Đề thi thử Tốt nghiệp THPT Toán 2025-2026 THPT Thọ Xuân 5 (Thanh Hóa) có đáp án
22 câu hỏi
Cho hình chóp \(S.ABCD\)có đáy \(ABDC\) là hình vuông cạnh \(a\). Cạnh \(SA\) vuông góc với mặt đáy và có độ dài \(2a\). Thể tích của khối chóp \(S.BCD\) bằng:
\(\frac{{{a^3}}}{8}\).
\(\frac{{{a^3}}}{4}\).
\(\frac{{2{a^3}}}{3}\).
\(\frac{{{a^3}}}{3}\).
Chọn D
Ta có \({V_{SBC{\rm{D}}}} = \frac{1}{3}SA.{S_{BC{\rm{D}}}} = \frac{1}{3}.2{\rm{a}}.\left( {\frac{1}{2}.a.a} \right) = \frac{{{a^3}}}{3}\).
Cho cấp số nhân \(({u_n})\)với số hạng đầu \({u_1} = 6\) và công bội \(q = \frac{{ - 1}}{2}\). Tính \({u_5}\)
\( - \frac{4}{3}\) .
\( - 3\).
\(\frac{3}{8}\).
\( - \frac{3}{8}\) .
Chọn C
Ta có \({u_5} = {u_1}.{q^4} = 6.{\left( {\frac{{ - 1}}{2}} \right)^4} = \frac{3}{8}\).
Trong không gian \[{\rm{Ox}}yz\]cho ba véc tơ \(\overrightarrow a = (2; - 1;0),\)\(\overrightarrow b = ( - 1; - 3;2),\overrightarrow c = ( - 2; - 4; - 3)\). Toạ độ của véc tơ \(\overrightarrow u = 2\overrightarrow a - 3\overrightarrow b + \overrightarrow c \).
\(( - 3; - 7; - 9)\).
\((5;3; - 9)\).
\(( - 5; - 3;9)\).
\((3;7;9)\)
Chọn B
Ta có \(\overrightarrow u = 2\overrightarrow a - 3\overrightarrow b + \overrightarrow c = \left( {4 + 3 - 2; - 2 + 9 - 4;0 - 6 - 3} \right) = \left( {5;3; - 9} \right)\)
Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\). Mệnh đề nào sau đây sai?
\(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {CD} \)
\(\left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \left| {\overrightarrow {CD} } \right|\)
\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {AC'} \)
\(\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} \)
Chọn A
Hai vecto ngược chiều nhau.
Một cái hộp chứa 6 viên bi màu đỏ và 4 viên bi màu xanh. Lấy ngẫy nhiên hai viên bi từ cái hộp đó. Tính xác suất để hai viên bi lấy được đều là viên bi màu xanh.
\(\frac{7}{9}.\)
\(\frac{7}{{24}}.\)
\(\frac{{11}}{{12}}.\)
\(\frac{2}{{15}}.\)
Chọn D
Xác suất lấy được hai bi màu xanh là \(\frac{{\mathop C\nolimits_4^2 }}{{\mathop C\nolimits_{10}^2 }} = \frac{2}{{15}}.\)
Cho hàm số \(y = f(x)\) liên tục trên đoạn \([1;5]\) và có đồ thị như hình vẽ sau.
![Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [1;5] và có đồ thị như hình vẽ sau. (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2026/02/blobid0-1772074726.png)
Trên đoạn \([1;5]\), hàm số đã cho đạt giá trị lớn nhất tại điểm.
\(x = 1\).
\(x = 4\).
\(x = 5\).
\(x = 2\).
Chọn D
Hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng 4 tại điểm \(x = 2\).
Trong không gian \(Oxyz,\)hình chiếu vuông góc của điểm \(M( - 2;3;4)\) lên trục \(Oy\) là điểm nào?
\({M_1}( - 2;0;0)\).
\({M_2}(0;3;0)\).
\({M_3}(0;0;4)\).
