Đề thi thử Tốt nghiệp THPT Toán 2025-2026 Sở Hưng Yên lần 1 có đáp án

Chọn A.

Từ phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\), ta có một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right)\) là \(\overrightarrow c \left( {1;2; - 1} \right)\).

Chọn D.

Ta có \({\log _a}\left( {{a^2}b} \right) = {\log _a}{a^2} + {\log _a}b = 2 + 5 = 7\).

Chọn D.

Ta có: \(AB = \sqrt {0 + {6^2} + {{\left( { - 8} \right)}^2}}  = 10\).

Chọn D.

Phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua điểm \(I\left( {2; - 1;3} \right)\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n \left( {2; - 2;1} \right)\)là:

\(2\left( {x - 2} \right) - 2\left( {y + 1} \right) + \left( {z - 3} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow 2x - 2y + z - 9 = 0\).

Chọn C

Điểm cực tiểu của hàm số đã cho là \(x = 1\).

Chọn B

\(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AB\\BC \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot SB\)

\(\left\{ \begin{array}{l}SB \bot BC\\AB \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow \left[ {S,BC,A} \right] = \widehat {SBA}\)

Do \(\Delta SAB\) vuông tại \(A\) có \(SA = AB = a\) nên \(\Delta SAB\) vuông cân tại \(A\)

\( \Rightarrow \widehat {SBA} = 45^\circ \)

\( \Rightarrow \left[ {S,BC,A} \right] = 45^\circ \).

Chọn B

Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = \frac{{2x + 3}}{{x - 2}}\) là \(x = 2\).

Chọn D

Tập xác định: \[D = \mathbb{R}\].

\(y' = 3{x^2} - 3\).

\(y' = 0 \Leftrightarrow x =  \pm 1\).               

Bảng biến thiên

Chọn D

Sử dụng tính chất của tích phân: \(\int_a^c f (x)dx = \int_a^b f (x)dx + \int_b^c f (x)dx\)

Ta có: \(\int_{17}^{2026} f (x)dx = \int_{17}^{89} f (x)dx + \int_{89}^{2026} f (x)dx\)

\( \Rightarrow 8 = \int_{17}^{89} f (x)dx + 10 \Rightarrow \int_{17}^{89} f (x)dx = 8 - 10 =  - 2\).

Chọn B

Theo bảng nguyên hàm cơ bản, ta có: \(\int {\sin } xdx =  - \cos x + C\).

Chọn C

Tổng số học sinh \(n = 1 + 4 + 15 + 16 + 4 = 40\).

Ta chọn các giá trị đại diện cho từng nhóm là trung bình cộng của hai mút:

\({c_1} = 1,{c_2} = 3,{c_3} = 5,{c_4} = 7,{c_5} = 9\).

Số trung bình cộng: \(\bar x = \frac{{1 \cdot 1 + 4 \cdot 3 + 15 \cdot 5 + 16 \cdot 7 + 4 \cdot 9}}{{40}} = \frac{{236}}{{40}} = 5,9\).

Chọn B

Cỡ mẫu \(n = 40\).

Do \(\frac{{3n}}{4} = \frac{{3 \cdot 40}}{4} = 30\).Vị trí của \({Q_3} = \frac{{{x_{30}} + {x_{31}}}}{2}\)

Giá trị này rơi vào nhóm [30; 35). Đây là nhóm chứa \({Q_3}\).

Áp dụng công thức: \({Q_3} = {u_m} + \frac{{\frac{{3n}}{4} - C}}{{{n_m}}} \cdot \left( {{u_{m + 1}} - {u_m}} \right) = 30 + \frac{{30 - 14}}{{25}} \cdot 5 = 30 + \frac{{16}}{5} = 30 + 3,2 = 33,2\).

a) Đúng. Ta có hệ số góc băng \(f\left( \pi  \right) = \sin \pi  + 2\pi  = 2\pi \).

b) Đúng. Họ nguyên hàm của \(f\left( x \right)\) là \(F\left( x \right) = \int {\left( {\sin x + 2x} \right)dx}  =  - \cos x + {x^2} + C\) (với C là hằng số).

c) Sai. Ta có \(F\left( x \right) =  - \cos x + {x^2} + C\)

