Đề thi thử Tốt nghiệp THPT Toán 2025-2026 THCS-THPT Nguyễn Khuyến - Lê Thánh Tông (TP.HCM) lần 1 có đáp án

Chọn A

Ta có: \(\left( {SD;BC} \right) = \left( {SD;AD} \right) = \widehat {ADS}\).

Suy ra: \(\tan \widehat {SDA} = \frac{{SA}}{{DA}} = \frac{a}{{a\sqrt 3 }} = \frac{1}{{\sqrt 3 }} \Rightarrow \widehat {SDA} = 30^\circ  \Rightarrow \left( {SD;AD} \right) = 30^\circ  \Rightarrow \left( {SD;BC} \right) = 30^\circ \).

Chọn C

Vì (Q) song song với (P) nên \[{\overrightarrow n _{_P}} = {\overrightarrow n _{_Q}} = (2; - 1;1)\]

\[(Q):\left\{ \begin{array}{l}{\overrightarrow n _{_Q}} = (2; - 1;1)\\A = (1; - 1;3)\end{array} \right.\]

\[{\overrightarrow n _{_P}} = {\overrightarrow n _{_Q}} = (2; - 1;1)\]

Chọn B

Tổng số học sinh: \[N = 3 + 8 + 7 + 12 + 7 + 1 + 1 = 39\]

Ta có: \[({Q_1}):\frac{N}{4} = \frac{{39}}{4} = 9,75\].

Vị trí tứ phân vị 9,75 thuộc nhóm \[{\rm{[}}4;5)\]

Suy ra:

\[\begin{array}{l}{Q_1} = L + \frac{{\frac{N}{4} - {C_{k - 1}}}}{{{f_k}}}.h\\{Q_1} = 4 + \frac{{9,75 - 3}}{8}.1\\{Q_1} = 4,84375\\{Q_1} \approx 4,84\end{array}\]

Chọn a) Đúng | b) Sai | c) Sai | d) Đúng.

a)  Lớp 12A có 28 học sinh có điểm trung bình môn Toán cuối năm từ 8 trở lên.

Vậy a) đúng.

b) Điểm trung bình của lớp 12A: \(\overline {{x_A}}  = \frac{1}{{40}}\left( {5,5.1 + 6,5.0 + 7,5.11 + 8,5.22 + 9,5.6} \right) = 8,3\).

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm của lớp 12A:

\({s_A} = \sqrt {{s_A}^2}  = \sqrt {\frac{1}{{40}}\left( {1.5,{5^2} + 0.6,{5^2} + 11.7,{5^2} + 22.8,{5^2} + 6.9,{5^2}} \right) - 8,{3^2}}  \approx 0,78\).

Vậy b) sai.

c)

Điểm trung bình của lớp 12A: \(\overline {{x_A}}  = \frac{1}{{40}}\left( {5,5.1 + 6,5.0 + 7,5.11 + 8,5.22 + 9,5.6} \right) = 8,3\).

Điểm trung bình của lớp 12B: \(\overline {{x_B}}  = \frac{1}{{40}}\left( {5,5.0 + 6,5.6 + 7,5.8 + 8,5.14 + 9,5.12} \right) = 8,3\).

Suy ra \(\overline {{x_A}}  = \overline {{x_B}} \)

Vậy c) sai.

d) Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm của lớp 12A:

\({s_A} = \sqrt {{S_A}^2}  = \sqrt {\frac{1}{{40}}\left( {1.5,{5^2} + 0.6,{5^2} + 11.7,{5^2} + 22.8,{5^2} + 6.9,{5^2}} \right) - 8,{3^2}}  \approx 0,78\)

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm của lớp 12B:

\[{s_B} = \sqrt {S_B^2}  = \sqrt {\frac{1}{{40}}\left( {0.5,{5^2} + 6.6,{5^2} + 8.7,{5^2} + 14.8,{5^2} + 12.9,{5^2}} \right) - 8,{3^2}}  \approx 1,03\]

Ta thấy độ lệch chuẩn ở mẫu số liệu lớp 12A nhỏ hơn độ lệch chuẩn của mẫu số liệu lớp 12B. Do đó lớp 12A có điểm trung bình môn toán cuối năm ít phân tán hơn hơn lớp 12B.