\({M_4}( - 2;0;4)\).
Chọn B
Chú ý: Hình chiếu vuông góc của điểm \(M({x_0};{y_0};{z_0})\) trên trục \(Ox,\,\,Oy,\,\,Oz\) lần lượt là \({M_1}({x_0};0;0),\,\,{M_2}(0;{y_0};0),\,\,{M_3}(0;0;{z_0})\)
Áp dụng: Hình chiếu vuông góc của điểm \(M( - 2;3;4)\) lên trục \(Oy\) là \({M_2}(0;3;0)\).
Bất phương trình \({\log _2}(x - 1) \le 3\) có tập nghiệm là
\(( - \infty ;9]\).
\(( - \infty ;9)\).
\((1;9]\).
\((1;9)\).
Chọn C
Ta có \({\log _2}(x - 1) \le 3 \Leftrightarrow 0 < x - 1 \le {2^3} \Leftrightarrow 1 < x \le 9\)
Cho số thực dương \(a,b\) với \(a \ne 1\)thỏa mãn \({\log _a}b = 5\). Giá trị của biểu thức \({\log _a}\left( {ab} \right)\)bằng
\(7\).
\(5\).
\(6\).
\(4\).
Chọn C
Ta có \({\log _a}\left( {ab} \right) = {\log _a}a + {\log _a}b = 1 + 5 = 6\).
Cho hàm số bậc ba \(y = f\left( x \right)\)có đồ thị đạo hàm \(y = f'\left( x \right)\)như hình sau
Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng
\(\left( { - 1;0} \right)\).
\(\left( {2;3} \right)\) .
\(\left( {1;2} \right)\) .
\(\left( {3;4} \right)\) .
Chọn C
Dựa vào đồ thị ta có \(f'\left( x \right) < 0,\forall x \in \left( {0;2} \right)\), suy ra \(f'\left( x \right) < 0,\forall x \in \left( {1;2} \right)\)nên hàm số \(y = f\left( x \right)\)nghịch biến trên khoảng \(\left( {1;2} \right)\).
Giá trị lớn nhất của hàm số \(y = {x^3} - 3x\) trên đoạn \(\left[ {0;3} \right]\)bằng
\(0\).
\(2\).
\(18\).
\( - 2\).
Chọn C
Ta có \(y = {x^3} - 3x\)
Suy ra \(y' = 3{x^2} - 3\)
\(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 1\,\, \notin \left[ {0;3} \right]\end{array} \right.\)
\(y\left( 0 \right) = 0;\,y\left( 1 \right) = - 2;\,y\left( 3 \right) = 18\)
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số \(y = {x^3} - 3x\) trên đoạn \(\left[ {0;3} \right]\)bằng \(18\).
Doanh thu bán hàng trong 20 ngày được lựa chọn ngẫu nhiên của một cửa hàng được ghi lại ở bảng sau (đơn vị: triệu đồng)
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu trên là giá trị nào trong các giá trị sau?
\(7\).
\(6\).
\(15\).
\(10\).
Chọn D
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu trên bằng \(15 - 5 = 10\).
Bảng dưới đây biểu diễn mẫu số liệu ghép nhóm về cân nặng một số quả dưa được lựa chọn ngẫu nhiên từ một lô hàng:
Cân nặng (g) | \(\left[ {750;770} \right)\) | \(\left[ {770;790} \right)\) | \(\left[ {790;810} \right)\) | \(\left[ {810;830} \right)\) | \(\left[ {830;850} \right)\) |
Số lượng | 12 | 25 | 38 | 20 | 5 |
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên là\({\Delta _Q} = 29,6\).
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm trên là 80 g.
Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm trên là \({Q_3} = 830\).
Số phần tử của mẫu (cỡ mẫu) là \(n = 100\).
