Đề thi thử Tốt nghiệp THPT Toán 2025-2026 Sở Hưng Yên có đáp án
22 câu hỏi
Cho hàm số \(y = \frac{{2x - 2}}{{x + 2}}\) có tập xác định là D. Hàm số đã cho có đạo hàm trên D là
\(y' = - \frac{2}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\).
\(y' = \frac{6}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\).
\(y' = \frac{2}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\).
\(y' = - \frac{6}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\).
Chọn B
Dựa vào công thức tính đạo hàm của hàm số \(y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}\) . Ta có \(y' = \frac{{2 \cdot 2 - 1 \cdot \left( { - 2} \right)}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = \frac{6}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\).
Cho khối lăng trụ có thể tích \[V = 32\], đáy là hình vuông cạnh bằng 4. Chiều cao h của khối lăng trụ đã cho bằng
\[h = 4\].
\[h = 8\] .
\[h = 16\] .
\[h = 2\].
Chọn D
Công thức tính thể tích hình lăng trụ \[V = S.h \Rightarrow h = \frac{V}{S}\] mà \[S = 4.4 = 16 \Rightarrow h = \frac{{32}}{{16}} = 2\]
Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] có đồ thị như hình vẽ:
Đồ thị hàm số đã cho có đường tiệm cận ngang là
\[x = 1\].
\[y = 2\].
\[y = 1\].
\[y = 3\].
Chọn B
Dựa vào đồ thị hàm số, \[y = 2\] là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
Cho hình lập phương \[ÁBCD.A'B'C'D'\] có độ dài cạnh bằng 1. Độ dài của véc tơ \[\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} \] bằng
\[\sqrt 2 \].
\[3\].
\[\sqrt 3 \].
\[2\sqrt 3 \].
Chọn C
Theo quy tắc hình hộp ta có \[\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {AC'} \Rightarrow \] Độ dài của véc tơ \[\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} \] bằng độ dài đường chéo \[AC' = \sqrt 3 \].
Xét mẫu số liệu ghép nhóm có tứ phân vị thứ nhất, tứ phân vị thứ hai, tứ phân vị thứ ba lần lượt là \({Q_1}\), \({Q_2}\) và \({Q_3}\). Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm đó bằng
\({Q_3} - 2{Q_2} + {Q_1}\).
\({Q_2} - {Q_1}\).
\({Q_3} - {Q_2}\).
\({Q_3} - {Q_1}\).
Chọn D
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm đó bằng \({Q_3} - {Q_1}\).
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho vectơ \(\overrightarrow u = \left( {3; - 1;2} \right)\) và điểm \(A\left( {0; - 1;1} \right)\). Tọa độ điểm \(B\) thỏa mãn \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow u \) là
\(\left( {6; - 1;3} \right)\).
\(\left( { - 3;2; - 3} \right)\).
\(\left( { - 3;0; - 1} \right)\).
\(\left( {3; - 2;3} \right)\).
Chọn D
Gọi tọa độ \(B\left( {x;y;z} \right)\).
\(\begin{array}{l}\overrightarrow {AB} \left( {x;y + 1,z - 1} \right) = \overrightarrow u \left( {3; - 1;2} \right)\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y + 1 = - 1\\z - 1 = 2\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = - 2\\z = 3\end{array} \right.\end{array}\)
\( \Rightarrow B\left( {3; - 2;3} \right)\).
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho điểm \(M\) thỏa mãn \[\overrightarrow {OM} = - 2\overrightarrow i + \overrightarrow j + 3\overrightarrow k \]. Tọa độ điểm \(M\)là
\(\left( {2; - 1; - 3} \right)\).
\(\left( {2;1;3} \right)\).
\(\left( { - 2;1;3} \right)\).
\(\left( { - 2; - 1;3} \right)\).
