Đề thi thử Tốt nghiệp THPT Toán 2025-2026 THPT Lê Thánh Tông có đáp án
22 câu hỏi
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu thí sinh chỉ chọn một phương án
Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_1} = - 2;{u_4} = - 250\). Công bội của cấp số nhân đã cho bằng
\(125\).
\( - 5\).
\(\frac{1}{5}\).
\(5\).
Chọn D
Ta có \({u_4} = {u_1}.{q^3} = - 250 \Rightarrow {q^3} = 125 \Rightarrow q = 5\).
Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 8y - 2z - 4 = 0\). Tọa độ tâm \(I\) và bán kính \(R\) của mặt cầu \(\left( S \right)\) là
\(I\left( {2; - 4;1} \right)\,,R = 5\).
\(I\left( { - 2;4; - 1} \right)\,,R = 25\).
\(I\left( {2; - 4;1} \right)\,,R = \sqrt {21} \).
\(I\left( { - 2;4; - 1} \right)\,,R = 21\).
Chọn A
Tọa độ tâm \(I\left( {2; - 4;1} \right)\) bán kính \(R = \sqrt {{2^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2} + 1 + 4} = 5\)
Hình vẽ bên là đồ thị của hàm số \(y = \frac{{ax + b}}{{cx + b}}\). Đường tiệm cận đứng của đồ thị có phương trình là
\(x = 1\).
\(x = 2\).
\(y = 1\).
\(y = 2\).
Chọn A
Đường tiệm cận đứng của đồ thị: \(x = 1\)
Mức thưởng Tết (triệu đồng) mà các công nhân một nhà máy nhận được như sau
Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm gần nhất với giá trị nào sau đây?
\(17,76\).
\(16,67\).
\(17,67\).
\(16,76\).
Chọn D
Nhóm chứa Mốt \(\left[ {15;20} \right)\).
\({M_0} = 15 + \frac{{47 - 35}}{{\left( {47 - 35} \right) + \left( {47 - 25} \right)}}\left( {20 - 15} \right) = \frac{{285}}{{17}} \approx 16,76\).
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh bằng a, \(SA = a\sqrt 2 \) vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\). Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\)bằng
\(30^\circ \).
\(45^\circ \).
\(60^\circ \).
\(90^\circ \).
Chọn B
\[AC = a\sqrt 2 = SA\], suy ra tam giác SAC vuông cân tại A
Do đó \[\left( {SC,\left( {ABCD} \right)} \right) = \,\widehat {SCA} = 45^\circ \]
Trong không gian \(Oxyz\), tính khoảng cách từ điểm \(M\left( {1;2; - 3} \right)\) đến mặt phẳng \(\left( P \right):\,x + 2y - 2z - 2 = 0\)
\(\frac{{11}}{3}\).
\(\frac{1}{3}\).
\(3\).
\(1\).
Chọn C
\(d\left( {M,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {\,1 + 2.2 - 2\left( { - 3} \right) - 2} \right|}}{{\sqrt {1 + 4 + 4} }} = 3\)
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số \(y = \frac{{2x - 1}}{{x + 1}}\,\,\)trên đoạn \(\left[ {1;2} \right]\).
\(\mathop {\max }\limits_{\left[ {1;2} \right]} y = \frac{1}{2}\).
\(\mathop {\max }\limits_{\left[ {1;2} \right]} y = - \frac{1}{2}\).
\(\mathop {\max }\limits_{\left[ {1;2} \right]} y = - \frac{1}{3}\).
\(\mathop {\max }\limits_{\left[ {1;2} \right]} y = 1\).
Chọn D
\(y' = \frac{3}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} > 0\,\,\forall x \in \left[ {1;2} \right]\,\) nên hàm số đồng biến trên đoạn \(\left[ {1;2} \right]\) \( \Rightarrow \,\mathop {\max }\limits_{\left[ {1;2} \right]} y = y\left( 2 \right) = 1\)
Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\). Mệnh đề nào sau đây đúng?
\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {AC'} \).
\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {AD} \).
\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AC'} \).
\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AC'} = \overrightarrow {AC} \).
Chọn A
\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {AC'} \) (theo qui tắc hình hộp) nên A đúng
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3x\), trục hoành \(Ox\) và hai đưởng thẳng \(x = - 2,x = 2\) bằng
\(\frac{{16}}{3}\).
\(\frac{{14}}{3}\).
5.
6.
Chọn C
Diên tích cần tìm \(S = \int\limits_{ - 2}^2 {\left| {{x^3} - 3x} \right|dx} = 5\)
Tìm họ nguyên hàm cùa \(f(x) = \cos x - \sin x\).
\(\sin x - \cos x + C\).
\(\sin x + \cos x + C\).
\( - \sin x - \cos x + C\).
\( - \sin x + \cos x + C\).
Chọn B
\[\int {f(x)dx} = \int {(\cos x - \sin x)dx} = \sin x + \cos x + C\]
Trong không gian \(Oxyz\), cho hai vectơ \(\vec a = (0;3;1),\vec b = (3;0; - 1)\). Tính \(\cos (\vec a,\vec b)\).
