Đề thi thử Tốt nghiệp THPT Toán 2025-2026 Sở Ninh Bình lần 1 có đáp án

Chọn A

Trung điểm \(M\) của đoạn thẳng \(AB\) có tọa độ: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_M} = \frac{{1 + 5}}{2} = 3\\{y_M} = \frac{{3 - 3}}{2} = 0\\{z_M} = \frac{{5 + 1}}{2} = 3\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {3;0;3} \right)\).

Từ bảng xét dấu đạo hàm, hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\).

Chọn D

Ta có: \(\overrightarrow u .\overrightarrow v  = 2 \times 1 + \left( { - 1} \right) \times 1 + \left( { - 2} \right) \times 3 =  - 5\).

Chọn C

Hàm số đã cho liên tục trên đoạn \(\left[ {0;3} \right]\). Ta có: \(y' = 3{x^2} - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1 \in \left[ {0;3} \right]\\x =  - 1 \notin \left[ {0;3} \right]\end{array} \right.\).

Xét trên đoạn \(\left[ {0;3} \right]\):

+ \(y\left( 0 \right) = {0^3} - 3 \times 0 + 2 = 2\);

+ \(y\left( 1 \right) = {1^3} - 3 \times 1 + 2 = 0\);

+ \(y\left( 3 \right) = {3^3} - 3 \times 3 + 2 = 20\).

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số \(y = {x^3} - 3x + 2\) trên đoạn \(\left[ {0;3} \right]\) bằng \(20\) tại \(x = 3\).

Chọn B

Hình chiếu vuông góc của điểm \(M\left( {2; - 1;3} \right)\) trên trục \(Oy\) là điểm có tọa độ \(\left( {0; - 1;0} \right)\).

Chọn A

Khoảng tứ phân vị \({\Delta _Q}\) của mẫu số liệu xác định bởi công thức \({\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1}\).

Chọn D

 Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ - }} f\left( x \right) =  - \infty  \Rightarrow \)Đường tiệm cận đứng: \(x =  - 1\).

Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f\left( x \right) = 0 \Rightarrow \)Tiệm cận ngang \(y = 0\).

Chọn C

Giá trị cực đại của hàm số đã cho là \(y = 2\).

Chọn B

Ta có \(y = \frac{{{x^2} + x - 3}}{{x + 1}} = x - \frac{3}{{x + 1}}\)

Do đó, \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {y - x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( { - \frac{3}{{x + 1}}} \right) = 0;\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {y - x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( { - \frac{3}{{x + 1}}} \right) = 0\)

Chọn A

Khoảng biến thiên \(R = {a_6} - {a_1} = 10\)

Chọn D

Ta có \(\vec w = 2\vec u - 3\vec v = \left( {1; - 3; - 8} \right) \Rightarrow \left| {\vec w} \right| = \sqrt {74} \)

Chọn B

Đồ thị hàm só có đường tiệm cận đứng là \(x = 1\) và đường tiệm cận ngang là \(y = 2\)

Do đó, đồ thị hàm số \(y = \frac{{2x + 3}}{{x - 1}}\) có tâm đối xứng là điểm \(P(1;2).\)

a) Từ đồ thị ta có trên khoảng \[\left( { - \infty ; - 2} \right)\] đồ thị hàm số \[f'\left( x \right)\] nằm phía trên trục \[Ox\] nên \[f'\left( x \right) > 0 \Rightarrow f\left( x \right)\] đồng biến trên \[\left( { - \infty ; - 2} \right)\]. Suy ra mện đề a) SAI

b) Từ đồ thị ta nhận thấy \[f'\left( x \right)\] đổi dấu 3 lần lên hàm số \[f\left( x \right)\] có ba điểm cực trị. Suy ra mệnh đề b) ĐÚNG.

c) Từ đồ thị ta có trên ta có bảng biến thiên

Từ BBT suy ra trên \[\left[ { - 2;2} \right]\] hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng \[f\left( 0 \right)\]. Suy ra mệnh đề c) ĐÚNG

d) Từ đồ thị ta có bảng biến thiên của hàm số \[f\left( x \right)\]