Chọn C
Tọa độ\[\overrightarrow {OM} = - 2\overrightarrow i + \overrightarrow j + 3\overrightarrow k \Rightarrow \overrightarrow {OM} = \left( { - 2;1;3} \right)\].
Tọa độ điểm M là \(M\left( { - 2;1;3} \right)\).
Xét mẫu số liệu ghép nhóm có phương sai bằng 9. Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu đó bằng
\(3\).
\(9\).
\(\sqrt 3 \).
\(6\).
Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu đó bằng \(\sqrt 9 = 3\).
Kết quả đo chiều cao của 45 học sinh lớp 12A được thống kê như sau?
Chiều cao | \(\left[ {155;160} \right)\) | \(\left[ {160;165} \right)\) | \(\left[ {165;170} \right)\) | \(\left[ {170;175} \right)\) | \(\left[ {175;180} \right)\) |
Số học sinh | 10 | 18 | 9 | 5 | 3 |
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm trên bằng
\(25\).
\(20\).
\(35\).
\(30\).
Chọn A
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm: \(R = 180 - 155 = 25\).
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ
Điểm cực đại của hàm số đã cho
\(x = 1\).
\(x = 2\).
\(x = 0\).
\(x = - 2\).
Điểm cực đại của hàm số đã cho là: \(x = 0\).
Nghiệm của phương trình \({\log _3}\left( {4x - 7} \right) = 2\) là
\(x = \frac{{13}}{4}\).
\(x = \frac{9}{4}\).
\(x = 3\).
\(x = 4\).
ĐKXĐ \(x > \frac{7}{4}\).
Phương trình tương đương: \((4x - 7) = {3^2} \Leftrightarrow 4x - 7 = 9 \Leftrightarrow x = 4\)
Vậy nghiệm của phương trình \(x = 4\).
Trong các hàm số cho dưới đây, hàm số nào đồng biến \(( - \infty ; + \infty )\)?
\(y = - {x^3} + 3x + 1\).
\(y = 2{x^3} + x - 5\).
\(y = \sqrt x \).
\(y = \frac{{2x - 1}}{{x + 1}}\).
Chọn B
Xét hàm số \(y = 2{x^3} + x - 5 \Rightarrow y' = 6{x^2} + 1 > 0,\forall x \in \mathbb{R}\).
Kết quả điểm thi khảo sát chất lượng học kỳ I môn Toán của hai khối 10; 11 ở một trường THPT tỉnh Hưng Yên được biểu diễn bởi mẫu số liệu ghép nhóm ở bảng sau:
Điểm trung bình của toàn khối 11 là \(4,83\) (Kết quả tính làm tròn đến hàng phần trăm).
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm khối 10 là \(\Delta {Q_{K10}} = 2,41\) (Kết quả tính làm tròn đến hàng phần trăm).
Nếu so sánh theo độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm thì học sinh khối 10 có điểm đồng đều hơn điểm học sinh khối 11.
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm trên là \(R = 9\).
Đáp án: Sai/Sai/Sai/Đúng.
Tổng số học sinh của mỗi khối 10; 11 đều bằng 540 \( \Rightarrow {N_{K10}} = {N_{K11}} = 540\).
a) Điểm trung bình của khối 11 là:
\(\overline {{x_{K11}}} = \frac{{1,5.1 + 2,5.4 + 3,5.35 + 4,5.86 + 5,5.117 + 6,5.112 + 7,5.102 + 8,5.64 + 9,5.19}}{{540}} = \frac{{1691}}{{270}} \approx 6,26\)
Vậy a) là mệnh đề sai.
b)
Ta có: \(\frac{{{N_{K10}}}}{4} = 135 \Rightarrow \) Xét nhóm 3 có: \(r = 3,\,\,c{f_2} = 63,\,\,{n_3} = 118,\,\,d = 1\).