\(\cos (\vec a,\vec b) = - \frac{1}{{100}}\).
\(\cos (\vec a,\vec b) = \frac{1}{{100}}\).
\(\cos (\vec a,\vec b) = - \frac{1}{{10}}\).
\(\cos (\vec a,\vec b) = \frac{1}{{10}}\).
Chọn C
Ta có: \(\cos (\vec a,\vec b) = \frac{{\vec a.\vec b}}{{\left| {\vec a} \right|.\left| {\vec b} \right|}} = \frac{{ - 1}}{{10}}\)
Khi điều tra chi phí hàng tháng (đơn vị: triệu đồng) cùa 25 người còn độc thân ở độ tuổi 30 đển tuồi 35, người ta thu được mẫu số liệu sau:
Chi phí | \([5;7)\) | \([7;9)\) | \([9;11)\) | \([11;13)\) | \([13;15)\) |
Số người | 5 | 5 | 7 | 5 | 3 |
Tìm phương sai của mẳu số liệu ghép nhóm trên (làm tròn đến hàng phần trăm).
6,62.
6,13.
5,54.
5,82.
Chọn A
Chi phí | \([5;7)\) | \([7;9)\) | \([9;11)\) | \([11;13)\) | \([13;15)\) |
GTĐD | 6 | 8 | 10 | 12 | 14 |
Số người | 5 | 5 | 7 | 5 | 3 |
Số trung bình: \[\bar x = \frac{1}{{25}}(30 + 40 + 70 + 60 + 42) = \frac{{242}}{{25}}\]
Phương sai: \({S^2} = \frac{1}{{25}}(36.5 + 64.5 + 100.7 + 144.5 + 196.3) - {(\bar x)^2} \approx 6,62\)
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng (Đ) hoặc sai (S)
Cho hàm số \(f\left( x \right) = {e^x} - 2x + e\).
Xét tính đúng sai các mệnh đề sau:
[NB]Tập xác định của hàm số \(f\left( x \right)\) là \(D = \mathbb{R}\).
[TH]Đạo hàm của hàm số \(f\left( x \right)\) là \(f'\left( x \right) = {e^x} - 2\).
[TH] Giá trị lớn nhất của hàm số \(f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ {0;2} \right]\) bằng \({e^2} + e\).
[TH] Đường cong \(y = f\left( x \right)\) cắt đường thẳng \(y = - 2x\) tại hai điểm phân biệt.
a) Đúng.
Tập xác định \(D = \mathbb{R}\).
b) Đúng.
Ta có \(f'\left( x \right) = {\left( {{e^x} - 2x + e} \right)^\prime } = {e^x} - 2\).
c) Sai.
Ta có \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow {e^x} - 2 = 0 \Leftrightarrow x = \ln 2\, \in \left[ {0;2} \right]\).
Xét \(f\left( {\ln 2} \right) = 2 - 2\ln 2 + e \approx 3,33\); \(f\left( 0 \right) = 1 + e \approx 3,72\); \(f\left( 2 \right) = {e^2} - 4 + e \approx 6,12\).
Vậy \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;2} \right]} f\left( x \right) = f\left( 2 \right) = {e^2} - 4 + e\).
d) Sai.
Xét \(f\left( x \right) = - 2x \Leftrightarrow {e^x} - 2x + e = - 2x \Leftrightarrow {e^x} = - e\) (vô nghiệm)
Vậy đường cong \(y = f\left( x \right)\) không cắt đường thẳng \(y = - 2x\).
Bạch Đằng sóng dậy một trời đông,
Cọc ngầm dựng thẳng khóa muôn dòng.
Nam Hán thuyền tan theo triều xuống,
Toàn quân đại thắng giữ non sông.
Chiến thắng Bạch Đằng năm 938 là đỉnh cao nghệ thuật quân sự, khi Ngô Quyền đã đoán định chính xác nhịp lên, xuống của thủy triều để nhử thủy quân Nam Hán vào sâu bên trong, rồi phản công đúng thời khắc nước rút, qua đó đánh đuổi được giặc xâm lăng ra khỏi bờ cõi. Để mô hình hóa chiến thuật “canh con nước” ấy dưới lăng kính Giải tích, ta xét bài toán sau:
Xét một bãi cọc được đóng sâu xuống bùn theo phương thẳng đứng; chiều cao mỗi cọc (tính từ mặt bùn đến đầu cọc) là \(2,4{\rm{ m}}\).
Gọi \(h\left( t \right)\) (tính bằng mét) là độ sâu mực nước tại bãi cọc (tính từ mặt bùn đến mặt nước) ở thời điểm \(t\) giờ, trong đó \(t = 0\) ứng với thời điểm 09:00 trong ngày với \(0 \le t \le 4\). Thời gian này, mực nước rút nên \(h\left( t \right)\) giảm theo quy luật \(h'\left( t \right) = - 0,25t - 0,05\) (mét/giờ). Biết rằng vào lúc 09:00, mực nước tại bãi cọc cao hơn mặt bùn \(3,3{\rm{ m}}\) (tức là \(h\left( 0 \right) = 3,3\left( {\rm{m}} \right)\)).
