Đề thi thử Tốt nghiệp THPT Toán 2025-2026 Sở Quảng Ninh có đáp án

Chọn C

Xét từng dãy số

Dãy số I) thì \({u_1} = 10,{u_2} =  - 2,{u_3} =  - 14,{u_4} =  - 26,{u_5} =  - 38\)\( \Rightarrow d =  - 12\). Đây là một cấp số cộng.

Dãy số II) có \({u_1} = \frac{1}{2},{u_2} = \frac{5}{4},{u_3} = 2,{u_4} = \frac{{11}}{4},{u_5} = \frac{7}{2}\)\( \Rightarrow d = \frac{3}{4}\). Đây là một cấp số cộng.

Dãy số III) có \(\sqrt 2  - \sqrt 1  \ne \sqrt 3  - \sqrt 2 \) nên đây không là cấp số cộng.

Dãy số \({u_1} = 1,{u_2} = 4,{u_3} = 7,{u_4} = 10,{u_5} = 15\)\( \Rightarrow d = 3\). Đây là một cấp số cộng.

Chọn D

Ta có \(\sin x = 0 \Leftrightarrow x = k\pi ,k \in \mathbb{Z}\).

Chọn C

Ta có \({\log _2}\left( {16a} \right) - {\log _2}a = {\log _2}16 = 4\).

Chọn A

Ta có \(V = \frac{1}{3}SA \cdot \left( {\frac{1}{2}BA \cdot BC} \right) = \frac{1}{6} \cdot a\sqrt 3  \cdot a \cdot a\sqrt 3  = \frac{{{a^3}}}{2}\).

Chọn B

\(\overrightarrow {SA}  + \overrightarrow {SB}  = \overrightarrow {SC}  + \overrightarrow {SD}  \Leftrightarrow \overrightarrow {SA}  - \overrightarrow {SD}  = \overrightarrow {SC}  - \overrightarrow {SB}  \Leftrightarrow \overrightarrow {DA}  = \overrightarrow {BC} \), SAI vì \(\overrightarrow {DA} ,\overrightarrow {BC} \) đối nhau.

Chọn D

Chọn B

\(y' = f'(x) = 3{x^2} - 6x - 9 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 1\\x = 3\end{array} \right.\)

Ta có bảng biến thiên:

Hàm số \(y = f(x) = {x^3} - 3{x^2} - 9x + 7\) có cực đại là \({y_{CD}} = 12\).

Chọn B

Áp dụng công thức: \(\int {{a^x}{\rm{dx}}}  = \frac{{{a^x}}}{{\ln a}} + C\).

Chọn A

Ta có: \[n = 4 + 5 + 6 + 25 + 10 = 50\]

\[\frac{n}{2} = 25\].

Sắp xếp các só liệu trên theo thứ tự không giảm. Khi đó trung vị của mẫu số liệu trên bằng \[\frac{{{x_{25}} + {x_{26}}}}{2}\]. Mà \[{x_{25}}\]; \[{x_{26}}\] thuộc nhóm \[\left[ {6;8} \right)\]nên trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên thuộc nhóm \[\left[ {6;8} \right)\].

Chọn A

Mặt phẳng \[\left( {Oxz} \right)\] có phương trình là \[y = 0\].

Chọn C

Điểm \[P\left( {2;1 - 1} \right)\] thuộc đường thẳng \[d\] vì \[\frac{{2 - 2}}{1} = \frac{{1 - 1}}{{ - 2}} = \frac{{ - 1 + 1}}{3} = 0\].

Chọn B

Mặt cầu \[\left( S \right)\] có đường kính bằng \[8\] nên có bán kính bằng \[4\]. Do đó phương trình mặt cầu \[\left( S \right)\] là \[\left( S \right):{\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {z^2} = 16\].

a) Đồ thị hàm số \(f(x)\)đi qua điểm \((4;0)\)

Thay \(x = 4;y = 0\)vào ta có:

Vậy: Đồ thị hàm số \(f(x)\)đi qua điểm \((4;0)\)\( \Rightarrow a)\)Đúng

b) Đồ thị hàm số \(f(x)\)có đường tiệm cận xiên là đường thẳng\(y = x - 1\).