\({Q_1} = 3 + \frac{{135 - 63}}{{118}}.1 = \frac{{213}}{{59}}\)
Ta có: \(\frac{{3{N_{K10}}}}{4} = 405 \Rightarrow \) Xét nhóm 6 có: \(r = 6,\,\,c{f_5} = 397,\,\,{n_6} = 62,\,\,d = 1\).
\({Q_3} = 6 + \frac{{405 - 379}}{{62}}.1 = \frac{{199}}{{31}}\)
Vậy \(\Delta {Q_{K10}} = {Q_3} - {Q_1} = \frac{{199}}{{31}} - \frac{{213}}{{59}} \approx 2,81\).
Vậy b) là mệnh đề sai.
c) Khối 10:
\(\overline {{x_{K10}}} = \frac{{1,5.11 + 2,5.52 + 3,5.118 + 4,5.121 + 5,5.95 + 6,5.62 + 7,5.47 + 8,5.27 + 9,5.7}}{{540}} = \frac{{1339}}{{270}}\)
\( \Rightarrow {s_{K10}} \approx 1,77\)
Khối 11: \(\overline {{x_{K11}}} = \frac{{1691}}{{270}} \Rightarrow {s_{K11}} \approx 1,59\)
Ta thấy: \({s_{K10}} > {s_{K11}}\). Suy ra, học sinh khối 11 có điểm đồng đều hơn điểm học sinh khối 10.
Vậy c) là mệnh đề sai.
d) \(R = 10 - 1 = 9\).
Vậy d) là mệnh đề đúng.
Khảo sát một nhóm 50 học sinh ở một trường THPT người ta thấy rằng: Có 20 học sinh giỏi Ngoại ngữ, 15 học sinh giỏi Tin học, 10 học sinh giỏi cả Ngoại ngữ và Tin học. Chọn ngẫu nhiên một học sinh từ nhóm 50 học sinh ở trên.
Xác suất để chọn được học sinh chỉ giỏi một môn Ngoại ngữ là \(0,3\).
Xác suất để chọn được học sinh giỏi cả Ngoại ngữ và Tin học bằng \(0,2\).
Xác suất để chọn được học sinh giỏi Ngoại ngữ bằng \(0,4\).
Xác suất để chọn được học sinh giỏi Ngoại ngữ hoặc Tin học bằng \(0,7\).
Đáp án: Sai/ Đúng/ Đúng/ Sai/.
a) Số học sinh chỉ giỏi một môn Ngoại ngữ là: \(20 - 10 = 10\) (Học sinh).
Xác suất để chọn được học sinh chỉ giỏi một môn Ngoại ngữ là \(\frac{{10}}{{50}} = 0,2\).
Nên a) sai.
b) Số học sinh giỏi cả Ngoại ngữ và Tin học là 10 học sinh.
Xác suất để chọn được học sinh giỏi cả Ngoại ngữ và Tin học là \(\frac{{10}}{{50}} = 0,2\).
Nên b) đúng.
c) Số học sinh giỏi Ngoại ngữ là 20 học sinh.
Xác suất để chọn được học sinh giỏi Ngoại ngữ là \(\frac{{20}}{{50}} = 0,4\).
Nên c) đúng.
d) Số học sinh giỏi Ngoại ngữ hoặc Tin học là: \(20 + 15 - 10 = 25\) (Học sinh).
Xác suất để chọn được học sinh giỏi Ngoại ngữ hoặc Tin học là \(\frac{{25}}{{50}} = 0,5\).
Nên d) sai.
Cho hàm số \(f(x) = \frac{{x - 2}}{{x - 1}}\) có đồ thị là đường cong \((C)\).
Hàm số đồng biến trên khoảng \(( - \infty ; + \infty )\).
Đồ thị \((C)\) như hình vẽ dưới đây.
Gọi \(M,m\) lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = |f(x)|\) trên đoạn \(\left[ {\frac{3}{2};3} \right]\). Khi đó: \(2M + 2026m = 2027\).
