Đề thi thử Tốt nghiệp THPT Toán 2025-2026 THPT Phụ Dực (Hưng Yên) có đáp án

Chọn D

Giá trị trung bình: \[\bar x = \frac{{{m_1}{x_1} + {m_2}{x_2} + ... + {m_k}{x_k}}}{n}\]

\(\overline x  = \frac{{22,5.6 + 27,5.6 + 32,5.4 + 37,5.1 + 42,5.1}}{{18}} = \frac{{85}}{3}\).

Phương sai: \[{s^2} = \frac{1}{n}\left( {{m_1}{x_1}^2 + ... + {m_k}{x_k}^2} \right) - {\left( {\overline x } \right)^2}\]

\[ = \frac{1}{{18}}\left( {6.22,{5^2} + 6.27,{5^2} + 4.32,{5^2} + 1.37,{5^2} + 1.42,{5^2}} \right) - {\left( {\frac{{85}}{3}} \right)^2} = \frac{{125}}{4}\].

Độ lệch chuẩn: \(s = \sqrt {{s^2}}  = \sqrt {\frac{{125}}{4}}  = \frac{{5\sqrt 5 }}{2} \approx 5,59\).

Chọn C

Đồ thị hàm số \(y =  - {x^3} + 3x + 1\).

Chọn C

Khoảng biến thiên

Các nhóm: \(\left[ {{a_1};{a_2}} \right)\),\(\left[ {{a_2};{a_3}} \right)\),.,\(\left[ {{a_k};{a_{k + 1}}} \right)\)\( \Rightarrow R = {a_{k + 1}} - {a_1} = 175 - 150 = 25\).

Chọn A

Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = f(x)\) trên đoạn \[\left[ {0;3} \right]\] là \(y = f(1) =  - 4\).

Chọn B

Tiệm cận đứng \(x =  - 1\), tiệm cận xiên đi qua 2 điểm có tọa độ là \((2;0)\) và \((0;2)\)nên TCX có phương trình là\(y =  - x + 2\) suy ra giao điểm của hai đường tiệm cận là \(I\left( { - 1;3} \right)\) suy ra tâm đối xứng của đồ thị là \(I\left( { - 1;3} \right)\).

Chọn C

\(y' = \frac{{ - 1}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} < 0\,\,\forall x \ne  - 1\) suy ra hàm số không có cực trị.

Chọn A

\(V = \frac{1}{3}SA\,.\,{S_{ABCD}} = \frac{1}{3}3a.a.2a = 2{a^3}\).

Chọn A

Hình chiếu của SD lên mp(ABCD) là AD nên góc giữa đường thẳng \(SD\) và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\)là \(\widehat {SDA}\).

Chọn B

Vì \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) nên khoảng cách từ \(S\) tới mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) bằng \(SA = a\).

Chọn C

Ta có \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 2\\x = 1\end{array} \right.\).

Ta có bảng biến thiên của hàm số \(y = f\left( x \right)\):

Vậy hàm số \(y = f\left( x \right)\) nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\).

Xét hàm số: \[y = \frac{{{x^2} - x - 1}}{{x - 2}} = x + 1 + \frac{1}{{x - 2}}\].

a) Tập xác định:

Hàm số xác định khi mẫu thức khác \[x - 2 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne 2\].

Vậy tập xác định \[D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}\]. Phát biểu a) ĐÚNG.

b) Tiệm cận xiên:

Đường thẳng \[y = x + 1\] là tiệm cận xiên của đồ thị \[\left( C \right)\]. Phát biểu b) SAI.

c) Tâm đối xứng:

Tiệm cận đứng: \[x = 2\]. Tiệm cận xiên: \[y = x + 1\]

Thay \[x = 2\] vào phương trình tiệm cận xiên: \[y = 2 + 1 = 3\].

