Đề thi thử Tốt nghiệp THPT Toán 2025-2026 THPT Hoằng Hóa 3 (Thanh Hóa) có đáp án

Chọn D

Thể tích \({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}.{S_{ABCD}}.SA = \frac{1}{3}.{a^2}.a\sqrt 3  = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}\)

Chọn A

Có \({u_1} = 3\) và \({u_4} = 9\).

Suy ra \({u_4} = {u_1} + 3d \Leftrightarrow d = 2\).

Vậy \({u_{15}} = {u_1} + 14d = 31\).

Chọn B

Ta có \[{3^x} \ge 5 \Leftrightarrow x \ge {\log _3}5\]. Vậy bất phương trình có tập nghiệm là \[\left[ {{{\log }_3}5\,;\, + \infty } \right)\].

a) Sai.

Dùng công thức: \(\left( {\tan u} \right)' = \frac{{u'}}{{{{\cos }^2}u}}\).

Ta có: \(f'\left( x \right) = \frac{1}{{{{\cos }^2}\left( {x - \frac{{2\pi }}{3}} \right)}}\).

Hoặc bấm máy:

\({\left. {\frac{d}{{dx}}\left( {\tan \left( {x - \frac{{2\pi }}{3}} \right)} \right)} \right|_{x = x}} - \frac{3}{{{{\cos }^2}x{{\left( {1 - \sqrt 3 \tan x} \right)}^2}}}\)            \(\begin{array}{*{20}{c}}{Calc:x = \frac{\pi }{3}}&{}&{ \Rightarrow kq: = 1 \ne 0}\end{array}\).

b) Đúng.

Bấm máy

\(\frac{{\sqrt 3 }}{4}.\frac{1}{{{{\cos }^2}\left( {x - \frac{{2\pi }}{3}} \right)}} - \tan \left( {x - \frac{{2\pi }}{3}} \right)\)            \(\begin{array}{*{20}{c}}{Calc:x = 0}&{}&{ \Rightarrow kq: = 0}\end{array}\).

Hoặc bấm máy

\({\left. {\frac{{\sqrt 3 }}{4}.\frac{d}{{dx}}\left( {\tan \left( {x - \frac{{2\pi }}{3}} \right)} \right)} \right|_{x = x}} - \tan \left( {x - \frac{{2\pi }}{3}} \right)\)            \(\begin{array}{*{20}{c}}{Calc:x = 0}&{}&{ \Rightarrow kq: = 0}\end{array}\).

c) Đúng.

\(\begin{array}{*{20}{c}}{f\left( x \right) = \tan \left( {x - \frac{{2\pi }}{3}} \right) = 0}&{ \Leftrightarrow x - \frac{{2\pi }}{3} = 0}&{ \Leftrightarrow x = \frac{{2\pi }}{3} + k\pi }&{\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)}\end{array}\).

Với \(\begin{array}{*{20}{c}}{k =  - 1}&{}&{ \Rightarrow x = \frac{{2\pi }}{3} - \pi  =  - \frac{\pi }{3}}\end{array}\).

d) Sai.

Ta có:\(\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{1}{{f'\left( x \right)}} = {{\cos }^2}\left( {x - \frac{{2\pi }}{3}} \right)}&{}&{}&{ \Rightarrow M = 1 \notin \left( {0;1} \right)}\end{array}\).

a) Đúng.

Quãng đường vật đi được có phương trình: \(s\left( t \right) = \int {v\left( t \right).dt}  = \int {\left( {{t^2} - 2t + 1} \right).dt}  = \frac{1}{3}{t^3} - {t^2} + t + C\)

Vì \(s(0) = 0 \Rightarrow C = 0 \Rightarrow s(t) = \frac{1}{3}{t^3} - {t^2} + t\)

Quãng đường vật đi được sau 2 giây là: \(s\left( 2 \right) = \frac{2}{3}\left( m \right)\).

b) Đúng.

