Đề thi thử Tốt nghiệp THPT Toán 2025-2026 THPT Chuyên Lê Thánh Tông (Đà Nẵng) có đáp án

Chọn A

Cỡ mẫu \(n = 3 + 6 + 5 + 4 + 2 = 20\).
Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là \(\bar x = \frac{{3 \cdot 2,85 + 6 \cdot 3,15 + 5 \cdot 3,45 + 4 \cdot 3,75 + 2 \cdot 4,05}}{{20}} = 3,39.\)

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là \({s^2} = \frac{1}{{20}}\left[ {3{{(2,85 - 3,39)}^2} + 6{{(3,15 - 3,39)}^2} + 5{{(3,45 - 3,39)}^2} + 4{{(3,75 - 3,39)}^2} + 2{{(4,05 - 3,39)}^2}} \right].\)

Suy ra \({s^2} = 0,1314 \approx 0,13\).

Chọn A

Ta có \(\vec a\) và \(\vec b\) là hai vectơ cùng hướng nên \(\left( {\vec a,\vec b} \right) = {0^ \circ }\).
Suy ra \(\vec a \cdot \vec b = \left| {\vec a} \right| \cdot \left| {\vec b} \right| \cdot {\rm{cos}}{0^ \circ } = \left| {\vec a} \right| \cdot \left| {\vec b} \right|\)

Chọn C

Ta có \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} = 0\\x - 1 = 0\\{(x - 2)^3} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\\x = 2\end{array} \right.\).
Bảng biến thiên

 

Dựa vào bảng biến thiên suy ra hàm số \(f\left( x \right)\) có \(1\) điểm cực đại.

Đáp án: Đúng/Đúng/Sai/ Sai.

Ta có: \(n\left( \Omega \right) = 30\).

a) Gọi A là biến cố lấy được thẻ chia hết cho \(3\).

Ta có: \(A = \left\{ {3;6;9;12;15;18;21;24;27;30} \right\}\).   

\(P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{10}}{{30}} = \frac{1}{3}\) .                     

Vậy a) là mệnh đề đúng.

b) Gọi B là biến cố lấy được thẻ chia hết cho \(5\).

\(B = \left\{ {5;10;15;20;25;30} \right\}\).

 \(P\left( B \right) = \frac{{n\left( B \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{6}{{30}} = \frac{1}{5}\) .                       

Vậy b) là mệnh đề đúng.

c) Gọi C là biến cố lấy được thẻ chia hết cho cả \(3\) và \(5\).

Ta có: \(C = \left\{ {15;30} \right\}\)

\(P\left( C \right) = \frac{{n\left( C \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{2}{{30}} = \frac{1}{{15}}\).                          

Vậy c) là mệnh đề sai.

d) Gọi D là biến cố: lấy được thẻ chia hết cho \(3\) hoặc chia hết cho \(5\).

Ta có: \(n\left( D \right) = n\left( A \right) + n\left( B \right) - n\left( {A \cap B} \right) = 10 + 6 - 2 = 14\).

\(P\left( D \right) = \frac{{n\left( D \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{14}}{{30}} = \frac{7}{{15}}\).          

Vậy d) là mệnh đề sai.

a) Điểm \(B\) là giao điểm của đồ thị với trục hoành nên:

\(f\left( x \right) = 0 \Rightarrow 135x - {x^2} - {x^3} = 0 \Leftrightarrow \)\(x\left( {135 - x - {x^2}} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \frac{{ - 1 + \sqrt {541} }}{2}\\x = \frac{{ - 1 - \sqrt {541} }}{2}\end{array} \right.\)

Ngoài nghiệm \(x = 0\) ứng với điểm \(A\), ta có: \({x_B} = \frac{{ - 1 + \sqrt {541} }}{2}\)

Suy ra: \(AB = {x_B} \cdot 10 \approx 111{\rm{m}}.\)