Vậy d) đúng.

Chọn a) Đúng | b) Đúng | c) Sai | d) Đúng.

a)  Ta có: \[{x^2} - 4x + 5 > 0\] với \[\forall x \in \mathbb{R}\] nên hàm số đã cho có tập xác định là \[D = \mathbb{R}\].

b) \[y' = \frac{{2x - 4}}{{\left( {{x^2} - 4x + 5} \right)\ln 2}}\].

\[y' = 0 \Leftrightarrow x = 2\].

Vì \[\left( {{x^2} - 4x + 5} \right)\ln 2 > 0\] với \[\forall x \in \mathbb{R}\]nên:

Với \[x < 2\] thì \[y' < 0\] và \[x > 2\] thì \[y' > 0\] nên hàm số đã cho đạt cực tiểu tại điểm \[x = 2\].

c) Ta có:

\[y\left( 2 \right) = 0\].

\[y\left( 1 \right) = 1\].

\[y\left( {10} \right) = {\log _2}65 > 6\].

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn \[\left[ {1;10} \right]\] bằng \[{\log _2}65\].

d) \[d:y - 1 = 0 \Leftrightarrow y = 1\].

Xét phương trình: \[{\log _2}\left( {{x^2} - 4x + 5} \right) = 1 \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 5 = 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\\x = 1\end{array} \right.\]

\[ \Rightarrow A\left( {3;1} \right)\], \[B\left( {1;1} \right)\].

Điểm cực tiểu của \[\left( H \right)\] là \[M\left( {2;0} \right)\].

Ta có:

\[\overrightarrow {MA}  = \left( {1;1} \right)\].

\[\overrightarrow {MB}  = \left( { - 1;1} \right)\].

Vì \[\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB}  = 0\] nên tam giác \[AMB\]vuông tại \[M\].

Chọn a) Sai | b) Đúng | c) Đúng | d) Đúng.

Gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ .

Khi đó ta có tọa độ các điểm:

\(O\left( {0;0;0} \right),A(3;0;0)\),\(C(0\,;6\,;0),G(0\,;0\,;3),B(3\,;6\,;0),D\left( {3\,;0\,;3} \right),E(3\,;6\,;3),F\left( {0\,;6\,;3} \right)\)

a) Ta có \(\overrightarrow {FA}  = \left( {3; - 6; - 3} \right).\)

Vậy a) sai.

b) \(M\) là trọng tâm tam giác \(DGF\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_M} = \frac{{3 + 0 + 0}}{3} = 1\\{y_M} = \frac{{0 + 0 + 6}}{3} = 2\\{z_M} = \frac{{3 + 3 + 3}}{3} = 3\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {1;2;3} \right).\).

Vậy b) đúng.

c) Mũi khoan nằm trên đường thẳng đi qua điểm \(M\left( {1;2;3} \right)\) nhận vectơ \(\overrightarrow {FA}  = \left( {3; - 6; - 3} \right) = 3\left( {1; - 2; - 1} \right)\) làm vectơ chỉ phương.

Phương trình đường thẳng chứa mũi khoan là: \(d:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{{ - 2}} = \frac{{z - 3}}{{ - 1}}.\)

Vậy c) đúng.

d) Gọi \(N = d \cap (Oxz)\).

Phương trình mặt phẳng \(\left( {Oxz} \right):y = 0\).

Phương trình tham số của đường thẳng chứa mũi khoan là : \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2 - 2t\\z = 3 - t\end{array} \right..\)

Ta có \(y = 2 - 2t = 0 \Leftrightarrow t = 1 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\z = 2\end{array} \right. \Rightarrow N\left( {2;0;2} \right)\).

Chiều dài tối thiểu của mũi khoan là:\(l \ge 10MN = 10\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {{( - 1)}^2}}  \approx 24\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\).

Vậy d) sai.

Ta có: \(F\left( x \right) = \int {\left( { - {x^3} + 12x} \right)} dx =  - \frac{1}{4}{x^4} + 6{x^2} + C\).

Vì  \(F\left( 0 \right) = 2\) nên ta có: \(C = 2\).

