Đề thi thử Tốt nghiệp THPT Toán 2025-2026 Sở Lạng Sơn có đáp án
22 câu hỏi
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn.Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu thí sinh chỉ chọn một phương án
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có \({u_1} = 1,\,{u_2} = 4\). Số hàng thứ tư là
\({u_4} = 9\).
\({u_4} = 12\).
\({u_4} = 13\).
\({u_4} = 10\).
Lời giải
Chọn D
Ta có \({u_1} = 1,\,{u_2} = 4\,\, \Rightarrow \,\,d = \,{u_2} - {u_1} = 3\, \Rightarrow {u_4} = {u_1} + 3d = 1 + 9 = 10\).
Trong không gian, cho hình hộp \(ABCD.EFGH\) như hình vẽ.
Mệnh đề nào sau đây đúng?
\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AE} = \overrightarrow {AG} \).
\(\overrightarrow {DA} + \overrightarrow {DC} + \overrightarrow {DE} = \overrightarrow {DF} \).
\(\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BE} = \overrightarrow {BH} \).
\(\overrightarrow {EA} + \overrightarrow {EF} + \overrightarrow {EB} = \overrightarrow {EC} \).
Lời giải
Chọn A
Theo quy tắc hình hộp ta có
\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AE} = \overrightarrow {AG} \)
Một học sinh tiến hành thống kê nhiệt độ trung bình tại nơi mình sống trong vòng 40 ngày và thu được bảng số liệu sau:
Tứ phân vị thứ nhất của bảng số liệu trên bằng
\(23,5\).
\(27\).
\(26,5\).
\(22,6\).
Lời giải
Chọn D
Vì \(\frac{n}{{40}} = \,\,\frac{{40}}{4} = 10\,\)nên tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu thuộc nhóm \(\left[ {22;25} \right)\).
Vậy \({Q_1} = \,22 + \frac{{10 - 7}}{{15}} \cdot 3 = 22,6\).
Nghiệm của phương trình \(\cos 2x = 1\) là
\(x = k\pi ,\,k \in \mathbb{Z}\).
\(x = \pi + k2\pi ,\,k \in \mathbb{Z}\).
\(x = \frac{\pi }{2} + k\pi ,\,k \in \mathbb{Z}\).
\(x = \pi + k2\pi ,\,k \in \mathbb{Z}\).
Lời giải
Chọn A
Ta có \(\cos 2x = 1\,\, \Leftrightarrow \,2x = k2\pi ,k \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow x\, = k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}\).
Với \(a\) là số thực dương tuỳ ý, \({\log _3}\left( {9a} \right)\) bằng
\(3 + a\).
\(2 + {\log _3}a\).
\(3 + {\log _3}a\).
\(2{\log _3}a\).
Lời giải
Chọn B
Ta có \({\log _3}\left( {9a} \right) = {\log _3}9 + {\log _3}a = 2 + {\log _3}a\).
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị như bên dưới
Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau đây?
\(\left( {0;2} \right)\).
\(\left( { - 1;1} \right)\).
\(\left( { - 1;0} \right)\).
\(\left( {1;2} \right)\).
Lời giải
Chọn C
Từ đồ thị ta thấy hàm số nghịc biến trên khoảng \(\left( { - 1;0} \right)\).
Cho hình chóp \(S.ABC\). Gọi \(I\), \(J\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(SA\), \(SB\). Khẳng định nào dưới đây đúng?
\(IJ{\rm{//}}\left( {SAB} \right)\).
\(IJ{\rm{//}}\left( {SAC} \right)\) .
\(IJ{\rm{//}}\left( {ABC} \right)\).
\(IJ{\rm{//}}\left( {SBC} \right)\).
Lời giải
Chọn C
\(IJ\) là đường trung bình của tam giác \(SAB\) nên \(IJ{\rm{//}}AB\).
\(\left\{ \begin{array}{l}IJ \not\subset \left( {ABC} \right)\\IJ{\rm{//}}AB\\AB \subset \left( {ABC} \right)\end{array} \right. \Rightarrow IJ{\rm{//}}\left( {ABC} \right)\).