Chọn a) Đúng | b) Sai | c) Sai | d) Đúng.
a)Tứ phân vị thứ nhất của của mẫu số liệu thống kê là:
Ta có \(\frac{n}{4} = 25\) suy ra \({Q_1} \in \left[ {770;790} \right)\)
\({Q_1} = {a_p} + \frac{{\frac{n}{4} - \left( {{m_1} + ... + {m_{p - 1}}} \right)}}{{{m_p}}}.\left( {{a_{p + 1}} - {a_p}} \right) = 780,4\).
Tứ phân vị thứ ba của của mẫu số liệu thống kê là:
Ta có \(\frac{{3n}}{4} = 75\) suy ra \({Q_3} = 810\)
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu thống kê là
\({\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = 29,6\).
Vậy a) đúng.
b) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là \(R = 850 - 750 = 100\).
Vậy b) sai.
c)Tứ phân vị thứ ba của của mẫu số liệu thống kê là:
Ta có \(\frac{{3n}}{4} = 75\) suy ra \({Q_3} = 810\)
Vậy c) sai.
d)Số phần tử của mẫu (cỡ mẫu) là \(n = 100\).
Vậy d) đúng.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau.
Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\).
Biết rằng hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị đi qua điểm \(A\left( {1;3} \right)\) và đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn \(\left[ { - 1;2} \right]\) tại \(x = 1\). Khi đó: \(f\left( { - 1} \right) + f\left( 2 \right) - 2f\left( 1 \right) > 0\).
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) có \(2\) điểm cực tiểu.
Hàm số đạt cực đại tại \(x = 2\).
a) Đúng.
Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) nên cũng đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\).
b) Đúng.
c) Sai.
Từ bảng biến thiên, hàm số có \(1\) điểm cực tiểu là \(x = 1\).
d) Sai.
Từ bảng biến thiên, hàm số đạt cực đại tại \(x = - 1\).
Một hộp có chứa \(5\) viên bi đỏ, \(3\) viên bi xanh và \(n\) viên bi vàng (các viên bi kích thước như nhau, \(n\) là số nguyên dương). Lấy ngẫu nhiên \(3\) viên bi từ hộp. Biết xác suất để trong ba viên bi lấy được có đủ \(3\) màu là \(\frac{{45}}{{182}}\).
Số bi vàng là \(n = 6\).
Xác suất để \(3\) bi lấy ra chỉ có \(1\) màu là \(\frac{{31}}{{364}}\).
Xác suất để trong \(3\) viên bi lấy được có nhiều nhất hai viên bi đỏ là \(P = \frac{{177}}{{182}}\).
Số cách lấy 3 viên bi có đủ 3 màu là \(C_5^1.C_3^1.C_n^1\).
a) Đúng.
Số cách lấy 3 viên bi có đủ 3 màu là:\(C_5^1 \cdot C_3^1 \cdot C_n^1 = 5.3.n = 15n\).
Số cách lấy ba viên bi bất kì từ hộp là \(C_{8 + n}^3\).
Vì xác suất để trong ba viên bi lấy được có đủ 3 màu là \(\frac{{45}}{{182}}\) nên:
\(\frac{{15n}}{{C_{8 + n}^3}} = \frac{{45}}{{182}} \Leftrightarrow n = 6\).
b) Đúng.
Như vậy, có 5 viên bi đỏ, 3 viên bi xanh và 6 viên bi vàng.
Số cách lấy 3 bi bất kì là:\(C_{14}^3\).
Suy ra \(n(\Omega ) = C_{14}^3\)
Gọi biến cố \(A\): “3 bi lấy ra chỉ có 1 màu”.
\(n(A) = C_5^3 + C_3^3 + C_6^3\).
Xác suất của biến cố \(A\) là:
\(P(A) = \frac{{n(A)}}{{n(\Omega )}} = \frac{{31}}{{364}}\).
c) Đúng.
Gọi biến cố \(B\): “3 bi lấy ra có nhiều nhất 2 viên bi đỏ”.
- Trường hợp 1: 3 bi lấy ra không có bi đỏ, khi đó số cách lấy là \(C_9^3\).