Giao điểm của hai tiệm cận là \[I\left( {2;\,3} \right)\]. Đây chính là tâm đối xứng của đồ thị \[\left( C \right)\]. c) ĐÚNG.

d) Điểm đi qua:

Để kiểm tra đồ thị có đi qua \[A\left( {1;\,1} \right)\] hay không, ta thay \[x = 1\] vào hàm số:

\[y\left( 1 \right) = \frac{{{1^2} - 1 - 1}}{{1 - 2}} = \frac{{ - 1}}{{ - 1}} = 1\]. Vì \[y\left( 1 \right) = 1\] nên đồ thị hàm số đi qua điểm \[A\left( {1;\,1} \right)\]. d) ĐÚNG.

Chọn a) Đúng | b) Sai| c) Sai | d) Đúng

a) Ta có diện tích tam giác \(ABC\) bằng \({S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 2 = 4\) (đvdt).

Chọn ĐÚNG.

b) Vì parabol có đỉnh \(I\left( {0;\,6} \right)\) nằm trên \(Oy\) nên phương trình của parabol là \(y = a{x^2} + 6\).

Do \(C\left( { - 2;2} \right)\) và \(B\left( {2;2} \right)\) thuộc vào parabol nên ta có \(y =  - {x^2} + 6\).

Phương trình đường thẳng \(AB:y = x\).

Suy ra diện tích hình phẳng \(\left( H \right)\)là

\[2\int\limits_0^2 {\left( { - {x^2} + 6 - x} \right){\rm{d}}x = 2\left. {\left( { - \frac{1}{3}{x^3} - \frac{1}{2}{x^2} + 6x} \right)} \right|_0^2 = \frac{{44}}{3}} \].

Chọn SAI.

c) Khi hình \(\left( H \right)\) quay xung quanh \(Ox\), ta có

\({V_{Ox}} = 2\pi \int\limits_0^2 {\left[ {{{\left( { - {x^2} + 6} \right)}^2} - {x^2}} \right]{\rm{d}}x = \frac{{1312\pi }}{{15}}} \).

Chọn SAI.

d) Khi quay xung quanh \(Oy\), ta có thể tích bằng

\[{V_{Oy}} = \pi \int\limits_0^2 {{y^2}} {\rm{d}}y + \pi \int\limits_2^6 {{{\left( {\sqrt {6 - y} } \right)}^2}{\rm{ d}}y = } \frac{{8\pi }}{3} + 8\pi  = \frac{{32\pi }}{3}\].

Chọn ĐÚNG.

Gọi \(A\) là biến cố: “Khách hàng mua phải hộp sữa giả”;

\(B\) là biến cố: “ Quản lý thị trường phát hiện lô hàng chứa sữa giả”.

a) Khi đó ta có: \(P(A) = \frac{{10}}{{30}} = \frac{1}{3}\).

Suy ra a) Đúng.

b) Ta có: \(P(\overline A )\) \( = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}\); \[P(B|\overline A ){\rm{ }} = {\rm{ }}1 - \frac{{C_{19}^3}}{{C_{29}^3}} = \frac{{895}}{{1218}}\]; \(P(\overline B |A) = \frac{{C_{20}^3}}{{C_{29}^3}} = \frac{{190}}{{609}}\);

\(P(B|A) = 1 - P(\overline B |A) = 1 - \frac{{190}}{{609}} = \frac{{419}}{{609}}\).

Áp dụng công thức xác suất toàn phần ta có:

\(P(B) = P(A) \cdot P(B|A) + P(\bar A) \cdot P(B|\bar A) = \frac{1}{3}.\frac{{419}}{{609}} + \frac{2}{3}.\frac{{895}}{{1218}} = \frac{{146}}{{203}}\)

Suy ra b) Đúng.

c) \(P(B|A) = \frac{{419}}{{609}}\)

Suy ra c) Sai.

d) Từ công thức nhân xác suất ta có: \(P(A|B) = \frac{{P(A).P(B|A)}}{{P(B)}} = \frac{{\frac{1}{3}.\frac{{419}}{{609}}}}{{\frac{{146}}{{203}}}} = \frac{{419}}{{1314}}\).

Suy ra d) Đúng.

a) Phương trình đường thẳng \(MN\) là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + t\\y =  - 2 + 5t\\z =  - 1 + 2t\end{array} \right.\).