Họ nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \sin x\) là
\(F\left( x \right) = - \tan x + C\).
\(F\left( x \right) = \cos x + C\).
\(F\left( x \right) = - \cos x + C\).
\(F\left( x \right) = \tan x + C\).
Lời giải
Chọn C
Ta có \(\int {f\left( x \right)dx = \int {\sin xdx} } = - \cos x + C\).
Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( P \right)\): \(2x - y + 4z - 1 = 0\). Một vectơ pháp tuyến của \(\left( P \right)\) là
\(\overrightarrow {{n_3}} = \left( {2;1;4} \right)\).
\(\overrightarrow {{n_4}} = \left( {2;4; - 1} \right)\).
\(\overrightarrow {{n_1}} = \left( { - 2;1; - 4} \right)\).
\(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {2; - 1; - 1} \right)\).
Lời giải
Chọn C
Một vectơ pháp tuyến của \(\left( P \right)\) là \(\overrightarrow n = \left( {2; - 1;4} \right)\) hay \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( { - 2;1; - 4} \right)\).
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \[ABCD\] là hình thoi tâm \(O\), \(SA = SC\), \(SB = SD\). Trong các khẳng định sau khẳng định nào đúng?
\[SC \bot \left( {ABCD} \right)\].
\[SO \bot \left( {ABCD} \right)\].
\[SB \bot \left( {ABCD} \right)\].
\[SA \bot \left( {ABCD} \right)\].
Lời giải
Chọn B
Ta có: \(SA = SC\) nên tam giác \(SAC\) cân tại \(S\), \(SO \bot AC\).
\(SB = SD\) nên tam giác \(SBD\) cân tại \(S\), \(SO \bot BD\).
Mà \(AC \cap BD = O,AC,BD \subset \left( {ABCD} \right)\) nên \[SO \bot \left( {ABCD} \right)\]
Trong không gian \(Oxyz\), cho các vectơ \(\overrightarrow u = \left( {1; - 2;2} \right)\) và \(\overrightarrow v = \left( {1;3; - 5} \right)\). Tọa độ của vectơ \(\overrightarrow w = \overrightarrow u - \overrightarrow v \) là
\(\left( {2;1; - 3} \right)\).
\(\left( {0;1; - 3} \right)\).
\(\left( {0; - 5;7} \right)\).
\(\left( {0;5; - 7} \right)\).
Lời giải
Chọn C
Tọa độ của vectơ \(\overrightarrow w = \overrightarrow u - \overrightarrow v = \left( {1 - 1; - 2 - 3;2 + 5} \right) = \left( {0; - 5;7} \right)\).
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\), thỏa mãn \(\int\limits_0^4 {f\left( x \right)dx = - 3} \), \[\int\limits_4^3 {f\left( x \right)dx = 2} \]. Khi đó \(\int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx} \)bằng
\( - 5\).
\( - 1\).
\(1\).
\(5\).
Lời giải
Chọn B
Ta có: \[\int\limits_4^3 {f\left( x \right)dx = 2} \]\( \Rightarrow \int\limits_3^4 {f\left( x \right)dx = - 2} \)
\[\int\limits_0^4 {f\left( x \right)dx = \int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_3^4 {f\left( x \right)dx} } \]\( \Leftrightarrow - 3 = \int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx} + \left( { - 2} \right)\)\( \Leftrightarrow \int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx} = - 1\).
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng (Đ) hoặc sai (S)
Giả sử rằng khi được \(t\) năm tuổi, một máy công nghiệp A tạo ra doanh thu với tốc độ \(R'\left( t \right) = 588 - 3{t^2}\)(triệu đồng/năm), thời điểm \(t = 0\) tính từ lúc máy A bắt đầu hoạt động. Biết rằng chi phí biên cho vận hành và bảo trì là \(C'\left( t \right) = 48 + 12{t^2}\) (triệu đồng/năm), ở đây \(C(t)\) là chi phí vận hành và bảo trì của máy A khi nó được \(t\) năm tuổi. Khi đó:
[NB] Doanh thu sau 10 năm của máy A là \(\int\limits_0^{10} {\left( {588 - 3{t^2}} \right)dt} \)(triệu đồng).