Ta có: \(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{f(x)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{{x^2} - x - 12}}{{x(x - 2)}} = 1\)

           \(b = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } (f(x) - x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } (\frac{{{x^2} - x - 12}}{{x - 2}} - x) = 1\)

Vậy: Đồ thị hàm số \(f(x)\)có đường tiệm cận xiên là đường thẳng\(y = x + 1 \Rightarrow b)\)Sai.

c) Đồ thị hàm số \(f(x)\)có tâm đối xứng là điểm \(I(2;3)\)

Ta có: Đồ thị hàm số \(f(x)\)có tiệm cận đứng là \(x = 2\); Tiệm cận xiên là: \(y = x + 1\)

Giao điểm của TCĐ và TCX là nghiệm của hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = x + 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 3\end{array} \right. \Rightarrow I(2;3)\)

Vậy: Đồ thị hàm số \(f(x)\)có tâm đối xứng là điểm \(I(2;3) \Rightarrow c)\)Đúng

d) Phương trình đường tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(f(x)\)tại điểm \(x = 3\)có dạng\(y = mx + n\), giá trị \(m - n\) bằng\(50\).

Ta có: \(x = 3 \Rightarrow y = \frac{{{3^2} - 3 - 12}}{{3 - 2}} =  - 6\)

Mặt khác:

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: \(y = 11(x - 3) - 6 = 11x - 39\)

Khi đó: \(m = 11;n =  - 39\)\( \Rightarrow m - n = 11 - ( - 39) = 50 \Rightarrow d)\)Đúng

a) \(E\left( t \right) = \int {\left( {A + {e^{ - 0,4t}}} \right){\rm{dt}}}  = At - \frac{5}{2}{e^{ - 0,4t}} + C\). Suy ra là mệnh đề đúng.

b) Ta có \(E\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow C = \frac{5}{2} \Rightarrow \)\(E\left( t \right) = At - \frac{5}{2}{e^{ - 0,4t}} + \frac{5}{2}\)

\(E\left( 8 \right) = 120 \Rightarrow 8A - \frac{5}{2}{e^{ - 0,4.8}} + \frac{5}{2} = 120 \Rightarrow A \approx 15\). Suy ra là mệnh đề sai.

c) \(E\left( 4 \right) = 15.4 - \frac{5}{2}{e^{ - 0,4.4}} + 2,5 \approx 62 < 65\). Suy ra là mệnh đề sai.

d) \(\overline v  = \frac{{E\left( 8 \right) - E\left( 4 \right)}}{{8 - 4}} \approx 14,8\). Suy ra là mệnh đề sai.

* Phân tích bài toán:

Gọi \(A\) là biến cố: "Thí sinh được chọn là nữ". Suy ra \(\bar A\) là biến cố: "Thí sinh được chọn là nam".

Gọi \(B\) là biến cố: "Thí sinh vượt qua bài kiểm tra". Suy ra \(\bar B\) là biến cố: "Thí sinh không vượt qua bài kiểm tra".

Theo đề bài, ta có:

\(P\,\left( A \right) = 55\,\%  = 0,55\)

\(P\,\left( {B|A} \right) = 80\,\%  = 0,8\) (xác suất nữ vượt qua bài kiểm tra)

\(P\,\left( {\bar B|\bar A} \right) = 25\,\%  = 0,25\) (xác suất nam không vượt qua bài kiểm tra)

Ta có sơ đồ cây như sau:

a) Xác suất để thí sinh được chọn là nam là \(P\,\left( {\overline A } \right) = 0,45\). Suy ra (a) đúng.

b) Xác suất để thí sinh được chọn vượt qua bài kiểm tra, biết rằng thí sinh đó là nam, là

\(P\,\left( {B|\overline A } \right) = 1 - 25\%  = 0,75.\) Suy ra (b) đúng.

c) Xác suất để thí sinh được chọn vượt qua bài kiểm tra:

\(P\,\left( B \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( {B|\overline A } \right) = 0,55.0,8 + 0,45.0,75 = 0,7775 = 77,75\,\% \)

Suy ra (c) sai.

d) Xác suất để thí sinh được chọn là nữ, biết rằng thí sinh đó không vượt qua bài kiểm tra

Ta có:

\(P\,\left( {A|\overline B } \right) = \frac{{P\,\left( A \right).P\,\left( {\overline B |A} \right)}}{{P\,\left( {\overline B } \right)}} = \frac{{0,55.0,2}}{{0,55.0,2 + 0,45.0,25}} = \frac{{44}}{{89}} \approx 0,4944 > 0,45\).

