Đề thi thử Tốt nghiệp THPT Toán 2025-2026 THPT Hoằng Hóa 3 (Thanh Hóa) có đáp án
22 câu hỏi
PHẦN I. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ { - 1\,;\,3} \right]\) và có đồ thị như hình vẽ. Giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn \(\left[ { - 1\,;\,3} \right]\) bằng
\[3\].
\[ - 2\].
\[0\].
\[1\].
Chọn B
Hàm số đồng biến trên \[\mathbb{R}\].
Hàm số nghịch biến trên \[\mathbb{R}\].
Hàm số đồng biến trên khoảng \[\left( { - \infty ;1} \right)\].
Hàm số đồng biến trên khoảng \[\left( {1; + \infty } \right)\].
Chọn C
Tập xác định \[D = \mathbb{R}\].
Ta có \[y' = \left( {2x - 2} \right).{\left( {\frac{3}{5}} \right)^{{x^2} - 2x + 3}}.\ln \left( {\frac{3}{5}} \right)\]\[ \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow x = 1\].
Bảng biến thiên:
![Câu 1. Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ { - 1\,;\,3} \right]\) và có đồ thị như hình vẽ. Giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn \(\left[ { - 1\,;\,3} \right]\) bằng A. \[3\]. B. \[ - 2\]. C. \[0\]. D. \[1\]. (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2026/04/picture71-1776771350.png)
Do đó hàm số \[y = {\left( {\frac{3}{5}} \right)^{{x^2} - 2x + 3}}\] đồng biến trên \[\left( { - \infty ;1} \right)\].
Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình bên?
\(y = {x^3} - 3x\).
\(y = - {x^3} + 3x\).
\(y = {x^4} - 2{x^2}\).
\(y = - {x^4} + 2{x^2}\).
Chọn A
\[\left( { - 3;1; - 3} \right)\].
\[\left( { - 2;2;0} \right)\].
\[\left( {1;3;3} \right)\].
\[\left( { - 1;3;3} \right)\].
Chọn D
![Tọa độ của vectơ \(\overrightarrow u + \overrightarrow v \) là A. \[\left( { - 3;1; - 3} \right)\]. B. \[\left( { - 2;2;0} \right)\]. C. \[\left( {1;3;3} \right)\]. D. \[\left( { - 1;3;3} \right)\]. (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2026/04/picture73-1776771431.png)
Số đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\)
\(1\)
\(4\)
\(2\)
\(3.\)
Chọn C
\(\mathop {\lim y}\limits_{x \to + \infty } = - 1;\mathop {\lim y}\limits_{x \to - \infty } = 1;\)
Do đó đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận ngang.
\[30^\circ \].
\[45^\circ \].
\(60^\circ \).
\(90^\circ \).
Chọn A
Véctơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) lần lượt là \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {2; - 1; - 1} \right);\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {1;0; - 1} \right)\).
\(\cos \left( {\left( P \right);\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_P}} .\overrightarrow {{n_Q}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_P}} } \right|\left| {\overrightarrow {{n_Q}} } \right|}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow \left( {\left( P \right);\left( Q \right)} \right) = 30^\circ \).
Cho bảng số liệu khảo sát về tuổi thọ (đơn vị: nghìn giờ) của một loại bóng đèn:
Tuổi thọ | \(\left[ {3;5} \right)\) | \(\left[ {5;7} \right)\) | \(\left[ {7;9} \right)\) | \(\left[ {9;11} \right)\) | \(\left[ {11;13} \right)\) |
Số bóng đèn | \(11\) | \(20\) | \(29\) | \(40\) | \(30\) |
Tìm khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu.
\({\Delta _Q} = \frac{{87}}{8}\).
\({\Delta _Q} = \frac{{206}}{{29}}\).
\({\Delta _Q} = \frac{{4171}}{{232}}\).
\({\Delta _Q} = \frac{{875}}{{232}}\).
Chọn D
Cỡ mẫu \(n = 130\).