Khi Ngô Quyền phát lệnh phản công, ông biết rằng thuyền địch sẽ quay đầu tháo chạy và mất 12 phút để tới bãi cọc. Ngô Quyền muốn đúng lúc thuyền địch tới bãi cọc thì đầu cọc còn chìm dưới mặt nước \(0,5{\rm{ m}}\).
Xét tính đúng sai các mệnh đề sau:
[TH]\(h\left( t \right) = 3,3 - 0,125{t^2} - 0,05t\left( {\rm{m}} \right)\) trên \([0;4]\)
[TH] Từ 09:00 đến 10:00, mực nước giảm đúng \(0,19\left( {\rm{m}} \right)\)
[VD] Sau 149 phút kể từ thời điểm 09:00 (làm tròn đến hàng đơn vị của phút) thì đầu cọc vừa chạm mặt nước.
[VD] Ngô Quyền phải phát lệnh phản công vào lúc 10:26 (làm tròn đến hàng đơn vị của phút).
a) \(h\left( t \right) = 3,3 - 0,125{t^2} - 0,05t\) (m) trên \([0;4]\)
· Ta có tốc độ thay đổi mực nước là \(h'\left( t \right) = - 0,25t - 0,05\). Hàm độ sâu mực nước \(h\left( t \right)\) là nguyên hàm của \(h'\left( t \right)\): \(h\left( t \right) = \int {\left( { - 0,25t - 0,05} \right)} dt = - 0,125{t^2} - 0,05t + C\)
· Điều kiện biên: Tại thời điểm \(t = 0\) (09:00), \(h\left( 0 \right) = 3,3\).
Thay vào ta được: \(3,3 = - 0,125{\left( 0 \right)^2} - 0,05\left( 0 \right) + C \Rightarrow C = 3,3\)
· Kết luận: \(h\left( t \right) = 3,3 - 0,125{t^2} - 0,05t\).
b) Từ 09:00 đến 10:00, mực nước giảm đúng \(0,19\) (m)
· Thời điểm: 09:00 ứng với \(t = 0\), 10:00 ứng với \(t = 1\).
· Độ giảm mực nước: \(\Delta h = h\left( 0 \right) - h\left( 1 \right)\).
o \(h\left( 0 \right) = 3,3\)
o \(h\left( 1 \right) = 3,3 - 0,125{\left( 1 \right)^2} - 0,05\left( 1 \right) = 3,3 - 0,175 = 3,125\)
o \(\Delta h = 3,3 - 3,125 = 0,175\) (m).
· Kết luận: Mực nước giảm \(0,175\) m, không phải \(0,19\) m.
c) Sau 149 phút kể từ thời điểm 09:00 thì đầu cọc vừa chạm mặt nước
· Điều kiện: Đầu cọc chạm mặt nước khi độ sâu mực nước bằng chiều cao cọc: \(h\left( t \right) = 2,4\).
\(3,3 - 0,125{t^2} - 0,05t = 2,4 \Leftrightarrow 0,125{t^2} + 0,05t - 0,9 = 0\)
· Giải phương trình: Tìm được nghiệm dương \(t \approx 2,49\) (giờ).
· Đổi sang phút: \(2,49 \times 60 \approx 149,4\) phút. Làm tròn đến hàng đơn vị là 149 phút.
d) Ngô Quyền phải phát lệnh phản công vào lúc 10:26
· Mục tiêu: Khi thuyền địch tới bãi cọc (sau khi phát lệnh 12 phút), đầu cọc chìm dưới mặt nước \(0,5\) m.
· Điều kiện tại thời điểm thuyền tới (\({t_2}\)): \(h\left( {{t_2}} \right) = {\rm{chieu cao coc}} + 0,5 = 2,4 + 0,5 = 2,9\) (m).
\(3,3 - 0,125t_2^2 - 0,05{t_2} = 2,9 \Leftrightarrow 0,125t_2^2 + 0,05{t_2} - 0,4 = 0\)
· Giải phương trình: Nghiệm dương \({t_2} \approx 1,6\) (giờ).
· Đổi sang phút: \(1,6 \times 60 = 96\) phút kể từ lúc 09:00. Vậy thuyền phải tới bãi cọc lúc: 09:00 + 96 phút = 10:36.
· Thời điểm phát lệnh (\({t_1}\)): Vì thuyền mất 12 phút để di chuyển tới bãi cọc, Ngô Quyền cần phát lệnh trước đó 12 phút: 10:36 - 12 phút = 10:24.
Anh Việt có một tấm nhôm hình tam giác đều \(ABC\) với cạnh bằng \(6\,dm\). Bên trong tấm nhôm này, anh vẽ thêm tam giác đều \[DEF\] sao cho hai tam giác có cùng trọng tâm, đồng thời các cạnh tương ứng song song nhau. Anh Việt muốn làm một chậu đựng nước dạng hình chóp cụt tam giác đều với đáy nhỏ là \[DEF\] và đáy lớn để hở.
