Đề thi thử Tốt nghiệp THPT Toán 2025-2026 THPT Thường Xuân 2 (Thanh Hóa) có đáp án
22 câu hỏi
Phần 1. Câu hỏi trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi, thí sinh chỉ chọn 1 phương án.
Phương trình\[\cos x = 0\] có tập nghiệm là:
\(\left\{ {x \in \mathbb{R}/x = \frac{\pi }{2} + k\pi {\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right\}\).
\(\left\{ {x \in \mathbb{R}/x = k2\pi {\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right\}\).
\(\left\{ {x \in \mathbb{R}/x = \frac{\pi }{2} + k2\pi {\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right\}\).
\(\left\{ {x \in \mathbb{R}/x = k\pi {\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right\}\).
Đáp án đúng là A
\[d = 7\].
\[d = 5\].
\[d = 8\].
\[d = 6\].
Đáp án đúng là D
\[\int {f(x){\rm{d}}x} = {e^x} + 2x + C\].
\[\int {f(x)dx} = {e^x} + 2{x^2} + C\].
\[\int {f(x)dx} = {e^x} - {x^2} + C\].
\[\int {f(x)dx} = {e^x} + {x^2} + C\]
\(18\).
\(6\).
\(12\).
\( - 4\).
\(\overrightarrow {B'C} = \vec a + \vec b - \vec c\).
\(\overrightarrow {B'C} = - \vec a + \vec b - \vec c\).
\(\overrightarrow {B'C} = - \vec a - \vec b + \vec c\).
\(\overrightarrow {B'C} = - \vec a + \vec b + \vec c\)
\[3\].
\[2\].
\[ - 2\].
\[7\].
\(\left( {0;6} \right)\).
\(\left( { - \infty ;6} \right)\).
\(\left( {0;64} \right)\).
\(\left( {6; + \infty } \right)\).
\(B(7;7;2)\).
\(C( - 1;5;7)\).
\(H( - 7;5;0)\).
\(D(0; - 1; - 5)\).
\(3,39\).
\(11,62\).
\(0,36\).
\(0,13\).
\(36\).
\(6\).
\(12\).
\(18\).
\(45^\circ \).
\(60^\circ \).
\(30^\circ \).
\(90^\circ \).
Phần 2. Trắc nghiệm lựa chọn đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt phẳng \((Q)\) có phương trình \( - 10x + 43y - 7z - 1 = 0\). Xét tính đúng-sai của các khẳng định sau\(\vec n = \left( {10; - 43;7} \right)\) không phải là một véctơ pháp tuyến của \((Q)\).
Điểm \(K\left( {5;2;5} \right)\) thuộc mặt phẳng \((Q)\).
Mặt phẳng \((Q)\) và mặt phẳng \(\left( P \right): - 20x + 86y - 14z - 1 = 0\) cắt nhau.
Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua hai điểm \(H\left( {6;2;5} \right),C\left( {2;2; - 3} \right)\) và vuông góc với \((Q)\) có phương trình dạng\(ax + by + cz - 1308 = 0\). Khi đó \(a + b + c = 224\).
a-sai, b-đúng, c-sai, d-đúng.
a) Khẳng định đã cho là khẳng định sai.
\(\vec n = \left( {10; - 43;7} \right)\) là một véctơ pháp tuyến của \((Q)\)
b) Khẳng định đã cho là khẳng định đúng.
Tọa độ điểm \(K\left( {5;2;5} \right)\) thỏa mãn phương trình \( - 10x + 43y - 7z - 1 = 0\) nên điểm \(K\) thuộc mặt phẳng \((Q)\) .
c) Khẳng định đã cho là khẳng định sai.
\(\overrightarrow {{n_\gamma }} = \left( { - 10;43; - 7} \right),\overrightarrow {{n_P}} = \left( { - 20;86; - 14} \right)\).
Ta có: \(\overrightarrow {{n_\gamma }} = 2\overrightarrow {{n_P}} \) và \( - 1 \ne 2.\left( { - 1} \right)\) nên \((Q)\) và \(\left( P \right)\) song song nhau.
d) Khẳng định đã cho là khẳng định đúng.
\(\overrightarrow {{n_\gamma }} = \left( { - 10;43; - 7} \right),\overrightarrow {HC} = \left( { - 4;0; - 8} \right)\).
Mặt phẳng \(\left( P \right)\) nhận \(\overrightarrow {{n_\gamma }} ,\overrightarrow {HC} \) làm cặp véctơ chỉ phương.
\(\left[ {\overrightarrow {{n_\gamma }} ,\overrightarrow {HC} } \right] = \left( {344;52; - 172} \right)\) là một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right)\).
