Đề thi thử Tốt nghiệp THPT Toán 2025-2026 THPT Thường Xuân 2 (Thanh Hóa) có đáp án

a-sai, b-đúng, c-sai, d-đúng.

a) Khẳng định đã cho là khẳng định sai.

\(\vec n = \left( {10; - 43;7} \right)\) là một véctơ pháp tuyến của \((Q)\)

b) Khẳng định đã cho là khẳng định đúng.

Tọa độ điểm \(K\left( {5;2;5} \right)\) thỏa mãn phương trình \( - 10x + 43y - 7z - 1 = 0\) nên điểm \(K\) thuộc mặt phẳng \((Q)\) .

c) Khẳng định đã cho là khẳng định sai.

\(\overrightarrow {{n_\gamma }}  = \left( { - 10;43; - 7} \right),\overrightarrow {{n_P}}  = \left( { - 20;86; - 14} \right)\).

Ta có: \(\overrightarrow {{n_\gamma }}  = 2\overrightarrow {{n_P}} \) và \( - 1 \ne 2.\left( { - 1} \right)\) nên \((Q)\) và \(\left( P \right)\) song song nhau.

d) Khẳng định đã cho là khẳng định đúng.

\(\overrightarrow {{n_\gamma }}  = \left( { - 10;43; - 7} \right),\overrightarrow {HC}  = \left( { - 4;0; - 8} \right)\).

Mặt phẳng \(\left( P \right)\) nhận \(\overrightarrow {{n_\gamma }} ,\overrightarrow {HC} \) làm cặp véctơ chỉ phương.

\(\left[ {\overrightarrow {{n_\gamma }} ,\overrightarrow {HC} } \right] = \left( {344;52; - 172} \right)\) là một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right)\).

Phương trình \(\left( P \right):344\left( {x - 6} \right) + 52\left( {y - 2} \right) - 172\left( {z - 5} \right) = 0\; \Leftrightarrow 344x + 52y - 172z - 1308 = 0\).

Khi đó: \(a + b + c = 224.\)

a) Sai. Lợi nhuận khi bán được \(x\) đơn vị sản phẩm được tính bằng công thức \(P\left( x \right) =  - 0.0004{x^2} + 10,4x\).

\(P\left( x \right) = \int {P'\left( x \right)} dx = \int {\left( { - 0,0008x + 10,4} \right)dx =  - 0.0004{x^2} + 10,4x + C} \).

Lợi nhuận ban đầu chưa có nên \(P\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow C = 0\).

Vậy \(P\left( x \right) =  - 0.0004{x^2} + 10,4x\).

b) Đúng. Lợi nhuận khi bán được \(50\) sản phẩm đầu tiên là \(519\) triệu đồng.

Ta có \(P\left( {50} \right) =  - 0,{0004.50^2} + 10,4.50 = 519\) (triệu đồng).

c) Sai. Biết sự thay đổi của lợi nhuận khi doanh số tăng từ \(50\) lên \(a\) đơn vị sản phẩm lớn hơn \(517\) triệu đồng, khi đó giá trị nhỏ nhất của \(a\) là \(100\).

Sự thay đổi của lợi nhuận khi doanh số tăng từ \(50\) lên \(a\)  (\(a \in \mathbb{N}\))đơn vị sản phẩm là

\(\int\limits_{50}^a {P'\left( x \right)} dx = \int\limits_{50}^a {\left( { - 0,0008x + 10,4} \right)} dx = \left. {\left( { - 0,0004{x^2} + 10,4x} \right)} \right|_{50}^a =  - 0,0004{a^2} + 10,4a - 519\)triệu đồng.

Theo đề ta có

\( - 0,0004{a^2} + 10,4a - 519 > 517 \Leftrightarrow  - 0,0004{a^2} + 10,4a - 1036 > 0 \Leftrightarrow 100 < a < 25\,900\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(a\) là \(101\).

d) Sai. Sự thay đổi của lợi nhuận khi doanh số tăng từ \(50\) lên \(55\) đơn vị sản phẩm là \(51,79\) triệu đồng.

