \Rightarrow a = 7\); hàm số là (C).
Ta nhận thấy để khoảng cách từ điểm M thuộc khu vườn đến hai đường thẳng là nhỏ nhất thì điểm M phải thuộc đồ thị hàm số.
Gọi \(M\left( {{x_0}\,;\,\,\frac{{{x_0} + 7}}{{2{x_0} - 1}}} \right) \in \left( C \right),\,\,{x_0} > \frac{1}{2}\). Tổng khoảng cách từ M đến hai đường thẳng \({\Delta _1},\,\,{\Delta _2}\) là
\(d = d\left( {M\,,\,\,{\Delta _1}} \right) + d\left( {M\,,\,\,{\Delta _2}} \right) = \frac{{\left| {2{x_0} + \frac{{{x_0} + 7}}{{2{x_0} - 1}} - 4} \right|}}{{\sqrt 5 }} + \frac{{\left| {{x_0} + 2 \cdot \frac{{{x_0} + 7}}{{2{x_0} - 1}} - 2} \right|}}{{\sqrt 5 }}\) ;
\(\sqrt 5 d = \left| {\frac{{4x_0^2 - 9{x_0} + 11}}{{2{x_0} - 1}}} \right| + \left| {\frac{{2x_0^2 - 3{x_0} + 16}}{{2{x_0} - 1}}} \right| = \frac{{4x_0^2 - 9{x_0} + 11}}{{2{x_0} - 1}} + \frac{{2x_0^2 - 3{x_0} + 16}}{{2{x_0} - 1}}\) (vì \(\left\{ \begin{array}{l}4x_0^2 - 9{x_0} + 11 > 0\\2{x_0} - 1 > 0\\2x_0^2 - 3{x_0} + 16 > 0\end{array} \right.\,,\,\,\forall {x_0} > \frac{1}{2}\)).
Đặt \(\sqrt 5 d = \frac{{6x_0^2 - 12{x_0} + 27}}{{2{x_0} - 1}} = g\left( x \right)\) với \({x_0} > \frac{1}{2}\).
Ta có: \(g'\left( x \right) = \frac{{12x_0^2 - 12{x_0} - 42}}{{{{\left( {2{x_0} - 1} \right)}^2}}}\); \(g'\left( x \right) = 0 \Rightarrow 12x_0^2 - 12{x_0} - 42 = 0 \Rightarrow {x_0} = \frac{{1 + \sqrt {15} }}{2} > \frac{1}{2}\).
Ta có: .
Dấu đẳng thức xảy ra khi \({x_0} = \frac{{1 + \sqrt {15} }}{2}\)\( \Rightarrow M\left( {\frac{{1 + \sqrt {15} }}{2}\,;\,\,\frac{{1 + \sqrt {15} }}{2}} \right)\).
Khoảng cách OM trên thực tế là mét.
Trong cuộc gặp mặt dặn dò trước khi lên đường tham gia kì thi học sinh giỏi, có 10 bạn trong đội tuyển gồm 2 bạn đến từ lớp 12A, 3 bạn từ lớp 12B, 5 bạn còn lại đến từ 5 lớp khác (mỗi lớp một bạn). Thầy giáo xếp ngẫu nhiên các bạn kể trên ngồi vào một bàn dài có 10 ghế mà mỗi bên có 5 ghế xếp đối diện nhau. Xác suất để có học sinh cùng lớp ngồi đối diện nhau bằng \(\frac{a}{b}\)( với \(\frac{a}{b}\)là phân số tối giản).Tính \(a + b\)?
Đáp án: 88.
Số cách xếp 10 bạn học sinh trong đội tuyển thi HSG vào một bàn dài mà mỗi bên có 5 ghế đối diện nhau là \(10! \Rightarrow n(\Omega ) = 10!\) !
Xét các biến cố:
\(A\) : "Có học sinh cùng lớp ngồi đối diện nhau".
\({A_1}\) :" Học sinh lớp 12A ngồi đối diện nhau".
\({A_2}\) : "Học sinh lớp 12B ngồi đối diện nhau".
\({A_1} \cap {A_2}\) : "Học sinh 12A ngồi đối diện nhau và học sinh 12B ngồi đối diện nhau".
\( \Rightarrow A = {A_1} \cup {A_2} \Rightarrow n\left( A \right) = n\left( {{A_1}} \right) + n\left( {{A_2}} \right) - n\left( {{A_1} \cap {A_2}} \right)\).
Sắp xếp 2 hs lớp 12A ngồi vào hai ghế đối diện nhau, hoán đổi vị trí của 2 hs, sau đó sắp xếp 8 hs còn lại \( \Rightarrow n\left( {{A_1}} \right) = C_5^1.2!.8!\).
Từ 3 hs lớp 12B, chọn ra 2 hs sắp xếp 2 hs này ngồi vào hai ghế đối diện, sau đó sắp xếp 8 hs còn lại
\( \Rightarrow n\left( {{A_2}} \right) = A_3^2.C_5^1.8!\).
Sự kiện cả 12A và 12B đều có một cặp ngồi đối diện (các cặp ghế phải khác nhau):
Chọn cặp ghế cho 12A: cách.
Chọn cặp ghế khác cho 12B: còn cách.
Chọn 2 trong 3 học sinh 12B để tạo cặp đối diện: \(C_3^2 = 3\)
Sắp xếp trong mỗi cặp: cho 12A và cho 12B.
Các 6 học sinh còn lại sắp xếp vào 6 ghế còn lại: .
Vậy
\( \Rightarrow n\left( {{A_1} \cap {A_2}} \right) = \)
.
\(P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{25}}{{63}} \Rightarrow a = 25;b = 63 \Rightarrow a + b = 88\).