Vì \[f\left( x \right) > 0\] nên từ BBT suy ra đồ thị hàm số \[y = f\left( x \right)\] cắt trục \[Ox\] tối đa tại 2 điểm suy ra phương trình \[f\left( x \right) = 0\] có tối đa 2 nghiệm. Suy ra mệnh đề c) SAI

a) Hàm số có tập xác định là \(D = R\)

Sai vì hàm số có tập xác định là \(D = R\backslash \left\{ { - 1} \right\}\)

b) \(y' = \frac{{{x^2} - 2x}}{{{{(x + 1)}^2}}},\forall x \ne  - 1\)

Sai vì

\(y' = \frac{{({x^2} + x + 1)'(x + 1) - (x + 1)'({x^2} + x + 1)}}{{{{(x + 1)}^2}}} = \frac{{(2x + 1)(x + 1) - ({x^2} + x + 1)}}{{{{(x + 1)}^2}}} = \frac{{{x^2} + 2x}}{{{{(x + 1)}^2}}}\)

c) Hàm số có bảng biến thiên như sau:

Đúng vì

\(y' = \frac{{{x^2} + 2x}}{{{{(x + 1)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 2\\x = 0\end{array} \right.\)

\(y'\)không xác định khi \(x =  - 1\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } (\frac{{{x^2} + x + 1}}{{x + 1}}) =  - \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } (\frac{{{x^2} + x + 1}}{{x + 1}}) =  + \infty \);

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ - }} (\frac{{{x^2} + x + 1}}{{x + 1}}) =  - \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ + }} (\frac{{{x^2} + x + 1}}{{x + 1}}) =  + \infty \)

d) Khoảng cách giữa 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số là \(2\sqrt 5 \)

Đúng vì

Đồ thị có 2 điểm cực trị là: \(A( - 2; - 3);B(0;1)\)

Khoảng cách giữa 2 điểm \(A\)và \(B\)là: \(AB = \sqrt {{{(0 + 2)}^2} + {{(1 + 3)}^2}}  = 2\sqrt 5 \)

a) Toạ độ trọng tâm \(G\) của tam giác \(ABC\) là \(\left( {\frac{{3 + 0 + 0}}{3};\frac{{0 + 6 + 0}}{3};\frac{{0 + 0 - 9}}{3}} \right) = \left( {1;2; - 3} \right)\).

Chọn ĐÚNG.

b) Toạ độ của \(\overrightarrow {GA} \) là \(\left( {3 - 1;0 - 2;0 - \left( { - 3} \right)} \right) = \left( {2; - 2;3} \right)\).

Chọn SAI.

c) \(GA = \sqrt {{2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {3^2}}  = \sqrt {17} \).

Chọn ĐÚNG.

d) Ta có \(\overrightarrow {GB}  = \left( { - 1;4;3} \right) \Rightarrow GB = \sqrt {26} \)

Þ \(\cos \widehat {AGB} = \frac{{\overrightarrow {GA} .\overrightarrow {GB} }}{{GA.GB}} = \frac{{2.\left( { - 1} \right) - 2.4 + 3.3}}{{\sqrt {17} .\sqrt {26} }} = \frac{{ - 1}}{{\sqrt {442} }}\)

Chọn SAI

a) [NB] Số phần tử (cỡ mẫu) của mẫu số liệu trên là \(n = 3 + 5 + 5 + 25 + 2 = 40\). Đúng

b) [TH] Số trung bình cộng của mẫu số liệu

\(\overline x  = \frac{{3.45 + 5.75 + 5.105 + 25.135 + 2.165}}{{40}} = \frac{{237}}{2} = 118,5\). Đúng

c) [VD] Phương sai của mẫu số liệu

\({S^2} = \frac{{3.{{\left( {45 - 118,5} \right)}^2} + 5.{{\left( {75 - 118,5} \right)}^2} + 5.{{\left( {105 - 118,5} \right)}^2} + 25.{{\left( {135 - 118,5} \right)}^2} + 2.{{\left( {165 - 118,5} \right)}^2}}}{{40}}\). \(\,\,\,\,\,\, = \frac{{29331}}{{32}}\).Sai

d) [VD] Độ lệch chẩn của mẫu số liệu trên bằng \(S = \sqrt {{S^2}}  = \sqrt {\frac{{29331}}{{32}}}  = \frac{{3\sqrt {6518} }}{8}\). Sai

Đáp án: \[4,8\].