\(F\left( 0 \right) = 4 \Leftrightarrow  - cos0 + 0 + C = 4 \Rightarrow C = 5\)

\(F\left( x \right) =  - \cos x + {x^2} + 5\).

d) Đúng. Thể tích khối tròn xoay sinh bởi miền phẳng D giới hạn bởi đồ thị hàm số  \(y = f\left( x \right)\), trục hoành và hai đường thẳng có phương trình \(x = 0,\,x = \frac{\pi }{2}\)  là

\(V = \pi \int_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\left( {\sin x + 2x} \right)}^2}} dx = \pi \int_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {{{\sin }^2}x + 4x\sin x + 4{x^2}} \right)} dx = \pi \left( {\frac{{{\pi ^3}}}{6} + \frac{\pi }{4} + 4} \right) \simeq 31,268620 \simeq 31\).

a) Sai.

Đáy bể là hình chữ nhật có chiều rộng \(x\), chiều dài là 2\(x\).

Diện tích đáy bể là: \({S_{{\rm{day}}}} = x \cdot 2x = 2{x^2}\).

Chi phí để xây phần đáy bể là: \(500 \cdot 2{x^2} = 1000{x^2}\) (nghìn đồng).

Thể tích bể là \(V = {S_{{\rm{d\'a y}}}} \cdot h = 2{x^2}h\). Do \(V = 12\) nên \(2{x^2}h = 12 \Rightarrow h = \frac{6}{{{x^2}}}\).

Diện tích xung quanh của bể (gồm 4 mặt bên, không nắp) là: \({S_{{\rm{xq}}}} = 2 \cdot (x \cdot h) + 2 \cdot (2x \cdot h) = 6xh\).

Chi phí để xây phần thành bể là: \(300 \cdot 6xh = 1800xh\).

Thay \(h = \frac{6}{{{x^2}}}\) vào, ta được chi phí xây thành bể là: \(1800x \cdot \frac{6}{{{x^2}}} = \frac{{10800}}{x}\) (nghìn đồng).

Tổng chi phí xây dựng bể là:

\(T(x) = 1000{x^2} + \frac{{10800}}{x}{\rm{ (ngh\`i n dong)}}\)

Biểu thức của bài toán đưa ra bị sai ở hệ số của \({x^2}\).

b) Đúng.

Như đã chứng minh ở ý a), từ công thức thể tích \(V = 2{x^2}h\) và giả thiết \(V = 12\), ta có:

\(2{x^2}h = 12 \Leftrightarrow {x^2}h = 6 \Leftrightarrow h = \frac{6}{{{x^2}}}\) (\(m\)).

c) Đúng.

Theo dữ kiện đề bài, đáy bể có chiều rộng là \(x\), chiều dài gấp đôi chiều rộng nên là 2\(x\).

Thể tích của bể nước hình hộp chữ nhật được tính bằng tích của diện tích đáy và chiều cao:

\(V = (x \cdot 2x) \cdot h = 2{x^2}h\) (\({m^3}\)).

d) Đúng.

Xét hàm số chi phí \(T(x) = 1000{x^2} + \frac{{10800}}{x}\) với điều kiện \(x > 0\).

Ta có đạo hàm:

\(T'(x) = 2000x - \frac{{10800}}{{{x^2}}} = \frac{{2000{x^3} - 10800}}{{{x^2}}}\)

Cho \(T'(x) = 0 \Leftrightarrow 2000{x^3} - 10800 = 0 \Leftrightarrow {x^3} = 5,4 \Leftrightarrow x = \sqrt[3]{{5,4}}\) (thỏa mãn \(x > 0\)).

Từ bảng biến thiên, ta thấy hàm số \(T(x)\) liên tục trên khoảng \((0; + \infty )\) và đạt giá trị nhỏ nhất tại \(x = \sqrt[3]{{5,4}}\).

Khi đó, chi phí tối thiểu để xây bể là: \(T(\sqrt[3]{{5,4}}) = 1000{(\sqrt[3]{{5,4}})^2} + \frac{{10800}}{{\sqrt[3]{{5,4}}}} \approx 9233,87\).

Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị theo yêu cầu bài toán, tổng chi phí tối thiểu là 9234 (nghìn đồng).

(a) Đúng.

Ta có: \(\overrightarrow {AD}  = \left( {1;0; - 2} \right)\).

(b) Đúng.

Gọi \(B\prime \left( {x;y;z} \right)\)

Do \(ABB\prime A\prime \) là hình bình hành nên \(\overrightarrow {AA\prime }  = \overrightarrow {BB\prime } \).

\(\overrightarrow {AA\prime }  = \left( { - 1;2; - 1} \right)\).

\(\overrightarrow {BB\prime }  = \left( {x;y - 2;z - 4} \right)\).

Từ \(\overrightarrow {BB\prime }  = \overrightarrow {AA\prime }  \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x =  - 1}\\{y - 2 = 2}\\{z - 4 =  - 1}\end{array}} \right.\)\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x =  - 1}\\{y = 4}\\{z = 3}\end{array}} \right.\)\( \Rightarrow B\prime \left( { - 1;4;3} \right)\)

(c) Sai.

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 1;3;1} \right)\) và \(\overrightarrow {AD}  = \left( {1;0; - 2} \right)\).

Tích vô hướng: \(\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {AD}  = \left( { - 1} \right) \cdot 1 + 3 \cdot 0 + 1 \cdot \left( { - 2} \right) =  - 3\).

Vì \(\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {AD}  < 0\) nên góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AD} \) là góc tù.

(d) Sai.

Ta có:

\(A'D{\rm{//}}B'C \subset \left( {CB'D'} \right)\)\( \Rightarrow A'D{\rm{//}}\left( {CB'D'} \right)\)

\(A'B{\rm{//}}D'C \subset \left( {CB'D'} \right)\)\( \Rightarrow A'B{\rm{//}}\left( {CB'D'} \right)\)

Mặt phẳng \(\left( {CB\prime D\prime } \right)\) đi qua \(B\prime \left( { - 1;4;3} \right)\) và có cặp vectơ chỉ phương:

\(\overrightarrow {A'D}  = \left( {2; - 2; - 1} \right)\); \(\overrightarrow {A'B}  = \left( {0;1;2} \right)\).

Vectơ pháp tuyến \(\vec n = \left[ {\overrightarrow {A\prime B} ,\overrightarrow {A\prime D} } \right] = \left( {3;4; - 2} \right)\).

Phương trình mặt phẳng \(\left( {CB\prime D\prime } \right)\): \(3\left( {x + 1} \right) + 4\left( {y - 4} \right) - 2\left( {z - 3} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow 3x + 4y - 2z - 7 = 0\).

Đối chiếu với dạng \(ax + by + cz - 7 = 0\), ta có \(a = 3,b = 4,c =  - 2\).

Khi đó \(a + b - c = 3 + 4 - \left( { - 2} \right) = 9\).

a) (Đúng) Gọi \[x,y\] lần lượt là số tấn sơn nội thất và sơn ngoài trời cần sản xuất \[x \ge 0,y \ge 0\].

b) Gọi \[x,y\] lần lượt là số tấn sơn nội thất và sơn ngoài trời cần sản xuất \[x \ge 0,y \ge 0\].

Theo đề bài ta có  \[\left\{ \begin{array}{l}2x + y \le 6\\x + 2y \le 8\\x - y \le 1\\0 \le x \le 2\\y \ge 0\end{array} \right.\] .

b) (Sai) Biểu thức doanh thu \[F\left( {x,y} \right) = 60x + 30y\]

Dựa vào đồ thị ta có các điểm \[A\left( {\frac{4}{3};\frac{{10}}{3}} \right),B\left( {2;2} \right),C\left( {2;1} \right),D\left( {0;4} \right);E\left( {1;0} \right);O\left( {0;0} \right)\];

Khi đó\[F\left( {x;y} \right) = F\left( {0;0} \right) = 0\]; \[F\left( {x;y} \right) = F\left( {\frac{4}{3};\frac{{10}}{3}} \right) = 180\]; \[F\left( {x;y} \right) = F\left( {2;2} \right) = 180\]; \[F\left( {x;y} \right) = F\left( {0;4} \right) = 120\]; \[F\left( {x;y} \right) = F\left( {1;0} \right) = 60\]

c) (Đúng) Do đó  \[MaxF\left( {x;y} \right) = 180\].

d) (Đúng) Ta có \[x + y \le 4,5\].

