Đề thi thử Tốt nghiệp THPT Toán 2025-2026 THPT Đồng Hỷ (Thái Nguyên) có đáp án

Chọn D

Ta có:

+ \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {A'C'} \).

+ \(\overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AC'} \).

+ \(\overrightarrow {BB'} + \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {BD'} \).

+ \(\overrightarrow {DA} + \overrightarrow {DC} = \overrightarrow {DB} = \overrightarrow {D'B'} \).

Chọn D

Đồ thị hàm số đi qua điểm \(\left( {0; - 1} \right)\) (Loại A, C) và điểm \(\left( {2;3} \right)\) (Loại B).

Chọn B

Tọa độ trọng tâm \(G\) của tam giác \(OAB\): \(\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{4 + 5}}{3} = 3\\{y_G} = \frac{{ - 2 - 1}}{3} = - 1\\{z_G} = \frac{{2 + 4}}{3} = 2\end{array} \right. \Rightarrow G\left( {3; - 1;2} \right)\).

Đáp án: Sai/Đúng/Sai/ Sai.

a) \(f\left( {2\pi } \right) = - \sin 2\pi - \frac{1}{2}.2\pi = - \pi \).        Vậy a) là mệnh đề sai.

b) \(f'\left( x \right) = - \cos x - \frac{1}{2}\).                           Vậy b) là mệnh đề đúng.

c) \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow - \cos x - \frac{1}{2} = 0 \Leftrightarrow \cos x = - \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \\x = - \frac{{2\pi }}{3} + m2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k,m \in \mathbb{Z}} \right)\).

Do \(x \in \left[ {0;\pi } \right]\) nên ta có: \(k = 0\). Phương trình chỉ có \(1\) nghiệm thuộc đoạn \(\left[ {0;\pi } \right]\).

Vậy c) là mệnh đề sai.

d) Trên đoạn \(\left[ {0;\pi } \right]\) thì \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 2\cos x + 1 = 0 \Leftrightarrow \cos x = - \frac{1}{2} \Leftrightarrow x = \frac{{2\pi }}{3}\)

Ta có \(f\left( 0 \right) = 0;\,f\left( \pi \right) = - \frac{\pi }{2}\); \(f\left( {\frac{{2\pi }}{3}} \right) = - \sin \frac{{2\pi }}{3} - \frac{1}{2}.\frac{{2\pi }}{3} = - \frac{{\sqrt 3 }}{2} - \frac{\pi }{3}\) .

Suy ra giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ {0;\pi } \right]\) là \( - \frac{{\sqrt 3 }}{2} - \frac{\pi }{3}\).

Vậy d) là mệnh đề sai.         

a) ĐÚNG.

Nhìn đồ thị hàm số, ta thấy hàm số nghịch biến trên khoảng \((0;1)\).

b) SAI.

Nhìn đồ thị hàm số, ta thấy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = + \infty \).

c) ĐÚNG.

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left[ {y - \left( {ax + b} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{c}{{x + d}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{\frac{c}{x}}}{{1 + \frac{d}{x}}} = \frac{0}{{1 + 0}} = 0\).

Nên phương trình đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là: \(y = ax + b\,\,\,\left( 1 \right)\).

Do đường tiệm cận xiên đi qua 2 điểm \(\left( {0;1} \right)\) và \(\left( {1;2} \right)\), ta thay vào \(\left( 1 \right)\) ta có hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}b = 1\\a + b = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 1\\a = 1\end{array} \right. \Rightarrow \) Phương trình đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là: \(y = x + 1\).

d) ĐÚNG.

Nhìn đồ thị hàm số, ta thấy phương trình đường tiệm cận đứng là \(x = 1\).

Nên mẫu số có dạng: \(x - 1 \Rightarrow d = - 1\).

Kết hợp phương trình đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là: \(y = x + 1\).

Ta có: \(y = x + 1 + \frac{c}{{x - 1}}\,\,\,\left( 2 \right)\).

Đồ thị hàm số đi qua điểm \(\left( {0;0} \right)\), thay vào \(\left( 2 \right)\) ta được: \(0 + 1 + \frac{c}{{0 - 1}} = 0 \Leftrightarrow c = 1\).

Vậy tổng \(a + b + c + d = 1 + 1 + 1 - 1 = 2\).

\(A\) có hình chiếu vuông góc lên mặt phẳng \((Oxy)\) là một điểm thuộc tia \(Ox\), suy ra \(A\left( {a;0;c} \right)\,\,\left( {a \ge 0} \right)\).