Có \[n = 160\]; \[\frac{n}{4} = 40\] và \[\frac{{3n}}{4} = 120\] nên nhóm chứa \[{Q_1};{Q_3}\]  lần lượt là \[2;4\].

Do đó \[{Q_1} = 26 + \frac{{40 - 23}}{{40}}.\left( {29 - 26} \right) = \frac{{1\;091}}{{40}}\] và \[{Q_3} = 32 + \frac{{120 - 119}}{{33}}.\left( {35 - 32} \right) = \frac{{353}}{{11}}\]

Suy ra \[{\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = \frac{{353}}{{11}} - \frac{{1\;091}}{{40}} = \frac{{2119}}{{440}} \approx 4,8\].

Đáp án: 74

\(P\left( t \right) = 100{e^{0,1t}} \Rightarrow P'\left( t \right) = 10{e^{0,1t}}\)

Tốc độ tăng trưởng tức thời của quần thể vi khuẩn E.coli tại thời điểm \(t = 20\) phút là:

\(P'\left( {20} \right) = 10{e^{0,1.20}} \approx 74\)

Đáp án: \[ - 3\].

Tập xác định: \[D = \left( { - \infty ; - 3} \right) \cup \left( {0; + \infty } \right)\].

Ta có \[y' = \frac{{2x + 3}}{{\left( {{x^2} + 3x} \right).\ln 2}}\]; \[y' = 0 \Leftrightarrow x =  - \frac{3}{2}\].

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy giá trị lớn nhất của \[a\] là  \[ - 3\].

Đáp án: \(7,2\).

Tọa độ điểm \(A(100;150;30)\) và \(B( - 80; - 120;50)\).

Khoảng cách từ \(A\)đến \(B\): \(AB = \sqrt {{{( - 180)}^2} + {{( - 270)}^2} + {{20}^2}}  \approx 325,1\)

Tốc độ flycam bay từ \(A\)đến \(B\): \(v = \frac{{AB}}{{45}} = \frac{{325,1}}{{45}} \approx 7,2(m/s)\)

Ta trải phẳng 3 mặt phẳng \(\left( {ADD'A'} \right)\), \(\left( {A'B'C'D'} \right)\) và \(\left( {CBB'C'} \right)\) như hình vẽ bên dưới.

Khi đó muốn nối dây điện từ bảng điểu khiển men theo các bức tường (không mắc lên mái) đến 2 bóng điện trên ngắn nhất thì độ dài của \(M{D_1} + M{D_2}\) ngắn nhất như hình vẽ bên dưới.

Theo các thông số đề bài cho ta có thể mô hình hóa bài toán bằng hình vẽ sau

Theo định lý pythagore ta có \(M{D_1} + M{D_2} = \sqrt {1,{5^2} + {4^2}}  + \sqrt {{1^2} + {6^2}}  \approx 10,4\,\left( {\rm{m}} \right)\)

Đáp án: 0,83.