Anh cắt bỏ ba hình bình hành ở ba góc của tam giác \(ABC\) là \(AMDN\), \(BPEQ,\,\,CSFR\) (như hình). Kẻ đường cao \(AH\) và gọi \(O\) là trọng tâm tam giác \(ABC\). Đặt \(x = DN = DM\,\,\,(0 < x < 2)\).
[NB] \(NP = QR = SM = 6 - 2x\,(dm)\).
[NB] \(AH = 3\sqrt 3 \,(dm)\) và \(OA = 2\sqrt 3 \,(dm)\).
[TH] \(AD = x\sqrt 3 \,(dm)\) và \(DE = 6 - 3x\,(dm)\).
[VD] Sau khi gập hình và dùng kéo dán kín các đoạn gập vào nhau gồm \(DM\) với \(DN,\,EP\) với \(EQ,\,\,FS\) với \(FR\), sức chứa tối đa của chậu xấp xỉ \(4,54\) (lít) .
a) Đúng
Ta có \(NP = QR = SM = AB - AN - BP = 6 - 2x\,(dm)\).
b) Đúng
Do tam giác \(ABC\) với cạnh bằng \(6\,dm\), nên \(AH = \sqrt {A{C^2} - C{H^2}} = 3\sqrt 3 \,(dm)\)
Và \(OA = \frac{2}{3}AH = 2\sqrt 3 \,(dm)\).
c) Đúng
Do \(AMDN\) là hình thoi cạnh \(x\) và \(\widehat {MAN} = {60^o}\),
Nên \(AD = \sqrt {A{N^2} + N{D^2} - 2AN.DN.cos{{120}^o}} = x\sqrt 3 \,(dm)\)
Lại có tam giác \(CMQ\) đều cạnh \(6 - x\,(dm)\)
Vậy \(DE = MQ - QE - DM = 6 - x - x - x = 6 - 3x\,(dm)\).
d) Đúng
Ta có chóp cụt đều \(MPSDEF\) với cạnh đáy lớn \(MP = 6 - 2x\) và cạnh đáy nhỏ là \(DE = 6 - 3x\)
+) Ta có \({S_1} = {S_{DEF}} = \frac{{{{(6 - 3x)}^2}\sqrt 3 }}{4}\,(d{m^2})\).
+) Ta có \({S_2} = {S_{MPS}} = \frac{{{{(6 - 2x)}^2}\sqrt 3 }}{4}\,(d{m^2})\).
+) Ta có \(\sqrt {{S_1}{S_2}} = \sqrt {\frac{{{{(6 - 2x)}^2}\sqrt 3 }}{4} \times \frac{{{{(6 - 3x)}^2}\sqrt 3 }}{4}} = \frac{{(6 - 3x)(6 - 2x)\sqrt 3 }}{4}\,(d{m^2})\).
Kẻ \(DK \bot MG\,(K \in MG)\).
Ta tính \(h = OG = DK = \sqrt {M{D^2} - M{K^2}} \)
+) Ta có \(MD = x,\,\,MK = MG - KG = MG - DO = \frac{2}{3}\left( {6 - 2x} \right).\frac{{\sqrt 3 }}{2} - \frac{2}{3}\left( {6 - 3x} \right).\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{x\sqrt 3 }}{3}\)\( \Rightarrow h = OG = \sqrt {{x^2} - {{\left( {\frac{{x\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2}} = \frac{{x\sqrt 6 }}{3}\,(dm)\)
Thể tích chóp cụt đều bằng
\(\begin{array}{l}V = \frac{h}{3}\left( {{S_1} + {S_2} + \sqrt {{S_1}{S_2}} } \right)\\\,\,\,\,\, = \frac{{x\sqrt 6 }}{{3.3}}\left( {\frac{{{{(6 - 3x)}^2}\sqrt 3 }}{4}\, + \frac{{{{(6 - 2x)}^2}\sqrt 3 }}{4} + \frac{{(6 - 3x)(6 - 2x)\sqrt 3 }}{4}} \right)\\\,\,\,\,\, = \frac{{\sqrt {18} }}{{36}}\left( {19{x^3} - 90{x^2} + 108x} \right)\end{array}\)
Dùng casio xét trên khoảng \(\left( {0;2} \right)\), ta có \(\mathop {max}\limits_{\left( {0;2} \right)} V \approx 4,54\,(d{m^3})\).
Trong không gian \[Oxyz\]thuộc hệ thống định vị GPS, bề mặt Trái Đất được mô hình hóa bởi mặt cầu \[{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 9\]. Hai vệ tinh truyền tín hiệu có vị trí \[M\left( {4; - 4;2} \right),N\left( {6;0;6} \right)\]. Xét tính đúng sai các mệnh đề sau:
[NB] Vệ tinh ở vị trí \[M\] gần tâm mặt cầu hơn so với vệ tinh ở vị trí \[N\].
[NB] Một tín hiệu được truyền đi từ vệ tinh ở \[M\] đến vệ tinh ở \[N\] là đường thẳng có phương trình chính tắc \[\frac{{x - 4}}{1} = \frac{{y + 4}}{2} = \frac{{z - 2}}{2}.\]
[TH] Mặt phẳng đi qua tâm Trái Đất và hai điểm \[M,N\]có phương trình \[2x + y - 2z = 0\].