Đồ thị \((C)\) có đường tiệm cận ngang \(y = 1\) và đường tiệm cận đứng \(x = 1\).
Ta có hàm số \(f(x) = \frac{{x - 2}}{{x - 1}}\).
Tập xác định: \(D = \mathbb{R} \setminus \{ 1\} \).
Đạo hàm: \(f'(x) = \frac{{(x - 1) - (x - 2)}}{{{{(x - 1)}^2}}} = \frac{1}{{{{(x - 1)}^2}}}\).
a) Sai. Hàm số không đồng biến trên khoảng \(( - \infty ; + \infty )\) vì nó không liên tục tại \(x = 1\).
b) Đồ thị \((C)\) như hình vẽ dưới đây.
Ta xác định các yếu tố của đồ thị hàm số \(f(x) = \frac{{x - 2}}{{x - 1}}\):
Tiệm cận đứng: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{x - 2}}{{x - 1}} = - \infty \) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{x - 2}}{{x - 1}} = + \infty \). Vậy đường thẳng \(x = 1\) là tiệm cận đứng.
Tiệm cận ngang: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{x - 2}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{1 - \frac{2}{x}}}{{1 - \frac{1}{x}}} = 1\). Vậy đường thẳng \(y = 1\) là tiệm cận ngang.
Giao điểm với trục \(Ox\): Cho \(f(x) = 0 \Rightarrow x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2\). Điểm \((2;0)\).
Giao điểm với trục \(Oy\): Cho \(x = 0 \Rightarrow f(0) = \frac{{0 - 2}}{{0 - 1}} = 2\). Điểm \((0;2)\).
So sánh với hình vẽ, đồ thị trong hình vẽ có tiệm cận đứng \(x = 1\), tiệm cận ngang \(y = 1\), đi qua điểm \((2;0)\) và \((0;2)\), và có hình dạng của một hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất có đạo hàm dương. Do đó, khẳng định b) là Đúng.
c) Gọi \(M,m\) lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = |f(x)|\) trên đoạn \(\left[ {\frac{3}{2};3} \right]\). Khi đó: \(2M + 2026m = 2027\).
Xét hàm số \(f(x) = \frac{{x - 2}}{{x - 1}}\) trên đoạn \(\left[ {\frac{3}{2};3} \right]\).
Ta có \(f'(x) = \frac{1}{{{{(x - 1)}^2}}} > 0\) với mọi \(x \in \left[ {\frac{3}{2};3} \right]\).
Do đó, \(f(x)\) là hàm đồng biến trên đoạn \(\left[ {\frac{3}{2};3} \right]\).
Các giá trị của \(f(x)\) trên đoạn này là: \(f\left( {\frac{3}{2}} \right) = - 1\); \(f(3) = \frac{1}{2}\).
Vậy, trên đoạn \(\left[ {\frac{3}{2};3} \right]\), \(f(x) \in \left[ { - 1;\frac{1}{2}} \right]\).
Bây giờ xét hàm số \(y = |f(x)|\).
Khi \(f(x) \in \left[ { - 1;\frac{1}{2}} \right]\), giá trị của \(|f(x)|\) sẽ là:
Nếu \(f(x) = - 1\), thì \(|f(x)| = | - 1| = 1\). (Tại \(x = \frac{3}{2}\))
Nếu \(f(x) = 0\), thì \(|f(x)| = |0| = 0\). (Tại \(x = 2\))
Nếu \(f(x) = \frac{1}{2}\), thì \(|f(x)| = \left| {\frac{1}{2}} \right| = \frac{1}{2}\). (Tại \(x = 3\))
Do \(f(x)\) tăng từ \( - 1\) đến \(0\) rồi đến \(\frac{1}{2}\), nên \(|f(x)|\) sẽ giảm từ \(1\) xuống \(0\) (tại \(x = 2\)) rồi tăng lên \(\frac{1}{2}\) (tại \(x = 3\)).