Chọn ĐÚNG

b) Ta có: \(f'\left( x \right) = \frac{{135 - 2x - 3{x^2}}}{{200}}.\)

\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \)\(135 - 2x - 3{x^2} = 0 \Leftrightarrow \)\(x = \frac{{ - 1 \pm \sqrt {406} }}{3}.\)

Do \(x \ge 0\), suy ra: \({x_0} = \frac{{\sqrt {406} - 1}}{3}.\)

Chọn ĐÚNG

c) Độ cao lớn nhất ứng với giá trị cực đại của hàm số:

\({y_{\max }} = f\left( {\frac{{\sqrt {406} - 1}}{3}} \right) \approx 2,8.\)

Vì mỗi đơn vị trên trục tung ứng với \(10{\rm{m}}\), nên: \({H_{\max }} = 2,8 \cdot 10 = 28{\rm{m}}.\)

Chọn SAI

d) Hệ số góc tiếp tuyến của đồ thị tại \(A\) là: \(f'\left( 0 \right) = \frac{{135}}{{200}}.\)

Do đó: \(\tan \alpha = \frac{{135}}{{200}} \Rightarrow \alpha \approx 34^\circ .\)

Chọn ĐÚNG

a) Số phụ nữ ở khu vực \[A\] là \[100\], số phụ nữ ở khu vực \[B\] là \[100\].

b) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm ứng với khu vực \[B\] là \[31 - 19 = 12\]

c) - Số phụ nữ ở khu vực \[A\]

Số trung bình \[{\overline x _{_A}} = \frac{1}{{100}}\left( {20,5.10 + 23,5.27 + 26,5.31 + 29,5.25 + 32,5.7} \right) = 26,26\]

- Số phụ nữ ở khu vực \[B\]

Số trung bình \[{\overline x _{_B}} = \frac{1}{{100}}\left( {20,5.47 + 23,5.40 + 26,5.11 + 29,5.2 + 32,5.0} \right) = 22,54\]

Khi đó \[{\overline x _{_A}} > {\overline x _{_B}}\]nên phụ nữ ở khu vực \[A\] kết hôn sớm hơn phụ nữ ở khu vực \[B\].

d) - Số phụ nữ ở khu vực \[A\]

Số trung bình \[{\overline x _{_A}} = \frac{1}{{100}}\left( {20,5.10 + 23,5.27 + 26,5.31 + 29,5.25 + 32,5.7} \right) = 26,26\]

Phương sai \[{s^2}_A = \frac{1}{{100}}\left( {20,{{5.10}^2} + 23,{{5.27}^2} + 26,{{5.31}^2} + 29,{{5.25}^2} + 32,{{5.7}^2}} \right) - 26,{26^2} = 10,7424\]

Độ lệch chuẩn \[{s_A} = \sqrt {{s^2}} = 3,28\].

- Số phụ nữ ở khu vực \[B\]

Số trung bình \[{\overline x _{_B}} = \frac{1}{{100}}\left( {20,5.47 + 23,5.40 + 26,5.11 + 29,5.2 + 32,5.0} \right) = 22,54\]

Phương sai \[{s^2}_B = \frac{1}{{100}}\left( {20,{{5.47}^2} + 23,{{5.40}^2} + 26,{{5.11}^2} + 29,{{5.2}^2} + 32,{{5.0}^2}} \right) - 22,{54^2} = 5,0184\]

Độ lệch chuẩn \[{s_B} = \sqrt {{s^2}} = 2,24\].

Khi đó \[{s_A} > {s_B}\].

a) Sai. Vì nền nhà là hình chữ nhật nên tứ giác \(OABC\)là hình chữ nhật nên tọa độ điểm \(A\) là \(A(4;0;0)\)

b) Đúng. Do \(\overrightarrow {EH} = \overrightarrow {PQ} \) nên tọa độ của các điểm \(H(0;5;3)\).

c) Sai. Góc nhị diện có cạnh là đường thẳng \(PQ\), hai mặt lần lượt là \((PQGF)\)và \((PQHE)\)gọi là góc của mái nhà.