Suy ra (d) sai.

a) Đúng

Đường thẳng \[AB\] có một vectơ chỉ phương là \[\overrightarrow {AB}  = \left( { - 1;4; - 0,6} \right)\] và đi qua điểm \[A\left( {3; - 1;0,6} \right)\] nên có phương trình: \[\left\{ \begin{array}{l}x = 3 - t\\y =  - 1 + 4t\\z = 0,6 - 0,6t\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\].

b) Đúng

Máy bay cách mặt đất \[120m\] tức là \[{z_D} = 0,12\] suy ra \[0,6 - 0,6t = 0,12 \Leftrightarrow t = 0,8\].

Do đó \[D\left( {2,2;2,2;0,12} \right)\].

c) Đúng

Phương trình mặt phẳng \[\left( \alpha  \right)\] là \[\frac{x}{7} + \frac{y}{{ - 7}} + \frac{z}{{0,9}} = 1\].

Gọi giao điểm của \[AB\] và \[\left( \alpha  \right)\] là \[C\left( {3 - t; - 1 + 4t;0,6 - 0,6t} \right)\] suy ra

\[\frac{{3 - t}}{7} + \frac{{ - 1 + 4t}}{{ - 7}} + \frac{{0,6 - 0,6t}}{{0,9}} = 1\].

Giải phương trình trên thu được \[t = \frac{5}{{29}}\] suy ra \[C\left( {\frac{{82}}{{29}};\frac{{ - 9}}{{29}};\frac{{72}}{{145}}} \right)\].

Khi đó độ cao của máy bay là \[\frac{{72}}{{145}} \approx 0,5\left( {km} \right)\].

d) Sai

Khi máy bay ở độ cao \[120m\] thì máy bay ở vị trí \[D\left( {2,2;2,2;0,12} \right)\].

\[DG = \left| {\overrightarrow {DG} } \right| = \sqrt {{{\left( {4 - 2,2} \right)}^2} + {{\left( {6 - 2,2} \right)}^2} + {{\left( {0 - 0,12} \right)}^2}}  \approx 4,2 > 1,5\] do đó người phi công không đạt được quy định an toàn bay.

Đáp án: 23,4.

Gọi \(I\) là trung điểm \(BC\), \(M\) là trung điểm của \(BI\), \(H\) là trung điểm \(AB\).

Ta có  \(BC \bot \left( {SHM} \right)\)

Suy ra góc phẳng nhị diện \(\left[ {S,BC,A} \right]\) là góc\(\widehat {SMH} = 60^\circ \)

Ta có \(HM = \frac{1}{2}AI = \frac{1}{2}.6\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{3\sqrt 3 }}{2}\).

\(\tan 60^\circ  = \frac{{SH}}{{HM}} \Rightarrow SH = HM.\tan 60^\circ  = \frac{{3\sqrt 3 }}{2}.\sqrt 3  = \frac{9}{2}\).

\({V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}.SH.{S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{3}.\frac{9}{2}{.6^2}.\frac{{\sqrt 3 }}{4} = \frac{{27\sqrt 3 }}{2} \approx 23,4\).

Đáp án: \[46\].                                                         

Đây là bài toán lãi kép có rút.

Số tiền gửi ban đầu là \[A = 1000\] triệu đồng, \[a = 0,6\% \] là lãi suất mỗi tháng, \[m = 25\] triệu là số tiền rút mỗi tháng. Tổng số tiền còn lại sau n tháng là \[{S_n} = A{\left( {1 + a} \right)^n} - m.\frac{{{{\left( {1 + a} \right)}^n} - 1}}{a}\]

\[{S_n} = 1000.{\left( {1,006} \right)^n} - 25.\frac{{{{\left( {1,006} \right)}^n} - 1}}{{0,006}} =  - \frac{{9500}}{3}.{\left( {1,006} \right)^n} + \frac{{12500}}{3}\].

