Đề thi thử Tốt nghiệp THPT Toán 2025-2026 THPT Chuyên Đại học Vinh lần 1 có đáp án

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\)\( \Rightarrow \left( {MC{B_1}} \right){\rm{ // }}\left( {D{A_1}{C_1}} \right)\) \( \Rightarrow M{B_1}{\rm{ // }}\left( {D{A_1}{C_1}} \right)\).

Chọn A.

Tam giác \(ABC\) có:

Ø  \(AB = BC.\cos \widehat {ABC} = 2a.\cos {60^0} = a\).

Ø  \(AC = BC.\sin \widehat {ABC} = 2a.\sin {60^0} = a\sqrt 3 \).

Ø  \({S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC = \frac{1}{2}a.a\sqrt 3 = \frac{1}{2}{a^2}\sqrt 3 \).

Vậy: \({V_{ABC.A'B'C'}} = AA'.{S_{\Delta ABC}} = 2a\sqrt 3 .\frac{1}{2}{a^2}\sqrt 3 = 3{a^3}\).

   Chọn A.

                 Ta có: \(\int {f(x)dx} = \int {\left( {2\sin x + 1} \right)dx} = - 2\cos x + x + C\).

a) Thế \[x = 1,y = 2\] vào hệ bất phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}1 + 2 \le 4\\2.1 - 2 \ge 1\end{array} \right.\]. Ta thấy không thỏa mãn.

b) Dựa vào hình vẽ \[\left( S \right)\] là một miền tam giác.

c) Gọi \[{d_1}:x + y = 4,{\rm{ }}{d_2}:2x - y = 1\]

 Khi đó \[M = {d_1} \cap Ox \Rightarrow M\left( {4;0} \right)\], \[N = {d_1} \cap {d_2} \Rightarrow N\left( {\frac{5}{3};\frac{7}{3}} \right)\], \[P = {d_2} \cap Ox \Rightarrow P\left( {\frac{1}{2};0} \right)\]

Mặt khác \[\overrightarrow {MN} = \left( { - \frac{7}{3};\frac{7}{3}} \right) \Rightarrow MN = \frac{{7\sqrt 2 }}{3}\]; \[\overrightarrow {NP} = \left( { - \frac{7}{6}; - \frac{7}{3}} \right) \Rightarrow NP = \frac{{7\sqrt 5 }}{6}\]; \[\overrightarrow {MP} = \left( { - \frac{7}{2};0} \right) \Rightarrow MP = \frac{7}{2}\]

Do đó \[p = \frac{{MN + MP + NP}}{2} = \frac{{14\sqrt 2 + 7\sqrt 5 + 21}}{{12}}\].

\[S = \sqrt {p\left( {p - MN} \right)\left( {p - MP} \right)\left( {p - NP} \right)} = \frac{{49}}{{12}}\]

d) Ta có \[P\left( {4;0} \right) = 4 + 2.0 = 4\]; \[P\left( {\frac{5}{3};\frac{7}{3}} \right) = \frac{5}{3} + 2.\frac{7}{3} = \frac{{19}}{3}\]; \[P\left( {\frac{1}{2};0} \right) = \frac{1}{2} + 2.0 = \frac{1}{2}\].

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức \[P = x + 2y\] trên miền \[\left( S \right)\] bằng \[\frac{{19}}{3}\]

Số bao lì xì 10 nghìn đồng là: \[40 - 12 - 10 = 18\] (bao)

Gọi \[A,B,C\] lần lượt là các biến cố: “Bạn An, Bình, Chi bốc được bao lì xì 10 nghìn đồng”.

a) Đúng

Ta có: \[P\left( A \right) = \frac{{18}}{{40}} = 0,45\].

b) Đúng

Nếu An bốc được bao lì xì 10 nghìn đồng thì: \[P\left( {B|A} \right) = \frac{{17}}{{39}}\]

Nếu An không bốc được bao lì xì 10 nghìn đồng thì: \[P\left( {B|\overline A } \right) = \frac{{18}}{{39}}\]

Xác suất để An không bốc được bao lì xì 10 nghìn đồng là: \[P\left( {\overline A } \right) = \frac{{22}}{{40}} = \frac{{11}}{{20}}\]

Vậy xác suất để Bình bốc được bao lì xì 10 nghìn đồng là:

\[P\left( B \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( {B|\overline A } \right) = \frac{9}{{20}}.\frac{{17}}{{39}} + \frac{{11}}{{20}}.\frac{{18}}{{39}} = \frac{9}{{20}} = 0,45\].