Gọi \({x_1},{x_2},...,{x_{130}}\)là mẫu số liệu tuổi thọ của các bóng đèn được xếp theo thứ tự không giảm.
Ta có: \({x_1},{x_2},...,{x_{11}} \in \left[ {3;5} \right)\); \({x_{11}},{x_{12}},...,{x_{31}} \in \left[ {5;7} \right)\); \({x_{32}},{x_{33}},...,{x_{60}} \in \left[ {7;9} \right)\); \({x_{61}},{x_{62}},...,{x_{100}} \in \left[ {9;11} \right)\); \({x_{101}},{x_{102}},...,{x_{130}} \in \left[ {11;13} \right)\)
Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là \({x_{33}} \in \left[ {7;9} \right)\). Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là:
\({Q_1} = 7 + \frac{{\frac{{130}}{4} - \left( {11 + 20} \right)}}{{29}}.\left( {9 - 7} \right) = \frac{{206}}{{29}}\)
Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là \({x_{98}} \in \left[ {9;11} \right)\). Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là:
\({Q_3} = 9 + \frac{{\frac{{130.3}}{4} - \left( {11 + 20 + 29} \right)}}{{40}}.\left( {11 - 9} \right) = \frac{{87}}{8}\)
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là:
\({\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = \frac{{87}}{8} - \frac{{206}}{{29}} = \frac{{875}}{{232}}\).
\(I\left( {1; - 4;0} \right),\,\,r = 9\).
\(I\left( {1;4;0} \right),\,\,r = 3\).
\(I\left( { - 1;4;0} \right),\,\,r = 9\).
\(I\left( {1; - 4;0} \right),\,\,r = 3\).
Chọn D
\[ - 8\].
\[2\].
\[8\].
\[ - 2\].
Chọn B
Ta có \(\int\limits_1^5 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \int\limits_1^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x} + \int\limits_2^5 {f\left( x \right){\rm{d}}x} \, = - 3 + 5 = 2\).
Vậy \(\int\limits_1^5 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 2\).
\({a^3}\sqrt 3 \).
\(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}\).
\(\frac{{{a^3}}}{4}\).
\(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}\).
Chọn D
Thể tích \({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}.{S_{ABCD}}.SA = \frac{1}{3}.{a^2}.a\sqrt 3 = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}\)
\(31\).
\(33\).
\(29\).
\(87\).
Chọn A
Có \({u_1} = 3\) và \({u_4} = 9\).
Suy ra \({u_4} = {u_1} + 3d \Leftrightarrow d = 2\).
Vậy \({u_{15}} = {u_1} + 14d = 31\).
\[\left( {{{\log }_3}5\,;\, + \infty } \right)\].
\[\left[ {{{\log }_3}5\,;\, + \infty } \right)\].
\[\left( {{{\log }_5}3\,;\, + \infty } \right)\].
\[\left[ {{{\log }_5}3\,;\, + \infty } \right)\].
Chọn B
Ta có \[{3^x} \ge 5 \Leftrightarrow x \ge {\log _3}5\]. Vậy bất phương trình có tập nghiệm là \[\left[ {{{\log }_3}5\,;\, + \infty } \right)\].
Đạo hàm của hàm số đã cho là \(f'\left( x \right) = \frac{3}{{{{\cos }^2}x{{\left( {1 - \sqrt 3 .\tan x} \right)}^2}}}\).
Với \(x = 0\) thì \(\frac{{\sqrt 3 }}{4}.f'\left( x \right) - f\left( x \right) = 0\).
Phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có nghiệm âm lớn nhất là \( - \frac{\pi }{3}\).
Gọi \(M\)là giá trị lớn nhất của \(\frac{1}{{f'\left( x \right)}}\) thì \(M \in \left( {0;1} \right)\).
a) Sai.
Dùng công thức: \(\left( {\tan u} \right)' = \frac{{u'}}{{{{\cos }^2}u}}\).
Ta có: \(f'\left( x \right) = \frac{1}{{{{\cos }^2}\left( {x - \frac{{2\pi }}{3}} \right)}}\).