Gia tốc của vật có phương trình: \(a\left( t \right) = v'\left( t \right) = \left( {{t^2} - 2t + 1} \right)' = 2t - 2\)

Khi gia tốc bị triệt tiêu: \(\begin{array}{*{20}{c}}{a\left( t \right) = 0}&{ \Leftrightarrow 2t - 2 = 0}&{ \Leftrightarrow t = 1}\end{array}\)

Quãng đường vật đi được sau khi gia tốc bị triệt tiêu là: \(s\left( 1 \right) = \frac{1}{3}\left( m \right)\).

c) Đúng.

Thời gian vật đạt vận tốc \(9\;\left( {m/s} \right)\) là: \(\begin{array}{*{20}{c}}{v\left( t \right) = {t^2} - 2t + 1 = 9}&{ \Leftrightarrow t = 4}\end{array}\)

Quãng đường vật đi được trong khoảng từ \(2\)giây đến thời gian mà vận tốc đạt \(9\;\left( {m/s} \right)\) là:

\(s = \int\limits_2^4 {v\left( t \right).dt}  = \int\limits_2^4 {\left( {{t^2} - 2t + 1} \right).dt}  = \frac{{26}}{3}\left( m \right)\)

d) Sai.

Thời gian vật đạt gia tốc \(10\;\left( {m/{s^2}} \right)\) là: \(\begin{array}{*{20}{c}}{a\left( t \right) = 2t - 2 = 10}&{ \Leftrightarrow t = 6}\end{array}\)

Quãng đường vật đi được từ \(0\) giây đến thời gian mà gia tốc bằng \(10\left( {m/{s^2}} \right)\) là

\(s = \int\limits_0^6 {v\left( t \right).dt}  = \int\limits_0^6 {\left( {{t^2} - 2t + 1} \right).dt}  = 42\left( m \right)\)

a) Đúng.

Gọi A: “Email nhận được là email rác” ;

B: “Email bị lọc đúng email rác của hệ thống lọc email rác”.

Vì \(5\% \) email nhận được là rác nên xác suất nhận được một email rác là \(P\left( A \right) = 5\%  = 0,05\).

b) Sai.

Xác suất bị lọc của email rác là \(P\left( {\left. B \right|A} \right) = 95\%  = 0,95\).

c) Đúng.

Xác suất email nhận được không phải là email rác là: \(P\left( {\overline {\rm{A}} } \right) = 1 - P\left( A \right) = 1 - 0,05 = 0,95\).

Xác suất email bị lọc của email không phải email rác là: \(P\left( {\left. B \right|\overline {\rm{A}} } \right) = 10\%  = 0,1\).

Vậy xác suất chọn một email bị lọc bất kể là rác hay không là:

\(P\left( B \right) = P\left( {\left. B \right|{\rm{A}}} \right).P\left( A \right) + P\left( {\left. B \right|\overline {\rm{A}} } \right).P\left( {\overline {\rm{A}} } \right) = 0,95.0,05 + 0,1.0,95 = 0,1425\).

d) Sai.

Xác suất chọn một email trong số những email bị lọc thực sự là email rác là:

\(P\left( {\left. A \right|B} \right) = \frac{{P\left( {\left. B \right|A} \right).P\left( A \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{0,95.0,05}}{{0,1425}} = \frac{1}{3}\).

a) Sai.

b) Đúng. Ta có: Ta có \(\sin \widehat {MOH} = \frac{{MH}}{{OM}} \Leftrightarrow \frac{1}{3} = \frac{h}{{OM}} \Rightarrow OM = 3h\)

c) Sai. \(cos\widehat {MOH} = \frac{{OH}}{{OM}} \Leftrightarrow \frac{{2\sqrt 2 }}{3} = \frac{{OH}}{{3h}} \Rightarrow OH = 2\sqrt 2 h \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}M\left( {2\sqrt 2 h;0;h} \right)\\N\left( {2\sqrt 2 h;10;h} \right)\end{array} \right.\)

d) Đúng. \(ON = \sqrt {9{h^2} + 100} \)

\(\sin \widehat {NOK} = \frac{{NK}}{{ON}} \Leftrightarrow \frac{{10}}{{\sqrt {10} }} = \frac{h}{{\sqrt {9{h^2} + 100} }} \Rightarrow h = 10\)

Đáp án: 14.