[TH] Tổng chi phí vận hành và bảo trì của máy A trong 6 năm là 1152 (triệu đồng).
[TH] Tuổi thọ hữu ích của một máy là số năm T trước khi lợi nhuận (bằng doanh thu trừ chi phí) mà nó tạo ra bắt đầu giảm. Tuổi thọ hữu ích của máy A này là 8 năm.
[VD, VDC] Lợi nhuận do máy A tạo ra trong suốt thời gian tuổi thọ hữu ích của nó là 2180 (triệu đồng).
Lời giải
a) Đúng
Doanh thu \(R\left( t \right)\) được tính bằng tích phân của tốc độ doanh thu \(R'\left( t \right)\) theo thời gian. Do đó, doanh thu sau 10 năm (từ \(t = 0\) đến \(t = 10\)) là:
\(R\left( {10} \right) = \int\limits_0^{10} {R'\left( t \right)dt} \) =\(\int\limits_0^{10} {\left( {588 - 3{t^2}} \right)dt} \).
b) Đúng
Tổng chi phí vận hành và bảo trì trong 6 năm là tích phân của chi phí biên \(C'\left( t \right)\) từ 0 đến 6: \[\int\limits_0^6 {\left( {48 + 12{t^2}} \right)dt} = \left. {\left( {48t + 4{t^3}} \right)} \right|_0^6 = \left( {48 \times 6 + 4 \times {6^3}} \right) - 0 = 1152\] (triệu đồng).
c) Sai
Ta có doanh thu là \(R\left( t \right) = \int {R'\left( t \right)dt} = \int {\left( {588 - 3{t^2}} \right)dt} = 588t - {t^3} + {C_1}\)
Mà \(R\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow {C_1} = 0 \Rightarrow R\left( t \right) = 588t - {t^3}\).
Chi phí là \(C\left( t \right) = \int {C'\left( t \right)dt} = \int {\left( {48 + 12{t^2}} \right)dt} = 48t + 4{t^3} + C\).
Mà \(C\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow C = 0 \Rightarrow C\left( t \right) = 48t + 4{t^3}\).
Lợi nhuận \(L(t) = R\left( t \right) - C\left( t \right) = 588t - {t^3} - \left( {48t + 4{t^3}} \right)\).
Do đó \(L\left( t \right) \ge 0\)\[ \Leftrightarrow 588t - {t^3} \ge 48t + 4{t^3} \Leftrightarrow 5{t^2} \le 540 \Leftrightarrow {t^2} \le 36 \Rightarrow t \le 6\].
Do đó lợi nhuận bắt đầu giảm khi \(t > 6\).
Vậy tuổi thọ hữu ích của máy là 6 năm.
d) Sai
Lợi nhuận trong suốt tuổi thọ hữu ích (6 năm đầu) là
\(\int\limits_0^6 {\left[ {\left( {588 - 3{t^2}} \right) - \left( {48 + 12{t^2}} \right)} \right]} dt = \int\limits_0^6 {\left( {540 - 15{t^2}} \right)} dt = \left. {\left( {540t - 5{t^3}} \right)} \right|_0^6 = 2160\)(triệu đồng).
Có tám bạn học sinh ngồi quanh một cái bàn tròn, mỗi bạn cầm một đồng xu (các đồng xu đều cân đối, đồng chất). Tất cả tám bạn cùng tung đồng xu của mình, bạn nào gieo được mặt ngửa sẽ đứng lên. Khi đó:
[TH] Số phần tử của không gian mẫu khi tám bạn cùng tung đồng xu là \(256\).
[TH] Số kết quả của phép thử sao cho có đúng một bạn đứng lên là \(8\).
[TH] Số kết quả của phép thử sao cho có đúng hai bạn đứng lên và hai bạn đó không đứng cạnh nhau là \(8\).
[VD] Xác suất để có ít nhất hai bạn ngồi liền kề nhau phải đứng lên là \[\frac{{105}}{{128}}\].