Hoặc bấm máy:
\({\left. {\frac{d}{{dx}}\left( {\tan \left( {x - \frac{{2\pi }}{3}} \right)} \right)} \right|_{x = x}} - \frac{3}{{{{\cos }^2}x{{\left( {1 - \sqrt 3 \tan x} \right)}^2}}}\) \(\begin{array}{*{20}{c}}{Calc:x = \frac{\pi }{3}}&{}&{ \Rightarrow kq: = 1 \ne 0}\end{array}\).
b) Đúng.
Bấm máy
\(\frac{{\sqrt 3 }}{4}.\frac{1}{{{{\cos }^2}\left( {x - \frac{{2\pi }}{3}} \right)}} - \tan \left( {x - \frac{{2\pi }}{3}} \right)\) \(\begin{array}{*{20}{c}}{Calc:x = 0}&{}&{ \Rightarrow kq: = 0}\end{array}\).
Hoặc bấm máy
\({\left. {\frac{{\sqrt 3 }}{4}.\frac{d}{{dx}}\left( {\tan \left( {x - \frac{{2\pi }}{3}} \right)} \right)} \right|_{x = x}} - \tan \left( {x - \frac{{2\pi }}{3}} \right)\) \(\begin{array}{*{20}{c}}{Calc:x = 0}&{}&{ \Rightarrow kq: = 0}\end{array}\).
c) Đúng.
\(\begin{array}{*{20}{c}}{f\left( x \right) = \tan \left( {x - \frac{{2\pi }}{3}} \right) = 0}&{ \Leftrightarrow x - \frac{{2\pi }}{3} = 0}&{ \Leftrightarrow x = \frac{{2\pi }}{3} + k\pi }&{\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)}\end{array}\).
Với \(\begin{array}{*{20}{c}}{k = - 1}&{}&{ \Rightarrow x = \frac{{2\pi }}{3} - \pi = - \frac{\pi }{3}}\end{array}\).
d) Sai.
Ta có:\(\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{1}{{f'\left( x \right)}} = {{\cos }^2}\left( {x - \frac{{2\pi }}{3}} \right)}&{}&{}&{ \Rightarrow M = 1 \notin \left( {0;1} \right)}\end{array}\).
Quãng đường đi được của vật sau \(2\) giây là: \(\frac{2}{3}\;\left( m \right)\).
Quãng đường vật đi được khi gia tốc bị triệt tiêu là \(\frac{1}{3}\;\left( m \right)\).
Quãng đường vật đi được trong khoảng từ \(2\)giây đến thời gian mà vận tốc đạt \(9\;\left( {m/s} \right)\) là: \(\frac{{26}}{3}\)\(\left( m \right)\).
Quãng đường vật đi được từ \(0\) giây đến thời gian mà gia tốc bằng \(10\left( {m/{s^2}} \right)\) là \(44\;\left( m \right)\).
a) Đúng.
Quãng đường vật đi được có phương trình: \(s\left( t \right) = \int {v\left( t \right).dt} = \int {\left( {{t^2} - 2t + 1} \right).dt} = \frac{1}{3}{t^3} - {t^2} + t + C\)
Vì \(s(0) = 0 \Rightarrow C = 0 \Rightarrow s(t) = \frac{1}{3}{t^3} - {t^2} + t\)
Quãng đường vật đi được sau 2 giây là: \(s\left( 2 \right) = \frac{2}{3}\left( m \right)\).
b) Đúng.
Gia tốc của vật có phương trình: \(a\left( t \right) = v'\left( t \right) = \left( {{t^2} - 2t + 1} \right)' = 2t - 2\)
Khi gia tốc bị triệt tiêu: \(\begin{array}{*{20}{c}}{a\left( t \right) = 0}&{ \Leftrightarrow 2t - 2 = 0}&{ \Leftrightarrow t = 1}\end{array}\)
Quãng đường vật đi được sau khi gia tốc bị triệt tiêu là: \(s\left( 1 \right) = \frac{1}{3}\left( m \right)\).
c) Đúng.