Vậy, giá trị lớn nhất của \(|f(x)|\) trên đoạn \(\left[ {\frac{3}{2};3} \right]\) là \(M = 1\).
Giá trị nhỏ nhất của \(|f(x)|\) trên đoạn \(\left[ {\frac{3}{2};3} \right]\) là \(m = 0\).
Suy ra: \(2M + 2026m = 2(1) + 2026(0) = 2\). Vì \(2 \ne 2027\), khẳng định c) là Sai.
d) Đồ thị \((C)\) có đường tiệm cận ngang \(y = 1\) và đường tiệm cận đứng \(x = 1\).
Như đã phân tích ở câu b), hàm số \(f(x) = \frac{{x - 2}}{{x - 1}}\) có:
Tiệm cận đứng là đường thẳng \(x = 1\).
Tiệm cận ngang là đường thẳng \(y = 1\).
Do đó, khẳng định d) là Đúng.
Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\), \(O\) là tâm của đáy \(ABCD\), được gắn vào hệ trục toạ độ \(Oxyz\) như hình vẽ. Biết cạnh \(SA = AB = 3\sqrt 2 \) và điểm \(G\) là trọng tâm tam giác \(SAB\). Khi đó:
Độ dài đoạn \(BG = 6\sqrt 2 \).
\(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = 0\).
Tọa độ điểm \(C\) là \(\left( {0;6;0} \right)\).
Nếu \(K\left( {0;m;n} \right)\) là điểm thuộc mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right)\) sao cho \(KG + KB\) đạt giá trị nhỏ nhất thì \({m^2} + {n^2} = \frac{9}{8}\).
a) Sai.
Do \(SA = SB = AB = 3\sqrt 2 \) nên \(\Delta SAB\) đều, có trọng tâm \(G\)\( \Rightarrow BG = 3\sqrt 2 \times \frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{3\sqrt 6 }}{2}\).
b) Đúng.
c) Sai.
Hình vuông \(ABCD\) có \(AB = 3\sqrt 2 \Rightarrow OC = \frac{{AC}}{2} = \frac{{3\sqrt 2 \times \sqrt 2 }}{2} = 3 \Rightarrow C\left( {0;3;0} \right)\).
d) Đúng.
Ta có: \(A\left( {0; - 3;0} \right)\), \(B\left( {3;0;0} \right)\), \(SO = \sqrt {S{A^2} - O{A^2}} = \sqrt {{{\left( {3\sqrt 2 } \right)}^2} - {3^2}} = 3 \Rightarrow S\left( {0;0;3} \right)\).
Suy ra, tọa độ trọng tâm: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{0 + 3 + 0}}{3} = 1\\{y_G} = \frac{{ - 3 + 0 + 0}}{3} = - 1\\{z_G} = \frac{{0 + 0 + 3}}{3} = 1\end{array} \right. \Rightarrow G\left( {1; - 1;1} \right)\).
Gọi \(G'\) là điểm đối xứng với \(G\) qua mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right)\)\( \Rightarrow G'\left( { - 1; - 1;1} \right)\).
Xét \(KG + KB = KG' + KB \ge G'B\), dấu bằng xảy ra khi ba điểm \(B\), \(K\), \(G'\) thẳng hàng.
Khi đó: \(\overrightarrow {G'K} = \left( {1;m + 1;n - 1} \right)\) cùng phương với \(\overrightarrow {G'B} = \left( {4;1; - 1} \right)\)
\( \Rightarrow \frac{1}{4} = \frac{{m + 1}}{1} = \frac{{n - 1}}{{ - 1}} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = - \frac{3}{4}\\n = \frac{3}{4}\end{array} \right. \Rightarrow {m^2} + {n^2} = \frac{9}{8}\).