c) Đúng

Xác suất để cả An và Bình đều bốc được bao lì xì 10 nghìn đồng là: \[P\left( {AB} \right) = 0,45.\frac{{17}}{{39}} = \frac{{51}}{{260}}\]

Suy ra: \[P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{\frac{{51}}{{260}}}}{{0,45}} = \frac{{17}}{{39}} \approx 0,44\].

d) Đúng

Ta có: \[P\left( {\overline B |\overline A } \right) = \frac{{21}}{{39}} = \frac{7}{{13}}\], \[P\left( {\overline C |\overline A \overline B } \right) = \frac{{20}}{{38}} = \frac{{10}}{{19}}\]

Xác suất để cả ba bạn đều không bốc được bao lì xì 10 nghìn đồng là:

\[P\left( {\overline {ABC} } \right) = \frac{{11}}{{20}}.\frac{7}{{13}}.\frac{{10}}{{19}} = \frac{{77}}{{494}}\]

Vậy xác suất để có ít nhất một bạn bốc được bao lì xì 10 nghìn đồng là:

\[1 - \frac{{77}}{{494}} = \frac{{417}}{{494}} \approx 0,84\].

a) Véc tơ chỉ phương của đường thẳng \(AB\) là \({\vec u_1} = \overrightarrow {AB} = \left( { - 3;2;1} \right)\)

Véc tơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) là \({\vec u_2} = \left( {2;3; - 5} \right)\) và điểm \(D\left( {2;3; - 4} \right) \in d.\)

Do 2 véc tơ \({\vec u_1},\,{\vec u_2}\) không cùng phương nên \(AB,\,\,d\) chéo nhau hoặc cắt nhau.

Lại có \(\overrightarrow {AD} = \left( {3; - 1; - 8} \right),\,\,[{\vec u_1},\,{\vec u_2}] = \left( { - 13; - 13; - 13} \right),\,\,[{\vec u_1},\,{\vec u_2}].\overrightarrow {AD} = 78 \ne 0\) nên 3 véc tơ \({\vec u_1},\,{\vec u_2},\,\,\overrightarrow {AD} \) không đồng phẳng \( \Rightarrow AB\) và \(d\) chéo nhau.

Trả lời: Đúng

b) Gọi \(\varphi \) là góc giữa \(AB\) và \(d\), ta có \[\cos \varphi = \frac{{|{{\vec u}_1}.\,{{\vec u}_2}|}}{{\left| {{{\vec u}_1}} \right|\,.\left| {{{\vec u}_2}} \right|}} = \frac{{| - 6 + 6 - 5|}}{{\sqrt {14} .\sqrt {38} }} = \frac{5}{{\sqrt {14} .\sqrt {38} }} \ne \frac{1}{2} \Rightarrow \varphi \ne {60^0}.\]

Trả lời: Sai

c) Ta có \(AB = \sqrt {14} ,\,\,{S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB.d\left( {C,AB} \right)\) trong đó \(d\left( {C,AB} \right)\) là khoảng cách từ \(C\) đến \(AB.\)

Do \(AB\) không đổi nên \({S_{ABC}}\,\min \) khi \[d\left( {C;AB} \right)\,\min = d\left( {d;AB} \right) = \frac{{\left| {[{{\vec u}_1},{{\vec u}_2}].\overrightarrow {AD} } \right|}}{{|[{{\vec u}_1},{{\vec u}_2}]|}} = \frac{{78}}{{13\sqrt 3 }} = 2\sqrt 3 \].

Vậy \(\min {S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB.d\left( {d,AB} \right) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt {14} \cdot 2\sqrt 3 = \sqrt {42} .\)

Trả lời: Đúng

d) Gọi \(\Delta \) là đường thẳng vuông góc chung của hai đường thẳng \(AB\) và \(d\)

\( \Rightarrow {\vec u_\Delta }\) cùng phương với \(\,[{\vec u_1},\,{\vec u_2}] = \left( { - 13; - 13; - 13} \right) = - 13\left( {1;1;1} \right)\). Chọn \({\vec u_\Delta } = \left( {1;1;1} \right)\).