Thời gian vật đạt vận tốc \(9\;\left( {m/s} \right)\) là: \(\begin{array}{*{20}{c}}{v\left( t \right) = {t^2} - 2t + 1 = 9}&{ \Leftrightarrow t = 4}\end{array}\)
Quãng đường vật đi được trong khoảng từ \(2\)giây đến thời gian mà vận tốc đạt \(9\;\left( {m/s} \right)\) là:
\(s = \int\limits_2^4 {v\left( t \right).dt} = \int\limits_2^4 {\left( {{t^2} - 2t + 1} \right).dt} = \frac{{26}}{3}\left( m \right)\)
d) Sai.
Thời gian vật đạt gia tốc \(10\;\left( {m/{s^2}} \right)\) là: \(\begin{array}{*{20}{c}}{a\left( t \right) = 2t - 2 = 10}&{ \Leftrightarrow t = 6}\end{array}\)
Quãng đường vật đi được từ \(0\) giây đến thời gian mà gia tốc bằng \(10\left( {m/{s^2}} \right)\) là
\(s = \int\limits_0^6 {v\left( t \right).dt} = \int\limits_0^6 {\left( {{t^2} - 2t + 1} \right).dt} = 42\left( m \right)\)
Xác suất nhận được một email rác là \(0,05\).
Xác suất bị lọc của email rác là \(0,93\).
Xác suất chọn một email trong số những email bị lọc bất kể có là rác hay không là \(0,1425\).
Xác suất chọn một email trong số những email bị lọc thực sự là email rác là \(\frac{7}{{19}}\).
a) Đúng.
Gọi A: “Email nhận được là email rác” ;
B: “Email bị lọc đúng email rác của hệ thống lọc email rác”.
Vì \(5\% \) email nhận được là rác nên xác suất nhận được một email rác là \(P\left( A \right) = 5\% = 0,05\).
b) Sai.
Xác suất bị lọc của email rác là \(P\left( {\left. B \right|A} \right) = 95\% = 0,95\).
c) Đúng.
Xác suất email nhận được không phải là email rác là: \(P\left( {\overline {\rm{A}} } \right) = 1 - P\left( A \right) = 1 - 0,05 = 0,95\).
Xác suất email bị lọc của email không phải email rác là: \(P\left( {\left. B \right|\overline {\rm{A}} } \right) = 10\% = 0,1\).
Vậy xác suất chọn một email bị lọc bất kể là rác hay không là:
\(P\left( B \right) = P\left( {\left. B \right|{\rm{A}}} \right).P\left( A \right) + P\left( {\left. B \right|\overline {\rm{A}} } \right).P\left( {\overline {\rm{A}} } \right) = 0,95.0,05 + 0,1.0,95 = 0,1425\).
d) Sai.
Xác suất chọn một email trong số những email bị lọc thực sự là email rác là:
\(P\left( {\left. A \right|B} \right) = \frac{{P\left( {\left. B \right|A} \right).P\left( A \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{0,95.0,05}}{{0,1425}} = \frac{1}{3}\).
Một sân vận động với sân bóng phẳng hình chữ nhật có chấm trắng trung tâm là nơi giao bóng, một đường kẻ vạch chia đôi sân và các khán đài. Khán đài A gồm những dãy ghế nằm vuông góc với vạch chia đôi sân có độ cao tăng dần (các ghế cùng hàng thì cùng độ cao so với mặt sân). Chọn hệ trục tọa độ \[Oxyz\] sao cho \[O\] trùng với điểm giao bóng, mặt phẳng \[Oxy\] trùng với mặt sân, trục \[Ox\] trùng với vạch chia đôi sân, tia \[Oz\] vuông góc với mặt sân (đơn vị đo lấy theo mét).
Một khán giả ngồi tại vị trí \(M\) của khán đài A, có hình chiếu vuông góc lên mặt phẳng chứa sân là một điểm thuộc \[Ox.\] Góc hợp bởi \[OM\] và mặt sân là \[\alpha \] với \[\sin \alpha = \frac{1}{3},\] nếu người này di chuyển 10 (m) trên hàng ngang đó đến ngồi tại một vị trí \(N\) thì góc hợp bởi \[ON\] và mặt sân là \[\beta \] với \[\sin \beta = \frac{{\sqrt {10} }}{{10}}.\] Gọi \(h\;\left( m \right)\) là độ cao tại \[M\] so với mặt sân.