Ta có \(\int\limits_{50}^{55} {P'\left( x \right)} dx = \int\limits_{50}^{55} {\left( { - 0,0008x + 10,4} \right)} dx = \left. {\left( { - 0,0004{x^2} + 10,4x} \right)} \right|_{50}^{55} = 51,79\) triệu đồng.

a) Đúng. Xác suất sút không thành công tại chấm \(11\) của cầu thủ Đình Bắc là \(1 - 0,8 = 0,2\).

b) Sai. Xác suất sút không thành công tại chấm \(11\) của cầu thủ Thái Sơn là \(1 - 0,7 = 0,3\).

c) Sai. Xác suất cả hai cầu thủ sút không thành công tại chấm \(11\) là \(0,2.0,3 = 0,06\).

d) Đúng. Xác suất để ít nhất một người sút bóng thành công là: \(1 - 0,06 = 0,94\).

a) Đúng

Xét hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} - 3x + 91\) \( \Rightarrow \)\(f'\left( x \right) = 3{x^2} - 3\).

b) Đúng

Xét \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x =  - 1\end{array} \right.\).

Phương trình \(f'\left( x \right) = 0\) có tập nghiệm là \(S = \left\{ { - 1;1} \right\}\).

c) Sai

Ta có \(f\left( 1 \right) = {1^3} - 3.1 + 9 = 7\).

d) Sai

Ta có trên \(\left[ { - 2;2} \right]\)

\(f\left( { - 2} \right) = 7\) ; \(f\left( { - 1} \right) = 11\) ; \(f\left( 1 \right) = 7\) ; \(f\left( 2 \right) = 7\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ { - 2;2} \right]\) bằng \(7\) khi \(x = 1\); \(x =  - 2\).

Đáp án: 20

Chọn hệ trục \(Oxy\) như hình vẽ sao cho \(A \equiv O\)

\( \Rightarrow \) cạnh cong \(AE\) nằm trên parabol \(\left( P \right):y = a{x^2} + bx + c\)

\(\left( P \right)\) đi qua các điểm \(\left( {0;\,0} \right)\), \(\left( {2;\,1} \right)\) và \(\left( {4;\,\frac{7}{2}} \right)\) nên \(\left( P \right):y = \frac{3}{{16}}{x^2} + \frac{1}{8}x\)

Khi đó diện tích tam giác cong \(ACE\) có diện tích \(S = \int\limits_0^4 {\left( {\frac{3}{{16}}{x^2} + \frac{1}{8}x} \right)\,{\rm{d}}x}  = 5\,{{\rm{m}}^2}\).

Vậy thể tích khối bê tông cần sử dụng là \(V = 5.4 = 20\,{{\rm{m}}^3}\).

Đáp án: 48

Do \(ABCD\) là hình chữ nhật, \(AB = 10;AD = 12\) nên toạ độ điểm \(B\left( {10;0;0} \right);\,C\left( {10;12;0} \right)\)

Hình chiếu của \(I\) trên mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) là trung điểm của \(BC\) nên toạ độ điểm \(I\left( {10;12;9} \right)\)

Khi đó: \(E\left( {0;0;7} \right),F\left( {10;0;7} \right),I\left( {10;12;9} \right)\)\[\overrightarrow {EF}  = \left( {10;0;0} \right),\overrightarrow {EI}  = \left( {10;12;2} \right)\].

Mặt phẳng \[\left( {EFIK} \right)\] có vec tơ pháp tuyến \(\vec n = \left[ {\overrightarrow {EF} ,\overrightarrow {EI} } \right] = \left( {0;1; - 6} \right)\).

Phương trình mặt phẳng \(\left( {EFIK} \right):y - 6z + 42 = 0\).Suy ra \(a - b + c = 48\).

Đáp án: 1555.

Do chiếc may bay di duyển với tốc độ và hướng không đổi từ \(A\) đến \(B\) trong 10 phút và từ \(B\) đến \(C\) trong 10 phút.

Nên suy ra \(AB = BC\) và \(A,\,B,\,C\) thẳng hàng.

