Đề thi thử Tốt nghiệp THPT Toán 2025-2026 Sở Lào Cai có đáp án

Chọn B 

\({u_2} = {u_1}.q = 3.4 = 12\).

Chọn A 

\[\overrightarrow {AB}  = \left( {1; - 2;2} \right) \Rightarrow AB = \sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {2^2}}  = 3\].

Chọn C 

Góc \[\left( {AF,EG} \right) = \left( {AF,AC} \right)\] do \(EG\parallel AC\).

Tam giác \(AFC\) là tam giác đều do \(AF,FC,AC\) là đều là ba đường chéo của các hình vuông bằng nhau nên \(AF = FC = AC\). Nên \[\left( {AF,EG} \right) = \left( {AF,AC} \right) = 60^\circ \].

Chọn A 

\(4\vec a - \vec b = \left( {4.1 - 2;4.2 + 1;4.\left( { - 1} \right) - 3} \right) = \left( {2;9; - 7} \right)\).

Chọn A

Chọn B

Thể tích của vật thể là: \(V = \int\limits_{ - \sqrt 3 }^{\sqrt 3 } {{{\left( {\sqrt {3 - {x^2}} } \right)}^2}dx}  = 4\sqrt 3 \).

Chọn A

Hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có \(\overrightarrow {AD'}  = \overrightarrow {BC'} \).

Chọn C

Phương trình đường tiệm cận xiên có dạng \(y = a'x + b'\).

Đường tiệm cận xiên đi qua các điểm \(\left( {0;3} \right)\) và \(\left( {1;4} \right)\) nên ta có hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}b' = 3\\a' + b' = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b' = 3\\a' = 1\end{array} \right.\).

Vậy \(y = x + 3\) là phương trình đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Chọn B

Ta có

Giá trị trung bình của mẫu số liệu là \(\overline x  = \frac{{9 \cdot 15 + 10 \cdot 45 + 9 \cdot 75 + 15 \cdot 105 + 7 \cdot 135}}{{50}} = 75,6\).

Phương sai của mẫu số liệu là

\({\delta ^2} = \frac{{9{{\left( {15 - 75,6} \right)}^2} + 10{{\left( {45 - 75,6} \right)}^2} + 9{{\left( {75 - 75,6} \right)}^2} + 15{{\left( {105 - 75,6} \right)}^2} + 7{{\left( {135 - 75,6} \right)}^2}}}{{50}}\)

\( \Leftrightarrow {\delta ^2} = 1601,64\).

Chọn D

Ta có \({3^{x - 1}} \ge 9 \Leftrightarrow x - 1 \ge 2 \Leftrightarrow x \ge 3\).

Tập nghiệm của bất phương trình là \(S = \left[ {3; + \infty } \right)\).

Chọn D

Từ bảng biến thiên suy ra hàm số đạt cực đại tại \(x =  - 1\).

Chọn C

Hàm số xác định khi và chỉ khi \(\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \).

Vậy \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).

a) Đúng

Ta có:

\[\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( x \right)dx}  = \left( {\sin x - \cos x} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{\pi }{2}}\\0\end{array}} \right. = \left( {\sin \frac{\pi }{2} - \cos \frac{\pi }{2}} \right) - \left( {\sin 0 - \cos 0} \right) = 1 - \left( { - 1} \right) = 2\].

b) Đúng

Vì \[ - 1 \le x \le 1\] nên \[1 \le 3 - 2\sin x \le 5\], do đó tập giá trị của hàm số \[g\left( x \right) = 3 - 2\sin x\] là \[T = \left[ {1;5} \right]\].

c) Sai

Ta có: \[\int {g\left( x \right)dx}  = 3x + 2\cos x + C\].

d) Đúng

Ta có: \[\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( x \right)dx}  = 3 - 2\sin x \Leftrightarrow 3 - 2\sin x = 2 \Leftrightarrow \sin x = \frac{1}{2}\].

Trên đoạn \[\left[ {0;2\pi } \right]\], phương trình có 2 nghiệm là \[{x_1} = \frac{\pi }{6};{x_2} = \frac{{5\pi }}{6}\].

a) Ta có \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {AC} \).

Chọn Đúng

b) Ta có \(\overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AA'}  = \overrightarrow {AC'} \) (Quy tắc hình hộp).

Chọn Đúng

c) Ta có \(\left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {B'C'} } \right) = \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AD} } \right) = \widehat {DAC} = 45^\circ \).