Gọi \((P)\) là mặt phẳng chứa \(\Delta \) và \(AB \Rightarrow {\vec n_P} = [{\vec u_\Delta },\,\overrightarrow {AB} ] = \left( { - 1; - 4;5} \right)\)

Phương trình \((P):\,\,x + 4y - 5z + 5 = 0\)

Gọi \(N\) là giao điểm của \((P)\) và \(d \Rightarrow N\left( {0;0;1} \right)\)

Đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(N\) và có véc tơ chỉ phương \({\vec u_\Delta } = \left( {1;1;1} \right)\), ta có \(\overrightarrow {MN} = \left( {3;3;3} \right) = 3{\vec u_\Delta }\)nên \(M \in \Delta .\)

Trả lời: Đúng

a) \(f\left( x \right) = \frac{{3x + 1}}{{x + 4}} \Rightarrow f'\left( x \right) = \frac{{{{\left( {3x + 1} \right)}^\prime }\left( {x + 4} \right) - {{\left( {x + 4} \right)}^\prime }\left( {3x + 1} \right)}}{{{{\left( {x + 4} \right)}^2}}} = \frac{{11}}{{{{\left( {x + 4} \right)}^2}}}\).

Vậy a) Đúng.

b) \(f'\left( x \right) = \frac{{11}}{{{{\left( {x + 4} \right)}^2}}} > 0,\forall x \ne - 4\)

Ta có bảng biến thiên như sau:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy \(f\left( {{x_1}} \right) > 3\)và \(f\left( {{x_2}} \right) < 3\) nên \(f\left( {{x_1}} \right) > f\left( {{x_2}} \right)\)

Vậy b) Sai.

c) Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng là \(x = - 4\) và đường tiệm cận ngang là \(y = 3\)nên giao điểm của hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số là \(\left( { - 4;3} \right)\).

 Vậy c) Sai.

d) \(f'\left( x \right) = \frac{{11}}{{{{\left( {x + 4} \right)}^2}}} > 0,\forall x \in \left[ {0;1} \right]\)

\(f\left( 0 \right) = \frac{1}{4};\,f\left( 1 \right) = \frac{4}{5}\).

Suy ra giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f\left( x \right)\)trên đoạn \(\left[ {0;1} \right]\) bằng \(\frac{1}{4}\).

Vậy d) Đúng.

Đáp án: 4,24

Gọi \[{A_k}\] là biến cố: “Bắt được \(k\)con dê trắng từ chuồng A sang chuồng B” với \[k \in \left\{ {0,1,2,3} \right\}\].

\(T\) là biến cố: “Bắt được 2 con dê trắng từ chuồng B sau khi chuyển từ chuồng A sang”

TH1: \(k = 3\) (3 con dê trắng).

Xác suất của biến cố \[{A_3}\] là: \[P({A_3}) = \frac{{C_9^3}}{{C_{17}^3}} = \frac{{21}}{{170}}\]

 Khi đó chuồng B có 8 con dê trắng và 6 con dê đen, xác suất bắt được 2 con dê trắng là \[\frac{{C_8^2}}{{C_{14}^2}} = \frac{4}{{13}}\]

TH2: \(k = 2\) (2 con dê trắng, 1 con dê đen)

Xác suất của biến cố \[{A_2}\] là: \[P({A_2}) = \frac{{C_9^2.C_8^1}}{{C_{17}^3}} = \frac{{36}}{{85}}\]

 Khi đó chuồng B có 7 con dê trắng và 7 con dê đen, xác suất bắt được 2 con dê trắng là \[\frac{{C_7^2}}{{C_{14}^2}} = \frac{3}{{13}}\]

TH3: \(k = 1\) (1 con dê trắng, 2 con dê đen)

Xác suất của biến cố \[{A_1}\] là: \[P({A_1}) = \frac{{C_9^1.C_8^2}}{{C_{17}^3}} = \frac{{63}}{{170}}\]

 Khi đó chuồng B có 6 con dê trắng và 8 con dê đen, xác xuất bắt được 2 con dê trắng là \[\frac{{C_6^2}}{{C_{14}^2}} = \frac{{15}}{{91}}\]

TH4: \(k = 0\) (3 con dê đen)

Xác suất của biến cố \[{A_0}\] là: \[P({A_0}) = \frac{{C_8^3}}{{C_{17}^3}} = \frac{7}{{85}}\]

 Khi đó chuồng B có 5 con dê trắng và 9 con dê đen, xác xuất bắt được 2 con dê trắng là \[\frac{{C_5^2}}{{C_{14}^2}} = \frac{{10}}{{91}}\]