Điểm \(M\) có cao độ bằng \(0.\)
\(OM = 3h.\)
Điểm \(N\) có cùng tung độ với điểm \(M.\)
\(h = 10\;m.\)
a) Sai.
b) Đúng. Ta có: Ta có \(\sin \widehat {MOH} = \frac{{MH}}{{OM}} \Leftrightarrow \frac{1}{3} = \frac{h}{{OM}} \Rightarrow OM = 3h\)
c) Sai. \(cos\widehat {MOH} = \frac{{OH}}{{OM}} \Leftrightarrow \frac{{2\sqrt 2 }}{3} = \frac{{OH}}{{3h}} \Rightarrow OH = 2\sqrt 2 h \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}M\left( {2\sqrt 2 h;0;h} \right)\\N\left( {2\sqrt 2 h;10;h} \right)\end{array} \right.\)
d) Đúng. \(ON = \sqrt {9{h^2} + 100} \)
\(\sin \widehat {NOK} = \frac{{NK}}{{ON}} \Leftrightarrow \frac{{10}}{{\sqrt {10} }} = \frac{h}{{\sqrt {9{h^2} + 100} }} \Rightarrow h = 10\)
PHẦN III. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.
Cho lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy là tam giác vuông và \(AB = BC = a\), \(AA' = a\sqrt 2 \), \(M\) là trung điểm của \(BC\). Khoảng cách \(d\) giữa hai đường thẳng \(AM\) và \(B'C\) được viết dưới dạng \[d = \frac{{a\sqrt m }}{n}\], \(m;\,n \in \mathbb{Z}\). Khi đó tổng \(m + n\) bằng bao nhiêu?
Đáp án: 14.
Do \(\Delta ABC\) vuông và có \(AB = BC\) nên \(\Delta ABC\) vuông cân tại \(B\).
Gọi \(N\) là trung điểm của \(BB'\), ta có: \(B'C{\rm{//}}\left( {AMN} \right)\).
Khi đó: \(d\left( {AM,B'C} \right) = d\left( {B'C,\left( {AMN} \right)} \right) = d\left( {C,\left( {AMN} \right)} \right) = d\left( {B,\left( {AMN} \right)} \right)\).
Kẻ \(BH \bot AM\) tại \(H\) và kẻ \(BK \bot NH\) tại \(K\).
Ta có: \(BH \bot AM,BN \bot AM \Rightarrow AM \bot \left( {NBH} \right) \Rightarrow BK \bot AM\).
Do \(BK \bot NH\), \(BK \bot AM\) nên \(BK \bot \left( {AMN} \right)\).
Suy ra: \(d\left( {B,\left( {AMN} \right)} \right) = BK\).
Mặt khác: \(BH = \frac{{BM.BA}}{{\sqrt {B{M^2} + B{A^2}} }} = \frac{{\sqrt 5 a}}{5}\); \(BK = \frac{{BH.BN}}{{\sqrt {B{H^2} + B{N^2}} }} = \frac{{a\sqrt 7 }}{7}\).
Vậy \[d\left( {AM,B'C} \right) = d\left( {B,\left( {AMN} \right)} \right) = BK = \frac{{a\sqrt 7 }}{7}\].
Vậy \(m = n = 7\). Tổng \(m + n = 14\).
