Đề thi thử Tốt nghiệp THPT Toán 2025-2026 Trường chuyên KHTN Hà Nội lần 01 có đáp án

Chọn A

Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( {0;1; - 1} \right);\overrightarrow {AC} = \left( {1;3; - 2} \right) \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {1; - 1; - 1} \right)\).

\({S_{ABC}} = \frac{1}{2}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]} \right| = \frac{1}{2}\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).

Chọn C

Ta có \(f'\left( x \right) = 3{x^2} - 3;f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1\).

Vì \(x \in \left[ { - 2;0} \right] \Rightarrow x = - 1\).

Ta có: \(f\left( { - 2} \right) = {\left( { - 2} \right)^3} - 3.\left( { - 2} \right) + 1 = - 1;f\left( { - 1} \right) = {\left( { - 1} \right)^3} - 3.\left( { - 1} \right) + 1 = 3\);

\(f\left( 0 \right) = {0^3} - 3.0 + 1 = 1\).

Suy ra giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} - 3x + 1\) trên đoạn \(\left[ { - 2;0} \right]\) bằng \( - 1\).

Chọn B

Ta có: \({\log _a}b = 3\); \({\log _a}c = - 2\)

Suy ra: \({\log _a}\left( {\frac{{{a^3}{b^2}}}{c}} \right) = {\log _a}\left( {{a^3}{b^2}} \right) - {\log _a}c = {\log _a}{a^3} + {\log _a}{b^2} - {\log _a}c\)

\( = 3{\log _a}a + 2{\log _a}b - {\log _a}c = 3 + 2.3 - \left( { - 2} \right) = 11\).

+ Câu a).

Hàm số xác định khi và chỉ khi \({x^2} - 4x + 8 > 0 \Leftrightarrow {\left( {x - 2} \right)^2} + 4 > 0,\forall x \in R\).

+ Câu b).

Ta có \(f'\left( x \right) = \frac{{2x - 4}}{{\left( {{x^2} - 4x + 8} \right).\ln 2}}\)

+ Câu c).

Do hàm số \(f\left( x \right) = {\log _2}\left( {{x^2} - 4x + 8} \right)\) đồng biển trên \(R\) nên \[f\left( x \right) = {\log _2}\left[ {{{\left( {x - 2} \right)}^2} + 4} \right] \ge {\log _2}4 = 2\] nên giá trị nhỏ nhất của hàm số trên  \(R\) bằng 2.

+ Câu d).

Từ \(f'\left( x \right) = \frac{{2x - 4}}{{\left( {{x^2} - 4x + 8} \right).\ln 2}}\) ta có \(f'\left( x \right) < 0\) khi \(x < 2\) ;\(f'\left( x \right) > 0\) khi \(x > 2\) và \(f\left( 2 \right) = 2\) nên phương trình \(f\left( x \right) = 2025\) có đúng hai nghiệm.

Gọi \(x,y\) lần lượt là số kg cần thiết để sản xuất một bao sản phẩm thức ăn hỗn hợp, \(x,y \ge 0\).

Ta có hệ điều kiện

\(\left\{ \begin{array}{l}0,1.x + 0,4.y \ge 20\\0,6.x + 0,3.y \ge 46,5\\x + y \le 100\end{array} \right.\)

Hàm mục tiêu \(T = 5x + 9y\).

\(\begin{array}{l}\left( {{d_1}} \right):0,1.x + 0,4.y = 20\\\left( {{d_2}} \right):0,6.x + 0,3.y = 46,5\\\left( {{d_3}} \right):x + y = 100\end{array}\)

Các giao điểm \(A\left( {60;35} \right),B\left( {\frac{{20}}{3};\frac{{100}}{3}} \right),C\left( {55;45} \right)\)

Giá trị hàm mục tiêu tại các đỉnh \(T\left( A \right) = 615;T\left( B \right) = \frac{{1900}}{3},T\left( C \right) = 680\). Vậy chi phí thấp nhất là 615(nghìn đồng)

Ngày \(11/3/2011\) tại vùng Tohoku, Nhật Bản ta có \({M_1} = \log {A_1} - {\rm{log}}{A_0}\) và

\(21/5/2003\) trận động đất khác ở phía Bắc Algeria \({M_2} = \log {A_1} - {\rm{log}}{A_0}\). Cho nên

\({M_1} - {M_2} = \log {A_1} - {\rm{log}}{A_2} = \log \left( {\frac{{{A_1}}}{{{A_2}}}} \right)\). Suy ra \(\frac{{{A_1}}}{{{A_2}}} = {10^{{M_1} - {M_2}}} = {10^{2,3}} \approx 200\)

Đáp án: 100

Lợi nhuận thu được là \[L(x) = x(1800 - 6x) - (10000 + 600{\rm{x}} - 0,6{{\rm{x}}^2} + 0,004{{\rm{x}}^3}) = - 0,004{{\rm{x}}^3} - 5,4{{\rm{x}}^2} + 1200{\rm{x}} - 10000\]

\[L'(x) = - 0,012{{\rm{x}}^2} - 10,8x + 1200;\,L'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 100;x = - 1000\]

Bảng biến thiên

Vậy mỗi tháng cần sản xuất 100 sản phẩm.