Cho hàm số \(y = \frac{{{x^2} - 2x - 2}}{{x + 1}}\) có đồ thị \(\left( C \right)\) và điểm \(M\left( {1; - 3} \right)\). Gọi \(A,B\) là hai điểm cực trị của đồ thị \(\left( C \right)\). Tính diện tích của tam giác \(MAB\).
Đáp án: \(3\).
Ta có \(y' = \frac{{{x^2} + 2x}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\)
\(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = - 2\end{array} \right.\)
\(x = 0 \Rightarrow y = - 2\) và \(x = - 2 \Rightarrow y = - 6\)
Þ Toạ độ hai điểm cực trị của đồ thị \(\left( C \right)\) là \(A\left( {0; - 2} \right),B\left( { - 2; - 6} \right)\)
Þ \(AB = \sqrt {{2^2} + {4^2}} = 2\sqrt 5 \)
Ta có phương trình đường thẳng \(AB\) là \(y = 2x - 2\) hay \(2x - y - 2 = 0\).
Þ Khoảng cách từ \(M\) đến đường thẳng \(AB\) là \(d\left( {M,AB} \right) = \frac{{\left| {2.1 - \left( { - 3} \right) - 2} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2}} }} = \frac{3}{{\sqrt 5 }}\)
Þ Diện tích của tam giác \(MAB\) là \({S_{\Delta MAB}} = \frac{1}{2}AB.d\left( {M,AB} \right) = \frac{1}{2}.2\sqrt 5 .\frac{3}{{\sqrt 5 }} = 3\).
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho ba điểm \(A,B,C\) biết \(\overrightarrow {AB} = \left( {3;\, - 3;\,3} \right)\), \(\overrightarrow {AC} = \left( { - 3;\,3;\, - 9} \right)\). Điểm \(M\) thuộc đoạn \(BC\) thỏa mãn \(2BM = MC\). Gọi \(\left( {a;\,b;\,c} \right)\) là tọa độ của \(\overrightarrow {AM} \). Tính \(26a + b - 2001c\).
Đáp án: \(2026\).
Theo bài ra, điểm \(M\) thuộc đoạn \(BC\) thỏa mãn \(2BM = MC\) nên ta có: \(2\overrightarrow {BM} = \overrightarrow {MC} \).
\( \Leftrightarrow 2\left( {\overrightarrow {AM} - \overrightarrow {AB} } \right) = \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AM} \).
\( \Leftrightarrow 2\overrightarrow {AM} - 2\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AM} \).
\( \Leftrightarrow \overrightarrow {AM} = \frac{1}{3}\left( {2\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right)\).
Mà \[2\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = \left( {3;\, - 3;\, - 3} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AM} = \frac{1}{3}\left( {2\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right) = \left( {1;\, - 1;\, - 1} \right)\].
Khi đó: \(a = 1;\,b = c = - 1\).
Vậy: \(26.1 + \left( { - 1} \right) - 2001.\left( { - 1} \right) = 2026\).
Cho hình chóp \[S.ABC\] có đáy là tam giác đều cạnh bằng \[1\]và \[SA \bot \left( {ABC} \right)\].Gọi \[M,N\] là hai điểm lần lượt thuộc các cạnh \[SB,SC\]sao cho \[SM = 3MB,NC = 2NS\]. Biết rằng \[AN\] vuông góc với \[CM\]. Tính thể tích khối chóp \[S.ABC\] (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
Đáp án: \[0,16\].