Suy ra \(B\) là trung điểm của \(AC\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_B} = \frac{{{x_A} + {x_C}}}{2}\\{y_B} = \frac{{{y_A} + {y_C}}}{2}\\{z_B} = \frac{{{z_A} + {z_C}}}{2}\end{array} \right.\)\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}950 = \frac{{812 + x}}{2}\\530 = \frac{{600 + y}}{2}\\6 = \frac{{5 + z}}{2}\end{array} \right.\]\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1088\\y = 460\\z = 7\end{array} \right.\).

Vậy \(x + y + z = 1555\).

Đáp án: 1347

Lợi nhuận khi bán hết \(x\) sản phẩm với \(\left( {x \in {\mathbb{N}^*};\;1 \le x \le 4500} \right)\) là:

\(L\left( x \right) = F\left( x \right) - x.G\left( x \right)\)\( =  - 0,01{x^2} + 450x - 30000 - 340x\)

\( \Rightarrow L\left( x \right) =  - 0,01{x^2} + 110x - 30000\) (nghìn đồng).

Để lợi nhuận thu được lớn hơn \(100\) triệu đồng \( = 100000\) (nghìn đồng).

\( \Rightarrow L\left( x \right) > 100000\)\( \Leftrightarrow  - 0,01{x^2} + 110x - 30000 > 100000\).

\( \Leftrightarrow  - 0,01{x^2} + 110x - 130000 > 0\)\( \Leftrightarrow 1346,68... < x < 9653,31...\)

Giao với điều kiện \(\left( {x \in {\mathbb{N}^*};\;1 \le x \le 4500} \right)\)\( \Rightarrow 1346,68... < x \le 4500\)\( \Rightarrow {x_{\min }} = 1347\) (sản phẩm)

Vậy doanh nghiệp cần sản xuất ít nhất \(1347\) (sản phẩm).

Đáp án: 0,18

Gọi \(A\) là biến cố không có hai người liền kề cùng đứng.

Số phần tử của không gian mẫu là \(n\left( \Omega  \right) = {2^8} = 256\).

Rõ ràng nếu nhiều hơn \(4\) đồng xu ngửa thì biến cố \(A\) không xảy ra.

Để biến cố \(A\) xảy ra có các trường hợp sau:

TH1: Có nhiều nhất \(1\) đồng xu ngửa. Kết quả của trường hợp này là \(1 + 8 = 9\).

TH2: Có \(2\) đồng xu ngửa.

Hai đồng xu ngửa kề nhau: có \(8\) khả năng.

Suy ra số kết quả của trường hợp này là \(C_8^2 - 8 = 20\).

TH3: Có \(3\) đồng xu ngửa.

Cả \(3\) đồng xu ngửa kề nhau: có 8 kết quả.

Trong \(3\) đồng xu ngửa, có đúng một cặp kề nhau: có \(8.4 = 32\) kết quả.

Suy ra số kết quả của trường hợp này là \(C_8^3 - 8 - 32 = 16\).

TH4: Có \(4\) đồng xu ngửa.

Trường hợp này có \(2\) kết quả thỏa mãn biến cố \(A\) xảy ra.

Như vậy \(n\left( A \right) = 9 + 20 + 16 + 2 = 47\).

Xác suất để không có hai bạn liền kề cùng đứng là \(P = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = \frac{{47}}{{256}}\).

Đáp án: 0,5

Gọi \[P\] là trung điểm\[AC\], ta có \[PM{\rm{//}}CD\] và \[PN{\rm{//}}AB\], suy ra \[\left( {\widehat {AB,CD}} \right) = \left( {\widehat {PM,PN}} \right)\].

Dễ thấy \[PM = PN = a\].

Xét \[\Delta PMN\] ta có \[{\rm{cos}}\widehat {MPN} = \frac{{P{M^2} + P{N^2} - M{N^2}}}{{2PM.PN}} = \frac{{{a^2} + {a^2} - 3{a^2}}}{{2.a.a}} =  - \frac{1}{2}\]

\[ \Rightarrow \widehat {MPN} = 120^\circ  \Rightarrow \left( {\widehat {AB,CD}} \right) = 180^\circ  - 120^\circ  = 60^\circ  \Rightarrow \cos \left( {\widehat {AB,CD}} \right) = \cos 60^\circ  = \frac{1}{2} = 0,5\].