Đường thẳng \(MN\) đi qua \(M(3; - 2; - 1)\) và có VTCP là \(\overrightarrow {MN}  = (1;5;2)\).

Khi đó: Phương trình đường thẳng \(MN\) là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + t\\y =  - 2 + 5t\\z =  - 1 + 2t\end{array} \right. \Rightarrow a)\)Đúng.

b) Giao điểm của đường thẳng \(MN\)và \((P)\) là \(E(1; - 12; - 5)\).

Gọi \(E\) là giao điểm của đường thẳng \(MN\) và \((P)\)\( \Rightarrow E(3 + t; - 2 + 5t; - 1 + 2t)\). Thay tọa độ của \(E\) vào phương trình mặt phẳng \((P)\) ta có: \( - 1 + 2t =  - 5 \Leftrightarrow t =  - 2 \Leftrightarrow E(1; - 12; - 5)\) \( \Rightarrow b)\) Đúng.

c) Tập hợp các tiếp điểm \(A\) của mặt cầu \((S)\) và \((P)\) là đường tròn có bán kính xấp xỉ bằng \(13,41\).

Gọi \(I(a;b;c)\) là tâm mặt cầu \((S)\). Gọi \(A\)là tiếp điểm của mặt cầu \((S)\) và \((P)\)\( \Rightarrow A\)là hình chiếu vuông góc của \(I\)lên \((P)\)\( \Rightarrow A(a;b; - 5)\).

Vì mặt cầu \((S)\) đi qua \(M,N\) và luôn tiếp xúc với mặt phẳng \((P)\) tại \(A\) nên \(IM = IN = IA = R = d(I;(P)) = \left| {c + 5} \right|\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{(a - 3)^2} + {(b + 2)^2} + {(c + 1)^2} = {(c + 5)^2}\\{(a - 4)^2} + {(b - 3)^2} + {(c - 1)^2} = {(c + 5)^2}\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a + 10b + 4c = 12\\{(a - 3)^2} + {(b + 2)^2} = 8c + 24\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}8c = 24 - 4a - 20b\\{(a - 1)^2} + {(b + 12)^2} = 180\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy tập hợp điểm A là một đường tròn tâm \(I(1; - 12; - 5)\)bán kính \(R = \sqrt {180}  \approx 13,41\).

\( \Rightarrow c)\) Đúng.

d) Giá trị lớn nhất của \(OA\) xấp xỉ bằng \(25,9\).

Khoảng cách \(OA = \sqrt {{1^2} + {{( - 12)}^2} + {{( - 5)}^2}}  = \sqrt {170}  \approx 13,04 \Rightarrow d)\)Sai.

Đáp án: 6940

+) Để thỏa mãn điều kiện đề bài, ta cần đếm xem có bao nhiêu câu rơi vào mỗi trường hợp:

 Trường hợp 1: Câu dành cho cả \[5\] bạn có \[2\]câu.

 Trường hợp 2: Câu dành cho đúng \[4\] bạn

Vì nhóm \[4\] bạn bất kỳ có \[3\] câu chung mà trong \[3\] câu này đã có \[2\] câu chung của cả \[5\] bạn trong TH1. Vậy mỗi nhóm \[4\] người phải có thêm \[1\] câu riêng nữa.

Vì có \[C_5^4 = 5\] cách chọn ra nhóm \[4\] người, nên sẽ có \[5.1 = 5\] câu.

 Trường hợp 3: Câu dành cho đúng \[3\] bạn

Vì nhóm \[3\] bạn bất kỳ có \[4\] câu chung. Ta xét nhóm \[3\] bạn này đang sở hữu bao nhiêu câu từ \[2\] trường hợp trên:

o \[2\] câu chung của cả \[5\] bạn.

o Các câu chung của nhóm \[4\] bạn (mà nhóm \[3\] bạn này là thành viên). Một nhóm \[3\] người sẽ nằm trong đúng \[2\] nhóm \[4\] người khác nhau. Suy ra nhóm này có thêm \[2.1 = 2\] câu chung nữa.

o Tổng cộng: \[2 + 2 = 4\] câu chung.