Phương trình \(\left( P \right):344\left( {x - 6} \right) + 52\left( {y - 2} \right) - 172\left( {z - 5} \right) = 0\; \Leftrightarrow 344x + 52y - 172z - 1308 = 0\).
Khi đó: \(a + b + c = 224.\)
Lợi nhuận khi bán được \(x\) đơn vị sản phẩm được tính bằng công thức \(P\left( x \right) = - 0,0008{x^2} + 10,4x\).
Lợi nhuận khi bán được \(50\) sản phẩm đầu tiên là \(519\) triệu đồng.
Biết sự thay đổi của lợi nhuận khi doanh số tăng từ \(50\) lên \(a\) đơn vị sản phẩm lớn hơn \(517\) triệu đồng, khi đó giá trị nhỏ nhất của \(a\) là \(100\).
Sự thay đổi của lợi nhuận khi doanh số tăng từ \(50\) lên \(55\) đơn vị sản phẩm là \(49,79\) triệu đồng.
a) Sai. Lợi nhuận khi bán được \(x\) đơn vị sản phẩm được tính bằng công thức \(P\left( x \right) = - 0.0004{x^2} + 10,4x\).
\(P\left( x \right) = \int {P'\left( x \right)} dx = \int {\left( { - 0,0008x + 10,4} \right)dx = - 0.0004{x^2} + 10,4x + C} \).
Lợi nhuận ban đầu chưa có nên \(P\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow C = 0\).
Vậy \(P\left( x \right) = - 0.0004{x^2} + 10,4x\).
b) Đúng. Lợi nhuận khi bán được \(50\) sản phẩm đầu tiên là \(519\) triệu đồng.
Ta có \(P\left( {50} \right) = - 0,{0004.50^2} + 10,4.50 = 519\) (triệu đồng).
c) Sai. Biết sự thay đổi của lợi nhuận khi doanh số tăng từ \(50\) lên \(a\) đơn vị sản phẩm lớn hơn \(517\) triệu đồng, khi đó giá trị nhỏ nhất của \(a\) là \(100\).
Sự thay đổi của lợi nhuận khi doanh số tăng từ \(50\) lên \(a\) (\(a \in \mathbb{N}\))đơn vị sản phẩm là
\(\int\limits_{50}^a {P'\left( x \right)} dx = \int\limits_{50}^a {\left( { - 0,0008x + 10,4} \right)} dx = \left. {\left( { - 0,0004{x^2} + 10,4x} \right)} \right|_{50}^a = - 0,0004{a^2} + 10,4a - 519\)triệu đồng.
Theo đề ta có
\( - 0,0004{a^2} + 10,4a - 519 > 517 \Leftrightarrow - 0,0004{a^2} + 10,4a - 1036 > 0 \Leftrightarrow 100 < a < 25\,900\).
Vậy giá trị nhỏ nhất của \(a\) là \(101\).
d) Sai. Sự thay đổi của lợi nhuận khi doanh số tăng từ \(50\) lên \(55\) đơn vị sản phẩm là \(51,79\) triệu đồng.
Ta có \(\int\limits_{50}^{55} {P'\left( x \right)} dx = \int\limits_{50}^{55} {\left( { - 0,0008x + 10,4} \right)} dx = \left. {\left( { - 0,0004{x^2} + 10,4x} \right)} \right|_{50}^{55} = 51,79\) triệu đồng.
Xác suất sút không thành công tại chấm \(11\) của cầu thủ Đình Bắc là \(0,2\).
Xác suất sút không thành công tại chấm \(11\) của cầu thủ Thái Sơn là \(0,06\).
Xác suất cả hai cầu thủ sút không thành công tại chấm \(11\) là \(0,3\).
Xác suất để ít nhất một người sút bóng thành công là: \(0,94\)..
a) Đúng. Xác suất sút không thành công tại chấm \(11\) của cầu thủ Đình Bắc là \(1 - 0,8 = 0,2\).
b) Sai. Xác suất sút không thành công tại chấm \(11\) của cầu thủ Thái Sơn là \(1 - 0,7 = 0,3\).
c) Sai. Xác suất cả hai cầu thủ sút không thành công tại chấm \(11\) là \(0,2.0,3 = 0,06\).
d) Đúng. Xác suất để ít nhất một người sút bóng thành công là: \(1 - 0,06 = 0,94\).
Hàm số đã cho có đạo hàm là \(f'\left( x \right) = 3{x^2} - 3\).
Phương trình \(f'\left( x \right) = 0\) có tập nghiệm là \(S = \left\{ { - 1;1} \right\}\).
\(f\left( 1 \right) = 9\).
Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ { - 2;2} \right]\) bằng \(11\).
a) Đúng
Xét hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} - 3x + 91\) \( \Rightarrow \)\(f'\left( x \right) = 3{x^2} - 3\).
b) Đúng
Xét \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 1\end{array} \right.\).