Lời giải
a) Đúng
Mỗi học sinh có 2 khả năng (ngửa hoặc sấp tương ứng với đứng hoặc ngồi).
Có tám học sinh tung độc lập nên tổng số kết quả có thể xảy ra là: \[{2^8} = 256\].
b) Đúng
Có tám học sinh nên số cách chọn một người đứng lên là: \[C_8^1 = 8\].
c) Sai
Số cách chọn hai bạn đứng lên bất kì là: \[C_8^2 = 28\].
Trong một bàn tròn tám ghế, có đúng tám cặp ghế kề nhau (1-2, 2-3, …, 8-1) nên có 8 cách chọn hai bạn đứng lên mà hai bạn đó ngồi cạnh nhau.
Vậy số cách để hai bạn đứng lên mà không đứng cạnh nhau là: \[28 - 8 = 20\].
d) Sai
Gọi \(A\) là biến cố: “không có hai người liền kề cùng đứng”.
Nếu có nhiều hơn bốn người đứng thì hiển nhiên biến cố \(A\) không xảy ra.
Do đó ta chỉ có các trường hợp sau:
TH1: Không có bạn nào đứng: có 1 cách.
TH2: Có một bạn đứng: có 8 cách.
TH3: Có hai bạn đứng mà không đứng cạnh nhau: có 20 cách (như trên câu c).
TH4: Có ba bạn đứng mà không có hai bạn nào đứng cạnh nhau.
· Chọn ba bạn đứng lên bất kì có: \[C_8^3 = 56\] cách.
· Chọn ba bạn đứng lên mà cả ba bạn liền kề nhau, có 8 cách (1-2-3, 2-3-4, …, 8-1-2)
· Chọn ba bạn đứng lên mà chỉ có đúng hai bạn đứng cạnh nhau:
- Có 8 cách chọn ra một bạn đứng.
- Với mỗi cách chọn ra một bạn đứng, có 4 cách chọn ra hai bạn đứng cạnh nhau và không đứng cạnh bạn vừa chọn (ví dụ chọn bạn vị trí thứ nhất thì có 4 cách chọn hai bạn đứng cạnh nhau và không đứng cạnh bạn thứ nhất là: 3-4, 4-5, 5-6, 6-7).
Vậy có tất cả: \[56 - 8 - 8.4 = 16\] cách.
TH5: Có bốn bạn đứng lên và không có hai bạn nào đứng cạnh nhau: có 2 cách là các cặp 1-3-5-7 và 2-4-6-8.
Vậy số phần tử của biến cố A là: \[n\left( A \right) = 1 + 8 + 20 + 16 + 2 = 47\].
(Có thể áp dụng công thức, số cách chọn \(k\) bạn đứng lên trong bàn tròn \(n\) chỗ mà không có hai bạn nào đứng cạnh nhau là: \[\frac{n}{{n - k}}C_{n - k}^k\]).
Xác suất để có ít nhất hai bạn ngồi liền kề phải đứng lên là:
\[P\left( {\overline A } \right) = 1 - P\left( A \right) = 1 - \frac{{47}}{{256}} = \frac{{209}}{{256}}\].
Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm \(M\left( {1{\rm{;}} - 1{\rm{;2}}} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):3x - 2y + z + 4 = 0\).
Khi đó:
Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right)\) là \(\overrightarrow n = \left( {3; - 2;1} \right)\).
Điểm \(M\) không thuộc mặt phẳng \(\left( P \right)\).
Phương trình của mặt phẳng \(\left( Q \right)\) đi qua \(M\) và song song với mặt phẳng \(\left( P \right)\) là \(3x - 2y + z + 7 = 0\).
Mặt phẳng \(\left( R \right)\) song song với mặt phẳng \(\left( P \right)\) và cách điểm \(M\) một khoảng bằng \(\frac{{11}}{{\sqrt {14} }}\) có phương trình là \[3x - 2y + z - 18 = 0\].