Như vậy xác suất bắt được 2 con dê trắng từ chuồng B sau khi chuyển từ chuồng A sang là: \[P(T) = \frac{{21}}{{170}}.\frac{4}{{13}} + \frac{{36}}{{85}}.\frac{3}{{13}} + \frac{{63}}{{170}}.\frac{{15}}{{91}} + \frac{7}{{85}}.\frac{{10}}{{91}} = \frac{7}{{34}}\]

Xác suất bắt được 2 con dê trắng đều là dê chuyển từ chuồng A sang là: \[\frac{{\frac{{21}}{{170}}.\frac{{C_3^2}}{{C_{14}^2}} + \frac{{36}}{{85}}.\frac{{C_2^2}}{{C_{14}^2}}}}{{\frac{7}{{34}}}} \approx 0,0423861\] hay 4,24%.

Đáp án: 78

Một đa giác đều có \(k\) đỉnh có thể được tạo thành từ các đỉnh của một đa giác đều \(n\) đỉnh nếu và chỉ nếu:

1.     \(k\) là ước số của \(n\) (\(n\) chia hết cho \(k\)).

2.     \(k \ge 3\) (vì đa giác phải có ít nhất 3 đỉnh).

Nếu \(k\) thỏa mãn các điều kiện trên, số lượng đa giác đều \(k\) đỉnh có thể tạo ra là: \(\frac{n}{k}\).

Tập hợp các ước số của 60 là: \(\{ 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60\} \).

Ta loại bỏ ước số 1 và 2 vì đa giác phải có từ 3 đỉnh trở lên.

Các giá trị \(k\) hợp lệ là: \(\{ 3,4,5,6,10,12,15,20,30,60\} \).

Ta lấy 60 chia cho số đỉnh \(k\) để ra số lượng đa giác:

·        \(k = 3\) (Tam giác đều): \(\frac{{60}}{3} = 20\) hình.

·        \(k = 4\) (Hình vuông): \(\frac{{60}}{4} = 15\) hình.

·        \(k = 5\) (Ngũ giác đều): \(\frac{{60}}{5} = 12\) hình.

·        \(k = 6\) (Lục giác đều): \(\frac{{60}}{6} = 10\) hình.

·        \(k = 10\) (Thập giác đều): \(\frac{{60}}{{10}} = 6\) hình.

·        \(k = 12\) (Thập nhị giác đều): \(\frac{{60}}{{12}} = 5\) hình.

·        \(k = 15\): \(\frac{{60}}{{15}} = 4\) hình.

·        \(k = 20\): \(\frac{{60}}{{20}} = 3\) hình.

·        \(k = 30\): \(\frac{{60}}{{30}} = 2\) hình.

·        \(k = 60\) (Chính đa giác ban đầu): \(\frac{{60}}{{60}} = 1\) hình.

Tổng số đa giác đều là:\(20 + 15 + 12 + 10 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 78\).

Có tất cả 78 đa giác đều có các đỉnh là một trong các đỉnh của đa giác đều 60 đỉnh đã cho.

Đáp án: 156

Gọi độ dài cạnh đáy là \(a\) và chiều cao \(h\).

Ta có \(V = \frac{1}{3}{a^2}.h = 18 \Rightarrow {a^2}.h = 54 \Rightarrow h = \frac{{54}}{{{a^2}}}\)

Khi đó độ dài các cạnh bên là \(\sqrt {{h^2} + \frac{{{a^2}}}{2}} \).

Chiều cao của các mặt bên là \(\sqrt {{h^2} + \frac{{{a^2}}}{4}} \)

Diện tích bốn mặt bên là \(S = 4.\frac{1}{2}.a\sqrt {{h^2} + \frac{{{a^2}}}{4}} = a\sqrt {4{h^2} + {a^2}} \).

Số tiền cần để làm một cái lều là \(T = 500.a\sqrt {4{h^2} + {a^2}} = 500a.\sqrt {4.\frac{{{{54}^2}}}{{{a^4}}} + {a^2}} = 500\sqrt {\frac{{{{54}^2}.4}}{{{a^2}}} + {a^4}} = 500\sqrt {\frac{{5832}}{{{a^2}}} + \frac{{5832}}{{{a^2}}} + {a^4}} \)\(T \ge 500.\sqrt {3\sqrt[3]{{\frac{{5832}}{{{a^2}}}.\frac{{5832}}{{{a^2}}}.{a^4}.}}} = 500.\sqrt {972} = 9000\sqrt 3 \).