Đáp án: 7.

Gọi \((\alpha )\) là mặt phẳng qua \(A\) và vuông góc với \(d.\) Khi đó, \((\alpha ):2x + 2y - z - 5 = 0.\)

Ta có \(d:\frac{{x - 4}}{2} = \frac{{y - 4}}{2} = \frac{{z - 2}}{{ - 1}} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 4 + 2t\\y = 4 + 2t\\z = 2 - t\end{array} \right.\) thay vao phương trình của \((\alpha )\) được

\(2(4 + 2t) + 2(4 + 2t) - (2 - t) - 5 = 0 \Leftrightarrow 9t + 9 = 0 \Rightarrow t = - 1 \Rightarrow H(2;2;3)\)

Vậy \(a + b + c = 2 + 2 + 3 = 7.\)

Cách khác

Ta có: \(d{\rm{ qua }}M(4;4;2){\rm{, vtcp }}\vec u = (2;2; - 1);\overrightarrow {MA} = ( - 3; - 3; - 3).\)

\[\overrightarrow {MH} = \frac{{\overrightarrow {MA} .\vec u}}{{|\vec u{|^2}}}.\vec u = \frac{{ - 3.2 - 3.2 + 3}}{{4 + 4 + 1}}\vec u = - \vec u = ( - 2; - 2;1)\]\( \Rightarrow H(2;2;3) \Rightarrow a + b + c = 7.\)

Ta có đạo hàm

\(C'\left( t \right) = \frac{{120\left( {{t^2} + 36 - 2{t^2}} \right)}}{{{{\left( {{t^2} + 36} \right)}^2}}} = \frac{{120\left( {36 - {t^2}} \right)}}{{{{\left( {{t^2} + 36} \right)}^2}}}\)

\(C'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow 36 - {t^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 6\\t = - 6\end{array} \right.\).

Ta có bảng biến thiên

Vì vậy nồng độ thuốc tối đa là \({\rm{10mg/L}}\).

Đáp án: 63.

Xét điểm \[{\rm{K}}\]:

\[2M{A^2} + M{B^2} = 2{\overrightarrow {MA} ^2} + {\overrightarrow {MB} ^2} = 2{\left( {\overrightarrow {MK} + \overrightarrow {KA} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {MK} + \overrightarrow {KB} } \right)^2} = 3M{K^2} + 2K{A^2} + K{B^2} + \overrightarrow {MK} .\left( {2\overrightarrow {KA} + \overrightarrow {KB} } \right)\]

Chọn điểm \[{\rm{K}}\] thoả mãn \[2\overrightarrow {KA} + \overrightarrow {KB} = \overrightarrow 0 \] , gọi \[{\rm{K}}\left( {{\rm{x;y;z}}} \right)\]. Khi đó

\[\left\{ \begin{array}{l}2\left( {2 - x} \right) + \left( { - 1 - x} \right) = 0\\2\left( {0 - y} \right) + \left( { - 6 - y} \right) = 0\\2\left( {1 - z} \right) + \left( {7 - z} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = - 2\\z = 3\end{array} \right. \Rightarrow K\left( {1; - 2;3} \right)\]

Khi đó\[2M{A^2} + M{B^2} = 3M{K^2} + 2K{A^2} + K{B^2}\] nhỏ nhất khi \[{\rm{M}}\] là hình chiếu của \[{\rm{K}}\] trên mặt phẳng \[\left( P \right)\]. \[{\rm{MK = d}}\left( {{\rm{K,}}\left( P \right)} \right) = \sqrt 3 \].,\[{\rm{M}}{{\rm{K}}^{\rm{2}}}{\rm{ = 3, K}}{{\rm{A}}^{\rm{2}}} = 9,{\rm{K}}{{\rm{B}}^{\rm{2}}} = 36.\] Suy ra giá trị nhỏ nhất cần tìm là \[{\rm{63}}\].