Giả sử \(B\left( {x;y;z} \right)\,\, \Rightarrow \overrightarrow {AB} = \left( {x - a;\,y;\,z - c} \right)\)

\(\overrightarrow {AB} \) cùng hướng với \(\overrightarrow j = \left( {0;1;0} \right)\) suy ra \(x = a\,;\,z = c;\,y > 0 \Rightarrow \,B\left( {a;y;c} \right)\,\left( {y > 0} \right)\)

\(AB = 10\, \Rightarrow \,y = 10\, \Rightarrow \,B\left( {a;10;c} \right)\).

\(\sin \alpha = \frac{1}{3}\, \Rightarrow \,\frac{{\left| {\overrightarrow {OA} .\,\overrightarrow k } \right|}}{{OA}} = \,\frac{1}{3}\, \Rightarrow \frac{{\left| c \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {c^2}} }} = \,\frac{1}{3} \Rightarrow 9{c^2} = {a^2} + {c^2} \Rightarrow {a^2} = 8{c^2}\) (1)

\(\sin \beta = \frac{{\sqrt {10} }}{{10}} \Rightarrow \,\frac{{\left| {\overrightarrow {OB} .\,\overrightarrow k } \right|}}{{OB}} = \,\frac{{\sqrt {10} }}{{10}}\, \Rightarrow \frac{{\left| c \right|}}{{\sqrt {{a^2} + 100 + {c^2}} }} = \,\frac{{\sqrt {10} }}{{10}} \Rightarrow 10{c^2} = {a^2} + {c^2} + 100 \Rightarrow 9{c^2} = {a^2} + 100\) (2)

Từ (1) và (2) ta được \({c^2} = 100 \Rightarrow c = \pm 10;\,a = 20\sqrt 2 \).

Do đó: \[\left[ \begin{array}{l}A\left( {20\sqrt 2 ;\,0;\,10} \right);\,\,B\left( {20\sqrt 2 ;\,10;\,10} \right)\\A\left( {20\sqrt 2 ;\,0;\, - 10} \right);\,\,B\left( {20\sqrt 2 ;\,10;\, - 10} \right)\end{array} \right.\].

a) Điểm \(A\) có cao độ bằng \(10\) là sai.

b) Điểm \(B\) có hoành độ bằng \(2\sqrt 2 \) là sai.

c) Tọa độ của \(\overrightarrow {OA} \) là \(\left( {20\sqrt 2 ;0;10} \right)\) là sai.

d) Tọa độ của \(\overrightarrow {OB} \) là \(\left( {10\sqrt 2 ;10;10} \right)\) là sai.

Gọi biến cố A: “An làm đúng mỗi câu đề ôn tập ở mức độ dễ” \( \Rightarrow P(A) = 0,8\).

Biến cố B: “An làm đúng mỗi câu đề ôn tập ở mức độ trung bình” \( \Rightarrow P(B) = 0,6\).

Biến cố C: “An làm đúng mỗi câu đề ôn tập ở mức độ khó” \( \Rightarrow P(C) = 0,15\).

a) Sai. Xác suất để An làm ba câu thuộc ba loại và đúng cả ba câu là

\(P\left( {ABC} \right) = 0,8 \times 0,6 \times 0,15 = 0,072 = 7,2\% \).

b) Sai. Khi An làm 3 câu thuộc ba loại khác nhau. Xác suất để An làm đúng 2 trong số 3 câu là

\(P\left( {AB\overline C \cup A\overline B C \cup \overline A BC} \right) = 0,8 \times 0,6 \times 0,85 + 0,8 \times 0,4 \times 0,15 + 0,2 \times 0,6 \times 0,15 = 0,474\).

c) Đúng. Xác suất để An làm đúng 3 câu đủ ba loại là \(0,072\).

Xác suất để An làm sai 3 câu ở mức độ trung bình là \(0,4 \times 0,4 \times 0,4 = 0,064 < 0,072\).

                 d) Sai. An làm 5 câu và đạt đúng 2 điểm khi An làm 3 câu khó và 2 câu trung bình khi đó xác suất xảy ra của An bằng \({(0,15)^3} \times {(0,6)^2} = \frac{{243}}{{200000}} < 0,2\% \)

Đáp số: 56.

Ta có \(\overrightarrow {SA} = \left( { - 2;0; - 4} \right),\,\,\overrightarrow {SB} = \left( {1;\sqrt 3 ; - 4} \right),\,\,\overrightarrow {SC} = \left( {1; - \sqrt 3 ; - 4} \right)\).

Khi đó ta có \(\left| {\overrightarrow {SA} } \right| = \left| {\overrightarrow {SB} } \right| = \left| {\overrightarrow {SC} } \right| = 2\sqrt 5 \).