Phòng chăm sóc khách hàng của công ty A làm việc từ 8h00 sáng đến 20h00 mỗi ngày. Nhân viên trực tổng đài làm việc theo 2 ca, mỗi ca 8 tiếng, ca I từ 8h00 đến 16h00 và ca II từ 12h00 đến 20h00. Tiền lương của nhân viên được tính theo giờ (bảng dưới đây):
Khoảng thời gian làm việc | Tiền lương/giờ |
8h00 – 16h00 | 32 000 đồng |
12h00 – 20h00 | 30 000 đồng |
Để chăm sóc khách hàng tốt nhất thì cần tối thiểu 2 nhân viên trong khoảng từ 12h00 – 20h00, tối thiểu 10 nhân viên trong giờ cao điểm từ 12h00 – 16h00 và không quá 9 nhân viên trong khoảng từ 8h00 – 16h00. Do lượng khách hàng trong khoảng 8h00 – 16h00 thường đông hơn nên phòng chăm sóc khách hàng cần số nhân viên ca I ít nhất phải gấp 1,5 lần số nhân viên của ca II. Em hãy giúp công ty A chỉ ra cách huy động số lượng nhân viên cho mỗi ca sao cho chi phí tiền lương mỗi ngày là ít nhất. Khi đó chi phí tiền lương ít nhất mà công ty A phải trả cho nhân viên mỗi ngày là \[a\] (nghìn đồng). Giá trị của \[a\] bằng bao nhiêu?
Đáp án: 2496.
Gọi \(x\) là số nhân viên cần huy động làm ca I và \(y\) là số nhân viên cần huy động làm ca II (\(x,\,y \in {\mathbb{N}^*}).\)
Theo giả thiết ta có hệ bất phương trình sau: \[\left\{ \begin{array}{l}0 < x \le 9\\y \ge 2\\x + y \ge 10\\x \ge 1,5y\end{array} \right.\]
Biểu diễn miện nghiệm của hệ bất phương trình ta được:
Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền tứ giác \(ABCD\) trong đó \(A\left( {6;4} \right),\,\,B\left( {8;2} \right),\,\,C\left( {9;2} \right),\,\,D\left( {9;6} \right).\)
Ta có chi phí tiền lương mỗi ngày \(T\left( {x;y} \right) = 256x + 240y\)(nghìn đồng).
Khi đó giá trị nhỏ nhất của \(T\left( {x;y} \right)\) sẽ đạt tại một trong các đỉnh của tứ giác \(ABCD\).
Ta có: \(T\left( {9;2} \right) = 2784,\,\,T\left( {6;4} \right) = 2496,\,\,T\left( {8;2} \right) = 2528,\,\,T\left( {9;6} \right) = 3744.\)
Do đó chi phí tiền lương mỗi ngày ít nhất khi huy động 6 nhân viên ca I và 4 nhân viên ca II là: 2496 (nghìn đồng).
Cần trục chân đế là kiểu cột quay được sử dụng để phục vụ công việc xếp đỡ hàng hóa chủ yếu ngoài các cảng bến, bãi (hình ảnh minh họa).
Ta chọn hệ trục \(Oxyz\) thỏa mãn \((Oxy)\) song song với mặt đất, trục \(Ox\) trùng với trục chân đế, trục \(Oz\) trùng với trục cần cẩu và trục \(Oy\) như hình vẽ. Gọi \(M\) là vị trí tại đỉnh cần cẩu, \(H\) là hình chiếu của \(M\) lên \((Oxy)\). Biết tay cần \(KM\) của cần trục dài 50 m, trục cần \(OK\) dài 50 m, \(\left( {\vec k;\overrightarrow {KM} } \right) = 60^\circ ,\left( {\vec i;\overrightarrow {OH} } \right) = 45^\circ \). Biết điểm \(M\) có tọa độ \(M(a;b;c)\) trong hệ toạ độ \(Oxyz\) trên, giá trị của \(a + b + c\) bằng bao nhiêu? (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
Đáp án: 136.
Ta gọi \(E\) là hình chiếu của \(M\) lên \(Oz\).
Ta có:
Ta có: . Suy ra \(OH = ME = 25\sqrt 3 \;{\rm{m}}\).
Gọi P, Q lần lượt là hình chiếu của \(M\) lên \(Ox,Oy\).
Vì
Vậy điểm \(H\) có tọa độ \(\left( {\frac{{25\sqrt 6 }}{2};\frac{{25\sqrt 6 }}{2},0} \right)\).
Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{H\left( {\frac{{25\sqrt 6 }}{2};\frac{{25\sqrt 6 }}{2},0} \right) \Rightarrow M\left( {\frac{{25\sqrt 6 }}{2};\frac{{25\sqrt 6 }}{2},75} \right){\rm{. }}}\\{OE = 75}\end{array}} \right.\)
Suy rа \(a + b + c \approx 136\).
Đáp án: 95.
Gắn trục toạ độ \(Oxy\) như hình vẽ.
Gọi phương trình parabol đi qua 3 điểm \(C,M,N\) là \(y = a{x^2} + bx + c,\quad (a \ne 0)\)
Trục đối xứng của parabol là \(x = - \frac{b}{{2a}} = 2 \Leftrightarrow b = - 4a\).
Ta có parabol đi qua các điểm \(M(2;8),C(8;0)\) nên ta có hệ phương trình
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a{{.2}^2} + 2b + c = 8}\\{a{{.8}^2} + 8b + c = 0}\\{b = - 4a}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{4a + 2b + c = 8}\\{64a + 8b + c = 0}\\{4a + b = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = - \frac{2}{9}}\\{b = \frac{8}{9}}\\{c = \frac{{64}}{9}}\end{array}.} \right.} \right.} \right.\)
\( \Rightarrow \) Phương trình của parabol là \(y = - \frac{2}{9}{x^2} + \frac{8}{9}x + \frac{{64}}{9}\).
Ta có \(y(0) = - \frac{2}{9}{.0^2} + \frac{8}{9}.0 + \frac{{64}}{9} = \frac{{64}}{9} \Rightarrow N\left( {0;\frac{{64}}{9}} \right)\).
Phương trình đường thẳng đi qua điểm \(N\left( {0;\frac{{64}}{9}} \right),C(8;0)\) là \(\frac{x}{8} + \frac{y}{{64/9}} = 1\)
\( \Rightarrow \frac{y}{{64/9}} = 1 - \frac{x}{8} \Rightarrow y = \frac{{64}}{9} - \frac{x}{8} \cdot \frac{{64}}{9} \Rightarrow y = \frac{{64}}{9} - \frac{8}{9}x.\)
Suy ra diện tích bể bơi bằng \(\int\limits_0^8 {\left[ { - \frac{2}{9}{x^2} + \frac{8}{9}x + \frac{{64}}{9} - \left( {\frac{{64}}{9} - \frac{8}{9}x} \right)} \right]{\rm{d}}x} \)\( = \int\limits_0^8 {\left( { - \frac{2}{9}{x^2} + \frac{{16}}{9}x} \right){\rm{d}}x} = \frac{{512}}{{27}}.\)
Vậy số tiền cần trả để xây bể bơi là \(5 \cdot \frac{{512}}{{27}} \approx 95\) triệu đồng.
Một hồ nước ở Bắc Ontario đã phục hồi sau một vụ tràn axit khiến tất cả cá hồi ở đó chết. Một chương trình tái thả cá đã thả 800 con cá hồi vào hồ. Ba năm sau, số lượng được ước tính là 6000 con. Sức chứa của hồ được cho là 8000 con. Để đánh giá khả năng tăng trưởng, người ta mô phỏng số lượng cá trong hồ qua từng năm thông qua hàm số \(P(t) = \frac{c}{{1 + a \cdot {b^{ - t}}}}(a,b,c \in \mathbb{R})\) có đồ thị như hình vẽ bên dưới (trong đó \(t\) tính theo năm kể từ lúc bắt đầu thả cá vào hồ).
Sử dụng mô hình trên, hãy tính tốc độ tăng trưởng tối đa (đơn vị con/năm) của đàn cá (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).
Đáp án: 2197.
Dựa vào dữ kiện đề bài, ta có:
+) \(P(0) = 800 \Leftrightarrow \frac{c}{{1 + a \cdot {b^{ - 0}}}} = 800 \Leftrightarrow \frac{c}{{1 + a}} = 800\)
+) \(P(3) = 6000 \Leftrightarrow \frac{c}{{1 + a \cdot {b^{ - 3}}}} = 6000\)
+) Sức chứa của hồ là 8000 con \( \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } P(t) = 8000\)
Khi \(t \to + \infty \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{b < 1 \Rightarrow {b^{ - t}} \to + \infty (L)}\\{b > 1 \Rightarrow {b^{ - t}} \to 0(tm)}\end{array} \Rightarrow P(t) \to c} \right.\).