Do \(PQ\) vuông góc với hai đường thẳng \(QH;\,\,QG\) nên góc cần tìm là góc giữa \(QH;\,\,QG\).

Tìm góc \(HQG\).

\(\cos \widehat {HQG} = c{\rm{os(}}\overrightarrow {QH} ;\overrightarrow {QG} {\rm{) = }}\frac{{\overrightarrow {QH} .\overrightarrow {QG} }}{{QH.QG}} = - \frac{3}{5}\) (Do \(\overrightarrow {QH} \left( { - 2;0; - 1} \right);\overrightarrow {QG} \left( {2;0; - 1} \right)\)). Do đó góc nhị diện cần tìm là góc tù.

d) Đúng. Do đỉnh mái là \(P(2;0;4)\)nên chiều cao của ngôi nhà là 4.

Đáp án: \[3,46\].

Gọi \[M,N\] lần lượt là trung điểm của \[AB,CD\]

 cân nên \[AN \bot CD,BN \bot CD,CM \bot AB,DM \bot AB\].

Suy ra góc giữa hai mặt phẳng \[\left( {ACD} \right)\] và \[\left( {BCD} \right)\] là \[\widehat {ANB} = {90^0}\](\[\left( {ACD} \right)\] và \[\left( {BCD} \right)\]vuông góc với nhau), góc giữa hai mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\] và \[\left( {ABD} \right)\] là \[\widehat {CMD} = {90^0}\] (\[\left( {ABC} \right)\] và \[\left( {ABD} \right)\]vuông góc với nhau). \[AN = \sqrt {9 - \frac{{{a^2}}}{4}} = BN,AB = \sqrt {18 - \frac{{{a^2}}}{2}} ,MD = \sqrt {9 - \frac{{18 - \frac{{{a^2}}}{2}}}{4}} = \sqrt {\frac{{18 + \frac{{{a^2}}}{2}}}{4}} = MC\].

 vuông cân tại M nên \[CD = MD\sqrt 2 \Rightarrow a = 2\sqrt 3 \approx 3,46\left( {dm} \right)\]

Đáp án: 6400.

Mỗi em bé có 2 lựa chọn (giơ cờ Xanh hoặc cờ Đỏ). Vì có 10 em bé nên tổng số cách giơ cờ (số phần tử của không gian mẫu) là:\(n(\Omega ) = {2^{10}} = 1024\)

10 em bé đứng cách đều nhau trên một vòng tròn tạo thành một thập giác đều nội tiếp.

Một hình chữ nhật nội tiếp đường tròn bắt buộc phải có hai đường chéo là hai đường kính của đường tròn đó. Thập giác đều có 10 đỉnh, suy ra có \(\frac{{10}}{2} = 5\) đường kính đi qua tâm.

Gọi tập hợp 5 đường kính này là \(D = \{ {d_1},{d_2},{d_3},{d_4},{d_5}\} \).

Mỗi hình chữ nhật được tạo thành bằng cách chọn bất kỳ 2 trong 5 đường kính này.

Để một hình chữ nhật có 4 đỉnh cùng màu, thì 2 đường kính tạo nên nó phải có cùng trạng thái màu ở các đầu mút.Xét một đường kính bất kỳ nối 2 em bé đối diện nhau. Có \(2 \times 2 = 4\) khả năng xảy ra về màu cờ của 2 em bé này:

· Trạng thái 1 (XX): Cả 2 bé đều giơ Xanh (1 trường hợp: Xanh - Xanh).

· Trạng thái 2 (ĐĐ): Cả 2 bé đều giơ Đỏ (1 trường hợp: Đỏ - Đỏ).

· Trạng thái 3 (Khác): 1 bé Xanh, 1 bé Đỏ (2 trường hợp: Xanh - Đỏ hoặc Đỏ - Xanh).