Do đó tồn tại hằng số \(k\) sao cho \(\overrightarrow {{F_1}} = k\overrightarrow {SA} ,\,\,\overrightarrow {{F_2}} = k\overrightarrow {SB} ,\,\,\overrightarrow {{F_3}} = k\overrightarrow {SB} \)

Theo đầu bài ta có \(\left| {\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_3}} } \right| = \left| {\overrightarrow P } \right| \Rightarrow \left| {k\left( {\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SC} } \right)} \right| = 24\)

Gọi \(K\) là trọng tâm tam giác \(ABC\). Khi đó \(G\left( {0;0;0} \right)\) và \(\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SC} = 3\overrightarrow {SG} = \left( {0;0; - 12} \right)\).

Từ đó ta có \(\left| {k\left( {\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SC} } \right)} \right| = 24 \Rightarrow k\left| {3\overrightarrow {SG} } \right| = 24 \Rightarrow 12k = 24 \Leftrightarrow k = 2\)

Khi đó \(\overrightarrow {{F_1}} = 2\overrightarrow {SA} = \left( { - 4;0; - 8} \right),\,\,\overrightarrow {{F_2}} = 2\overrightarrow {SB} = \left( {2;2\sqrt 3 ; - 8} \right)\).

Vậy \(\overrightarrow {{F_1}} .\overrightarrow {{F_2}} = 56\).

Đáp án: \(41\).

Đổi: 1 tấn = 1000 kg.

Ở bài toán này, ta chia rau bán ra làm 2 loại: rau chính và rau thừa (để làm thức ăn chăn nuôi).

Giá khởi điểm là 30 nghìn đồng/kg rau chính.

Sau \(n\) lần tăng 1 nghìn đồng, giá bán rau chính là: \(30 + n\) (nghìn đồng/kg) với \(n \in \mathbb{N}\).

Sau \(n\) lần tăng 1 nghìn đồng, lượng rau thừa là: \(20n\) (kg).

Khi đó, lượng rau chính bán ra là: \(1\,000 - 20n\) (kg).

Tổng số tiền trang trại thu được trong một ngày bao gồm tiền bán rau chính và tiền bán rau thừa được tính như sau: \(f\left( n \right) = \left( {30 + n} \right).\left( {1000 - 20n} \right) + 2.20n\)

hay \(f\left( n \right) = - 20{n^2} + 440n + 30000\) với \(n \in \mathbb{N}\).

Ta có: \(f\left( n \right) = - 20{n^2} + 440n + 30000 = - 20{\left( {n - 11} \right)^2} + 32420 \le 32420,\,\,\forall n \in \mathbb{N}\).

\( \Rightarrow Max\,\,f\left( n \right) = f\left( {11} \right) = 32420\).

Vậy để mỗi ngày thu được số tiền bán rau lớn nhất thì trang trại đó nên bán rau với giá:    \(30 + 11 = 41\) (nghìn đồng/kg).

Đáp án: 2550.

Giả sử ba tấm thẻ lấy ra có số ghi là \(a,b,c\) theo thứ tự tăng dần (\(a < b < c\)).

Để ba số này lập thành một cấp số cộng, ta phải có tính chất: \(a + c = 2b\)

Điều này có nghĩa là tổng của số đầu \(a\) và số cuối \(c\) phải là một số chẵn (vì \(2b\) luôn chẵn).

Để tổng \((a + c)\) là số chẵn, thì \(a\) và \(c\) phải cùng tính chẵn lẻ (tức là cùng là số chẵn hoặc cùng là số lẻ).

Nhận xét quan trọng: Khi bạn chọn được 2 số đầu và cuối (\(a\) và \(c\)) có cùng tính chẵn lẻ, thì số ở giữa (\(b = \frac{{a + c}}{2}\)) sẽ là duy nhất và chắc chắn là số nguyên nằm giữa \(a\) và \(c\).

\( \Rightarrow \) Bài toán quy về việc: Chọn ngẫu nhiên 2 tấm thẻ từ tập hợp sao cho 2 tấm đó cùng chẵn hoặc cùng lẻ.

Tập hợp \(S = \{ 1,2,3,...,102\} \) có 102 phần tử.

Số lượng số lẻ là: \(\{ 1,3,5,...,101\} \). Số lượng = \(\frac{{101 - 1}}{2} + 1 = 51\) số.

Số lượng số chẵn là: \(\{ 2,4,6,...,102\} \). Số lượng = \(\frac{{102 - 2}}{2} + 1 = 51\) số.

Để có 3 số lập thành cấp số cộng, ta cần chọn 2 số đầu cuối \(a,c\) từ cùng một nhóm (chẵn hoặc lẻ):

+ Trường hợp 1: Chọn 2 số đều là số lẻ.