Gọi hàm số biểu diễn quỹ đạo chuyển động của thuyền là \(y = f(x) = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}\).
Theo đề bài, cung đường \(AB\) là một phần của đồ thị hàm số này.
Điểm \(B( - 1;0)\) nằm trên đồ thị, nên: \(0 = \frac{{a( - 1) + b}}{{c( - 1) + d}} \Leftrightarrow  - a + b = 0 \Leftrightarrow b = a\quad (1)\)
Điểm \(A\left( {4;\frac{5}{3}} \right)\) nằm trên đồ thị, nên: \(\frac{5}{3} = \frac{{a(4) + b}}{{c(4) + d}}\quad (2)\)
Từ \((1)\), thay \(b = a\) vào \((2)\):\(\frac{5}{3} = \frac{{4a + a}}{{4c + d}} = \frac{{5a}}{{4c + d}}\)\( \Leftrightarrow 5(4c + d) = 15a\)\( \Leftrightarrow 4c + d = 3a\quad (3)\)
Quan sát đồ thị, ta thấy đường cong đi qua điểm \((0;1)\) (điểm giao với trục \(Oy\)). Giả sử điểm \((0;1)\) nằm trên đồ thị, khi đó: \(1 = \frac{{a(0) + b}}{{c(0) + d}} \Leftrightarrow 1 = \frac{b}{d} \Leftrightarrow b = d\quad (4)\)
Từ \((1)\) và \((4)\), ta có \(a = b = d\).
Thay \(d = a\) vào \((3)\): \(4c + a = 3a\)\( \Leftrightarrow 4c = 2a\)\( \Leftrightarrow a = 2c\quad (5)\)
Để đơn giản, ta chọn \(c = 1\), từ \((5)\) suy ra \(a = 2\).
Khi đó \(b = a = 2\) và \(d = a = 2\). Vậy hàm số có dạng \(y = \frac{{2x + 2}}{{x + 2}}\).
Kiểm tra lại với các điểm đã cho:
Với \(B( - 1;0)\): \(y = \frac{{2( - 1) + 2}}{{ - 1 + 2}} = \frac{0}{1} = 0\). (Thỏa mãn)
Với \(A\left( {4;\frac{5}{3}} \right)\): \(y = \frac{{2(4) + 2}}{{4 + 2}} = \frac{{8 + 2}}{6} = \frac{{10}}{6} = \frac{5}{3}\). (Thỏa mãn)
Gọi \(M(x;y)\) là một điểm trên cung đường \(AB\). Khoảng cách từ \(M\) đến gốc tọa độ \(O(0;0)\) là \(OM = \sqrt {{{(x - 0)}^2} + {{(y - 0)}^2}}  = \sqrt {{x^2} + {y^2}} \).
Để \(OM\) ngắn nhất, ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của \(O{M^2} = S(x) = {x^2} + {y^2}\) với \(x \in [ - 1;4]\).
Thay \(y = \frac{{2x + 2}}{{x + 2}}\) vào \(S(x)\)ta được: \(S(x) = {x^2} + {\left( {\frac{{2x + 2}}{{x + 2}}} \right)^2}\).
Ta có: \(S'(x) = 2x + 2\left( {\frac{{2x + 2}}{{x + 2}}} \right) \cdot \left( {\frac{2}{{{{(x + 2)}^2}}}} \right) = 2x + \frac{{4(2x + 2)}}{{{{(x + 2)}^3}}} = 2x + \frac{{8x + 8}}{{{{(x + 2)}^3}}}\)
\(S'(x) = 0\)\( \Leftrightarrow 2x + \frac{{8x + 8}}{{{{(x + 2)}^3}}} = 0\)\( \Leftrightarrow {x^4} + 6{x^3} + 12{x^2} + 12x + 4 = 0\).
Trên đoạn \([ - 1;4]\), ta tìm được nghiệm thực của phương trình \({x^4} + 6{x^3} + 12{x^2} + 12x + 4 = 0\) là \({x_0} \approx  - 0,5826\).
Tại \(x =  - 1\) (điểm \(B\)): \(O{M^2} = {( - 1)^2} + {0^2} = 1\) \( \Rightarrow OM = 1\).
Tại \(x = 4\) (điểm \(A\)): \(O{M^2} = {4^2} + {\left( {\frac{5}{3}} \right)^2} = 16 + \frac{{25}}{9} = \frac{{144 + 25}}{9} = \frac{{169}}{9}\)\( \Rightarrow OM = \sqrt {\frac{{169}}{9}}  = \frac{{13}}{3} \approx 4,333\).
Tại \({x_0} \approx  - 0.5826\), ta có: \({y_0} = \frac{{2{x_0} + 2}}{{{x_0} + 2}} = \frac{{2 \cdot \left( { - 0,5826} \right) + 2}}{{ - 0,5826 + 2}} = \frac{{ - 1,1652 + 2}}{{1,4174}} = \frac{{0,8348}}{{1,4174}} \approx 0,58896\).
\(OM = \sqrt {x_0^2 + y_0^2}  = \sqrt {{{\left( { - 0,5826} \right)}^2} + {{\left( {0,58896} \right)}^2}} \)
\(OM = \sqrt {0,33942076 + 0,34687392}  = \sqrt {0,68629468}  \approx 0,82842\).
So sánh các giá trị \(OM\) tìm được giá trị nhỏ nhất là \(0,82842\).
Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm, ta được \(0,83\).