- Trường hợp 2: 3 bi lấy ra có 1 bi đỏ, khi đó số cách lấy là \(C_5^1 \cdot C_9^2\).
- Trường hợp 3: 3 bi lấy ra có 2 bi đỏ, khi đó số cách lấy là \(C_5^2 \cdot C_9^1\).
Suy ra \(n(B) = C_9^3 + C_5^1 \cdot C_9^2 + C_5^2 \cdot C_9^1\).
Vậy xác suất để trong 3 viên bi lấy được có nhiều nhất hai viên bi đỏ là: \(P(B) = \frac{{177}}{{182}}\).
d) Đúng.
Số cách lấy 3 viên bi có đủ 3 màu là:\(C_5^1 \cdot C_3^1 \cdot C_n^1\).
Sau khi phát hiện một bệnh dịch, các chuyên gia y tế ước tính số người nhiễm bệnh kể từ ngày xuất hiện bệnh nhân đầu tiên đến ngày thứ \(t\) là \(f\left( t \right) = 45{t^2} - {t^3}\) với \(t \ge 0\). Nếu coi \(y = f\left( t \right)\) là hàm số xác định trên \(\left[ {0; + \infty } \right)\) thì \(f'\left( t \right)\) được xem là tốc độ truyền bệnh (người/ngày) tại thời điểm \(t\).
[NB] Đến ngày thứ 45 thì không còn người nhiễm bệnh.
[TH] Trong 35 ngày đầu tiên thì số người nhiễm bệnh luôn tăng.
[TH] Tốc độ truyền bệnh tại thời điểm \(t\) là \(f'\left( t \right) = 90t - 3{t^2}\).
[TH] Số người bị nhiễm bệnh từ ngày xuất hiện bệnh nhân đầu tiên đến ngày thứ 13 là 4752.
a) Đúng.
Số người nhiễm ở ngày thứ 45 là: \(f\left( {45} \right) = 0\).
Vậy đến ngày thứ 45 thì không còn người nhiễm bệnh.
b) Sai.
Ta có \(f'\left( t \right) = 90t - 3{t^2}\), \(t \in \left[ {0; + \infty } \right)\).
Xét \(f'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 0\\t = 30\end{array} \right.\).
Bảng biến thiên:
Vậy từ bảng biến thiên ta thấy số bệnh nhân tăng trong 30 ngày đầu tiên.
c) Đúng.
Ta có: \(f'\left( t \right) = 90t - 3{t^2}\).
d) Sai.
Số người bị nhiễm bệnh từ ngày xuất hiện bệnh nhân đầu tiên đến ngày thứ 13 là \(f\left( {13} \right) = 5408\)
Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh bằng \(1\), cạnh bên \(SA\) vuông góc với đáy. Gọi \(M\) là trung điểm của \(SA\) (hình vẽ bên dưới). Biết hai đường thẳng \(CM\) và \(SB\) hợp nhau một góc \(45^\circ \), khoảng cách giữa hai đường thẳng \(CM\) và \(SB\) bằng bao nhiêu? (Kết quả làm tròn tới hàng phần trăm)
Đáp án: 0,41
+ Ta chọn hệ trục toạ độ \(Oxyz\) như sau
\(A\left( {0;\,0;\,0} \right),\,B\left( {1;\,0;\,0} \right),\,S\left( {0;\,0;\,h} \right)\)
Suy ra \(C\left( {\frac{1}{2};\,\frac{{\sqrt 3 }}{2};\,0} \right),\,M\left( {0;\,0;\,\frac{h}{2}} \right)\)
+ Góc giữa \(CM\) và \(SB\) bằng \(45^\circ \)
\(\overrightarrow {CM} \left( { - \frac{1}{2};\,\frac{{\sqrt 3 }}{2};\,\frac{h}{2}} \right),\,\overrightarrow {SB} \left( {1;\,0\,;\, - h} \right)\)
\(\overrightarrow {CM} .\overrightarrow {SB} = - \frac{{1 + {h^2}}}{2}\)
\(\left| {\overrightarrow {CM} } \right| = \sqrt {1 + \frac{{{h^2}}}{4}} ,\,\left| {\overrightarrow {SB} } \right| = \sqrt {1 + {h^2}} \)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}h = \sqrt 2 \,\,(N)\\h = - \sqrt 2 \,(L)\end{array} \right.\).