Vì \[SM = 3MB,NC = 2NS\] nên \[\overrightarrow {AN} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AS} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {CM} = \frac{1}{4}\overrightarrow {CS} + \frac{3}{4}\overrightarrow {CB} \],
Vì \[AN\] vuông góc với \[CM\] nên
\[\begin{array}{l}\overrightarrow {AN} .\overrightarrow {CM} = 0 \Leftrightarrow \left( {\frac{2}{3}\overrightarrow {AS} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} } \right).\left( {\frac{1}{4}\overrightarrow {CS} + \frac{3}{4}\overrightarrow {CB} } \right) = 0\\ \Leftrightarrow \frac{1}{6}\overrightarrow {AS} .\overrightarrow {CS} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AS} .\overrightarrow {CB} + \frac{1}{{12}}\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {CS} + \frac{1}{4}\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {CB} = 0\\ \Leftrightarrow \frac{1}{6}\overrightarrow {SA} .\overrightarrow {SC} - \frac{1}{{12}}\overrightarrow {CA} .\overrightarrow {CS} - \frac{1}{4}\overrightarrow {CA} .\overrightarrow {CB} = 0\left( {do\;SA \bot CB} \right)\\ \Leftrightarrow \frac{1}{6}.\frac{{S{A^2} + S{C^2} - A{C^2}}}{2} - \frac{1}{{12}}.\frac{{C{A^2} + S{C^2} - S{A^2}}}{2} - \frac{1}{4}.\frac{{C{A^2} + C{B^2} - A{B^2}}}{2} = 0\\ \Leftrightarrow S{A^2}.\frac{1}{8} + \frac{1}{{24}}.S{C^2} - \frac{1}{{24}} - \frac{1}{{24}} - \frac{1}{8} = 0\\ \Leftrightarrow S{A^2}.\frac{1}{8} + \frac{1}{{24}}.\left( {S{A^2} + A{C^2}} \right) - \frac{1}{4} = 0\\ \Leftrightarrow SA = \frac{{\sqrt 5 }}{2}\end{array}\]
Thể tích khối chóp \[S.ABC\] là \[V = \frac{1}{3}.SA.{S_{ABC}} = \frac{1}{3}.\frac{{\sqrt 5 }}{2}.\frac{{{1^2}.\sqrt 3 }}{4} \approx 0,16\].
Một người đưa thư xuất phát từ bưu điện (vị trí A) và phải đi qua các địa điểm B, C, D để phát thư (mỗi địa điểm chỉ qua một lần) rồi quay lại bưu điện. Sơ đồ các địa điểm cần đi và thời gian (đơn vị: phút) di chuyển qua lại giữa các điểm được mô tả ở hình vẽ bên dưới. Thời gian đi ít nhất của người đưa thư là bao nhiêu phút?
Yêu cầu bài toán:
Tìm ra chu trình Hamilton có tổng trọng số ngắn nhất: \(A \to \ldots \to \ldots \to \ldots \to A\)
Cách 1: Láng giềng gần (không phải cách chặt chẽ)
· Từ A có 3 sự lựa chọn:
o \( \to C:15\)
o \( \to D:30\)
o \( \to B:42\)
\( \Rightarrow \) Chọn C vì 15 là nhỏ nhất.
· Từ C có 2 sự lựa chọn (không về A nữa):
o \( \to B:34\)
o \( \to D:35\)
\( \Rightarrow \) Chọn B.
· Từ B có 1 sự lựa chọn (không về A, C nữa):
o \( \to D:20\)
· Từ D về A: 30
Tổng chu trình:
15 + 34 + 20 + 30 = 99
Cách 2: Loại bỏ đường đi (không dùng được cho mọi bài)
Nhận xét: Chu trình Hamilton luôn đi qua mỗi đỉnh đúng 1 lần \( \to \) mỗi đỉnh sẽ có 1 đường vào, 1 đường ra.
Mà mỗi đỉnh trong 4 đỉnh lại có tận 3 đường (3 cạnh) nối với nó.
\( \Rightarrow \) Loại bỏ 2 cạnh không chung đỉnh có tổng trọng số lớn nhất:
· Loại AB, CD: \(42 + 35 = 77\) (Lớn nhất \( \to \) Chọn bỏ)
· Loại AC, BD: \(15 + 20 = 35\)
· Loại AD, BC: \(30 + 34 = 64\)
\( \Rightarrow \) Chọn bỏ cạnh AB và CD.