Do \(\Delta ABC\) vuông và có \(AB = BC\) nên \(\Delta ABC\) vuông cân tại \(B\).

Gọi \(N\) là trung điểm của \(BB'\), ta có: \(B'C{\rm{//}}\left( {AMN} \right)\).

Khi đó: \(d\left( {AM,B'C} \right) = d\left( {B'C,\left( {AMN} \right)} \right) = d\left( {C,\left( {AMN} \right)} \right) = d\left( {B,\left( {AMN} \right)} \right)\).

Kẻ \(BH \bot AM\) tại \(H\) và kẻ \(BK \bot NH\) tại \(K\).

Ta có: \(BH \bot AM,BN \bot AM \Rightarrow AM \bot \left( {NBH} \right) \Rightarrow BK \bot AM\).

Do \(BK \bot NH\), \(BK \bot AM\) nên \(BK \bot \left( {AMN} \right)\).

Suy ra: \(d\left( {B,\left( {AMN} \right)} \right) = BK\).

Mặt khác: \(BH = \frac{{BM.BA}}{{\sqrt {B{M^2} + B{A^2}} }} = \frac{{\sqrt 5 a}}{5}\); \(BK = \frac{{BH.BN}}{{\sqrt {B{H^2} + B{N^2}} }} = \frac{{a\sqrt 7 }}{7}\).

Vậy \[d\left( {AM,B'C} \right) = d\left( {B,\left( {AMN} \right)} \right) = BK = \frac{{a\sqrt 7 }}{7}\].

Vậy \(m = n = 7\). Tổng \(m + n = 14\).

Đáp án: 2496.

Gọi \(x\) là số nhân viên cần huy động làm ca I và \(y\) là số nhân viên cần huy động làm ca II (\(x,\,y \in {\mathbb{N}^*}).\)

Theo giả thiết ta có hệ bất phương trình sau: \[\left\{ \begin{array}{l}0 < x \le 9\\y \ge 2\\x + y \ge 10\\x \ge 1,5y\end{array} \right.\]

Biểu diễn miện nghiệm của hệ bất phương trình ta được:

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền tứ giác \(ABCD\) trong đó \(A\left( {6;4} \right),\,\,B\left( {8;2} \right),\,\,C\left( {9;2} \right),\,\,D\left( {9;6} \right).\)

Ta có chi phí tiền lương mỗi ngày \(T\left( {x;y} \right) = 256x + 240y\)(nghìn đồng).

Khi đó giá trị nhỏ nhất của \(T\left( {x;y} \right)\) sẽ đạt tại một trong các đỉnh của tứ giác \(ABCD\).

Ta có: \(T\left( {9;2} \right) = 2784,\,\,T\left( {6;4} \right) = 2496,\,\,T\left( {8;2} \right) = 2528,\,\,T\left( {9;6} \right) = 3744.\)

Do đó chi phí tiền lương mỗi ngày ít nhất khi huy động 6 nhân viên ca I và 4 nhân viên ca II là: 2496 (nghìn đồng).

Đáp án: 136.

Ta gọi \(E\) là hình chiếu của \(M\) lên \(Oz\).

Ta có: $EK=MK\cdot \cos {60}^{°}=50\cdot \frac{1}{2}=25m$ $\Rightarrow z_M=OE=OK+KE=50+25=75 \text{m}.$

Ta có:  $ME=MK\cdot \sin {60}^{°}=50\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=25\sqrt{3}$. Suy ra \(OH = ME = 25\sqrt 3 \;{\rm{m}}\).