Suy ra không có câu riêng nào chỉ dành riêng cho đúng \[3\] bạn

+) Ta có \[20\]câu hỏi, ta phải xếp chúng vào các trường hợp:

Trường hợp 1: Câu dành cho cả \[5\] bạn có \[2\] câu. Chọn \[2\] câu từ \[20\] câu.

Số cách chọn: \[C_{20}^2\].

Trường hợp 2: Câu dành cho đúng \[4\]bạn

Chọn \[5\] câu từ \[18\]câu còn lại, sau đó xếp mỗi câu vào một trong \[5\] nhóm \[4\] người khác nhau.

Số cách chọn: \[C_{18}^5 \times 5!\]

Còn lại \[13\] câu thì \[13\] câu này tuyệt đối không được rơi vào nhóm \[3,{\rm{ }}4,\] hay \[5\] người nữa (vì nếu rơi vào sẽ làm thay đổi các con số đề bài đã cho).

Như vậy câu còn lại chỉ có thể:

 Không giao cho ai (\[1\] cách).

 Giao cho đúng \[1\] người (\[C_5^1 = 5\]cách).

 Giao cho đúng \[2\] người (\[C_5^2 = 10\] cách).

Tổng cộng mỗi câu có \[1 + 5 + 10 = 16\] cách chọn câu hỏi cho \[1\] người

Số cách cho \[13\] câu \[{16^{13}}\].

+) Số kết quả thuận lợi: \[n(A) = C_{20}^2 \times C_{18}^5 \times 5! \times {16^{13}}\].

+) Không gian mẫu:

Mỗi câu hỏi có \[{2^5} = 32\] cách giao cho \[5\] bạn. Với \[20\] câu, ta có\[n(\Omega ) = {32^{20}}\].

\[ \Rightarrow p = \frac{{C_{20}^2 \times C_{18}^5 \times 5! \times {{16}^{13}}}}{{{{32}^{20}}}} = \frac{{{{190.8568.120.2}^{52}}}}{{{2^{100}}}}\]

\[ \Rightarrow p = \frac{{195.350.400}}{{{2^{48}}}}\]

\[ \Rightarrow {10^{10}}p = \frac{{{{195.350.400.10}^{10}}}}{{{2^{48}}}} \approx 6940\].

Đáp án: 29,12

Đặt\[BM{\rm{ }} = {\rm{ }}x\left( {km} \right)\], điều kiện\(0 \le x \le 60\).

Khi đó:

 Đoạn đường ca nô đi là\(AM = \sqrt {A{B^2} + B{M^2}}  = \sqrt {{{20}^2} + {x^2}}  = \sqrt {400 + {x^2}} (km)\).

 Đoạn đường xe cứu thương đi là \[CM{\rm{ }} = {\rm{ }}BC{\rm{ }} - {\rm{ }}BM{\rm{ }} = {\rm{ }}60{\rm{ }} - {\rm{ }}x{\rm{ }}\left( {km} \right)\]

Thời gian để ca nô đến \(M\) là: \({t_1}(x) = \frac{{\sqrt {400 + {x^2}} }}{{60}}\) (giờ).

Thời gian để xe cứu thương đến \(M\)là: \({t_2}(x) = \frac{{60 - x}}{{80}}\) (giờ).

Người bệnh được cấp cứu khi cả hai cùng có mặt tại \[M\]. Do đó, thời gian sớm nhất chính là lúc \({t_1}(x) = {t_2}(x)\) (vì nếu một bên đến trước vẫn phải đợi bên kia).