Tổng trọng số:
= (Tất cả các cạnh) - (AB + CD)
\( = 176 - 77 = {\bf{99}}\).
Đáp án: 99.
Một chiếc Container được buộc vào móc \(S\) của một chiếc cần cẩu bởi bốn sợi dây cáp không giãn \(SA,\,\,SB,\,\,SC,\,\,SD\) có độ dài bằng nhau và cùng tạo với mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) một góc bằng \(45^\circ \) (tham khảo hình vẽ bên dưới). Chiếc cần cẩu kéo chiếc Container lên theo phương thẳng đứng. Tính cường độ lực căng (đơn vị kN) của mỗi sợi dây cáp, biết rằng các lực căng \(\overrightarrow {{F_1}} ,\,\,\overrightarrow {{F_2}} ,\,\,\overrightarrow {{F_3}} ,\,\,\overrightarrow {{F_4}} \) trên mỗi sợi dây cáp đều có độ lớn bằng nhau và trọng lượng của chiếc container bằng 80 kN (Kết quả làm tròn đến 1 chữ số sau dấu phẩy).
Đáp án: 28,3.
Gọi \(O\) là tâm hình chữ nhật \(ABCD\). Ta có \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\), \(\left( {SA,\left( {ABCD} \right)} \right) = \widehat {SAO} = 45^\circ \)
Khi đó \(\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SC} + \overrightarrow {SD} = 4\overrightarrow {SO} \)
Theo đầu bài ta có \(\left| {\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_3}} + \overrightarrow {{F_4}} } \right| = \left| {\overrightarrow P } \right| \Leftrightarrow \left| {\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SC} + \overrightarrow {SD} } \right| = 80 \Leftrightarrow 4\left| {\overrightarrow {SO} } \right| = 80 \Rightarrow SO = 20\)
Xét tam giác \(SAO\) vuông tại \(O\) có
\(\sin \widehat {SAO} = \frac{{SO}}{{SA}} \Rightarrow SA = \frac{{SO}}{{\sin 45^\circ }} = \frac{{20}}{{\sin 45^\circ }} = 20\sqrt 2 \approx 28,3\).
Vậy cường độ lực căng của mỗi sợi dây cáp là khoảng \(28,3kN.\)
Nhà máy \(A\) chuyên sản xuất một loại sản phẩm cho nhà máy \(B\). Hai nhà máy thỏa thuận rằng, hằng tháng \(A\) cung cấp cho \(B\) số lượng sản phẩm theo đơn đặt hàng của \(B\) (tối đa \(100\) tấn sản phẩm). Nếu số lượng đặt hàng là \(x\) tấn sản phẩm thì giá bán cho mỗi tấn sản phẩm là \(P(x) = 90 - 0,01{x^2}\) (triệu đồng). Chi phí để \(A\) sản xuất \(x\) tấn sản phẩm trong một tháng là \(C(x) = 100 + 15x\) (triệu đồng) (gồm \(100\) triệu đồng chi phí cố định và \(15\) triệu đồng chi phí cho mỗi tấn sản phẩm). Hỏi \(A\) bán cho \(B\) bao nhiêu tấn sản phẩm mỗi tháng thì thu được lợi nhuận cao nhất?
Đáp án: 50.
Lợi nhuận mà \(A\) thu được khi bán \(x\) tấn sản phẩm \((0 \le x \le 100)\) cho \(B\) là
\(H(x) = xP(x) - C(x) = x(90 - 0,01{x^2}) - (100 + 15x) = - 0,01{x^3} + 75x - 100\)
\(H(x) = - 0,01{x^3} + 75x - 100\)
\(H\prime (x) = - 0,03{x^2} + 75\)
\(H'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 50\\x = - 50\end{array} \right.\).
Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên ta có \(A\) bán cho \(B\) \(50\) tấn sản phẩm thì lợi nhuận là lớn nhất.