Điều kiện đề bài: "Không có 4 cờ nào cùng màu ở 4 đỉnh của một hình chữ nhật" tương đương với:

· Không được chọn ra 2 đường kính cùng có trạng thái XX (để tránh hình chữ nhật toàn màu Xanh). \( \Rightarrow \) Số đường kính trạng thái XX chỉ được là 0 hoặc 1.

· Không được chọn ra 2 đường kính cùng có trạng thái ĐĐ (để tránh hình chữ nhật toàn màu Đỏ). \( \Rightarrow \) Số đường kính trạng thái ĐĐ chỉ được là 0 hoặc 1.

Gọi \(k\) là số đường kính có trạng thái XX.

Gọi \(m\) là số đường kính có trạng thái ĐĐ.

Số đường kính còn lại là \(5 - k - m\) sẽ có trạng thái "Khác" (mỗi đường có 2 cách chọn màu).

Theo lập luận trên, ta cần tìm số cách sao cho \(0 \le k \le 1\) và \(0 \le m \le 1\).

· Trường hợp 1: \(k = 0,m = 0\) (0 đường XX, 0 đường ĐĐ, 5 đường Khác)

Số cách chọn: \(C_5^0 \cdot C_5^0 \cdot {2^5} = 1 \cdot 1 \cdot 32 = 32\) cách.

· Trường hợp 2: \(k = 1,m = 0\) (1 đường XX, 0 đường ĐĐ, 4 đường Khác)

Số cách chọn: \(C_5^1 \cdot C_4^0 \cdot {1^1} \cdot {2^4} = 5 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 16 = 80\) cách.

· Trường hợp 3: \(k = 0,m = 1\) (0 đường XX, 1 đường ĐĐ, 4 đường Khác)

Số cách chọn: \(C_5^0 \cdot C_5^1 \cdot {1^1} \cdot {2^4} = 1 \cdot 5 \cdot 1 \cdot 16 = 80\) cách.

· Trường hợp 4: \(k = 1,m = 1\) (1 đường XX, 1 đường ĐĐ, 3 đường Khác)

Số cách chọn: \(C_5^1 \cdot C_4^1 \cdot {1^1} \cdot {1^1} \cdot {2^3} = 5 \cdot 4 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 8 = 160\) cách.

Tổng số kết quả thuận lợi là:\(n(A) = 32 + 80 + 80 + 160 = 352\)

Xác suất của biến cố A là: \(a = P(A) = \frac{{n(A)}}{{n(\Omega )}} = \frac{{352}}{{1024}} = \frac{{11}}{{32}}\)

Giá trị cần tìm là \(\frac{{2200}}{a} = \frac{{2200}}{{\frac{{11}}{{32}}}} = 6400\).

Đáp án: 1200.

\[y = f\left( x \right) = - {x^3} + 3{x^2} - 4 \Rightarrow y' = - 3{x^2} + 6x\]

\[y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.\]

\[ \Rightarrow \] đồ thị \[\left( C \right)\] có 2 điểm cực trị là \[A\left( {0; - 4} \right)\] và \[B\left( {2;0} \right)\].

\[ \Rightarrow \] Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị có vecto chỉ phương là \[\overrightarrow {AB} = \left( {2;4} \right) \Rightarrow \] có vecto pháp tuyến là \[\overrightarrow n = \left( {2; - 1} \right) \Rightarrow g\left( x \right) = 2x - 4\].

Khi đó \[h\left( x \right) = \sqrt { - x\left( {2x - 4} \right)} \].