Khi đó \(\mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } P(t) = c = 8000\). Mà \(\frac{c}{{1 + a}} = 800 \Leftrightarrow \frac{{8000}}{{1 + a}} = 800 \Rightarrow a = 9\)
Thay vào \(c = 8000\) và \(a = 9\) phương trình \(\frac{c}{{1 + a.{b^{ - 3}}}} = 6000\) ta được \(\frac{{8000}}{{1 + 9.{b^{ - 3}}}} = 6000\) \( \Leftrightarrow 1 + 9.{b^{ - 3}} = \frac{4}{3} \Leftrightarrow {b^{ - 3}} = \frac{1}{{27}} \Leftrightarrow b = 3\).
Suy ra \(P(t) = \frac{{8000}}{{1 + {{9.3}^{ - t}}}}\).
Hàm số \(P'(t)\) là tốc độ tăng trưởng của đàn cá.
Suy ra tốc độ tăng trưởng tối đa của đàn cá \( = P'{(t)_{\max }}\).
\(P'(t) = - 8000 \cdot \frac{{ - 9 \cdot {3^{ - t}} \cdot \ln 3}}{{{{\left( {1 + {{9.3}^{ - t}}} \right)}^2}}} = 79100 \cdot \frac{{{3^{ - t}}}}{{{{\left( {1 + {{9.3}^{ - t}}} \right)}^2}}}\)
Ta tìm max của \(g(t) = \frac{{{3^{ - t}}}}{{{{\left( {1 + {{9.3}^{ - t}}} \right)}^2}}}\).
Đặt \({3^{ - t}} = a(a > 0)\)\( \Rightarrow g(t) = \frac{a}{{{{(1 + 9a)}^2}}} = \frac{a}{{1 + 18a + 81{a^2}}} = \frac{1}{{\frac{1}{a} + 18 + 81a}}\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(\frac{1}{a} = 81a \Leftrightarrow 81{a^2} = 1 \Leftrightarrow a = \frac{1}{9}\). Khi đó \({P^\prime }{(t)_{\max }} = 79100 \cdot \frac{1}{{36}} \approx 2197\).
Đáp án: 0,71.
Gọi \({A_i}\) là biến cố chọn được thùng loại \(i.(i = I,II)B\) là biến cố chọn được 10 sản phẩm trong đó có 2 lon quá hạn từ thùng được chọn ra.
Từ đó, ta có \(P\left( {{A_1}} \right) = \frac{2}{3};P\left( {{A_2}} \right) = \frac{1}{3}\)
Áp dụng công thức xác suất có điều kiện, ta có: \(P\left( {B\mid {A_1}} \right) = \frac{{C_5^2C_{19}^8}}{{C_{24}^{10}}} = \frac{{195}}{{506}}\);\(P\left( {B\mid {A_2}} \right) = \frac{{C_3^2C_{21}^8}}{{C_{24}^{10}}} = \frac{{315}}{{1012}}\)
Ta có sơ đồ cây sau:
Xác suất để chọn được 2 Ion quá hạn là:
\(P(B) = P\left( {{A_1}} \right) \cdot P\left( {B\mid {A_1}} \right) + P\left( {{A_2}} \right) \cdot P\left( {B\mid {A_2}} \right) = \frac{2}{3} \times \frac{{195}}{{506}} + \frac{1}{3} \times \frac{{315}}{{1012}} = \frac{{365}}{{1012}}\)
Suy ra xác suất bia được lấy thuộc loại I là: \(P\left( {{A_1}\mid B} \right) = \frac{{\frac{2}{3} \times \frac{{195}}{{506}}}}{{\frac{{365}}{{1012}}}} = \frac{{52}}{{73}} \approx 0,71\).