Chọn Đúng

d) Ta có \(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {B'C'}  = AC.B'C'.\cos \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {B'C'} } \right) = a\sqrt 2 .a.\cos 45^\circ  = a\sqrt 2 .a.\frac{{\sqrt 2 }}{2} = {a^2}\).

Chọn Sai

Dựa vào đồ thị hàm vận tốc, ta có thể suy ra hàm số \[v\left( t \right)\] như sau:

\[v\left( t \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{4t,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,0 \le t \le 5}\\{ - \frac{8}{{225}}{t^2} + \frac{8}{9}t + \frac{{148}}{9},\,\,\,\,5 \le t \le 20}\\{ - 4t + 100,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,20 \le t \le 25}\end{array}} \right.\].

Do đó:

a) Trong 5 giây đầu tiên, người đó chuyển động nhanh dần đều với gia tốc \[a = 4\,m/{s^2}\].

Nên mệnh đề a Sai

b) Quãng đường đi được trong 5 giây đầu tiên là \[S = \int\limits_0^5 {4tdt = 50m} \].

Nên mệnh đề b Sai

c) Quãng đường vật đi được trong \[20\] giây đầu tiên là

\[{S_2} = \int\limits_0^5 {4tdt}  + \int\limits_5^{20} {\left( { - \frac{8}{{225}}{t^2} + \frac{8}{9}t + \frac{{148}}{9}} \right)dt}  = 370m\].

Nên mệnh đề c đúng

d) Quãng đường vật đi được trong cả hành trình là

\[{S_3} = \int\limits_0^5 {4tdt}  + \int\limits_5^{20} {\left( { - \frac{8}{{225}}{t^2} + \frac{8}{9}t + \frac{{148}}{9}} \right)dt}  + \int\limits_{20}^{25} {\left( { - 4t + 20} \right)} dt = 420m\].

Do đó vận tốc trung bình của người đó trên cả hành trình là \[{v_{tb}} = \frac{{420}}{{25}} = 16,8m/s\].

Nên mệnh đề d đúng

a) SAI

Hàm số đồng biến trên khoảng \(( - 1;0)\).

b) ĐÚNG

Tiệm cận đứng \(x =  - \frac{m}{n} =  - 1 \Rightarrow m = n\).

c) ĐÚNG

Giao điểm 2 đường tiệm cận đứng và tiệm cận xiên là \(( - 1;2) \Rightarrow \) Tâm đối xứng của đồ thị hàm số là \(I( - 1;2)\).

d) ĐÚNG

Hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là \(\left( {0;0} \right),\left( { - 2;4} \right)\).

Khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số bằng \(\sqrt {{{\left( { - 2 - 0} \right)}^2} + {{\left( {4 - 0} \right)}^2}}  = 2\sqrt 5 \).

Đáp số: 14,5

Vẽ đồ thị các hàm vận tốc (theo thời gian) của các chất điểm trên cùng một hệ trục tọa độ \(tOv\) ta được đồ thị vận tốc của chất điểm \(D\) theo thời gian như sau:

Quãng đường chất điểm \(D\) đi được trong 5 giây đầu tiên là:

\(S = \int_0^5 {{v_D}} (t)dt = \int_0^2 2 t{\mkern 1mu} dt + \int_2^3 {(t + 2)} {\mkern 1mu} dt + \int_3^5 {(11 - 2t)} {\mkern 1mu} dt = 14,5\)(mét).

Đáp số: 114.

Cách 1:

Gọi \(x\) (\(x \in {\mathbb{N}^*}\)) là số lượng sản phẩm doanh nghiệp sản xuất và bán ra trong một tháng.

Lợi nhuận thu được \(P(x)\) bằng tổng doanh thu trừ đi tổng chi phí và tiền thuế.

Dựa vào chính sách thuế, ta thiết lập được hàm số lợi nhuận \(P(x)\) (đơn vị: triệu đồng) phân nhánh như sau:

\(P(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3x - (x + 200) - 0,1 \cdot 3x = 1,7x - 200}&{{\rm{khi }}0 < x < 100}\\{3x - (x + 200) - 0,08 \cdot 3x = 1,76x - 200}&{{\rm{khi }}100 \le x < 300}\\{3x - (x + 200) - 0,05 \cdot 3x = 1,85x - 200}&{{\rm{khi }}x \ge 300}\end{array}} \right.\)

Xét đạo hàm \(P'(x)\) trên từng khoảng:

Trên \((0;100)\), \(P'(x) = 1,7 > 0\).