Xét hàm số \[h\left( x \right) = \sqrt {4x - 2{x^2}} \]. Tập xác định: \[D = \left[ {0;2} \right]\].

\[h'\left( x \right) = \frac{{ - 4x + 4}}{{2\sqrt { - x\left( {2x - 4} \right)} }} = \frac{{ - 2x + 2}}{{\sqrt { - x\left( {2x - 4} \right)} }} = 0 \Leftrightarrow x = 1 \in \left( {0;2} \right)\].

\[\left\{ \begin{array}{l}h\left( 0 \right) = 0\\h\left( 1 \right) = \sqrt 2 \\h\left( 2 \right) = 0\end{array} \right. \Rightarrow m = \mathop {\min }\limits_{\left[ {0;2} \right]} h\left( x \right) = 0;{\rm{ }}M = \mathop {\max }\limits_{\left[ {0;2} \right]} h\left( x \right) = \sqrt 2 \].

\[\sqrt 8 \left( {300M - 20m} \right) = \sqrt 8 \left( {300\sqrt 2 - 20.0} \right) = 1200\].

Chọn hệ trục tọa độ \(Oxyz\) với gốc \(A \equiv O(0;0;0)\). Các tia \(Ax\), \(Ay\), \(Az\) lần lượt trùng với các cạnh \(AB\), \(AD\), \(AA'\).

Từ kích thước đề bài, ta xác định được tọa độ các điểm:\(A(0;0;0)\), \(B(5;0;0)\), \(D(0;5;0)\), \(A'(0;0;6)\), \(C(5;5;0)\), \(C'(5;5;6)\), \(D'(0;5;6)\), \(B'(5;0;6)\)

Điểm \(M\) là trung điểm của \(CC'\) nên \(M(5;5;3)\).

Điểm \(I\) là tâm của mặt bên \(ABB'A'\) nên \(I\) là trung điểm của \(AB'\)\( \Rightarrow I(2,5;0;3)\)

Xác định các vectơ chỉ phương:

Con nhện thứ nhất (\(E\)) di chuyển trên đoạn \(AM\), con nhện thứ hai (F) di chuyển trên đoạn \(D'I\). Khoảng cách ngắn nhất giữa hai con nhện chính là khoảng cách ngắn nhất giữa hai đoạn thẳng chéo nhau \(AM\) và \(D'I\).

·        Vectơ chỉ phương của đường thẳng \(AM\): \(\overrightarrow {{u_1}} = \overrightarrow {AM} = (5;5;3)\).

·        Vectơ chỉ phương của đường thẳng \(D'I\): \(\overrightarrow {{u_2}} = \overrightarrow {D'I} = \left( {\frac{5}{2}; - 5; - 3} \right)\).

Để tính toán gọn hơn, ta chọn vectơ cùng phương: \(\vec v = 2\overrightarrow {{u_2}} = (5; - 10; - 6)\).

Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:

Ta sử dụng công thức tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau \({\Delta _1}\) (qua \(A\), vtcp \(\overrightarrow {{u_1}} \)) và \({\Delta _2}\) (qua \(D'\), vtcp \(\vec v\)):

\([\overrightarrow {{u_1}} ,\vec v] = \left( {0;45; - 75} \right)\), \(A(0;0;0),D'(0;5;6) \Rightarrow \overrightarrow {AD'} = (0;5;6)\)

\(d(AM,D'I) = \frac{{|[\overrightarrow {{u_1}} ,\vec v] \cdot \overrightarrow {AD'} |}}{{|[\overrightarrow {{u_1}} ,\vec v]|}} = \frac{{15}}{{\sqrt {34} }} \approx 2,57\).

Đáp án: 2,57

Đáp án: \(20,6\)

Chọn hệ trục tọa độ \(Oxy\) như hình vẽ

Tọa độ của các điểm \(A\left( { - 15;0} \right)\), \(B\left( {15;0} \right)\), \(E\left( {30;0} \right)\), \(H\left( {0;30} \right)\) và \(I\left( {30;30} \right)\).

Vì parabol đi qua điểm \(B\left( {15;0} \right)\) và \(H\left( {0;30} \right)\) đồng thời có đỉnh là điểm \(H\left( {0;30} \right)\) nên phương trình của parabol là: \(y = - \frac{6}{{45}}{x^2} + 30\).