Doanh thu lớn nhất khi \[MaxF\left( {x;y} \right) = F\left( {\frac{4}{3};\frac{{10}}{3}} \right) = F\left( {2;2} \right) = 180\] đều thỏa mãn\[x + y \le 4,5\] .

Vì \[0 \le x \le 2\] nên lượng sơn nội thất cần sản suất ít nhất là \[1,4\] tấn.

Đáp án: 8,94.

\(y' = 3{x^2} - 12x + 9\)

\(y' = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 3\end{array} \right.\).

Hai điểm cực trị là \(A\left( {1;5} \right),\,\,B\left( {3;1} \right)\).

\(\overrightarrow {AB}  = \left( {2; - 4} \right) \Rightarrow AB = 2\sqrt 5 \).

Độ dài thực tế của khoảng cách giữa hai điểm \(A\) và \(B\) là \(2.2\sqrt 5  = 8,94\) mét.

Đáp án: \[162\]

Chỉ số tại thời điểm bắt đầu dự báo vào tháng 1 năm 2020 là \[CP{I_0} = \,118,09\]

Vào tháng 1 năm 2030, tương ứng sau 10 năm, tức là \[n = 10\], chỉ số CPI là

\[CP{I_{10}} = CP{I_0}{(1 + g)^{10}} = 118,09{(1 + 3,21\% )^{10}}\, \approx 162\].

Đáp án: 15

Thay \(S\left( t \right) = \frac{{10t + 5}}{{t + 1}}\) vào \(V\left( S \right) = \frac{{5S}}{{S + 2}}\), ta được \(V\left( t \right) = \frac{{5\left( {\frac{{10t + 5}}{{t + 1}}} \right)}}{{\frac{{10t + 5}}{{t + 1}} + 2}}\)\( = \frac{{50t + 25}}{{12t + 7}}\).

Khi thời gian \(t\) kéo dài, tốc độ sinh trưởng \(V\) tăng dần và ổn định quanh một ngưỡng \(K\) nhất định

Suy ra ngưỡng \(K\) chính là giới hạn của tốc độ sinh trưởng khi thời gian \(t\) tiến ra vô hạn \(\left( {t \to  + \infty } \right)\)

\(K = \mathop {\lim }\limits_{t \to  + \infty } V\left( t \right) = \mathop {\lim }\limits_{t \to  + \infty } \frac{{50t + 25}}{{12t + 7}} = \frac{{50}}{{12}} = \frac{{25}}{6}\)

Theo yêu cầu bài toán, ta cần tìm \(t\) sao cho \(V\left( t \right) = 90\%  \cdot K\)\[ = 0,9 \cdot \frac{{25}}{6} = \frac{9}{{10}} \cdot \frac{{25}}{6} = 3,75\].

Ta có phương trình \(\frac{{50t + 25}}{{12t + 7}} = 3,75\)

\( \Leftrightarrow 50t + 25 = 3,75 \cdot \left( {12t + 7} \right)\)

\( \Leftrightarrow t = 0,25\;\)(giờ)\( = 15\;\)(phút)

Vậy sau \(15\) phút thì tốc độ sinh trưởng của vi khuẩn sẽ đạt \(90\% \) ngưỡng ổn định \(K\).

Chọn hệ trục tọa độ \(Oxy\) sao cho \(O\) là trung điểm chân cổng, trục \(Oy\) thẳng đứng, đơn vị là mét.

Khi đó vòm cổng là một parabol có đỉnh \(I(0;4)\), đi qua hai điểm \(( - 2;0)\) và \((2;0)\), nên có phương trình \(y =  - {x^2} + 4.\)

Suy ra tại độ cao \(y\), bề rộng cổng là \(2x = 2\sqrt {4 - y} .\)

Gọi \({S_n}\) là diện tích lớp thứ \(n(n = 1,2, \ldots ,8)\).