Trên \((100;300)\), \(P'(x) = 1,76 > 0\).

Trên \((300; + \infty )\), \(P'(x) = 1,85 > 0\).

Hàm số đồng biến trên từng khoảng.

Xét sự thay đổi lợi nhuận tại các điểm chuyển giao chính sách thuế:

Tại \(x = 100\): \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{100}^ - }} P(x) =  - 30\), trong khi \(P(100) =  - 24\). Lợi nhuận tăng do giảm thuế.

Tại \(x = 300\): \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{300}^ - }} P(x) = 328\), trong khi \(P(300) = 355\). Lợi nhuận tiếp tục tăng.

Từ các yếu tố trên, ta kết luận hàm số \(P(x)\) đồng biến trên toàn bộ tập xác định \({\mathbb{N}^*}\). Do đó, phương trình \(P(x) = 0\) (nếu có) sẽ chia trục số làm hai miền âm - dương phân biệt.

Ta thử tính giá trị hàm số tại các mốc phân nhánh:

\(P(100) =  - 24 < 0\) (sản xuất 100 sản phẩm vẫn lỗ).

\(P(300) = 355 > 0\) (sản xuất 300 sản phẩm đã có lãi lớn).

Vì hàm \(P(x)\) đồng biến, khoảng chuyển từ lỗ sang lãi (điểm hòa vốn \(P(x) = 0\)) chắc chắn nằm trong nửa khoảng \([100;300)\).

Ta chỉ cần giải duy nhất một bất phương trình trên khoảng này:

\(1,76x - 200 > 0 \Leftrightarrow x > \frac{{200}}{{1,76}} \approx 113,63\)

Vì \(x \in {\mathbb{N}^*}\), số sản phẩm tối thiểu doanh nghiệp cần sản xuất để bắt đầu có lãi là \(x = 114\) sản phẩm.

Cách 2:

Hàm tổng chi phí \(C(x)\)= Chi phí cố định + Chi phí biến đổi = \(200 + 1.x = 200 + x\)

Hàm tổng doanh thu \(R(x) = 3x\):

Hàm thuế \(T(x)\) (tính theo doanh thu): \(T(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{10\%  \cdot 3x = 0,3x}&{{\rm{, }}x < 100}\\{8\%  \cdot 3x = 0,24x}&{,100 \le x < 300}\\{5\%  \cdot 3x = 0,15x}&{,x \ge 300}\end{array}} \right.\)

Lợi nhuận được xác định bởi công thức: \(L(x) = R(x) - C(x) - T(x)\).

Để doanh nghiệp bắt đầu có lãi, ta cần tìm \(x\) nhỏ nhất sao cho \(L(x) > 0\).

Khoảng 1: \(x < 100\) (Mức thuế 10%)

Ta có phương trình lợi nhuận: \(L(x) = 3x - (200 + x) - 0,3x = 1,7x - 200\)

Xét bất phương trình \(L(x) > 0\): \(1,7x - 200 > 0 \Leftrightarrow x > \frac{{200}}{{1,7}} \approx 117,65\)

Nhận xét: Giá trị \(x > 117,65\) nằm ngoài khoảng đang xét (\(x < 100\)). Do đó, trong khoảng này doanh nghiệp luôn lỗ.

Khoảng 2: \(100 \le x < 300\) (Mức thuế 8%)

Ta có phương trình lợi nhuận:\(L(x) = 3x - (200 + x) - 0,24x = 1,76x - 200\)

Xét bất phương trình \(L(x) > 0\):\(1,76x - 200 > 0 \Leftrightarrow x > \frac{{200}}{{1,76}} \approx 113,636\)

Nhận xét: Giá trị \(x > 113,636\) thỏa mãn điều kiện \(100 \le x < 300\).

Vì \(x\) là số nguyên dương (\(x \in {\mathbb{N}^*}\)), giá trị nhỏ nhất thỏa mãn là \(x = 114\).

Khoảng 3: \(x \ge 300\) (Mức thuế 5%)

Ta có phương trình lợi nhuận: \(L(x) = 3x - (200 + x) - 0,15x = 1,85x - 200\)

Tại \(x = 300\): \(L(300) = 1,85(300) - 200 = 355 > 0\) (Chắc chắn có lãi).

Tuy nhiên, vì ta tìm số sản phẩm tối thiểu, nên kết quả ở Khoảng 2 (\(x = 114\)) là giá trị cần tìm.

