Đề thi thử Tốt nghiệp THPT Toán 2025-2026 Sở Lạng Sơn có đáp án

Lời giải

Chọn B

Ta có: \(SA = SC\) nên tam giác \(SAC\) cân tại \(S\), \(SO \bot AC\).

\(SB = SD\) nên tam giác \(SBD\) cân tại \(S\), \(SO \bot BD\).

Mà \(AC \cap BD = O,AC,BD \subset \left( {ABCD} \right)\) nên \[SO \bot \left( {ABCD} \right)\]

Lời giải

Chọn C

Tọa độ của vectơ \(\overrightarrow w  = \overrightarrow u  - \overrightarrow v  = \left( {1 - 1; - 2 - 3;2 + 5} \right) = \left( {0; - 5;7} \right)\).

Lời giải

Chọn B

Ta có: \[\int\limits_4^3 {f\left( x \right)dx = 2} \]\( \Rightarrow \int\limits_3^4 {f\left( x \right)dx =  - 2} \)

\[\int\limits_0^4 {f\left( x \right)dx = \int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx}  + \int\limits_3^4 {f\left( x \right)dx} } \]\( \Leftrightarrow  - 3 = \int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx}  + \left( { - 2} \right)\)\( \Leftrightarrow \int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx}  =  - 1\).

Lời giải

a) Đúng

Doanh thu \(R\left( t \right)\) được tính bằng tích phân của tốc độ doanh thu \(R'\left( t \right)\) theo thời gian. Do đó, doanh thu sau 10 năm (từ \(t = 0\) đến \(t = 10\)) là:

 \(R\left( {10} \right) = \int\limits_0^{10} {R'\left( t \right)dt} \) =\(\int\limits_0^{10} {\left( {588 - 3{t^2}} \right)dt} \).

b) Đúng

Tổng chi phí vận hành và bảo trì trong 6 năm là tích phân của chi phí biên \(C'\left( t \right)\) từ 0 đến 6: \[\int\limits_0^6 {\left( {48 + 12{t^2}} \right)dt}  = \left. {\left( {48t + 4{t^3}} \right)} \right|_0^6 = \left( {48 \times 6 + 4 \times {6^3}} \right) - 0 = 1152\] (triệu đồng).

c) Sai

Ta có doanh thu là \(R\left( t \right) = \int {R'\left( t \right)dt}  = \int {\left( {588 - 3{t^2}} \right)dt}  = 588t - {t^3} + {C_1}\)

Mà \(R\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow {C_1} = 0 \Rightarrow R\left( t \right) = 588t - {t^3}\).

Chi phí là \(C\left( t \right) = \int {C'\left( t \right)dt}  = \int {\left( {48 + 12{t^2}} \right)dt}  = 48t + 4{t^3} + C\).

Mà \(C\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow C = 0 \Rightarrow C\left( t \right) = 48t + 4{t^3}\).

Lợi nhuận \(L(t) = R\left( t \right) - C\left( t \right) = 588t - {t^3} - \left( {48t + 4{t^3}} \right)\).

Do đó \(L\left( t \right) \ge 0\)\[ \Leftrightarrow 588t - {t^3} \ge 48t + 4{t^3} \Leftrightarrow 5{t^2} \le 540 \Leftrightarrow {t^2} \le 36 \Rightarrow t \le 6\].

Do đó lợi nhuận bắt đầu giảm khi \(t > 6\).

Vậy tuổi thọ hữu ích của máy là 6 năm.

d) Sai

Lợi nhuận trong suốt tuổi thọ hữu ích (6 năm đầu) là

\(\int\limits_0^6 {\left[ {\left( {588 - 3{t^2}} \right) - \left( {48 + 12{t^2}} \right)} \right]} dt = \int\limits_0^6 {\left( {540 - 15{t^2}} \right)} dt = \left. {\left( {540t - 5{t^3}} \right)} \right|_0^6 = 2160\)(triệu đồng).

Lời giải

a) Đúng

Mỗi học sinh có 2 khả năng (ngửa hoặc sấp tương ứng với đứng hoặc ngồi).

Có tám học sinh tung độc lập nên tổng số kết quả có thể xảy ra là: \[{2^8} = 256\].

b) Đúng

Có tám học sinh nên số cách chọn một người đứng lên là: \[C_8^1 = 8\].

c) Sai

Số cách chọn hai bạn đứng lên bất kì là: \[C_8^2 = 28\].

Trong một bàn tròn tám ghế, có đúng tám cặp ghế kề nhau (1-2, 2-3, …, 8-1) nên có 8 cách chọn hai bạn đứng lên mà hai bạn đó ngồi cạnh nhau.