Gọi P, Q lần lượt là hình chiếu của \(M\) lên \(Ox,Oy\).

Vì  $(\overrightarrow{i};\overrightarrow{OH})={45}^{°}\Rightarrow OP=OQ=OH\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{25\sqrt{6}}{2}.$

Vậy điểm \(H\) có tọa độ \(\left( {\frac{{25\sqrt 6 }}{2};\frac{{25\sqrt 6 }}{2},0} \right)\).

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{H\left( {\frac{{25\sqrt 6 }}{2};\frac{{25\sqrt 6 }}{2},0} \right) \Rightarrow M\left( {\frac{{25\sqrt 6 }}{2};\frac{{25\sqrt 6 }}{2},75} \right){\rm{. }}}\\{OE = 75}\end{array}} \right.\)

Suy rа \(a + b + c \approx 136\).

Đáp án: 95.

Gắn trục toạ độ \(Oxy\) như hình vẽ.

Gọi phương trình parabol đi qua 3 điểm \(C,M,N\) là \(y = a{x^2} + bx + c,\quad (a \ne 0)\)

Trục đối xứng của parabol là \(x =  - \frac{b}{{2a}} = 2 \Leftrightarrow b =  - 4a\).

Ta có parabol đi qua các điểm \(M(2;8),C(8;0)\) nên ta có hệ phương trình

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a{{.2}^2} + 2b + c = 8}\\{a{{.8}^2} + 8b + c = 0}\\{b =  - 4a}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{4a + 2b + c = 8}\\{64a + 8b + c = 0}\\{4a + b = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a =  - \frac{2}{9}}\\{b = \frac{8}{9}}\\{c = \frac{{64}}{9}}\end{array}.} \right.} \right.} \right.\)

\( \Rightarrow \) Phương trình của parabol là \(y =  - \frac{2}{9}{x^2} + \frac{8}{9}x + \frac{{64}}{9}\).

Ta có \(y(0) =  - \frac{2}{9}{.0^2} + \frac{8}{9}.0 + \frac{{64}}{9} = \frac{{64}}{9} \Rightarrow N\left( {0;\frac{{64}}{9}} \right)\).

Phương trình đường thẳng đi qua điểm \(N\left( {0;\frac{{64}}{9}} \right),C(8;0)\) là \(\frac{x}{8} + \frac{y}{{64/9}} = 1\)

\( \Rightarrow \frac{y}{{64/9}} = 1 - \frac{x}{8} \Rightarrow y = \frac{{64}}{9} - \frac{x}{8} \cdot \frac{{64}}{9} \Rightarrow y = \frac{{64}}{9} - \frac{8}{9}x.\)

Suy ra diện tích bể bơi bằng \(\int\limits_0^8 {\left[ { - \frac{2}{9}{x^2} + \frac{8}{9}x + \frac{{64}}{9} - \left( {\frac{{64}}{9} - \frac{8}{9}x} \right)} \right]{\rm{d}}x} \)\( = \int\limits_0^8 {\left( { - \frac{2}{9}{x^2} + \frac{{16}}{9}x} \right){\rm{d}}x}  = \frac{{512}}{{27}}.\)

Vậy số tiền cần trả để xây bể bơi là \(5 \cdot \frac{{512}}{{27}} \approx 95\) triệu đồng.

Đáp án: 2197.

Dựa vào dữ kiện đề bài, ta có:

+) \(P(0) = 800 \Leftrightarrow \frac{c}{{1 + a \cdot {b^{ - 0}}}} = 800 \Leftrightarrow \frac{c}{{1 + a}} = 800\)

+) \(P(3) = 6000 \Leftrightarrow \frac{c}{{1 + a \cdot {b^{ - 3}}}} = 6000\)

+) Sức chứa của hồ là 8000 con \( \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{t \to  + \infty } P(t) = 8000\)

Khi \(t \to  + \infty  \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{b < 1 \Rightarrow {b^{ - t}} \to  + \infty (L)}\\{b > 1 \Rightarrow {b^{ - t}} \to 0(tm)}\end{array} \Rightarrow P(t) \to c} \right.\).