Lời giải
a) [NB] Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right)\) là \(\overrightarrow n = \left( {3{\rm{ }};{\rm{ }} - 2{\rm{ }};{\rm{ }}1} \right)\). Chọn Đúng
b) [NB] Ta có: \(3.1 - 2.\left( { - 1} \right) + 2 + 4 \ne 0\) nên \(M\)\( \notin \) \(\left( P \right)\). Chọn Đúng
c) \(\left( Q \right){\rm{ // }}\left( P \right)\) nên \(\left( Q \right)\) có phương trình \(3x - 2y + z + m = 0\)
- \(\left( Q \right)\)qua điểm \(M\) nên \(3.1 - 2.\left( { - 1} \right) + 2 + m = 0\).
- \( \Leftrightarrow m = - 7\)
- Phương trình tổng quát của \(\left( Q \right)\) là: \(3x - 2y + z - 7 = 0\).
Chọn Sai
d) Mặt phẳng \(\left( R \right)\)song song với mặt phẳng \(\left( P \right)\) nên \(\left( R \right)\) có dạng \(3x - 2y + z + n = 0\), \(n \ne 4\).
Ta có: \(d\left( {M,\left( R \right)} \right) = \frac{{\left| {3.1 - 2.\left( { - 1} \right) + 2 + n} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {2^2} + {1^2}} }}\)
\( \Leftrightarrow \frac{{\left| {7 + n} \right|}}{{\sqrt {14} }} = \frac{{11}}{{\sqrt {14} }}\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 4\\n = - 18\end{array} \right.\)
Vì \(n \ne 4\)nên mặt phẳng \(\left( R \right)\) phương trình là \[3x{\rm{ }} - {\rm{ }}2y{\rm{ }} + {\rm{ }}z{\rm{ }} - {\rm{ }}18{\rm{ }} = {\rm{ }}0{\rm{ }}\]. Chọn Đúng
Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] có đạo hàm trên \[R\] và đồ thị như hình vẽ
Hàm số nghịch biến trên khoảng \[\left( { - 1;1} \right)\].
Hàm số đạt cực tiểu tại điểm \[{x_0} = 1\].
Đạo hàm của hàm số nhận giá trị dương trên khoảng \[\left( { - \infty ; - 1} \right)\].
Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn \[\left[ { - 1;0} \right]\] bằng \[ - 3\].
Lời giải
a) Dựa vào đồ thị hàm số nghịch biến trên khoảng \[\left( { - 1;1} \right)\]. Chọn Đúng
b) Dựa vào đồ thị hàm số đạt cực tiểu tại điểm \[{x_0} = 1\]. Chọn Đúng
c) Đạo hàm của hàm số nhận giá trị dương trên khoảng \[\left( { - \infty ; - 1} \right)\]. Chọn Đúng
d) Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn \[\left[ { - 1;0} \right]\] bằng \[ - 1\]. Chọn Sai
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn.Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.
Cho hình lăng trụ đứng \[ABC.A'B'C'\] có đáy \[ABC\] là tam giác vuông tại \[A,\] biết \[AB = 2,\]\[AC = 3,\] \[AA' = 4.\] Gọi \[M\] là trung điểm của \[AB.\] Khoảng cách giữa hai đường thẳng \[A'B\] và \[CM\] bằng bao nhiêu? (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
Lời giải
Đáp án: 0,86.
Gọi \(N\) là trung điểm của \(AA';\) kẻ \(AH \bot BA'\) tại \(H;AK \bot CI\) tại \(K.\) Khi đó (đường trung bình tam giác \(ABA'\)), mà \(MN \subset (CMN)\) nên .