[VD] Giả sử đơn vị trên mỗi trục là 2100 km, một tín hiệu có tốc độ \[{3.10^5}\] km/s được truyền từ vệ tinh \[M\] đến điểm gần nhất thuộc bề mặt Trái Đất mất khoảng \[0,026\] giây (làm tròn đến hàng phần nghìn của giây).
a) Chọn sai.
Phương trình mặt cầu \[{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 9\] có tâm \[I\left( {1;2;2} \right)\]và bán kính \[R = 3\].
Ta có: \[\overrightarrow {IM} = \left( {3; - 6;0} \right) \Rightarrow IM = \left| {\overrightarrow {IM} } \right| = \sqrt {{3^2} + {{\left( { - 6} \right)}^2} + {0^2}} = 3\sqrt 5 \].
\[\overrightarrow {IN} = \left( {5; - 2;4} \right) \Rightarrow IN = \left| {\overrightarrow {IN} } \right| = \sqrt {{5^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {4^2}} = 3\sqrt 5 \].
Khi đó, khoảng cách từ tâm mặt cầu tới các vệ tinh ở vị trí \[M\] và\[N\]là bằng nhau.
b) Chọn đúng.
Ta có: \[\overrightarrow {MN} = \left( {2;4;4} \right)\]cùng phương với vectơ \[\overrightarrow u = \left( {1;2;2} \right)\].
Phương trình chính tắc đường thẳng\[MN\]đi qua \[M\] và nhận vectơ chỉ phương \[\overrightarrow u = \left( {1;2;2} \right)\] là:
\[\frac{{x - 4}}{1} = \frac{{y + 4}}{2} = \frac{{z - 2}}{2}.\]
c) Chọn đúng.
Ta có: \[\overrightarrow {IM} = \left( {3; - 6;0} \right);\overrightarrow {IN} = \left( {5; - 2;4} \right)\]
Gọi \[\overrightarrow n \] là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng đi qua tâm \[I\] và hai điểm \[M,N\].
Khi đó: \[\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow n \bot \overrightarrow {IM} \\\overrightarrow n \bot \overrightarrow {IN} \end{array} \right.\] nên \[\overrightarrow n \] cùng phương với \[\left[ {\overrightarrow {IM} ;\overrightarrow {IN} } \right] = \left( { - 24; - 12;24} \right)\].
Chọn \[\overrightarrow n = \left( {2;1; - 2} \right)\]ta được phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm \[I,M,N\] là
\[2\left( {x - 1} \right) + 1\left( {y - 2} \right) - 2\left( {z - 2} \right) = 0\]\[ \Leftrightarrow 2x + y - 2z = 0\].
d) Chọn đúng.
Gọi \[K\]là một điểm bất kì trên bề mặt Trái Đất.
Tín hiệu được truyền từ vệ tinh ở \[M\]đến điểm \[K\] ngắn nhất \[ \Leftrightarrow \]\[M,K,I\] thẳng hàng với \[K\]nằm giữa \[M\]và \[I\].
Khi đó: \[MK = MI - IK = MI - R = 3\sqrt 5 - 3\].
Vậy thời gian để tín hiệu được truyền từ vệ tinh \[M\]đến điểm gần nhất thuộc bề mặt Trái Đất là\[\frac{{\left( {3\sqrt 5 - 3} \right).2100}}{{{{3.10}^5}}} \approx 0,026\] giây.
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.
Giả sử một hạt chuyển động trên một trục thẳng đứng, chiều dương hướng lên. Toạ độ của hạt (đợn vị mét) tại thời điểm \(t\) (giây) là \(y = {t^3} - 12t + 3,\,\,t \ge 0\). Tính vận tốc của hạt tại thời điểm \(t = 8\) giây theo đơn vị \(m/s\).
Đáp án: 180
Ta có vận tốc của chuyển động \(v\left( t \right) = y' = {\left( {{t^3} - 12t + 3} \right)^\prime } = 3{t^2} - 12\).
Vận tốc của hạt tại thời điểm \(t = 8\) giây là \(v\left( 8 \right) = {3.8^2} - 12 = 180\left( {m/s} \right)\).
Một phi đội tại Thái Lan có 20 máy bay, gồm 12 chiếc F-16A (một chỗ ngồi) và 8 chiếc F-16B (hai chỗ ngồi). Trong 12 chiếc F-16A có 3 chiếc đã được nâng cấp chuẩn MLU; trong 8 chiếc F-16B có 5 chiếc đã được nâng cấp chuẩn MLU. Chọn ngẫu nhiên một máy bay để kiểm tra, biết rằng máy bay được chọn đã nâng cấp MLU, hãy tính xác suất máy bay đó là F-16B (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
Đáp án: 0,63
Gọi \(A\) là biến cố: “Máy bay được chọn là F-16B”
Gọi \(B\) là biến cố: “Máy bay được chọn đã nâng cấp MLU”.