Vậy số cách để hai bạn đứng lên mà không đứng cạnh nhau là: \[28 - 8 = 20\].

d) Sai

Gọi \(A\) là biến cố: “không có hai người liền kề cùng đứng”.

Nếu có nhiều hơn bốn người đứng thì hiển nhiên biến cố \(A\) không xảy ra.

Do đó ta chỉ có các trường hợp sau:

TH1: Không có bạn nào đứng: có 1 cách.

TH2: Có một bạn đứng: có 8 cách.

TH3: Có hai bạn đứng mà không đứng cạnh nhau: có 20 cách (như trên câu c).

TH4: Có ba bạn đứng mà không có hai bạn nào đứng cạnh nhau.

·       Chọn ba bạn đứng lên bất kì có: \[C_8^3 = 56\] cách.

·       Chọn ba bạn đứng lên mà cả ba bạn liền kề nhau, có 8 cách (1-2-3, 2-3-4, …, 8-1-2)

·       Chọn ba bạn đứng lên mà chỉ có đúng hai bạn đứng cạnh nhau:

-  Có 8 cách chọn ra một bạn đứng.

-  Với mỗi cách chọn ra một bạn đứng, có 4 cách chọn ra hai bạn đứng cạnh nhau và không đứng cạnh bạn vừa chọn (ví dụ chọn bạn vị trí thứ nhất thì có 4 cách chọn hai bạn đứng cạnh nhau và không đứng cạnh bạn thứ nhất là: 3-4, 4-5, 5-6, 6-7).

Vậy có tất cả: \[56 - 8 - 8.4 = 16\] cách.

TH5: Có bốn bạn đứng lên và không có hai bạn nào đứng cạnh nhau: có 2 cách là các cặp 1-3-5-7 và 2-4-6-8.

Vậy số phần tử của biến cố A là: \[n\left( A \right) = 1 + 8 + 20 + 16 + 2 = 47\].

(Có thể áp dụng công thức, số cách chọn \(k\) bạn đứng lên trong bàn tròn \(n\) chỗ mà không có hai bạn nào đứng cạnh nhau là: \[\frac{n}{{n - k}}C_{n - k}^k\]).

Xác suất để có ít nhất hai bạn ngồi liền kề phải đứng lên là:

\[P\left( {\overline A } \right) = 1 - P\left( A \right) = 1 - \frac{{47}}{{256}} = \frac{{209}}{{256}}\].

Lời giải

a) [NB] Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right)\) là \(\overrightarrow n  = \left( {3{\rm{ }};{\rm{ }} - 2{\rm{ }};{\rm{ }}1} \right)\). Chọn Đúng

b) [NB] Ta có: \(3.1 - 2.\left( { - 1} \right) + 2 + 4 \ne 0\) nên \(M\)\( \notin \) \(\left( P \right)\). Chọn Đúng

c) \(\left( Q \right){\rm{ // }}\left( P \right)\) nên \(\left( Q \right)\) có phương trình \(3x - 2y + z + m = 0\)

-     \(\left( Q \right)\)qua điểm \(M\) nên \(3.1 - 2.\left( { - 1} \right) + 2 + m = 0\).

-    \( \Leftrightarrow m =  - 7\)

-     Phương trình tổng quát của \(\left( Q \right)\) là: \(3x - 2y + z - 7 = 0\).

Chọn Sai

d) Mặt phẳng \(\left( R \right)\)song song với mặt phẳng  \(\left( P \right)\) nên \(\left( R \right)\) có dạng \(3x - 2y + z + n = 0\), \(n \ne 4\).

Ta có: \(d\left( {M,\left( R \right)} \right) = \frac{{\left| {3.1 - 2.\left( { - 1} \right) + 2 + n} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {2^2} + {1^2}} }}\)

                  \( \Leftrightarrow \frac{{\left| {7 + n} \right|}}{{\sqrt {14} }} = \frac{{11}}{{\sqrt {14} }}\)

                  \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 4\\n =  - 18\end{array} \right.\)

Vì \(n \ne 4\)nên mặt phẳng  \(\left( R \right)\) phương trình là \[3x{\rm{ }} - {\rm{ }}2y{\rm{ }} + {\rm{ }}z{\rm{ }} - {\rm{ }}18{\rm{ }} = {\rm{ }}0{\rm{ }}\]. Chọn Đúng

Lời giải

a) Dựa vào đồ thị hàm số nghịch biến trên khoảng \[\left( { - 1;1} \right)\]. Chọn Đúng

b) Dựa vào đồ thị hàm số đạt cực tiểu tại điểm \[{x_0} = 1\]. Chọn Đúng

c) Đạo hàm của hàm số nhận giá trị dương trên khoảng \[\left( { - \infty ; - 1} \right)\]. Chọn Đúng

d) Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn \[\left[ { - 1;0} \right]\] bằng \[ - 1\]. Chọn Sai

Lời giải

Đáp án: 0,86.