Suy ra:

a)  \(F\left( 3 \right) - F\left( 1 \right) = \left( { - \frac{1}{4}{{.3}^4} + {{6.3}^2} + 2} \right) - \left( { - \frac{1}{4}{{.1}^4} + {{6.1}^2} + 2} \right) = 28\). Vậy a) đúng.

b)  Với \(C = 2\), ta có: \(F\left( x \right) =  - \frac{1}{4}{x^4} + 6{x^2} + 2\). Vậy b) đúng.

c) Ta có \(f'\left( x \right) =  - 3{x^2} + 12\).

Nếu \(\int\limits_2^4 {k.f'\left( x \right)} dx = 5\) thì \(k.\left. {\left( { - {x^3} + 12x} \right)} \right|_2^4 = 5 \Leftrightarrow k.\left( { - {4^3} + 12.4 + {2^3} - 12.2} \right) = 5 \Leftrightarrow k =  - \frac{5}{{32}} \in \left( { - \frac{3}{{16}};\frac{1}{4}} \right)\). Vậy c) đúng.

d)  Ta có \(F'\left( x \right) = f\left( x \right) =  - {x^3} + 12x;F'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x =  - 2\sqrt 3 \\x = 2\sqrt 3 \end{array} \right.\). Suy ra hàm số có 3 điểm cực trị.

Vậy d) sai.

Đáp án: 0,92.

Chọn hệ trục tọa độ \(Oxyz\) như hình vẽ.

Ta tìm được \(A'\left( {0;0;\sqrt 2 } \right)\), \(C\left( {1;0;0} \right)\).

\({x_B} = AH = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}\).

\({y_B} = BH = \frac{{AC\sqrt 3 }}{2} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).

Suy ra \(B\left( {\frac{1}{2};\frac{{\sqrt 3 }}{2};0} \right)\).

Do đó \(B'\left( {\frac{1}{2};\frac{{\sqrt 3 }}{2};1} \right)\) (Do \(B\) là hình chiếu của \(B'\) lên \(\left( {Oxy} \right)\)).

\(A'B\) đi qua điểm \(B\left( {\frac{1}{2};\frac{{\sqrt 3 }}{2};0} \right)\) và có 1 vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {A'B}  = \left( {\frac{1}{2};\frac{{\sqrt 3 }}{2}; - \sqrt 2 } \right)\).

\(B'C\) đi qua điểm \(C\left( {1;0;0} \right)\) và có 1 vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {B'C}  = \left( {\frac{1}{2}; - \frac{{\sqrt 3 }}{2}; - 1} \right)\).

\(d\left( {A'B,B'C} \right) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {A'B} ,\overrightarrow {B'C} } \right] \cdot \overrightarrow {BC} } \right|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow {A'B} ,\overrightarrow {B'C} } \right]} \right|}} \approx 0,92\).

Đáp án: 7900.

\[C(x) = \int {C'(x)d{\rm{x}} = } \int {(3{{\rm{x}}^2} - 4x + 10} )d{\rm{x}} = {{\rm{x}}^3} - 2{x^2} + 10x + C\]

Ta có \[C(0) = 500 \Rightarrow C = 500 \Rightarrow C(x) = {x^3} - 2{{\rm{x}}^2} + 10{\rm{x}} + 500\]

\[L(x) = 270{\rm{x}} - ({x^3} - 2{{\rm{x}}^2} + 10{\rm{x}} + 500) =  - {x^3} + 2{x^2} + 260{\rm{x}} - 500 \Rightarrow L'(x) =  - 3{{\rm{x}}^2} + 4{\rm{x}} + 260\].

\[L'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 10;x =  - \frac{{26}}{3}\]

Vì \[0 \le x \le 20\] nên có \[L(0) = 500;L(10) = 1400;L(20) = 7900\].

Vậy lợi nhuận tối đa là 7900 nghìn đồng.

Đáp án: 33

Minh họa lại và mở rộng mô hình như hình vẽ như dưới đây

Từ dữ kiện của bài toán ta có: \(\overrightarrow {BA}  = \left( { - 5; - 12;7} \right)\); \(\overrightarrow {BC}  = \left( {12; - 7; - 5} \right)\); \(\overrightarrow {AC}  = \left( {17;5; - 12} \right)\).