\(P\left( A \right) = \frac{8}{{20}} = \frac{2}{5}\); \(P\left( {\overline A } \right) = \frac{{12}}{{20}} = \frac{3}{5}\);
\(P\left( {\left. B \right|A} \right) = \frac{5}{8}\); \(P\left( {\left. B \right|\overline A } \right) = \frac{3}{{12}} = \frac{1}{4}\)
Xác suất máy bay được chọn là F-16B với điều kiện máy bay đó đã nâng cấp MLU là:
\(P\left( {\left. A \right|B} \right) = \frac{{P\left( A \right).P\left( {\left. B \right|A} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{\frac{2}{5}.\frac{5}{8}}}{{\frac{2}{5}.\frac{5}{8} + \frac{3}{5}.\frac{1}{4}}} = \frac{5}{8} \approx 0,63\).
Trên sân khấu ca nhạc, kỹ thuật viên thiết lập hệ trục toạ độ \(Oxyz\) (đơn vị mét). Hai đèn follow tạo ra hai tia sáng lần lượt có phương trình là \({d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 2 - t\\z = - 1 + 2t\end{array} \right.\) (\(t\) là tham số) và \({d_2}:\frac{{x - 3}}{1} = \frac{{y + 1}}{2} = \frac{{z - 2}}{2}\).
Tính góc giữa hai tia sáng \({d_1}\) và \({d_2}\) (làm tròn đến hàng phần chục của độ).
Đáp án: \(63,6\).
\({d_1}\) có vectơ chỉ phương \({\vec u_1} = \left( {2; - 1;2} \right)\) và \({d_2}\) có vectơ chỉ phương \({\vec u_2} = \left( {1;2;2} \right)\)
Gọi \(\varphi \) là góc giữa \({d_1}\) và \({d_2}\).
Ta có \(\cos \varphi = \frac{{\left| {{{\vec u}_1}.{{\vec u}_2}} \right|}}{{\left| {{{\vec u}_1}} \right|.\left| {{{\vec u}_2}} \right|}} = \frac{{\left| {2.1 - 1.2 + 2.2} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2}} .\sqrt {{1^2} + {2^2} + {2^2}} }} = \frac{4}{9}\) Þ \(\varphi \approx 63,6^\circ \).
Bạn Xuân Anh có một tờ giấy cứng hình chữ nhật \(ABCD\) với \(AB = 4\,dm,\,\,AD = 2\,dm.\) Bạn chọn một điểm \(M\) thuộc cạnh \(BC\) rồi dùng thước kẻ vạch và cắt tờ giấy theo đường thẳng \(AM,\) chia tờ giấy thành hai phần.
Phần mảnh giấy chứa cạnh \(CD:\) Bạn muốn cắt được một hình vuông có đỉnh \(D,\) hai cạnh nằm trên đường \(DA\) và \(DC,\) đỉnh còn lại hình vuông thuộc đường cắt \(AM.\)
Phần mảnh giấy chứa cạnh \(AB:\) Bạn muốn cắt được một hình tròn sao cho hình tròn tiếp xúc với cả ba cạnh tam giác \(ABM.\)
Gọi \(S\)(phần tô đậm trong hình vẽ) là tổng diện tích của hình vuông và hình tròn cắt được. Hỏi khi \(M\) di động trên \(SB,\) giá trị nhỏ nhất của \(S\)bằng bao nhiêu \(dm\) (làm tròn đến hàng phần trăm)?
Đáp án: 3,16
Chọn hệ tọa độ \(Oxy\) như hình vẽ ( đơn vị trên hệ trục là dm).
Ta có \(A(0;0),\,\,B(4;0),\,\,C(4;2),\,\,D(0;2).\)
Vì \(M\)thuộc cạnh \(BC\) nên \(M(4;m),\,\,(0 < m < 2).\)
Ta có \(AM = \sqrt {16 + {m^2}} \), Bán kính hình tròn nội tiếp tam giác \(ABM\) là
\(r = \frac{{{S_{ABM}}}}{p} = \frac{{\frac{1}{2}.AB.BM}}{{\frac{1}{2}(AB + BM + AM)}} = \frac{{4m}}{{4 + m + \sqrt {16 + {m^2}} }} = \frac{{4 + m - \sqrt {16 + {m^2}} }}{2}\) nên diện tích hình tròn là \({S_1} = \pi {r^2} = \pi {\left( {\frac{{4 + m - \sqrt {16 + {m^2}} }}{2}} \right)^2}\)
Gọi \(a,\,(0 < a < 2)\) là cạnh hìn vuông thì đỉnh đối diện với đỉnh \(D\) là đỉnh \(I(a;2 - a)\) thuộc đường
thẳng \(AM:\,y = \frac{m}{4}.x \Rightarrow 2 - a = \frac{m}{4}.a \Rightarrow a = \frac{8}{{4 + m}}\).