Do đó \({\rm{d}}(BA',CM) = {\rm{d}}(BA',(CMN)) = {\rm{d}}(H,(CMN)) = {\rm{d}}(A,(CMN)) = AK{\rm{ (v\`i }}AK \bot (CMN){\rm{)}}{\rm{.}}\)
Chứng minh \(AK \bot (CMN)\)
Lăng trụ đứng nên \(AC \bot AA'\); \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) nên \(AC \bot AB \Rightarrow AC \bot (ABA')\)
Mà \(MN \subset (ABA') \Rightarrow MN \bot AC\)
Mặt khác
\(AH \cap AC = A \Rightarrow MN \bot (CMN),AK \subset (CMN) \Rightarrow AK \bot MN\)
\(AK \bot CI,MN \cap CM = I \Rightarrow AK \bot (CMN).\)
Ta có \(A{K^2} = \frac{{A{I^2}.A{C^2}}}{{A{I^2} + A{C^2}}} = \frac{{\frac{{A{M^2}.A{N^2}}}{{A{M^2} + A{N^2}}}.A{C^2}}}{{\frac{{A{M^2}.A{N^2}}}{{A{M^2} + A{N^2}}} + A{C^2}}} = \frac{{\frac{{1.4}}{{1 + 4}}.9}}{{\frac{{1.4}}{{1 + 4}} + 9}} = \frac{{36}}{{49}} \Rightarrow AK = \frac{6}{7} \approx 0,86.\)
Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm \(M\left( {1; - 2; - 5} \right)\). Gọi \(\left( P \right)\) là mặt phẳng đi qua \(M\) và cách gốc tọa độ một khoảng lớn nhất. Biết \(\left( P \right)\) cắt \(Ox,{\rm{ }}Oy,{\rm{ }}Oz\) lần lượt tại ba điểm \(A;{\rm{ }}B;{\rm{ }}C\). Thể tích tứ diện \(OABC\) bằng bao nhiêu?
Lời giải
Đáp số: 450
Ta có: \(d\left( {O;\left( P \right)} \right) \le OM\).
Để \(\left( P \right)\)cách gốc tọa độ một khoảng lớn nhất thì \(d\left( {O;\left( P \right)} \right) = OM\). Khi đó \(\left( P \right)\) là mặt phẳng đi qua \(M\) và nhận \(\overrightarrow {OM} \) làm vectơ pháp tuyến.
Vậy \(\left( P \right):\left( {x - 1} \right) - 2\left( {y + 2} \right) - 5\left( {z + 5} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \left( P \right):x - 2y - 5z - 30 = 0\).
\(\left( P \right) \cap Ox = A\left( {30;0;0} \right)\); \(\left( P \right) \cap Oy = B\left( {0; - 15;0} \right)\); \(\left( P \right) \cap Oz = C\left( {0;0; - 6} \right)\)
Thể tích tứ diện \(OABC\) là: \(V = \frac{1}{6}OA.OB.OC = \frac{1}{6}.30.15.6 = 450\)(đơn vị thể tích).
Ở giai đoạn thải trừ, giai đoạn cuối sau khi một người uống một liều thuốc, nồng độ thuốc trong máu, ký hiệu là \(C(t)\) (đơn vị: mg/l), giảm dần sau \(t\) giờ kể từ khi giai đoạn này bắt đầu. Khi đó, tốc độ giảm nồng độ \(C'(t)\) tỉ lệ với chính nồng độ hiện có, tức là: \(\frac{{C'(t)}}{{C(t)}} = - k\). (\(k\) là một hằng số dương). Biết rằng khi bắt đầu giai đoạn thải trừ, nồng độ thuốc còn lại là 12 mg/l và sau 6 giờ kể từ lúc bắt đầu thải trừ, nồng độ đo được là 3 mg/l. Sau khoảng bao nhiêu giờ thì nồng độ còn lại bằng 2 mg/l?(kết quả làm tròn đến hàng phần mười).
Lời giải
Đáp án: 7,8
Bước 1: Tìm hàm nồng độ thuốc \(C(t)\)
Từ phương trình tỉ lệ đã cho, ta lấy nguyên hàm hai vế theo biến \(t\):
\(\int {\frac{{C'(t)}}{{C(t)}}} dt = \int - kdt \Leftrightarrow \ln |C(t)| = - kt + {C_1}\)
Vì nồng độ \(C(t) > 0\), ta có thể viết lại phương trình dưới dạng hàm số mũ:
\(C(t) = {e^{ - kt + {C_1}}} = {e^{{C_1}}} \cdot {e^{ - kt}}\)
Đặt \({C_0} = {e^{{C_1}}}\), ta có công thức tổng quát: \(C(t) = {C_0} \cdot {e^{ - kt}}\)
Bước 2: Tìm các hằng số \({C_0}\) và \(k\)
Tại thời điểm bắt đầu (\(t = 0\)), nồng độ là 12 mg/l: \(C(0) = {C_0} \cdot {e^0} = 12 \Rightarrow {C_0} = 12\)
Vậy hàm số là \(C(t) = 12 \cdot {e^{ - kt}}\).