Đáp án: 1440

· Sau 5 nước đi, trên bảng sẽ có đúng 3 chữ X của An và 2 chữ O của Bình. Để An thắng ở nước thứ 5, 3 chữ X này phải nằm liền nhau trên cùng một đường (ngang, dọc hoặc chéo).

· Trên bảng ô vuông 3x3, có tổng cộng 8 đường chiến thắng khác nhau bao gồm: 3 hàng ngang ; 3 hàng dọc và 2 đường chéo.

·  Khi đã xác định được 1 đường chiến thắng cụ thể (gồm 3 ô), An phải đặt 3 chữ X của mình vào chính xác 3 ô này ở các lượt đi thứ 1, thứ 3 và thứ 5. Số cách để An xếp 3 nước đi của mình vào 3 ô trống này là 3! = 6 (cách)

·  Bình có 2 lượt đi (ở nước thứ 2 và thứ 4). Vì An đã chiếm 3 ô thuộc đường chiến thắng, trên bảng 9 ô sẽ còn lại 6 ô trống. Bình cần chọn 2 ô trong số 6 ô trống này và điền chữ O theo thứ tự trước sau. Số cách chọn và sắp xếp các nước đi của Bình là \(A_6^2 = 6 \times 5 = 30\)(cách)

·  Áp dụng quy tắc nhân cho các bước trên, tổng số trình tự các nước đi để ván cờ kết thúc ở nước thứ 5 với phần thắng thuộc về An là \(8 \times 6 \times 30 = 1440\).

Đáp án: \(5,4\)

Diện tích của mặt cắt ngang là \(S(x) = 5 \cdot {(0,5)^x}\)

Thể tích \(V\) của vật thể

\(V = \int_0^2 S (x){\mkern 1mu} dx = \int_0^2 5  \cdot {(0,5)^x}{\mkern 1mu} dx = 5 \cdot \left[ {\frac{{{{(0,5)}^x}}}{{\ln (0,5)}}} \right]_0^2 = \frac{5}{{\ln (0,5)}} \cdot \left( {{{(0,5)}^2} - {{(0,5)}^0}} \right) \approx 5,4101...\)

Làm tròn đến hàng phần mười theo yêu cầu của đề bài, ta được kết quả là 5,4 m³.

Đáp án: \[28\]

Số trang mỗi ngày tạo thành cấp số cộng với: \[{a_1} = 1,d = 1,n = 7\]

Tổng số trang là: \[{S_n} = \frac{{n(2{a_1} + (n - 1)d)}}{2}\]

Thay số: \[{S_n} = \frac{{n(2{a_1} + (n - 1)d)}}{2} = \frac{{7(2.1 + 6.1)}}{2} = 28\]

Vậy đến chủ nhật, bé An viết được 28 trang.

Đáp án: \[280\].                                                         

Chọn hệ trục toạ độ \[{\rm{Ox}}yz\] như hình vẽ

\[ABCD\] là hình thoi nên \[GO \bot AC\] mà \[GS \bot AC \Rightarrow SO \bot AC\].

\[\left[ {S,AC,G} \right] = \widehat {SOG} = {60^0}\], \[GO = \frac{1}{3}BO = \frac{1}{3}.\frac{{6\sqrt 3 }}{2} = \sqrt 3 ,SG = GO.\tan {60^0} = 3,OD = 3\sqrt 3 \].

Khi đó \[S\left( {\sqrt 3 ;0;3} \right),D\left( { - 3\sqrt 3 ;0;0} \right),A\left( {0; - 3;0} \right),C\left( {0;3;0} \right)\].

\[\left[ {\overrightarrow {SD} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {18;0; - 24\sqrt 3 } \right),\overrightarrow {AD} \left( { - 3\sqrt 3 ;3;0} \right),\left[ {\overrightarrow {SD} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD}  =  - 54\sqrt 3 \]

\[\left| {\left[ {\overrightarrow {SD} ,\overrightarrow {AC} } \right]} \right| = 6\sqrt {57} ,d\left( {SD,AC} \right) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {SD} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} } \right|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow {SD} ,\overrightarrow {AC} } \right]} \right|}} = \frac{{54\sqrt 3 }}{{6\sqrt {57} }} = \frac{9}{{\sqrt {19} }}\]

Suy ra \[a = 19,b = 9,{a^2} - {b^2} = 280.\]