Gọi \(N\) là trung điểm của \(AA';\) kẻ \(AH \bot BA'\) tại \(H;AK \bot CI\) tại \(K.\) Khi đó  (đường trung bình tam giác \(ABA'\)), mà \(MN \subset (CMN)\) nên .

Do đó \({\rm{d}}(BA',CM) = {\rm{d}}(BA',(CMN)) = {\rm{d}}(H,(CMN)) = {\rm{d}}(A,(CMN)) = AK{\rm{ (v\`i  }}AK \bot (CMN){\rm{)}}{\rm{.}}\)

Chứng minh \(AK \bot (CMN)\)

Lăng trụ đứng nên \(AC \bot AA'\); \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) nên \(AC \bot AB \Rightarrow AC \bot (ABA')\)

Mà \(MN \subset (ABA') \Rightarrow MN \bot AC\)

Mặt khác

\(AH \cap AC = A \Rightarrow MN \bot (CMN),AK \subset (CMN) \Rightarrow AK \bot MN\)

\(AK \bot CI,MN \cap CM = I \Rightarrow AK \bot (CMN).\)

Ta có \(A{K^2} = \frac{{A{I^2}.A{C^2}}}{{A{I^2} + A{C^2}}} = \frac{{\frac{{A{M^2}.A{N^2}}}{{A{M^2} + A{N^2}}}.A{C^2}}}{{\frac{{A{M^2}.A{N^2}}}{{A{M^2} + A{N^2}}} + A{C^2}}} = \frac{{\frac{{1.4}}{{1 + 4}}.9}}{{\frac{{1.4}}{{1 + 4}} + 9}} = \frac{{36}}{{49}} \Rightarrow AK = \frac{6}{7} \approx 0,86.\)

Lời giải

Đáp số: 450

Ta có: \(d\left( {O;\left( P \right)} \right) \le OM\).

Để \(\left( P \right)\)cách gốc tọa độ một khoảng lớn nhất thì \(d\left( {O;\left( P \right)} \right) = OM\). Khi đó \(\left( P \right)\) là mặt phẳng đi qua \(M\) và nhận \(\overrightarrow {OM} \) làm vectơ pháp tuyến.

Vậy \(\left( P \right):\left( {x - 1} \right) - 2\left( {y + 2} \right) - 5\left( {z + 5} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \left( P \right):x - 2y - 5z - 30 = 0\).

\(\left( P \right) \cap Ox = A\left( {30;0;0} \right)\); \(\left( P \right) \cap Oy = B\left( {0; - 15;0} \right)\); \(\left( P \right) \cap Oz = C\left( {0;0; - 6} \right)\)

Thể tích tứ diện \(OABC\) là: \(V = \frac{1}{6}OA.OB.OC = \frac{1}{6}.30.15.6 = 450\)(đơn vị thể tích).

Lời giải

Đáp án: 7,8

Bước 1: Tìm hàm nồng độ thuốc \(C(t)\)

Từ phương trình tỉ lệ đã cho, ta lấy nguyên hàm hai vế theo biến \(t\):

\(\int {\frac{{C'(t)}}{{C(t)}}} dt = \int  -  kdt \Leftrightarrow \ln |C(t)| =  - kt + {C_1}\)

Vì nồng độ \(C(t) > 0\), ta có thể viết lại phương trình dưới dạng hàm số mũ:

\(C(t) = {e^{ - kt + {C_1}}} = {e^{{C_1}}} \cdot {e^{ - kt}}\)

Đặt \({C_0} = {e^{{C_1}}}\), ta có công thức tổng quát: \(C(t) = {C_0} \cdot {e^{ - kt}}\)

Bước 2: Tìm các hằng số \({C_0}\) và \(k\)

Tại thời điểm bắt đầu (\(t = 0\)), nồng độ là 12 mg/l: \(C(0) = {C_0} \cdot {e^0} = 12 \Rightarrow {C_0} = 12\)

Vậy hàm số là \(C(t) = 12 \cdot {e^{ - kt}}\).