+ \(\left[ {\overrightarrow {CM} ,\,\overrightarrow {SB} } \right] = \left( {\frac{{\sqrt 6 }}{2};\,0;\,\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right) \Rightarrow \left| {\left[ {\overrightarrow {CM} ,\,\overrightarrow {SB} } \right]} \right| = \frac{3}{2}\)
\(\overrightarrow {SC} \left( {\frac{1}{2};\,\frac{{\sqrt 3 }}{2};\, - \sqrt 2 } \right) \Rightarrow \left| {\overrightarrow {SC} .\left[ {\overrightarrow {CM} ,\,\overrightarrow {SB} } \right]} \right| = \frac{{\sqrt 6 }}{4}\)
+ \(d\left( {CM;SB} \right) = \frac{{\left| {\left| {\overrightarrow {SC} .\left[ {\overrightarrow {CM} ,\,\overrightarrow {SB} } \right]} \right|} \right|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow {CM} ,\,\overrightarrow {SB} } \right]} \right|}} = \frac{{\frac{{\sqrt 6 }}{4}}}{{\frac{3}{2}}} = \frac{{\sqrt 6 }}{6} \simeq 0,41\).
Cho tập hợp \[X = \left\{ {3;4;5;6;7;8;9} \right\}\]. Từ tập \[X\]có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số chia hết cho \[6\]?
Đáp án: \[2401\].
Gọi số tự nhiên thoả mãn bài toán là \[\overline {abcde} \]; \[a,b,c,d,e \in X\].
\[\overline {abcde} \] chia hết cho \[6\] nên \[\overline {abcde} \] chia hết cho \[3\] và \[e \in \left\{ {4;6;8} \right\}\]
Suy ra \[a + b + c + d + e\] chia hết cho \[3\].Vì \[e\] chia cho \[3\] dư \[0;1;2\]
Nên chọn \[a\] có \[7\] cách, \[b\] có \[7\] cách, \[c\] có \[7\] cách, \[d\] có \[7\] cách, và \[e\] có một cách chọn.
Vậy có \[7.7.7.7.1 = 2401\] số tự nhiên thoả mãn bài toán.
Một gia đình đan lưới đánh cá, mỗi ngày đan được \(x\) mét lưới (\(1 \le x \le 18\)). Tổng chi phí sản xuất \(x\) mét lưới, tính bằng nghìn đồng, cho bởi hàm chi phí:\(C(x) = {x^3} - 3{x^2} - 20x + 500\)
Giả sử gia đình làm nghề đan lưới bán hết sản phẩm mỗi ngày với giá 220 nghìn đồng/mét.
Gọi \(L\left( x \right)\) là lợi nhuận thu được khi bán \(x\) mét lưới. Hỏi lợi nhuận tối đa của gia đình đan lưới trong một ngày (đơn vị tính nghìn đồng)?
Đáp án: 1200
Với \(x\) mét lưới (\(1 \le x \le 18\)) bán ra , ta có
Hàm chi phí \(C(x) = {x^3} - 3{x^2} - 20x + 500\)
Doanh thu khi bán hết \(x\) mét lưới là 220\(x\) (nghìn đồng)
Hàm lợi nhuận khi bán hết \(x\) mét lưới
\(\begin{array}{l}L(x) = 220x - C(x)\\L(x) = - {x^3} + 3{x^2} + 240x - 500\end{array}\)
\(\begin{array}{l}L'(x) = - 3{x^2} + 6x + 240\\L'(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 10\\x = - 8\end{array} \right.\end{array}\)
Bảng biến thiên
Lợi nhuận tối đa của gia đình đan lưới trong một ngày là 1200 (nghìn đồng)
Trong một trò chơi, người chơi muốn tìm đường đi ngắn nhất để đi từ A đến P, biết từ A đến P có những đường đi như hình vẽ và khoảng cách giữa các vị trí được cho trên hình. Đường đi thoả mãn điều kiện trên nhận giá trị nhỏ nhất là bao nhiêu?