Phương trình \(f'\left( x \right) = 0\) có tập nghiệm là \(S = \left\{ { - 1;1} \right\}\).
c) Sai
Ta có \(f\left( 1 \right) = {1^3} - 3.1 + 9 = 7\).
d) Sai
Ta có trên \(\left[ { - 2;2} \right]\)
\(f\left( { - 2} \right) = 7\) ; \(f\left( { - 1} \right) = 11\) ; \(f\left( 1 \right) = 7\) ; \(f\left( 2 \right) = 7\).
Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ { - 2;2} \right]\) bằng \(7\) khi \(x = 1\); \(x = - 2\).
Phần 3. Câu hỏi trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.
Ông A dự định xây “tường cong” trong sân trượt patin là một khối bê tông có chiều cao từ mặt đất lên là \(3,5\,{\rm{m}}\). Giao của mặt tường cong và mặt đất là đoạn thẳng \(AB = 4\,{\rm{m}}\). Thiết diện của khối tường cong cắt bởi mặt phẳng vuông góc với \(AB\) tại \(A\) là một hình tam giác vuông cong \(ACE\) với \(AC = 4\,{\rm{m}}\), \(CE = 3,5\,{\rm{m}}\) và cạnh cong \(AE\) nằm trên một đường parabol có trục đối xứng vuông góc với mặt đất. Tại vị trí \(M\) là trung điểm của \(AC\) thì tường cong có độ cao \({\rm{1}}\,{\rm{m}}\)(xem hình minh họa bên). Tính thể tích bê tông cần sử dụng để tạo nên khối tường cong đó.
Đáp án: 20
Chọn hệ trục \(Oxy\) như hình vẽ sao cho \(A \equiv O\)
\( \Rightarrow \) cạnh cong \(AE\) nằm trên parabol \(\left( P \right):y = a{x^2} + bx + c\)
\(\left( P \right)\) đi qua các điểm \(\left( {0;\,0} \right)\), \(\left( {2;\,1} \right)\) và \(\left( {4;\,\frac{7}{2}} \right)\) nên \(\left( P \right):y = \frac{3}{{16}}{x^2} + \frac{1}{8}x\)
Khi đó diện tích tam giác cong \(ACE\) có diện tích \(S = \int\limits_0^4 {\left( {\frac{3}{{16}}{x^2} + \frac{1}{8}x} \right)\,{\rm{d}}x} = 5\,{{\rm{m}}^2}\).
Vậy thể tích khối bê tông cần sử dụng là \(V = 5.4 = 20\,{{\rm{m}}^3}\).
Một nhà kho được mô hình hoá trong không gian với hệ trục toạ độ \(Oxyz\) và hai mái \(EFIK,HGIK\) có kích thước bằng nhau như hình vẽ.
Biết rằng chiều cao của nhà kho là 9 m và các bức tường của nhà kho tạo thành hình hộp chữ nhật \(ABCD.EFGH\) với \(AB = 10{\rm{\;m}},AD = 24\,{\rm{m}},AE = 7{\rm{\;m}}\). Mặt phẳng \[\left( {EFIK} \right)\] có phương trình \(ax + y + bz + c = 0\). Tìm giá trị của \(a - b + c\).
Đáp án: 48
Do \(ABCD\) là hình chữ nhật, \(AB = 10;AD = 12\) nên toạ độ điểm \(B\left( {10;0;0} \right);\,C\left( {10;12;0} \right)\)
Hình chiếu của \(I\) trên mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) là trung điểm của \(BC\) nên toạ độ điểm \(I\left( {10;12;9} \right)\)
Khi đó: \(E\left( {0;0;7} \right),F\left( {10;0;7} \right),I\left( {10;12;9} \right)\)\[\overrightarrow {EF} = \left( {10;0;0} \right),\overrightarrow {EI} = \left( {10;12;2} \right)\].
Mặt phẳng \[\left( {EFIK} \right)\] có vec tơ pháp tuyến \(\vec n = \left[ {\overrightarrow {EF} ,\overrightarrow {EI} } \right] = \left( {0;1; - 6} \right)\).
Phương trình mặt phẳng \(\left( {EFIK} \right):y - 6z + 42 = 0\).Suy ra \(a - b + c = 48\).
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\) (đơn vị đo lấy theo \(km\)), một Radar phát hiện một chiếc máy bay di chuyển với tốc độ và hướng không đổi từ điểm \(A\left( {812;\,600\,;\,5} \right)\) đến điểm \(B\left( {950\,;\,530\,;\,6} \right)\) trong 10 phút.