Sau 6 giờ (\(t = 6\)), nồng độ là 3 mg/l:
\(C(6) = 12 \cdot {e^{ - 6k}} = 3 \Leftrightarrow {e^{ - 6k}} = \frac{3}{{12}} = \frac{1}{4} \Leftrightarrow - 6k = \ln \left( {\frac{1}{4}} \right) \Rightarrow k = \frac{{ - \ln (0.25)}}{6}\)
Bước 3: Tính thời gian \(t\) khi nồng độ còn 2 mg/l
Ta cần tìm \(t\) sao cho \(C(t) = 2 \Leftrightarrow \) \(12 \cdot {e^{ - kt}} = 2 \Leftrightarrow {e^{ - kt}} = \frac{2}{{12}} = \frac{1}{6} \Leftrightarrow - kt = \ln \left( {\frac{1}{6}} \right) \Rightarrow t = \frac{{ - \ln (1/6)}}{k}\)
Thay giá trị \(k\) đã tìm được ở trên vào: \(t = \frac{{ - \ln (1/6)}}{{\frac{{ - \ln (0.25)}}{6}}} = \frac{{6 \cdot \ln (6)}}{{\ln (4)}} \approx 7,7548...\)
Làm tròn kết quả đến hàng phần mười, ta được \(t \approx 7,8\) giờ.
Một màn chơi của một trò chơi điện tử được thiết kế như sau: có năm vị trí \[A\], \[B\], \[C\], \[D\], \[E\], được đặt ở năm đỉnh của một hình chóp tứ giác. Nhân vật sẽ được đặt ở một vị trí bất kỳ, và có thể di chuyển tự do giữa các đỉnh với nhau, mỗi lần di chuyển đều phải từ đỉnh này di chuyển đến đỉnh khác. Giả sử khi bắt đầu, nhân vật được đặt ở vị trí \[A\]. Số cách di chuyển để sau sáu bước nhảy, nhân vật quay lại vị trí \[A\] là bao nhiêu?
Lời giải
Đáp án: \[820\]
Vì mỗi bước có \[4\] cách đi nên tổng số cách đi sau \[n\] bước là \[{4^n}\].
Gọi \[{u_n}\] là số cách đi từ \[A\] để sau đúng \[n\] bước nhân vật ở vị trí \[A\].
Trong \[{4^n}\] bước, có \[2\] trường hợp:
- Nhân vật ở vị trí \[A\]: có \[{u_n}\] cách. Khi đó bước \[n + 1\] nhân vật không thể ở vị trí \[A\].
- Nhân vật không ở vị trí \[A\]: có \[{4^n} - {u_n}\] cách. Khi đó có đúng \[1\] cách để bước \[n + 1\] nhân vật ở vị trí \[A\].
Suy ra \[{u_{n + 1}} = 0 \cdot {u_n} + 1 \cdot \left( {{4^n} - {u_n}} \right) = {4^n} - {u_n}\].
Ta có:
\[{u_0} = 1\]
\[{u_1} = 0\]
\[{u_2} = {4^1} - {u_1} = 4\]
\[{u_3} = {4^2} - {u_2} = 12\]
\[{u_4} = {4^3} - {u_3} = 52\]
\[{u_5} = {4^4} - {u_4} = 204\]
\[{u_6} = {4^5} - {u_5} = 820\]
Một nhà máy sản xuất \(x\) sản phẩm trong mỗi tháng. Chi phí sản xuất \(x\) sản phẩm được cho bởi hàm chi phí \(C\left( x \right) = 16000 + 500x - 1,6{x^2} + 0,004{x^3}\) (nghìn đồng). Biết giá bán của mỗi sản phẩm là một hàm số phụ thuộc vào số lượng sản phẩm \(x\)và được cho bởi công thức \(p\left( x \right) = 1700 - 7x\) (nghìn đồng). Hỏi mỗi tháng nhà máy nên sản xuất bao nhiêu sản phẩm để lợi nhuận thu được là lớn nhất? Biết rằng kết quả khảo sát thị trường cho thấy sản phẩm sản xuất ra sẽ được tiêu thụ hết.