Đáp án: 21
Cách 1: Liệt kê
Bảng liệt kê các lộ trình từ A đến P
Lộ trình di chuyển | Chi tiết các đoạn đường | Tổng quãng đường |
\(A \to B \to N \to P\) | \(8 + 9 + 10\) | 27 |
\(A \to B \to M \to P\) | \(8 + 8 + 6\) | 22 |
\(A \to B \to M \to N \to P\) | \(8 + 8 + 6 + 10\) | 32 |
\(A \to C \to B \to N \to P\) | \(7 + 7 + 9 + 10\) | 33 |
\(A \to C \to M \to P\) | \(7 + 8 + 6\) | 21 |
\(A \to C \to M \to N \to P\) | \(7 + 8 + 6 + 10\) | 31 |
Dựa vào bảng trên, học sinh có thể thấy ngay lộ trình qua các điểm \(A \to C \to M \to P\) là con đường ngắn nhất với tổng giá trị là 21.
Cách 2: Thuật toán Dijkstra
Quy ước: Điểm B có nhãn có dạng [d, A], trong đó d là khoảng cách ngắn nhất từ A đến điểm B.
Diễn giải thuật toán
Bước 1: Chọn đỉnh A làm vĩnh viễn
Từ A, ta cập nhật nhãn tạm thời cho các đỉnh kề nó là B và C.
B có nhãn [8, A] và C có nhãn [7, A].
Vì \(7 < 8\), ta chọn đỉnh C để cố định nhãn vĩnh viễn.
Bước 2: Từ đỉnh vĩnh viễn C
Xét các đỉnh kề C chưa có nhãn vĩnh viễn là B và M.
Đến B qua C: \(7 + 7 = 14\) (lớn hơn nhãn cũ là 8 nên không cập nhật).
Đến M qua C: \(7 + 8 = 15\). Ta có nhãn tạm thời cho M là [15, C].
Trong các nhãn tạm thời (B: 8, M: 15), số 8 là nhỏ nhất, ta chọn B làm đỉnh vĩnh viễn tiếp theo.
Bước 3: Từ đỉnh vĩnh viễn B
Xét các đỉnh kề B chưa có nhãn vĩnh viễn là N và M.
Đến N qua B: \(8 + 9 = 17\). Nhãn tạm thời cho N là [17, B].
Đến M qua B: \(8 + 8 = 16\) (lớn hơn nhãn cũ là 15 nên không cập nhật).
Trong các nhãn tạm thời (N: 17, M: 15), số 15 là nhỏ nhất, ta chọn M làm đỉnh vĩnh viễn.
Bước 4: Từ đỉnh vĩnh viễn M
Xét các đỉnh kề M chưa có nhãn vĩnh viễn là N và P.
Đến N qua M: \(15 + 6 = 21\) (lớn hơn nhãn cũ là 17 nên không cập nhật).
Đến P qua M: \(15 + 6 = 21\). Nhãn tạm thời cho P là [21, M].
So sánh các nhãn tạm thời còn lại (N: 17, P: 21), ta chọn N làm đỉnh vĩnh viễn.
Bước 5: Từ đỉnh vĩnh viễn N
Đến P qua N: \(17 + 10 = 27\) (lớn hơn nhãn cũ là 21 nên không cập nhật).
Cuối cùng, đỉnh P nhận nhãn vĩnh viễn là [21, M].
Kết luận:
Đường đi ngắn nhất có độ dài là 21.
Truy ngược từ nhãn: \(P \leftarrow M \leftarrow C \leftarrow A\).
Lộ trình: A → C → M → P.