Khi đó \(\mathop {\lim }\limits_{t \to  + \infty } P(t) = c = 8000\). Mà \(\frac{c}{{1 + a}} = 800 \Leftrightarrow \frac{{8000}}{{1 + a}} = 800 \Rightarrow a = 9\)

Thay vào \(c = 8000\) và \(a = 9\) phương trình \(\frac{c}{{1 + a.{b^{ - 3}}}} = 6000\) ta được \(\frac{{8000}}{{1 + 9.{b^{ - 3}}}} = 6000\) \( \Leftrightarrow 1 + 9.{b^{ - 3}} = \frac{4}{3} \Leftrightarrow {b^{ - 3}} = \frac{1}{{27}} \Leftrightarrow b = 3\).

Suy ra \(P(t) = \frac{{8000}}{{1 + {{9.3}^{ - t}}}}\).

Hàm số \(P'(t)\) là tốc độ tăng trưởng của đàn cá.

Suy ra tốc độ tăng trưởng tối đa của đàn cá \( = P'{(t)_{\max }}\).

\(P'(t) =  - 8000 \cdot \frac{{ - 9 \cdot {3^{ - t}} \cdot \ln 3}}{{{{\left( {1 + {{9.3}^{ - t}}} \right)}^2}}} = 79100 \cdot \frac{{{3^{ - t}}}}{{{{\left( {1 + {{9.3}^{ - t}}} \right)}^2}}}\)

Ta tìm max của \(g(t) = \frac{{{3^{ - t}}}}{{{{\left( {1 + {{9.3}^{ - t}}} \right)}^2}}}\).

Đặt \({3^{ - t}} = a(a > 0)\)\( \Rightarrow g(t) = \frac{a}{{{{(1 + 9a)}^2}}} = \frac{a}{{1 + 18a + 81{a^2}}} = \frac{1}{{\frac{1}{a} + 18 + 81a}}\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(\frac{1}{a} = 81a \Leftrightarrow 81{a^2} = 1 \Leftrightarrow a = \frac{1}{9}\). Khi đó \({P^\prime }{(t)_{\max }} = 79100 \cdot \frac{1}{{36}} \approx 2197\).

Đáp án: 0,71.

Gọi \({A_i}\) là biến cố chọn được thùng loại \(i.(i = I,II)B\) là biến cố chọn được 10 sản phẩm trong đó có 2 lon quá hạn từ thùng được chọn ra.

Từ đó, ta có \(P\left( {{A_1}} \right) = \frac{2}{3};P\left( {{A_2}} \right) = \frac{1}{3}\)

Áp dụng công thức xác suất có điều kiện, ta có: \(P\left( {B\mid {A_1}} \right) = \frac{{C_5^2C_{19}^8}}{{C_{24}^{10}}} = \frac{{195}}{{506}}\);\(P\left( {B\mid {A_2}} \right) = \frac{{C_3^2C_{21}^8}}{{C_{24}^{10}}} = \frac{{315}}{{1012}}\)

Ta có sơ đồ cây sau:

Xác suất để chọn được 2 Ion quá hạn là:

\(P(B) = P\left( {{A_1}} \right) \cdot P\left( {B\mid {A_1}} \right) + P\left( {{A_2}} \right) \cdot P\left( {B\mid {A_2}} \right) = \frac{2}{3} \times \frac{{195}}{{506}} + \frac{1}{3} \times \frac{{315}}{{1012}} = \frac{{365}}{{1012}}\)

Suy ra xác suất bia được lấy thuộc loại I là: \(P\left( {{A_1}\mid B} \right) = \frac{{\frac{2}{3} \times \frac{{195}}{{506}}}}{{\frac{{365}}{{1012}}}} = \frac{{52}}{{73}} \approx 0,71\).