Giải phương trình bậc hai này, ta chọn nghiệm dương:

\(\begin{array}{l}\frac{{\sqrt {400 + {x^2}} }}{{60}} = \frac{{60 - x}}{{80}} \Leftrightarrow 4\sqrt {400 + {x^2}}  = 3(60 - x)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(x \le 60)\\ \Leftrightarrow 16(400 + {x^2}) = 9(3600 - 120x + {x^2})\\ \Leftrightarrow 6400 + 16{x^2} = 32400 - 1080x + 9{x^2}\\ \Leftrightarrow 7{x^2} + 1080x - 26000 = 0\end{array}\)

\[x = \frac{{ - 1080 + \sqrt {{{1080}^2} - 4 \cdot 7 \cdot ( - 26000)} }}{{2 \cdot 7}} \Leftrightarrow x = \frac{{ - 1080 + \sqrt {1894400} }}{{14}} \Leftrightarrow x \approx 21,17{\rm{ (km)}}\]

Thay \(x \approx 21,17\)vào biểu thức \({t_2}\):

\({t_2} = \frac{{60 - 21,17}}{{80}} = \frac{{38,83}}{{80}} \approx 0,485375{\rm{ }}\)(giờ)\( \approx \)\[29,12\] phút.

Đáp án: 914

Chọn hệ tọa độ như hình vẽ.

Đường tròn có đường kính \(d = 8\) nên bán kính \(r = 4\).

Diện tích hình tròn: \({S_1} = 16\pi \).

Diện tích hình elip: \({S_2} = \pi .4.2 = 8\pi \).

Hai Elip lần lượt có phương trình là \(\left( {{E_1}} \right):\frac{{{x^2}}}{{16}} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1\) và \(\left( {{E_2}} \right):\frac{{{x^2}}}{4} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\).

Tọa độ giao điểm của hai Elip trong góc phần tư thứ nhất là nghiệm phương trình: \({x^2} + \frac{{1 - \frac{{{x^2}}}{{16}}}}{{16}} = 1 \Leftrightarrow {x^2} = \frac{{16}}{5} \Rightarrow x = \frac{{4\sqrt 5 }}{5}\).

Diện tích của phần elip nằm dọc trong góc phần tư thứ nhất:

\({S_3} = \int\limits_0^{\frac{{4\sqrt 5 }}{5}} {\left( {2\sqrt {4 - {x^2}}  - \sqrt {1 - \frac{{{x^2}}}{{16}}} } \right)} \,{\rm{d}}x\).

Diện tích phần tô đen là: \({S_4} = {S_1} - {S_2} - {\rm{\;4}}{S_3} = 16\pi  - 8\pi  - 4\int\limits_0^{\frac{{4\sqrt 5 }}{5}} {\left( {2\sqrt {4 - {x^2}}  - \sqrt {1 - \frac{{{x^2}}}{{16}}} } \right)} \,{\rm{d}}x\).

Diện tích phần tô trắng là \({S_5} = 64 - 8\pi  - {S_4}\)

Vậy số tiền là \(T = {10^5}.\left( {8\pi .15 + {S_4}.20 + {S_5}.10} \right){.10^{ - 2}} \approx 914\)triệu đồng.

Đáp án: 16,6

Xác định các vectơ vận tốc:

Vectơ hướng \({\vec v_1} = (4;3;0)\) có độ dài \(|{\vec v_1}| = 5\), đặt \(\vec e = \frac{1}{5}{\vec v_1}\)

Vận tốc gió: \({\vec v_g} = 50 \cdot \vec e = (40;30;0){\rm{ km/h}}\).

Vận tốc tàu: \({\vec v_t} = 20 \cdot \vec e = (16;12;0){\rm{ km/h}}\).

Vị trí tàu khi trực thăng bắt đầu bay từ \(A\):

Thời gian từ lúc mất liên lạc đến khi trực thăng ở \(A\) là \(2\) phút \( = \frac{1}{{30}}\) giờ.

Vị trí tàu lúc này (\(T\prime \)): \(\overrightarrow {OT\prime }  = \overrightarrow {OT}  + \frac{1}{{30}}{\vec v_t} = (\frac{{908}}{{15}};\frac{{377}}{5};0)\).

Thiết lập phương trình gặp nhau:

- Gọi \(t\) (giờ) là thời gian trực thăng bay từ \(A\) đến vị trí phía trên con tàu.

- Thời gian hạ cánh là \(1\) phút \( = \frac{1}{{60}}\) giờ.