Suy ra: \(BA = BC = \sqrt {218} \;;\;AC = \sqrt {458} \). Có \(\Delta ABC\) cân tại \(B\) nên bán kính đường tròn ngoại tiếp của \(\Delta ABC\) là \(R = \frac{{B{C^2}}}{{2AH}} = \frac{{B{C^2}}}{{2\sqrt {B{A^2} - \frac{{A{C^2}}}{4}} }} = \frac{{218}}{{2\sqrt {218 - \frac{{458}}{4}} }} = \frac{{218}}{{3\sqrt {46} }}\).

Mặt khác \(\cos \left( {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BC} } \right) = \frac{{\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} }}{{\left| {\overrightarrow {BA} } \right|.\left| {\overrightarrow {BC} } \right|}} = \frac{{\left( { - 5} \right).12 + \left( { - 12} \right).\left( { - 7} \right) + 7.\left( { - 5} \right)}}{{\sqrt {{{\left( { - 5} \right)}^2} + {{\left( { - 12} \right)}^2} + {7^2}} .\sqrt {{{12}^2} + {{\left( { - 7} \right)}^2} + {{\left( { - 5} \right)}^2}} }} =  - \frac{{11}}{{218}}\).

Hay \(\cos B =  - \frac{{11}}{{218}}\). Suy ra \(B \approx 1,6213\;\left( {{\rm{rad}}} \right)\).

Vì cung lớn  có số đo \[2B\] nên cung nhỏ  có số đo là

\(\alpha  = 2\pi  - 2B \approx 2\pi  - 2 \cdot 1,6213\)\(\left( {{\rm{rad}}} \right)\).

Vậy máng trượt có độ dài là \(l = \alpha R \approx \left( {2\pi  - 2 \cdot 1,6213} \right).\frac{{218}}{{3\sqrt {46} }} \approx 32,5772\;\left( {\rm{m}} \right) \approx 33\left( {\rm{m}} \right)\).

Đáp án: 2932.

Khoảng cách giữa hai đường thẳng vuông góc với bờ biển lần lượt kẻ từ nhà và chợ là

\(l = \sqrt {{{1000}^2} - {{(1000 - 400)}^2}}  = 800{\rm{(m)}}{\rm{.}}\)

Vì đi dọc bờ biển một đoạn \(500{\rm{m}}\) nên ta thực hiện một phép tình tiến theo phương bờ biển một đoạn \(500{\rm{m}}{\rm{.}}\) Khi đó, nhà tại điểm \(A\) biến thành điểm \(A'.\)

Khi đó tổng đoạn đường ngắn nhất từ nhà đến chợ bỏ qua đoạn dọc bờ biển là

\(\begin{array}{l}AB + CD = A'C + CD = A'C + CD' = A'D' = \sqrt {A'{E^2} + E{{D'}^2}} \\ = \sqrt {{{300}^2} + {{1400}^2}}  = 100\sqrt {205} {\rm{m}}{\rm{.}}\end{array}\)

Vậy quãng đường ngắn nhất mà anh An chạy bộ mỗi sáng là

\(AB + BC + CD + DA = A'D' + BC + DA = 100\sqrt {205}  + 500 + 1000 \approx 2932{\rm{m}}\).

Đáp án:0,50.

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là đa giác \(ABCD\)

với \(A\left( { - 5;15} \right),B\left( { - 30; - 10} \right),C\left( {10; - 10} \right),D\left( {10;0} \right)\).

\(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 25; - 25} \right),\overrightarrow {AD}  = \left( {15; - 15} \right) \Rightarrow {S_{ABD}} = \frac{1}{2}\left| { - 25.( - 15) + 15.25} \right| = 375\).

\({S_{BCD}} = \frac{1}{2}BC.CD = \frac{1}{2}40.10 = 200\).

Diện tích đa giác \(ABCD\): \({S_X} = {S_{ABD}} + {S_{BCD}} = 575\).

Diện tích phần giao hàng miễn phí: \({S_A} = \frac{3}{4}\pi {r^2} + \frac{1}{2}10.10 = 75\pi  + 50\).