Suy ra diện tích hình vuông là \({S_2} = {a^2} = \frac{{64}}{{{{(4 + m)}^2}}}\)
Tổng diện tích hình vuông và hình tròn là
\(S(m) = {S_1} + {S_2} = \pi {\left( {\frac{{4 + m - \sqrt {16 + {m^2}} }}{2}} \right)^2} + \frac{{64}}{{{{(4 + m)}^2}}}\), với \(0 < m < 2.\)
Table ta được giá trị tổng diện tích nhỏ nhất xấp xỉ \(3,16\,(d{m^2})\)
Tìm thể tích phần giao nhau của khối nón \((N)\) và khối trụ \((T)\) biết rằng chúng có cùng chiều cao \(4\,dm\), hai đường tròn đáy đồng phẳng và có bán kính cùng bằng \(2\,dm\), đồng thời trục của hình nón là một đường sinh của hình trụ ( tham khảo hình vẽ). Kết quả được làm tròn đến hàng phần trăm.
Đáp án: 7,02.
Gắn trục Ox như hình. Cắt khối giao của nón và trụ bởi 1 mặt phẳng vuông góc trục Ox tại x. Thiết diện là hình hợp bởi 2 hình viên phân của nón và trụ, có diện tích là S(x).
Xét tam giác OKC, có JA// KC, nên \[\frac{x}{4} = \frac{{JA}}{{KC}} = \frac{{JA}}{2} \Rightarrow JA = \frac{x}{2}\] là bán kính của đường tròn của hình nón tại vị trí x, tâm J. Đường tròn của hình trụ tại vị trí x có tâm I, bán kính bằng 2.
Gọi M là giao điểm của hai đường tròn tâm I và tâm J.
Giả sử \[\widehat {{\rm{MIJ}}} = \alpha \Rightarrow \widehat {{\rm{MIN}}} = 2\alpha ;\widehat {{\rm{MJI}}} = \beta \Rightarrow \widehat {{\rm{MJN}}} = 2\beta \].
Xét đường tròn tâm I, có \[IM = IN = JI = 2\]Xét đường tròn tâm J, có \[JM = JA = \frac{x}{2}\].
Áp đụng định lí cosin vào tam giác IJM, ta tính được:
\[cos\alpha = 1 - \frac{{{x^2}}}{{32}} \Rightarrow \alpha = {\rm{ar}}cos(1 - \frac{{{x^2}}}{{32}});cos\beta = \frac{x}{8} \Rightarrow \beta = {\rm{ar}}cos\frac{x}{8}\]
Suy ra diện tích viên phân của đường tròn tâm I: \[{S_1} = 2(2{\rm{ar}}cos(1 - \frac{{{x^2}}}{{32}}) - \sin 2{\rm{ar}}cos(1 - \frac{{{x^2}}}{{32}}))\]
Diện tích viên phân của đường tròn tâm J: \[{S_2} = \frac{{{x^2}}}{8}(2{\rm{ar}}cos\frac{x}{8} - \sin 2{\rm{ar}}cos\frac{x}{8})\]
Nên diện tích thiết diện:
\[S(x) = {S_1} + {S_2} = 2(2{\rm{ar}}cos(1 - \frac{{{x^2}}}{{32}}) - \sin 2{\rm{ar}}cos(1 - \frac{{{x^2}}}{{32}})) + \frac{{{x^2}}}{8}(2{\rm{ar}}cos\frac{x}{8} - \sin 2{\rm{ar}}cos\frac{x}{8})\]
Vậy thể tích phần giao của trụ và nón:
\[V = \int\limits_0^4 {S(x)dx = \int\limits_0^4 {(2(2{\rm{ar}}cos(1 - \frac{{{x^2}}}{{32}}) - \sin 2{\rm{ar}}cos(1 - \frac{{{x^2}}}{{32}})) + \frac{{{x^2}}}{8}(2{\rm{ar}}cos\frac{x}{8} - \sin 2{\rm{ar}}cos\frac{x}{8}))dx} } = 7,02\]
(Theo Casio ta có kết quả trên)
Đáp số: 7,02.
Một đèn lồng đón năm mới được thiết kế theo hình bát diện đều (ta có thể hình dung hình bát diện đều là hai hình chóp tứ giác đều có tất cả cạnh bằng nhau \(S.ABCD\) và \(T.ABCD\) sử dụng chung một mặt đáy). Nghệ nhân đã thiết kế sẵn 12 tấm bìa cứng là các tam giác bằng nhau gồm 3 màu xanh, đỏ, vàng; các tấm bìa cùng màu được đánh số từ 1 tới 4. Mỗi tấm bìa khi dán vào đèn lồng sẽ vừa kín một trong tám mặt bên của nó. Gọi \(N\) là số cách mà nghệ nhân có thể chọn 8 tấm bìa dán lên 8 mặt bên của đèn lồng sao cho hai tấm bìa có chung một cạnh thì khác màu, hai tấm bìa có chung đúng một đỉnh thì khác số. Giá trị \(\frac{N}{8} + 16\) bằng bao nhiêu?
Đáp án: 448.
Một hình bát diện đều có 8 mặt là các tam giác đều. Đây là 8 mặt bên của đèn lồng.
