Đề thi thử Tốt nghiệp THPT Toán 2025-2026 Trường THPT An Dương (Hải Phòng) mã đề 111 có đáp án

Chọn B

Chọn C

Ta có \({\log _3}\left( {2x - 1} \right) < 3 \Leftrightarrow 0 < 2x - 1 < {3^3} \Leftrightarrow \frac{1}{2} < x < 14\).

Chọn C

Ta có bảng giá trị đại diện là:

Nhiệt độ trung bình là: \(\frac{{7.20,5 + 15.23,5 + 12.26,5 + 6.29,5}}{{40}} = 24,775\)

Lời giải

a) Đúng: Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - 1\,;\,1} \right)\).

b) Đúng: Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là \(\left( { - 1;3} \right)\) và \(\left( {1;\, - 1} \right)\) suy ra toạ độ tâm đối xứng là \(\left( {0;\,1} \right)\) nên đồ thị hàm số cắt trục tung tại \(\left( {0;\,1} \right)\).

c) Đúng: Ta có: \(f'\left( x \right) = 3a{x^2} + 2bx + c\). Từ hình vẽ ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( { - 1} \right) = 3\\f\left( 1 \right) =  - 1\\f'\left( { - 1} \right) = 0\\f'\left( 1 \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - a + b - c + d = 3\\a + b + c + d =  - 1\\3a - 2b + c = 0\\3a + 2b + c = 0\end{array} \right.\).

Giải hệ này ta được \(a = 1\,;\,b = 0\,;\,c =  - 3\,;\,d = 1\). Vậy \(T = a - b + c + d =  - 1\).

d) Đúng: Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 1\).

a)Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Sai.

Gọi đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \[f(x)\] là \[y = {\rm{ax + b}}\]

Theo giả thiết ta có: \[\left\{ \begin{array}{l} - \frac{1}{2}a + b = 1\\3{\rm{a}} + b = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{2}{7}\\b = \frac{8}{7}\end{array} \right.\]

Suy ra cận xiên của hàm số có dạng \[y = \frac{2}{7}\left( {x + 4} \right)\]

Hàm số \[f\left( x \right) = \frac{{a{x^2} + bx + c}}{{2x + e}}\]được viết lại dưới dạng \[f\left( x \right) = \frac{2}{7}\left( {x + 4} \right) + \frac{d}{{2x + 1}}\]

Lợi nhận = Doanh thu – Chi phí \[P\left( x \right) = R\left( x \right) - f\left( x \right) = {x^2} + 2{\rm{x - }}\frac{2}{7}\left( {x + 4} \right) - \frac{d}{{2x + 1}}\]

Theo giả thiết lợi nhận thu về khi bán 200 sản phẩm bằng 5250USD.

Khi đó \[P\left( 2 \right) = 5,25 \Leftrightarrow \frac{{44}}{7} - \frac{d}{5} = 5,25 \Leftrightarrow \]\[d = \frac{{145}}{{28}}\]

Vậy \[f\left( x \right) = \frac{2}{7}\left( {x + 4} \right) + \frac{{145}}{{28}}.\frac{1}{{2x + 1}}\] có đạo hàm \[f'\left( x \right) = \frac{2}{7} - \frac{{290}}{{28{{\left( {2x + 1} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{\sqrt {145}  - 2}}{4}(nhan)\\x = \frac{{ - \sqrt {145}  - 2}}{4}(loai)\end{array} \right.\]

Bảng biến thiên

Vậy số sản phẩm khi chi phí đạt giá trị nhỏ nhất là \(\frac{{\sqrt {145}  - 2}}{4}.100 \approx 251\) sản phẩm.

a) Sai.

b) Sai

Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(A'B\) và \(CE\) bằng khoảng cách giữa A’B và (EFC)

\( \Rightarrow d(A'B,CE) = d(A'B,({\rm{EF}}C)) = d(B;({\rm{EF}}C)) = d(A;({\rm{EF}}C)) = AK\)

Với H là hình chiếu của A lên EC, K là hình chiếu của A lên FH.

\( \Rightarrow \frac{1}{{A{K^2}}} = \frac{1}{{A{C^2}}} + \frac{1}{{A{E^2}}} + \frac{1}{{{\rm{A}}{{\rm{F}}^2}}} = \frac{1}{9} + \frac{1}{1} + \frac{1}{4} = \frac{{49}}{{36}} \Rightarrow AK = \frac{6}{7}\).

c) Sai.

Tam giác ABC vuông tại A \( \Rightarrow AB = \sqrt {B{C^2} - A{B^2}}  = \sqrt {13 - 4}  = 3\)

\( \Rightarrow {V_{ltru}} = \frac{1}{2}.2.3.4 = 12\)

d) Đúng

Góc giữa đường thẳng \(A'B\) và mặt phẳng đáy \(\left( {ABC} \right)\) bằng A’BA

\( \Rightarrow \cos \widehat {A'BA} = \frac{{AB}}{{A'B}} = \frac{2}{{\sqrt {4 + 16} }} = \frac{1}{{\sqrt 5 }}\).

a) Ta có \(\overrightarrow {OM}  + 2\vec v = \left( {650;920;10} \right)\).