Để anh Bình rút hết số tiền trong ngân hàng thì

\[{S_n} \le 0 \Leftrightarrow  - \frac{{9500}}{3}.{\left( {1,006} \right)^n} + \frac{{12500}}{3} \le 0 \Leftrightarrow n \ge {\log _{1,006}}\frac{{25}}{{19}} \approx 45,88\].

Vậy sau \[46\] tháng anh Bình rút hết tiền trong ngân hàng.

Đáp án: 85.

Ta có \[n\left( \Omega  \right) = {2^{14}}\]

TH1: 3 ô đỏ cùng 1 hàng.

Xét hàng 1:

Tô 4 ô đen. Khi đó giữa 4 ô đen có 5 khoảng trống. Ta chọn 3 khoảng trong 5 khoảng để tô 3 ô đỏ, có \[C_5^3\]cách.

Tương tự với hàng 2.

Vậy ta có \[2.C_5^3\] cách.

TH2: 3 ô đỏ ở 2 hàng, chẳng hạn:

Xét hàng 1: Tô 5 ô đen. Khi đó giữa 5 ô đen có 6 khoảng trống. Ta chọn 2 khoảng trong 6 khoảng để tô 2 ô đỏ, có \[C_6^2\]cách.

Xét hàng 2: các ô đối diện với 2 ô đỏ ở hàng 1 chỉ có thể tô đen. Vậy còn 5 chỗ trống để tô ô đỏ còn lại.

Vậy ta có \[5.C_6^2\] cách.

Hoán vị hàng 1 và hàng 2, ta có tất cả số cách tô màu ở TH2 là: \[2.5.C_6^2\] cách.

Vậy xác suất \[P = \frac{{2.C_5^3 + 2.C_5^3}}{{{2^{14}}}} = \frac{{85}}{{8192}} \Rightarrow 8192P = 85\].

Trả lời: 125.

Gọi \(x\) là số đơn vị sản phẩm được sản xuất (\(1 \le x \le 200\)).

Giá bán của mỗi đơn vị sản phẩm là \(f(x) = 435 - 2x\) (triệu đồng).

Tổng doanh thu khi sản xuất \(x\) đơn vị sản phẩm là: \(R(x) = x \cdot f(x) = 435x - 2{x^2}\)(triệu đồng).
Chi phí sản xuất bình quân cho một đơn vị sản phẩm là

\(g(x) = \frac{{0,7{x^2}}}{{125}} - 1,706x + 96,5 + \frac{{6375}}{x}\) (triệu đồng).

Tổng chi phí sản xuất khi sản xuất \(x\) đơn vị sản phẩm là:

\({C_P}(x) = x \cdot g(x) = \frac{{0,7{x^3}}}{{125}} - 1,706{x^2} + 96,5x + 6375\) (triệu đồng).

Mức thuế cho một đơn vị sản phẩm là \(2,5\) triệu đồng.

Tổng tiền thuế khi sản xuất \(x\) đơn vị sản phẩm là: \({C_T}(x) = 2,5x\) (triệu đồng).

Tổng chi phí (bao gồm chi phí sản xuất và thuế) khi sản xuất \(x\) đơn vị sản phẩm là:

\(C(x) = {C_P}(x) + {C_T}(x)\)\( = \frac{{0,7{x^3}}}{{125}} - 1,706{x^2} + 99x + 6375\) (triệu đồng).

Hàm lợi nhuận \(P(x)\) là hiệu giữa tổng doanh thu và tổng chi phí: \(P(x) = R(x) - C(x)\)

\( \Rightarrow P(x) =  - 0,0056{x^3} - 0,294{x^2} + 336x - 6375\).
Để tìm lợi nhuận lớn nhất, ta cần tìm giá trị lớn nhất của hàm \(P(x)\) trên đoạn \([1;200]\).

\(P'(x) =  - 0,0168{x^2} - 0,588x + 336\).
Cho \(P'(x) = 0\)\( \Rightarrow  - 0,0168{x^2} - 0,588x + 336 = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_1} \approx  - 160\\{x_2} \approx 125\end{array} \right.\). Vì \(x \ge 1\) nên \({x_2} \approx 125\) thỏa mãn.