Phương trình đường tròn tâm \(I\left( {30;30} \right)\) là: \({\left( {x - 30} \right)^2} + {\left( {y - 30} \right)^2} = 9\).

Gọi \(A\left( {a; - \frac{6}{{45}}{a^2} + 30} \right)\) là một điểm nằm trên parabol.

Khoảng giữa An và Lan ngắn nhất khi tiếp tuyến tại \(A\) của parabol và đường thẳng \(IA\) vuông góc với nhau.

\(\overrightarrow {IA} \left( {a - 30;\, - \frac{6}{{45}}{a^2}} \right) \Rightarrow {k_{IA}} = \frac{{ - \frac{6}{{45}}{a^2}}}{{a - 30}}\).

\(f'\left( A \right) \cdot {k_{IA}} = - 1 \Leftrightarrow \frac{{ - 12a}}{{45}} \cdot \frac{{ - \frac{6}{{45}}{a^2}}}{{a - 30}} = - 1\)

\( \Leftrightarrow \frac{8}{{225}}{a^3} = 30 - a \Leftrightarrow 8{a^3} + 225a - 6750 = 0 \Leftrightarrow a \approx 8,4613\).

Suy ra khoảng cách ngắn nhất giữa An và Lan là

                                                   \[{d_{\min }} = IA - r \approx 20,56\].

Đáp án: 416.

Đặt hệ trục như đề bài, ta có: chân trụ \(O\left( {0;0;0} \right)\), đỉnh trụ \(S\left( {0;0;120} \right)\).

Do \(A,B,C \in \left( {Oxy} \right)\) và \(OA = OB = OC = 40\sqrt 3 \) nên \(A\left( {0;40\sqrt 3 ;0} \right)\), \(B\left( {{x_B},{y_B},0} \right)\), \(C\left( {{x_C},{y_C},0} \right)\).

Lại có: \(A \in Oy\) và \(O\) là tâm \(\Delta ABC\) nên \(B\), \(C\) đối xứng nhau qua  hay \(\left\{ \begin{array}{l}x = {x_B} = - {x_C}\\y = {y_B} = {y_C}\end{array} \right.\).

Áp dụng công thức tọa độ trọng tâm: \({y_A} + {y_B} + {y_C} = 3{y_O} \Rightarrow 2y = - 40\sqrt 3 \Rightarrow y = - 20\sqrt 3 \).

Mà \(OB = 40\sqrt 3 \Rightarrow {x^2} + {\left( { - 20\sqrt 3 } \right)^2} = 4800 \Rightarrow x = 60\) hay \(B\left( {60; - 20\sqrt 3 ;0} \right)\) và \(C\left( { - 60; - 20\sqrt 3 ;0} \right)\).

\({z_{B'}} = - BB' = - 60.\tan {10^0} \Rightarrow \)\(B'\left( {60; - 20\sqrt 3 ; - 60 \times \tan 10^\circ } \right)\),

Tương tự: \(C'\left( { - 60; - 20\sqrt 3 ;60 \times \tan 10^\circ } \right)\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}SA = \sqrt {{{\left( {40\sqrt 3 } \right)}^2} + {{120}^2}} \\SB' = \sqrt {{{\left( { - 60} \right)}^2} + {{\left( {20\sqrt 3 } \right)}^2} + {{\left( {120 + 60 \times \tan 10^\circ } \right)}^2}} \\SC' = \sqrt {{{60}^2} + {{\left( {20\sqrt 3 } \right)}^2} + {{\left( {120 - 60 \times \tan 10^\circ } \right)}^2}} \end{array} \right. \Rightarrow SA + SB' + SC' \approx 415,8949\).

Vậy tổng độ dài của ba dây cáp \(SA\), \(SB'\), \(SC'\) xấp xỉ \(416\)\({\rm{m}}\).