Đáp án: 21
Một phần đường chạy của tàu lượn siêu tốc khi gắn hệ trục tọa độ \(Oxy\) được mô phỏng như hình vẽ dưới đây. Biết đường chạy của nó có dạng đồ thị hàm số bậc ba \(f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) với \(0 \le x \le 80\), tàu lượn xuất phát từ điểm \(A\) đồng thời đi qua các điểm \(B,C,D\). Đơn vị trên mỗi trục là mét. Gọi \(\;h\) là độ cao lớn nhất mà tàu lượn siêu tốc đạt được so với mặt đất (xem trục \(Ox\) là mặt đất). Vận tốc của tàu lượn phụ thuộc vào vị trí của nó và cho bởi công thức: \(v\left( x \right) = \sqrt {2g \cdot \left( {h - f\left( x \right)} \right)} \left( {{\rm{m}}/{\rm{s}}} \right)\) với \(g = 9,8{\rm{\;m}}/{{\rm{s}}^2}\). Tính vận tốc cực đại của tàu lượn khi nó xuống dốc (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).
Dựa vào đồ thị ta có \(d = 20\), tiếp theo ta tìm các hệ số \(a,b,c\) bằng cách giải hệ
\(\left\{ \begin{array}{l}a{30^3} + b{30^2} + c30 + 20 = 50\\a{50^3} + b{50^2} + c50 + 20 = 20\\a{80^3} + b{80^2} + c80 + 20 = 20\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}900a + 30b + c = 1\\250a + 50b + c = 0\\6400a + 80b + c = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{1}{{1000}}\\b = - \frac{{13}}{{100}}\\c = 4\end{array} \right.\).
Ta được \(f\left( x \right) = \frac{1}{{1000}}{x^3} - \frac{{13}}{{100}}{x^2} + 4x + 20\). Do đó
\(\begin{array}{l}f'\left( x \right) = \frac{3}{{1000}}{x^2} - \frac{{13}}{{50}}x + 4;f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{200}}{3}\\x = 20\end{array} \right.\\\end{array}\).
Ta được chiều cao lớn nhất là \(h = f\left( {20} \right) = 56\left( {\rm{m}} \right)\). Vì vậy tốc độ của tàu lượn xuống dốc là \(v\left( x \right) = \sqrt {2g \cdot \left( {56 - f\left( x \right)} \right)} \left( {{\rm{m}}/{\rm{s}}} \right)\). Vì \(g\)là hằng số nên tốc độ cực đại của biểu thức đạt được tại cực tiểu của \(f\left( x \right)\), hay \({v_{\max }}\left( x \right) = v\left( {\frac{{200}}{3}} \right) \approx 31.56\left( {{\rm{m/s}}} \right)\).
Trong không gian\(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( { - 2;0; - 3} \right),B\left( { - 4;1; - 1} \right)\). Biết \(M\left( {a;b;c} \right)\) thuộc mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right)\) sao cho \(MA + MB\) đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó \(a + b + c\) bằng bao nhiêu?
Đáp án: -2
Gọi \(B'\) đối xứng \(B\) qua \(\left( {Oyz} \right)\). Khi đó \(B'\left( {4;1; - 1} \right)\)
\( \Rightarrow \overrightarrow {AB'} = \left( {6;1;2} \right)\)
Khi đó với mọi \(M\left( {0;b;c} \right)\) thuộc mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right)\)thì
\(MB = MB'\)\( \Rightarrow MA + MB = MA + MB' \ge AB'\).
Để \(MA + MB\) đạt giá trị nhỏ nhất khi \(A,M,B'\) thẳng hàng và \(M\) nằm giữa \(A,B'\).
\( \Leftrightarrow \overrightarrow {AM} = k\overrightarrow {AB'} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 = 6k\\b = k\\c + 3 = 2k\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 0\\b = \frac{1}{3}\\c = - \frac{7}{3}\end{array} \right.\).
Vậy \(a + b + c = - 2\).