Vậy số tiền ít nhất làm 1 cái lều là \(9000\sqrt 3 \approx 15588\) nghìn đồng.

Số tiền ít nhất cần trả cho 10 cái lều là \( \approx 156\) triệu đồng.

Đáp án: 0,74

Gọi \({R_1}\) là bán kính trong và \({R_2}\) là bán kính ngoài của chiếc phao. Theo đề bài, ta có \[{R_1} = 25{\rm{ cm}}\] và \({R_2} = 35{\rm{ cm}}\).

Chiếc phao có dạng một hình xuyến được tạo thành khi quay một hình tròn bán kính \(r\) quanh một trục nằm trong mặt phẳng chứa hình tròn và không cắt hình tròn đó.

Bán kính của mặt cắt ngang chiếc phao (bán kính hình tròn nhỏ) là: \(r = \frac{{{R_2} - {R_1}}}{2} = \frac{{35 - 25}}{2} = 5{\rm{ cm}}\)

Khoảng cách từ tâm chiếc phao đến tâm của mặt cắt ngang (bán kính đường tròn trung bình) là:

\(R = \frac{{{R_1} + {R_2}}}{2} = \frac{{35 + 25}}{2} = 30{\rm{ cm}}\)

Thể tích của chiếc phao

\(V = 3,1416.\int\limits_{ - 5}^5 {\left[ {{{\left( {30 + \sqrt {25 - {x^2}} } \right)}^2} - {{\left( {30 - \sqrt {25 - {x^2}} } \right)}^2}} \right]} \,dx = 14804,44{\rm{ c}}{{\rm{m}}^3}\)

Khối lượng của chiếc phao tính theo đơn vị gam là: \({m_{gam}} = V \cdot D = 14804,44 \cdot 0,05 \approx 740,22{\rm{ g}}\)

Đổi khối lượng sang đơn vị kg: \({m_{kg}} = \frac{{740,22}}{{1000}} \approx 0,74{\rm{ kg}}\).

Đáp án: \[30\]

Kẻ \[BH \bot SC,HE \bot SC,E \in AC,H \in SC \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ {A,SC,B} \right] = \widehat {BHE}\\SC \bot \left( {BHE} \right)\end{array} \right.\]

Suy ra \[SC \bot BE\] mà vuông tại E.

\[\begin{array}{l}SB = \sqrt {S{A^2} + A{B^2}} = \sqrt 7 ,AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2} - 2AB.BC.c{\rm{os}}{{135}^0}} = \sqrt {10} \\SC = \sqrt {S{A^2} + A{C^2}} = \sqrt {15} \end{array}\]

\[{p_{\Delta SBC}} = \frac{{\sqrt 7 + \sqrt {15} + 2}}{2},{S_{\Delta SBC}} = \sqrt {{p_{\Delta SBC}}\left( {{p_{\Delta SBC}} - \sqrt 7 } \right)\left( {{p_{\Delta SBC}} - \sqrt {15} } \right)\left( {{p_{\Delta SBC}} - 2} \right)} = \sqrt 6 \]

\[BH = \frac{{2{S_{\Delta SBC}}}}{{SC}} = \frac{{2\sqrt {10} }}{5}\]

\[BE = \frac{{2{S_{\Delta ABC}}}}{{AC}} = \frac{{2.\frac{1}{2}.AB.BC.\sin 135^\circ }}{{AC}} = \frac{{\sqrt {10} }}{5}\].

\[\sin \widehat {BHE} = \frac{{BE}}{{BH}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \widehat {BHE} = 30^\circ \Rightarrow m = 30\].

Đáp án: 13.

Hàm doanh thu: \[R\left( x \right) = x \times p\left( x \right) = 120x - 2{x^2}\].

Hàm chi phí: \(C\left( x \right) = 300 + 60x + 0,2{x^2} + 0,01{x^3}\).

Hàm lợi nhuận: \[\pi \left( x \right) = R\left( x \right) - C\left( x \right) = - 0,01{x^3} - 2,2{x^2} + 60x - 300\]

\[ \Rightarrow \pi '\left( x \right) = - 0,03{x^2} - 4,4x + 60 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \approx 12,56 \in \left( {0;30} \right]\\x \approx - 159,23 \notin \left( {0;30} \right]\end{array} \right.\].

Bảng biến thiên:

Vậy lợi nhuận doanh nghiệp thu được là lớn nhất khi bán được \[13\] nghìn sản phẩm.