Lời giải
Đáp án: 100.
Hàm doanh thu: \(T\left( x \right) = xp\left( x \right) = 1700x - 7{x^2}\).
Hàm chi phí: \(C\left( x \right) = 16000 + 500x - 1,6{x^2} + 0,004{x^3}\).
Hàm lợi nhuận: \(\pi \left( x \right) = T\left( x \right) - C\left( x \right) = - 0,004{x^3} - 5,4{x^2} + 1200x - 16000\).
Đạo hàm: \(\pi '\left( x \right) = - 0,012{x^2} - 10,8x + 1200\); \(\pi '\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 100 \in \left( {0;\frac{{1700}}{7}} \right)\\x = - 1000 \notin \left( {0;\frac{{1700}}{7}} \right)\end{array} \right.\).
Bảng biến thiên:
Vậy để lợi nhuận thu được là lớn nhất thì nhà máy nên sản xuất mỗi tháng \(100\) sản phẩm.
Tại chương trình “Gian hàng khởi nghiệp” của nhà trường, ban tổ chức mở một gian hàng “Vòng quay may mắn”, toàn bộ số tiền thu được sẽ được quyên góp vào quỹ “Mùa xuân cho em”. Luật chơi của gian hàng như sau: Một vòng quay được chia thành \(40\) ô, có kích thước bằng nhau, gồm
- \(1\) ô ghi “Phần quà trị giá \(200\) nghìn đồng”.
- \(4\) ô ghi “Phần quà trị giá \(50\) nghìn đồng”.
- \(10\) ô ghi “Phần quà trị giá \(20\) nghìn đồng”.
- \(25\) ô ghi “Chúc bạn may mắn lần sau”.
Mỗi lượt chơi, người tham gia sẽ trả \(25\) nghìn đồng để quay vòng quay và nhận phần quà có trị giá tương ứng với ô mà mũi tên trên vòng quay chỉ vào. Hỏi trung bình, ban tổ chức thu được bao nhiêu nghìn đồng trên một lượt từ mỗi người chơi?
Lời giải
Đáp án: \(10\).
Vì vòng quay có \(40\) ô kích thước bằng nhau, để tính mức trung bình, ta giả sử có \(40\) người chơi tham gia và mũi tên quay trúng đều vào tất cả \(40\) ô (mỗi ô trúng đúng \(1\) lần).
Tổng số tiền ban tổ chức thu được từ \(40\) người chơi là
\[40\,.\,25{\rm{ }} = 1000\] (nghìn đồng).
Tổng số tiền thưởng ban tổ chức phải trả cho \(40\) người này sẽ bao gồm:
- \(1\) ô \(200\) nghìn đồng: \[1\,.\,200 = 200\] (nghìn đồng)
- \(4\) ô \(50\) nghìn đồng: \(4\,.\,50 = 200\) (nghìn đồng)
- \(10\) ô \(20\) nghìn đồng: \(10\,.\,20 = 200\) (nghìn đồng)
- \(25\) ô \(0\) đồng (“Chúc bạn may mắn lần sau”): \(0\) (nghìn đồng)
Tổng chi phí ban tổ chức trả thưởng là
\[200 + 200 + 200 = 600\] (nghìn đồng).
Sau 40 lượt quay, số tiền lãi ban tổ chức thu được là
\(1000 - 600 = 400\) (nghìn đồng).
Vậy trung bình một lượt chơi từ mỗi người chơi, ban tổ chức thu được số tiền là
\(\frac{{400}}{{40}} = 10\) (nghìn đồng).