Vậy tại thời điểm 8h, tọa độ của máy bay là \({M_2}\left( {650;920;10} \right)\)

Ta có: \(\overrightarrow {{M_2}F}  = \left( {600;100;10} \right) \Rightarrow {M_2}F = \sqrt {{{600}^2} + {{100}^2} + {{10}^2}}  \approx 608,36\)

Vậy khoảng cách giữa máy bay và tháp truyền hình \(F\) xấp xỉ 600km. Suy ra ý a) Sai.

b) \(\overrightarrow {OM}  = \left( {50;120;4} \right) \Rightarrow OM = \sqrt {{{50}^2} + {{120}^2} + {4^2}}  \approx 130,06\)

Vậy khoảng cách giữa máy bay và trạm không lưu tại thời điểm 6h xấp xỉ 130km. Suy ra ý b) Sai.

c) Từ độ cao 10km, với tốc độ hạ độ cao là 5km/h thì máy bay cần 2h để đáp xuống đất.

Ta có: \(\overrightarrow {O{M_2}}  + 2\overrightarrow {{v_2}}  = \left( {1450;1520;0} \right)\).

Vậy tọa độ của máy bay khi đáp xuống là \({M_3}\left( {1450;1520;0} \right)\). Suy ra ý c) Đúng.

d) Ta có \(\overrightarrow {OM}  + \vec v = \left( {350;520;7} \right)\)

Tại thời điểm 7h, tọa độ của máy bay là \({M_1}\left( {350;520;7} \right)\)

Vậy độ cao của máy bay so với mặt đất là 7km. Suy ra ý d) Đúng.

Lời giải

Đáp số : 5

Gọi \(M,I\)lần lượt là trung điểm \(CD,\,SC\).

Theo giả thiết ta có tam giác \(ACD\) đều. Suy ra \(AM = \frac{{AD\sqrt 3 }}{2} = \sqrt 3 a\).

Kẻ \(AH \bot SM\,\,\left( {H \in SM} \right)\) thì \(AH \bot \left( {SCD} \right)\).

Ta có \(GI = \frac{1}{3}AI\) nên \(d\left( {G,\left( {SCD} \right)} \right) = \frac{1}{3}d\left( {A,\left( {SCD} \right)} \right) = \frac{1}{3}AH\)

\( = \frac{1}{3}.\frac{{AM.SA}}{{\sqrt {A{M^2} + S{A^2}} }} = \frac{1}{3}.\frac{{\sqrt 3 a.\sqrt 6 a}}{{\sqrt {3{a^2} + 6{a^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 a}}{3}\)

Vậy \(d\left( {G,\left( {SCD} \right)} \right) = \frac{{\sqrt 2 a}}{3}\).

Đáp án: 5

Đồ thị hàm số \(y = \frac{{2x - 3}}{{x + 1}}\) có đường tiệm cận đứng \(x = - 1\) và đường tiệm cận ngang \(y = 2\).

Vậy \(a + 3b = - 1 + 3 \cdot 2 = 5\).

Đáp án : 46,9

Đặt các điểm như hình vẽ.

Đặt \(DF = x\), \(x > 0\), ta có \(\Delta ADF\) đồng dạng với \(\Delta BED\) nên \(\frac{{EB}}{{ED}} = \frac{{AF}}{{DF}}\)\( \Rightarrow EB = \frac{{ab}}{x}\)

Gọi \[l\] là chiều dài của que sào, ta có \({l^2} = A{B^2} = {\left( {x + b} \right)^2} + {\left( {a + \frac{{ab}}{x}} \right)^2} = f\left( x \right)\).

Đạo hàm: \(f'\left( x \right) = 2\left( {x + b} \right) - 2\frac{{ab}}{{{x^2}}}\left( {a + \frac{{ab}}{x}} \right) = 2\left( {x + b} \right)\left( {1 - \frac{{{a^2}b}}{{{x^3}}}} \right)\); \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = \sqrt[3]{{{a^2}b}} = 18\).

Dễ dàng suy ra được \(\min \,f\left( x \right) = f\left( {18} \right) = 2197\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của que sào là \(l = \sqrt {2197}  = 13\sqrt {13}  \approx 46,9\).

Lời giải

Đáp án: 24,5

Độ lớn của lực hấp dẫn của Trái Đất tác dụng lên quả bưởi: \(P = mg = 2,5.9,8 = 24,5N\)

Đáp án: 34,5

Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng \(x = - \frac{b}{2} = \frac{1}{2} \Rightarrow b = - 1\).

Khi đó đồ thị hàm số \(y = \frac{{x + a}}{{2x - 1}}\) qua \(\left( {2\,;\,\,3} \right) \Rightarrow 3 = \frac{{2 + a}}{{2.2 - 1}} \Rightarrow a = 7\); hàm số là (C).