Giá trị \(x = 125\) nằm trong đoạn \([1;200]\).

Tính giá trị của \(P(x)\) tại các điểm \(x = 1\), \(x = 125\), \(x = 200\):

\(P(1) =  - 0,0056{(1)^3} - 0,294{(1)^2} + 336(1) - 6375 \approx  - 6039,2996\).
\(P(125) =  - 0,0056{(125)^3} - 0,294{(125)^2} + 336(125) - 6375\)\( \approx 20093,75\).
\(P(200) =  - 0,0056{(200)^3} - 0,294{(200)^2} + 336(200) - 6375\)\( \approx 4265\).
So sánh các giá trị \(P(1)\), \(P(125)\), \(P(200)\), ta thấy giá trị lớn nhất là \(P(125) = 20093,75\).

Vậy, để lợi nhuận thu được lớn nhất, doanh nghiệp cần sản xuất \(125\) đơn vị sản phẩm.

Đáp án: 3679.

Ta xét hình trên trong hệ trục \(Oxy\) như hình vẽ

+) Xét parabol \((P):\,y = a{x^2} + b\) đia qua điểm \(P(0;5);\,\,A(18;9)\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 5\\{18^2}a + c = 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 5\\a = \frac{1}{{81}}\end{array} \right.\)\( \Rightarrow (P):\,\,y = \frac{{{x^2}}}{{81}} + 5\)

+) Đường thẳng \(AM:\,y = mx + n\) đi qua các điểm \(A(18;9);\,\,M(12;0)\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}12m + n = 0\\18m + n = 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = \frac{3}{2}\\n =  - 18\end{array} \right.\)\( \Rightarrow y = \frac{{3x}}{2} - 18\).

Thể tích khối tròn xoay cần tính là

\(V = 2\left[ {\pi \int\limits_0^{18} {{{\left( {\frac{{{x^2}}}{{81}} + 5} \right)}^2}dx + \pi \int\limits_{12}^{18} {{{\left( {\frac{{3x}}{2} - 18} \right)}^2}dx} } } \right]\)\( = \frac{{5856}}{5}\pi  \approx 3679\,\,\left( {c{m^3}} \right)\).

Đáp án: 6864.

Gọi ô ở trung tâm là \(y\) với điều kiện như sau:

- Phải có ít nhất 2 cặp số \((a,c)\)sao cho \(ac = {y^2}\).

- Các số \(a,c,y\) phân biệt, thuộc tập \(S = \{ 1, \ldots ,18\} \)

Các giá trị y thỏa mãn :

\[y = 4 \Rightarrow {y^2} = 16\].

Có 2 cặp số thỏa mãn\[\left\{ {1,{\rm{ }}16} \right\},{\rm{ }}\left\{ {2,{\rm{ }}8} \right\}\] . Số cách xếp: \[C_2^2 \times 2! \times {2^2} = 8\].

\[y = 6 \Rightarrow {y^2} = 36\].

Có 3 cặp số thỏa mãn \[\left\{ {2,{\rm{ }}18} \right\},{\rm{ }}\left\{ {3,{\rm{ }}12} \right\},{\rm{ }}\left\{ {4,{\rm{ }}9} \right\}.\]Số cách xếp: \[C_3^2 \times 2! \times {2^2} = 24\].

\[y = 12 \Rightarrow {y^2} = 144\].

Có 2 cặp số thỏa mãn \[\left\{ {8,{\rm{ }}18} \right\},{\rm{ }}\left\{ {9,{\rm{ }}16} \right\}\]. Số cách xếp: \[C_2^2 \times 2! \times {2^2} = 8\].

Suy ra tổng số cách xếp 2 đường chéo: \[8 + 24 + 8 = 40\]

Xếp \[13\] số vào \[4\] ô còn lại: \[A_{13}^4 = 17160\].

Vậy có tất cả \[40 \times 17160 = 686.400\] cách xếp thỏa yêu cầu .

\[ \Rightarrow \frac{T}{{100}} = 6864\].