Nên tổng thời gian tàu di chuyển kể từ lúc trực thăng ở \(A\) đến khi gặp nhau trên mặt biển là \((t + \frac{1}{{60}})\) giờ.

-Vị trí tàu khi gặp nhau (\(M\)): \(\overrightarrow {OM}  = \overrightarrow {OT\prime }  + (t + \frac{1}{{60}}){\vec v_t}\).

-Tọa độ của tàu khi đó: \(\overrightarrow {OM}  = (\frac{{908}}{{15}} + 16(t + \frac{1}{{60}});\frac{{377}}{5} + 12(t + \frac{1}{{60}});0) = (60,8 + 16t;75,6 + 12t;0)\).

-Vì máy bay hạ cánh thẳng đứng, nên vị trí máy bay sau khi bay xong thời gian \(t\) phải có tọa độ ngang trùng với tọa độ ngang của tàu tại thời điểm hạ cánh xong (\(M\)).

- Vectơ dịch chuyển ngang của máy bay: \(\overrightarrow {AM\prime }  = (60,8 + 16t;75,6 + 12t;0)\).

- Mặt khác: $\overrightarrow{AM\text{'}}=t\left({\overrightarrow{v}}_2+{\overrightarrow{v}}_g\right)$ nên

\(t{\vec v_2} = \overrightarrow {AM\prime }  - t{\vec v_g} = (60,8 + 16t - 40t;75,6 + 12t - 30t;0) = (60,8 - 24t;75,6 - 18t;0)\).

Giải tìm \(t\) và tính tổng thời gian:

Với tốc độ tối đa \(|{\vec v_2}| = 400{\rm{ km/h}}\): \({(60,8 - 24t)^2} + {(75,6 - 18t)^2} = {(400t)^2}\).

\( \Leftrightarrow 3696,64 - 2918,4t + 576{t^2} + 5715,36 - 2721,6t + 324{t^2} = 160000{t^2}\).

\( \Leftrightarrow 159100{t^2} + 5640t - 9412 = 0\).

Nghiệm dương \(t \approx 0,2261\) giờ \( \approx 13,57\) phút.

Tổng thời gian từ lúc mất liên lạc: \(T = 2 + 13,57 + 1 = 16,57\) phút.

Làm tròn đến hàng phần chục: 16,6.

Đáp án: 780

Ta có hàm lợi nhuận của doanh nghiệp là

\(f\left( x \right) = F\left( x \right) - G\left( x \right) - g\left( t \right)\), \(g\left( t \right) = tx\) là tổng số thuế phụ thu cho \(x\) sản phẩm.

\(f\left( x \right) = 3000x - {x^2} - {x^2} - 1440x - 50 - xt\)

\( =  - 2{x^2} + \left( {1560 - t} \right)x - 50\)

Khảo sát hàm số \(f\left( x \right)\)

Ta có \(f'\left( x \right) =  - 4x + 1560 - t\)

\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{1560 - t}}{4}\)

Ta có bảng biến thiên

Lợi nhuận của doanh nghiệp lớn nhất khi \(x = \frac{{1560 - t}}{4}\).

Khi đó tổng thuế phụ thu là

+ 390t\)

Khảo sát hàm số \(g\left( t \right)\):

Ta có tổng thu thuế phụ thu đạt lớn nhất khi \(t = 780\) (nghìn đồng).

Đáp án: \[50,9\].

Gọi \(O = AC \cap BD\). Vì hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) nên \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\) và đáy \(ABCD\) là hình vuông. \(AC = 6\sqrt 2 ,\;AO = \frac{{AC}}{2} = 3\sqrt 2 ,\;SO = \sqrt {S{A^2} - A{O^2}}  = 3\sqrt 2 \).

Diện tích đáy \(ABCD\) là \(S = {6^2} = 36\;{m^2}\).

Thể tích khối chóp \(S.ABCD\) là \(V = \frac{1}{3}.SO.S = \frac{1}{3}.3\sqrt 2 .36 = 36\sqrt 2 \;{m^3} \approx 50,9\;{m^3}\).