Ta nhận thấy để khoảng cách từ điểm M thuộc khu vườn đến hai đường thẳng là nhỏ nhất thì điểm M phải thuộc đồ thị hàm số.

Gọi \(M\left( {{x_0}\,;\,\,\frac{{{x_0} + 7}}{{2{x_0} - 1}}} \right) \in \left( C \right),\,\,{x_0} > \frac{1}{2}\). Tổng khoảng cách từ M đến hai đường thẳng \({\Delta _1},\,\,{\Delta _2}\) là

\(d = d\left( {M\,,\,\,{\Delta _1}} \right) + d\left( {M\,,\,\,{\Delta _2}} \right) = \frac{{\left| {2{x_0} + \frac{{{x_0} + 7}}{{2{x_0} - 1}} - 4} \right|}}{{\sqrt 5 }} + \frac{{\left| {{x_0} + 2 \cdot \frac{{{x_0} + 7}}{{2{x_0} - 1}} - 2} \right|}}{{\sqrt 5 }}\) ;

\(\sqrt 5 d = \left| {\frac{{4x_0^2 - 9{x_0} + 11}}{{2{x_0} - 1}}} \right| + \left| {\frac{{2x_0^2 - 3{x_0} + 16}}{{2{x_0} - 1}}} \right| = \frac{{4x_0^2 - 9{x_0} + 11}}{{2{x_0} - 1}} + \frac{{2x_0^2 - 3{x_0} + 16}}{{2{x_0} - 1}}\) (vì \(\left\{ \begin{array}{l}4x_0^2 - 9{x_0} + 11 > 0\\2{x_0} - 1 > 0\\2x_0^2 - 3{x_0} + 16 > 0\end{array} \right.\,,\,\,\forall {x_0} > \frac{1}{2}\)).

Đặt \(\sqrt 5 d = \frac{{6x_0^2 - 12{x_0} + 27}}{{2{x_0} - 1}} = g\left( x \right)\) với \({x_0} > \frac{1}{2}\).

Ta có: \(g'\left( x \right) = \frac{{12x_0^2 - 12{x_0} - 42}}{{{{\left( {2{x_0} - 1} \right)}^2}}}\); \(g'\left( x \right) = 0 \Rightarrow 12x_0^2 - 12{x_0} - 42 = 0 \Rightarrow {x_0} = \frac{{1 + \sqrt {15} }}{2} > \frac{1}{2}\).

Ta có: .

Dấu đẳng thức xảy ra khi \({x_0} = \frac{{1 + \sqrt {15} }}{2}\)\( \Rightarrow M\left( {\frac{{1 + \sqrt {15} }}{2}\,;\,\,\frac{{1 + \sqrt {15} }}{2}} \right)\).

Khoảng cách OM trên thực tế là mét.

Đáp án: 88.

Số cách xếp 10 bạn học sinh trong đội tuyển thi HSG vào một bàn dài mà mỗi bên có 5 ghế đối diện nhau là \(10! \Rightarrow n(\Omega ) = 10!\) !

Xét các biến cố:

\(A\) : "Có học sinh cùng lớp ngồi đối diện nhau".

\({A_1}\) :" Học sinh lớp 12A ngồi đối diện nhau".

\({A_2}\) : "Học sinh lớp 12B ngồi đối diện nhau".

\({A_1} \cap {A_2}\) : "Học sinh 12A ngồi đối diện nhau và học sinh 12B ngồi đối diện nhau".

\( \Rightarrow A = {A_1} \cup {A_2} \Rightarrow n\left( A \right) = n\left( {{A_1}} \right) + n\left( {{A_2}} \right) - n\left( {{A_1} \cap {A_2}} \right)\).

Sắp xếp 2 hs lớp 12A ngồi vào hai ghế đối diện nhau, hoán đổi vị trí của 2 hs, sau đó sắp xếp 8 hs còn lại \( \Rightarrow n\left( {{A_1}} \right) = C_5^1.2!.8!\).

Từ 3 hs lớp 12B, chọn ra 2 hs sắp xếp 2 hs này ngồi vào hai ghế đối diện, sau đó sắp xếp 8 hs còn lại

\( \Rightarrow n\left( {{A_2}} \right) = A_3^2.C_5^1.8!\).

Sự kiện cả 12A và 12B đều có một cặp ngồi đối diện (các cặp ghế phải khác nhau):

Chọn cặp ghế cho 12A: cách.

Chọn cặp ghế khác cho 12B: còn cách.

Chọn 2 trong 3 học sinh 12B để tạo cặp đối diện: \(C_3^2 = 3\)

Sắp xếp trong mỗi cặp: cho 12A và cho 12B.

Các 6 học sinh còn lại sắp xếp vào 6 ghế còn lại: .

Vậy

\( \Rightarrow n\left( {{A_1} \cap {A_2}} \right) = \)

.

                     \(P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{25}}{{63}} \Rightarrow a = 25;b = 63 \Rightarrow a + b = 88\).