Nếu máy bay tiếp tục giữ nguyên tốc độ và hướng bay thì tọa độ của máy bay sau 10 phút tiếp theo là \(C\left( {x;\,y\,;\,z} \right)\). Khi đó \(x + y + z\) bằng bao nhiêu?
Đáp án: 1555.
Do chiếc may bay di duyển với tốc độ và hướng không đổi từ \(A\) đến \(B\) trong 10 phút và từ \(B\) đến \(C\) trong 10 phút.
Nên suy ra \(AB = BC\) và \(A,\,B,\,C\) thẳng hàng.
Suy ra \(B\) là trung điểm của \(AC\)
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_B} = \frac{{{x_A} + {x_C}}}{2}\\{y_B} = \frac{{{y_A} + {y_C}}}{2}\\{z_B} = \frac{{{z_A} + {z_C}}}{2}\end{array} \right.\)\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}950 = \frac{{812 + x}}{2}\\530 = \frac{{600 + y}}{2}\\6 = \frac{{5 + z}}{2}\end{array} \right.\]\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1088\\y = 460\\z = 7\end{array} \right.\).
Vậy \(x + y + z = 1555\).
Đáp án: 1347
Lợi nhuận khi bán hết \(x\) sản phẩm với \(\left( {x \in {\mathbb{N}^*};\;1 \le x \le 4500} \right)\) là:
\(L\left( x \right) = F\left( x \right) - x.G\left( x \right)\)\( = - 0,01{x^2} + 450x - 30000 - 340x\)
\( \Rightarrow L\left( x \right) = - 0,01{x^2} + 110x - 30000\) (nghìn đồng).
Để lợi nhuận thu được lớn hơn \(100\) triệu đồng \( = 100000\) (nghìn đồng).
\( \Rightarrow L\left( x \right) > 100000\)\( \Leftrightarrow - 0,01{x^2} + 110x - 30000 > 100000\).
\( \Leftrightarrow - 0,01{x^2} + 110x - 130000 > 0\)\( \Leftrightarrow 1346,68... < x < 9653,31...\)
Giao với điều kiện \(\left( {x \in {\mathbb{N}^*};\;1 \le x \le 4500} \right)\)\( \Rightarrow 1346,68... < x \le 4500\)\( \Rightarrow {x_{\min }} = 1347\) (sản phẩm)
Vậy doanh nghiệp cần sản xuất ít nhất \(1347\) (sản phẩm).
Đáp án: 0,18
Gọi \(A\) là biến cố không có hai người liền kề cùng đứng.
Số phần tử của không gian mẫu là \(n\left( \Omega \right) = {2^8} = 256\).
Rõ ràng nếu nhiều hơn \(4\) đồng xu ngửa thì biến cố \(A\) không xảy ra.
Để biến cố \(A\) xảy ra có các trường hợp sau:
TH1: Có nhiều nhất \(1\) đồng xu ngửa. Kết quả của trường hợp này là \(1 + 8 = 9\).
TH2: Có \(2\) đồng xu ngửa.
Hai đồng xu ngửa kề nhau: có \(8\) khả năng.
Suy ra số kết quả của trường hợp này là \(C_8^2 - 8 = 20\).
TH3: Có \(3\) đồng xu ngửa.
Cả \(3\) đồng xu ngửa kề nhau: có 8 kết quả.
Trong \(3\) đồng xu ngửa, có đúng một cặp kề nhau: có \(8.4 = 32\) kết quả.
Suy ra số kết quả của trường hợp này là \(C_8^3 - 8 - 32 = 16\).
TH4: Có \(4\) đồng xu ngửa.
Trường hợp này có \(2\) kết quả thỏa mãn biến cố \(A\) xảy ra.
Như vậy \(n\left( A \right) = 9 + 20 + 16 + 2 = 47\).
Xác suất để không có hai bạn liền kề cùng đứng là \(P = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{47}}{{256}}\).
Đáp án: 0,5
Gọi \[P\] là trung điểm\[AC\], ta có \[PM{\rm{//}}CD\] và \[PN{\rm{//}}AB\], suy ra \[\left( {\widehat {AB,CD}} \right) = \left( {\widehat {PM,PN}} \right)\].
Dễ thấy \[PM = PN = a\].
Xét \[\Delta PMN\] ta có \[{\rm{cos}}\widehat {MPN} = \frac{{P{M^2} + P{N^2} - M{N^2}}}{{2PM.PN}} = \frac{{{a^2} + {a^2} - 3{a^2}}}{{2.a.a}} = - \frac{1}{2}\]
\[ \Rightarrow \widehat {MPN} = 120^\circ \Rightarrow \left( {\widehat {AB,CD}} \right) = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \Rightarrow \cos \left( {\widehat {AB,CD}} \right) = \cos 60^\circ = \frac{1}{2} = 0,5\].