Sau 6 giờ (\(t = 6\)), nồng độ là 3 mg/l:

\(C(6) = 12 \cdot {e^{ - 6k}} = 3 \Leftrightarrow {e^{ - 6k}} = \frac{3}{{12}} = \frac{1}{4} \Leftrightarrow  - 6k = \ln \left( {\frac{1}{4}} \right) \Rightarrow k = \frac{{ - \ln (0.25)}}{6}\)

Bước 3: Tính thời gian \(t\) khi nồng độ còn 2 mg/l

Ta cần tìm \(t\) sao cho \(C(t) = 2 \Leftrightarrow \) \(12 \cdot {e^{ - kt}} = 2 \Leftrightarrow {e^{ - kt}} = \frac{2}{{12}} = \frac{1}{6} \Leftrightarrow  - kt = \ln \left( {\frac{1}{6}} \right) \Rightarrow t = \frac{{ - \ln (1/6)}}{k}\)

Thay giá trị \(k\) đã tìm được ở trên vào: \(t = \frac{{ - \ln (1/6)}}{{\frac{{ - \ln (0.25)}}{6}}} = \frac{{6 \cdot \ln (6)}}{{\ln (4)}} \approx 7,7548...\)

Làm tròn kết quả đến hàng phần mười, ta được \(t \approx 7,8\) giờ.

Lời giải

Đáp án: \[820\]

Vì mỗi bước có \[4\] cách đi nên tổng số cách đi sau \[n\] bước là \[{4^n}\].

Gọi \[{u_n}\] là số cách đi từ \[A\] để sau đúng \[n\] bước nhân vật ở vị trí \[A\].

Trong \[{4^n}\] bước, có \[2\] trường hợp:

- Nhân vật ở vị trí \[A\]: có \[{u_n}\] cách. Khi đó bước \[n + 1\] nhân vật không thể ở vị trí \[A\].

- Nhân vật không ở vị trí \[A\]: có \[{4^n} - {u_n}\] cách. Khi đó có đúng \[1\] cách để bước \[n + 1\] nhân vật ở vị trí \[A\].

Suy ra \[{u_{n + 1}} = 0 \cdot {u_n} + 1 \cdot \left( {{4^n} - {u_n}} \right) = {4^n} - {u_n}\].

Ta có:

\[{u_0} = 1\]

\[{u_1} = 0\]

\[{u_2} = {4^1} - {u_1} = 4\]

\[{u_3} = {4^2} - {u_2} = 12\]

\[{u_4} = {4^3} - {u_3} = 52\]

\[{u_5} = {4^4} - {u_4} = 204\]

\[{u_6} = {4^5} - {u_5} = 820\]

Lời giải

Đáp án: 100.

Hàm doanh thu: \(T\left( x \right) = xp\left( x \right) = 1700x - 7{x^2}\).

Hàm chi phí: \(C\left( x \right) = 16000 + 500x - 1,6{x^2} + 0,004{x^3}\).

Hàm lợi nhuận: \(\pi \left( x \right) = T\left( x \right) - C\left( x \right) =  - 0,004{x^3} - 5,4{x^2} + 1200x - 16000\).

Đạo hàm: \(\pi '\left( x \right) =  - 0,012{x^2} - 10,8x + 1200\); \(\pi '\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 100 \in \left( {0;\frac{{1700}}{7}} \right)\\x =  - 1000 \notin \left( {0;\frac{{1700}}{7}} \right)\end{array} \right.\).

Bảng biến thiên:

Vậy để lợi nhuận thu được là lớn nhất thì nhà máy nên sản xuất mỗi tháng \(100\) sản phẩm.

Lời giải

Đáp án: \(10\).

Vì vòng quay có \(40\) ô kích thước bằng nhau, để tính mức trung bình, ta giả sử có \(40\) người chơi tham gia và mũi tên quay trúng đều vào tất cả \(40\) ô (mỗi ô trúng đúng \(1\) lần).

Tổng số tiền ban tổ chức thu được từ \(40\) người chơi là

\[40\,.\,25{\rm{ }} = 1000\] (nghìn đồng).

Tổng số tiền thưởng ban tổ chức phải trả cho \(40\) người này sẽ bao gồm:

- \(1\) ô \(200\) nghìn đồng: \[1\,.\,200 = 200\] (nghìn đồng)

- \(4\) ô \(50\) nghìn đồng: \(4\,.\,50 = 200\) (nghìn đồng)

- \(10\) ô \(20\) nghìn đồng: \(10\,.\,20 = 200\) (nghìn đồng)

- \(25\) ô \(0\) đồng (“Chúc bạn may mắn lần sau”): \(0\) (nghìn đồng)

Tổng chi phí ban tổ chức trả thưởng là

\[200 + 200 + 200 = 600\] (nghìn đồng).

Sau 40 lượt quay, số tiền lãi ban tổ chức thu được là

\(1000 - 600 = 400\) (nghìn đồng).

Vậy trung bình một lượt chơi từ mỗi người chơi, ban tổ chức thu được số tiền là

\(\frac{{400}}{{40}} = 10\) (nghìn đồng).