Mỗi lớp cao \(0,5\;m\) nên \({S_n} = \int_{0,5(n - 1)}^{0,5n} 2 \sqrt {4 - y} dy = \frac{4}{3}\left[ {{{(4 - 0,5(n - 1))}^{3/2}} - {{(4 - 0,5n)}^{3/2}}} \right]\)

Đơn giá ốp Alu của lớp thứ \(n\) là \[{c_n} = 400 + 50(n - 1)\] (nghìn đồng/m2)

Vì lối đi hình chữ nhật ở giữa rộng 2 m, cao 2 m nên nó chiếm đúng 4 lớp đầu; trong mỗi lớp đầu bị loại đi diện tích \(2 \cdot 0,5 = 1\;{m^2}.\)

Do đó tổng chi phí là \(T = \sum\limits_{n = 1}^8 {{S_n}} {c_n} - (400 + 450 + 500 + 550).\) Suy ra được \(T \approx 3814,4.\)

Vậy chi phí cần tìm là 3814 nghìn đồng.

Đáp án: 73,5

Phương trình mặt chắn của \(\left( P \right)\) là: \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1\)                    (1)

Ta có \(|OA| = a\), \(|OB| = b,|OC| = c\)với \(a,b,c > 0\)

Vì \(OA = 2OB = 4OC\) nên \(a = 2b = 4c\quad (2)\)

Từ (1), (2) ta có: \(\frac{x}{{4c}} + \frac{y}{{2c}} + \frac{z}{c} = 1\)

\( \Leftrightarrow x + 2y + 4z - 4c = 0{\rm{     }}\left( P \right)\).

\(\left( P \right)\) qua điểm \(M\) nên: \(2 + 2 \cdot 4 + 4 \cdot 8 - 4c = 0\)\( \Leftrightarrow c = 10,5\).

Vậy \(a = 42,b = 21,c = \frac{{21}}{2}\).

\(T = a + b + c = 73,5\).

Đáp án: 2371

Gọi \({X_0}\)là tập hợp các số thuộc \(X\)chia hết cho \(3\) ( chia \(3\) dư \(0\)) \( \Rightarrow {X_0} = \left\{ {3;6} \right\}\)

       \({X_1}\)là tập hợp các số thuộc \(X\)chia \(3\) dư \(1\)\( \Rightarrow {X_1} = \left\{ {1;4;7} \right\}\)

      \({X_2}\)là tập hợp các số thuộc \(X\)chia \(3\) dư \(2\) \( \Rightarrow {X_2} = \left\{ {2;5;8} \right\}\)

      Số tự nhiên có \(4\)chữ số được lập từ tập \(X\)là \(\overline {abcd} \)

Theo giả thiết \(a,b,c,d\)đều có \(8\)cách chọn nên số các số tự nhiên có 4 chữ số lập được là \({8^4} = 4096\)

Để \(\overline {abcd} \)chia hết cho \(3\)thì tổng của \(4\)chữ số phải chia hết cho \(3\) do đó ta có các trường hợp

TH1: cả \(4\)chữ số đều chia hết cho \(3\)khi đó \(a,b,c,d\)thuộc \({X_0}\) do đó số các số TN lập được là \({2^4} = 16\)

TH2: Có 2 chữ số chia hết cho \(3\), \(1\)chữ số chia \(3\) dư 1, 1 chữ số chia 3 dư 2

Số các số TN lập được là \(C_4^2{.2^2}.C_2^1.3.3 = 432\)

TH3: Có 3 chữ số chia 3 dư 1 và có 1 chữ số chia hết cho 3

Số các số TN lập được là \(C_4^3{.3^3}.2 = 216\) (số)

TH4: có 3 chữ số chia 3 dư 2 và 1 chữ số chia hết cho 3

Số các số TN lập được là \(C_4^3{.3^3}.2 = 216\) (số)

TH5: Có 2 chữ số chia 3 dư 1và 2 chữ số chia 3 dư 2

Số các số TN lập được là \(C_4^2{.3^2}{.3^2} = 486\) (số)

Suy ra xác suất để chọn được số chia hết cho 3 là \(P = \frac{{16 + 432 + 216 + 216 + 486}}{{4096}} = \frac{{683}}{{2048}}\).

Suy ra \(a = 683,b = 2048\). Vậy \(T = a + b = 2731\).