Xác suất: \(P\left( A \right) = \frac{{{S_A}}}{{{S_X}}} = 0,4967 \simeq 0,50\).

Đáp án: 3,92.

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = \left( {18;1;2} \right) \Rightarrow AB = \sqrt {{{18}^2} + {1^2} + {2^2}}  = \sqrt {329} \).

Gọi \(M = \Delta  \cap \left( {Oxy} \right) \Rightarrow {z_M} = 1 + {t_M} = 0 \Leftrightarrow {t_M} =  - 1 \Rightarrow M\left( {41;31;0} \right)\).

Nên \(\overrightarrow {AM}  = \left( {40;30;0} \right) \Rightarrow AM = \sqrt {{{40}^2} + {{30}^2} + {0^2}}  = 50\).

Gọi  là góc giữa đường thẳng \(\Delta \) và mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\):

\(\sin \alpha  = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{u_\Delta }} ,\overrightarrow k } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {{u_\Delta }} .\overrightarrow k } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_\Delta }} } \right|.\left| {\overrightarrow k } \right|}} = \frac{{\left| {3 \times 0 + 4 \times 0 - 1 \times 1} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2} + {1^2}}  \times \sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} }} = \frac{{\sqrt {26} }}{{26}}\).

Tích có hướng giữa hai vectơ \[\overrightarrow {AB} \] và \[\overrightarrow {AM} \]:

\[\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AM} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&2\\{30}&0\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&{18}\\0&{40}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{18}&1\\{40}&{30}\end{array}} \right|} \right) = \left( { - 60;80;500} \right)\].

Khoảng cách từ điểm \(B\) đến đường thẳng \(AM\):

\[d\left( {B,AM} \right) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AM} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {AM} } \right|}} = \frac{{\sqrt {{{\left( { - 60} \right)}^2} + {{80}^2} + {{500}^2}} }}{{\sqrt {{{40}^2} + {{30}^2} + {0^2}} }} = 2\sqrt {26} \].

Xét hệ trục mới \[{O_1}{x_1}{y_1}\] với \[{O_1} \equiv A\], \[{O_1}{x_1} \bot \Delta \] và \[{O_1}{y_1}\,{\rm{//}}\,\Delta \].

Parabol \[\left( P \right)\] qua hai điểm \[{O_1}\left( {0;0} \right)\] và \[N\left( {100;0} \right)\]

\[ \Rightarrow \left( P \right):y = ax\left( {x - 100} \right) \Leftrightarrow y = a{x^2} - 100ax\]\[\left( {a \ne 0} \right)\].

Độ cao lớn nhất \(h\) cần tính: \[h = \left| {{y_E}} \right|.\sin \alpha \] với \[E\] là đỉnh của \[\left( P \right)\].

Lại có: \({x_E} = 50 \Rightarrow {y_E} = a \times {50^2} - 100 \times a \times 50 =  - 2500a\).

Trong mặt phẳng \[\left( {{O_1}{x_1}{y_1}} \right)\], điểm \[{B_1}\] tương ứng của điểm \[B\] có tọa độ:

\[\left\{ \begin{array}{l}{y_{{B_1}}} = d\left( {B,AM} \right) = 2\sqrt {26} \\{x_{{B_1}}} = \sqrt {A{B^2} - {d^2}\left( {B,AM} \right)}  = \sqrt {329 - 104}  = 15\end{array} \right. \Rightarrow {B_1}\left( {15;2\sqrt {26} } \right)\].

Điểm \[{B_1} \in \left( P \right) \Rightarrow 2\sqrt {26}  = a \times 225 - 100 \times a \times 15 \Leftrightarrow a =  - \frac{{2\sqrt {26} }}{{1275}}\].

Do đó: \[{y_E} = \left( { - 2500} \right) \times \left( { - \frac{{2\sqrt {26} }}{{1275}}} \right) = \frac{{200\sqrt {26} }}{{51}}\].

Vậy \[h = \frac{{200\sqrt {26} }}{{51}} \times \frac{{\sqrt {26} }}{{26}} = \frac{{200}}{{51}} \approx 3,92\] (mét).