Các mặt của hình bát diện đều có thể được chia thành hai tập hợp \({C_1}\) và \({C_2}\), mỗi tập hợp gồm 4 mặt, sao cho bất kỳ hai mặt nào kề nhau (chung một cạnh) đều thuộc các tập hợp khác nhau. Ví dụ, nếu các đỉnh là \(S\) (trên), \(T\) (dưới) và \(A,B,C,D\) (mặt phẳng giữa), thì:
Tập hợp
Tập hợp
Bất kỳ hai mặt nào trong cùng một tập hợp \({C_1}\) hoặc \({C_2}\) đều không kề nhau (không chung cạnh).
Điều kiện 1: Hai tấm bìa có chung một cạnh thì khác màu.
Điều này có nghĩa là tất cả các mặt trong tập hợp \({C_1}\) phải có cùng một màu (ví dụ, màu X), và tất cả các mặt trong tập hợp \({C_2}\) phải có cùng một màu khác (ví dụ, màu Y), với \(X \ne Y\).
Số cách chọn 2 màu từ 3 màu có sẵn (xanh, đỏ, vàng) là \(\left( \begin{array}{c}3\\2\end{array} \right) = 3\) cách.
Sau khi chọn 2 màu (ví dụ: X và Y), có 2 cách để gán chúng cho hai tập hợp \({C_1}\) và \({C_2}\):
1. \({C_1}\) có màu X, \({C_2}\) có màu Y.
2. \({C_1}\) có màu Y, \({C_2}\) có màu X.
Vậy, tổng số cách để xác định màu cho 8 mặt là \(3 \times 2 = 6\) cách.
Với mỗi cách xác định màu, chúng ta sẽ cần 4 tấm bìa của màu này và 4 tấm bìa của màu kia. Do mỗi màu có đủ 4 tấm bìa được đánh số từ 1 đến 4, nên việc lựa chọn 8 tấm bìa cụ thể được xác định ngay khi chọn và gán màu. Ví dụ, nếu \({C_1}\) là màu xanh và \({C_2}\) là màu đỏ, chúng ta sẽ sử dụng tất cả 4 tấm bìa xanh (X1, X2, X3, X4) và tất cả 4 tấm bìa đỏ (Đ1, Đ2, Đ3, Đ4).
Điều kiện 2: Hai tấm bìa có chung đúng một đỉnh thì khác số.
Trước hết, cần xác định các cặp mặt chung đúng một đỉnh.
Nếu hai mặt kề nhau (chung một cạnh), chúng chung hai đỉnh, không phải chung đúng một đỉnh.
Nếu hai mặt thuộc hai tập hợp màu khác nhau (\({C_1}\) và \({C_2}\)), chúng sẽ kề nhau (chung một cạnh).
Ví dụ: và chung cạnh \(SB\).
Ví dụ: và không chung đỉnh nào.
Do đó, điều kiện này chỉ áp dụng cho các cặp mặt có cùng màu (nghĩa là chúng thuộc cùng một tập hợp \({C_1}\) hoặc \({C_2}\)).
Hãy liệt kê các cặp mặt chung đúng một đỉnh trong tập hợp \({C_1}\):
1. và chung đỉnh \(S\).
2. và chung đỉnh \(T\).
3. và chung đỉnh \(A\).
4. và chung đỉnh \(B\).
5. và chung đỉnh \(C\).
6. và chung đỉnh \(D\).
Điều kiện "khác số" cho các cặp này có nghĩa là 4 tấm bìa của màu X được đặt trên 4 mặt của \({C_1}\) phải có các số khác nhau. Vì chúng ta có sẵn 4 tấm bìa của mỗi màu được đánh số 1, 2, 3, 4, nên việc sử dụng 4 tấm bìa này để dán lên 4 mặt đảm bảo rằng các số đều khác nhau.
Số cách sắp xếp 4 tấm bìa (ví dụ: X1, X2, X3, X4) lên 4 mặt của tập hợp \({C_1}\) là \(4!\) cách.
Tương tự, với tập hợp \({C_2}\):
1. và chung đỉnh \(S\).
2. và chung đỉnh \(T\).
3. và chung đỉnh \(C\).
4. và chung đỉnh \(B\).
5. và chung đỉnh \(A\).
6. và chung đỉnh \(D\).
Điều kiện này có nghĩa là 4 tấm bìa của màu Y được đặt trên 4 mặt của \({C_2}\) phải có các số khác nhau. Vì chúng ta có sẵn 4 tấm bìa của mỗi màu được đánh số 1, 2, 3, 4, nên việc sử dụng 4 tấm bìa này để dán lên 4 mặt đảm bảo rằng các số đều khác nhau.
Số cách sắp xếp 4 tấm bìa (ví dụ: Đ1, Đ2, Đ3, Đ4) lên 4 mặt của tập hợp \({C_2}\) là \(4!\) cách.
Tính \(N\):
\(\begin{array}{l}N = ({\rm{So c\'a ch chon v\`a g\'a n m\`a u}}) \times ({\rm{So c\'a ch sap xep 4 tam b\`i a cho }}{C_1})\\ \times ({\rm{So c\'a ch sap xep 4 tam b\`i a cho }}{C_2})\end{array}\)
\( \Rightarrow N = 6 \times 4! \times 4! = 3456\).
Suy ra: \(\frac{N}{8} + 16 = \frac{{3456}}{8} + 16 = 432 + 16 = 448\).