Số cách chọn 2 số từ 51 số lẻ là tổ hợp chập 2 của 51: \(C_{51}^2 = \frac{{51.50}}{2} = 1275{\rm{ (c\'a ch)}}\).

(Ví dụ: Chọn 1 và 5 thì số ở giữa chắc chắn là 3. Bộ là 1, 3, 5)

+ Trường hợp 2: Chọn 2 số đều là số chẵn.

Số cách chọn 2 số từ 51 số chẵn là tổ hợp chập 2 của 51: \(C_{51}^2 = \frac{{51.50}}{2} = 1275{\rm{ (c\'a ch)}}\).

(Ví dụ: Chọn 2 và 10 thì số ở giữa chắc chắn là 6. Bộ là 2, 6, 10)

Bước 3: Tổng hợp kết quả.

Tổng số cách lấy được ba tấm thẻ lập thành cấp số cộng là:

1275 + 1275 = 2550 cách

Đáp án: \(23,4\).

Xét hình chóp tam giác đều \(S.ABC\) trong đó \(S\)  là đỉnh của hình lập phương nằm bên trong ly nước và \(A,\,B,\,C\) là các điểm chung của hình lập phương với miệng ly; \(O\) là trọng tâm tam giác \(ABC\)và \(H\) là trung điểm \(BC\).

Đặt \(x\)(cm) là cạnh đáy hình chóp thì \(AO = \frac{2}{3}AH = \frac{2}{3} \cdot \frac{{x\sqrt 3 }}{2} = \frac{{x\sqrt 3 }}{3}\).

Vì hình chóp \[S.ABC\]có\[SA\], \[SB\], \[SC\]bằng nhau và đôi một vuông góc tại đỉnh \[S\] nên độ dài cạnh \(SA = SB = SC = \frac{x}{{\sqrt 2 }}\).

Từ đó suy ra \(SO = \sqrt {S{A^2} - O{A^2}} = \sqrt {\frac{{{x^2}}}{2} - \frac{{{x^2}}}{3}} = \frac{{x\sqrt 6 }}{6}\).

Theo giả thiết thì chiều cao hình chóp S.ABC bằng \(\frac{1}{3}\) chiều cao ly nước: \(SO = \frac{1}{3}.9 = 3\)(cm).

Suy ra chiều dài cạnh đáy của hình chóp: \(\frac{{x\sqrt 6 }}{6} = 3 \Rightarrow x = 3\sqrt 6 \)(cm).

Vậy thể tích nước tràn ra bằng với thể tích khối chóp \(S.ABC\).

Thể tích đó là: \(V = \frac{1}{3}SO.{S_{ABC}} = \frac{1}{3}.3.\frac{{{{\left( {3\sqrt 6 } \right)}^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{27\sqrt 3 }}{2} \approx 23,4\)(cm3).

Đáp án: 0,45.

Xét các biến cố \(A\): “lấy được viên bi đỏ của hộp I”.

\(B\): “lấy được viên bi đỏ của hộp II”.

\(C\): “lấy được viên bi đỏ của hộp III”.

Xác suất lấy được viên bi đỏ của hộp I: \(P\left( A \right) = \frac{a}{{a + 2}}\).

Xác suất lấy được viên bi đỏ của hộp II: \(P\left( B \right) = \frac{b}{{b + 3}}\).

Xác suất lấy được viên bi đỏ của hộp III: \(P\left( C \right) = \frac{6}{{6 + 4}} = 0,6\).

Gọi biến cố \(D\): “lấy ra ít nhất một viên bi đỏ” \( \Rightarrow \overline D \): “lấy ra được 3 viên bi xanh”.

\( \Rightarrow P\left( {\overline D } \right) = 1 - P\left( D \right) = 0,024\)

\( \Leftrightarrow \frac{2}{{a + 2}}.\frac{3}{{b + 3}}.\frac{4}{{10}} = 0,024 \Leftrightarrow \left( {a + 2} \right)\left( {b + 3} \right) = 100\)(1).

Xác suất lấy được cả 3 viên bi đỏ \(P\left( A \right).P\left( B \right).P\left( C \right) = 0,336 \Leftrightarrow \frac{a}{{a + 2}}.\frac{b}{{b + 3}}.0,6 = 0,336\).

\( \Leftrightarrow ab = 56\) (2)

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 8\\b = 7\end{array} \right.\) (vì \(a,b\) là số nguyên).

Xác suất lấy được đúng 2 viên đỏ:

\(P\left( A \right).P\left( B \right).P\left( {\overline C } \right) + P\left( A \right).P\left( {\overline B } \right).P\left( C \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( B \right).P\left( C \right)\)

                                                        \( = 0,8.0,7.0,4 + 0,8.0,3.0,6 + 0,2.0,7.0,6 = 0,452 \simeq 0,45\).