Đề thi thử Tốt nghiệp THPT Toán 2025-2026 Sở Hải Phòng có đáp án
22 câu hỏi
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu thí sinh chỉ chọn một phương án
Cho tứ diện \[ABCD\] có \(M,\,\,N\) lần lượt là trung điểm \(AB,\,\,AC\). Mặt phẳng nào sau đây song song với đường thẳng \[MN\]?
\(\left( {ACD} \right)\).
\(\left( {ABD} \right)\).
\(\left( {ABC} \right)\).
\(\left( {BCD} \right)\).
Chọn D
Ta có \[MN\] là đường trung bình của tam giác \(ABC\) nên \[MN//BC\];
Mặt khác: \[BC \subset \left( {BCD} \right)\] và \[MN \not\subset \left( {BCD} \right)\].
Suy ra: \[MN//\left( {BCD} \right)\].
Cho hàm số \[f\left( x \right)\] có bảng biến thiên như sau:
![Chọn D Ta có \[MN\] là đường trung bình của (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2026/05/picture56-1778403130.png)
Giá trị cực đại của hàm số đã cho bằng
\(2\).
\( - 2\).
\(3\).
\( - 1\).
\(\left( {2; - 1;0} \right)\).
\(\left( { - 2; - 1;0} \right)\).
\(\left( {2;1;0} \right)\).
\(\left( {2; - 1;1} \right)\).
Chọn A
Gọi \(M\left( {x;y;z} \right)\). Ta có: \(\overrightarrow {MA} = \left( {2 - x;2 - y;3 - z} \right)\); \(\overrightarrow {MB} = \left( {2 - x; - 2 - y; - 1 - z} \right)\).
\(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {3MB} = \overrightarrow 0 \)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 - x + 3\left( {2 - x} \right) = 0\\2 - y + 3\left( { - 2 - y} \right) = 0\\3 - z + 3\left( { - 1 - z} \right) = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 4x = - 8\\ - 4y = 4\\ - 4z = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = - 1\\z = 0\end{array} \right.\).
Vậy \(M\left( {2; - 1;0} \right)\).
\(\int\limits_0^3 {{e^{2x}}dx} \).
\(\int\limits_0^3 {{e^x}dx} \).
\(\pi \int\limits_0^3 {{e^x}dx} \).
\(\pi \int\limits_0^3 {{e^{2x}}dx} \).
Chọn D
Thể tích khối tròn xoay \(V = \pi \int\limits_0^3 {{e^{2x}}dx} \).
8.
9.
16.
10.
Chọn B
Ta có bất phương trình:
\({\left( {\frac{1}{3}} \right)^{x - 1}} \le 3 \Leftrightarrow {3^{ - \left( {x - 1} \right)}} \le {3^1} \Leftrightarrow - \left( {x - 1} \right) \le 1 \Leftrightarrow - x + 1 \le 1 \Leftrightarrow x \ge 0.\)
Vì \(x \in \left[ { - 8;8} \right]\) và \(x \in \mathbb{Z}\) nên \(x \in \left\{ {0;1;2; \ldots ;8} \right\}\).
Vậy bất phương trình có \(9\) nghiệm nguyên trong đoạn \(\left[ { - 8;8} \right]\).
\(8{a^3}\).
\(4{a^3}\).
\(16{a^3}\).
\(24{a^3}\).
Chọn A
Vì tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\) nên diện tích đáy \(ABC\) là:
\({S_{ABC}} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 4a \cdot 3a = 6{a^2}.\)
Thể tích của khối chóp \(S.ABC\) là:
\(V = \frac{1}{3}{S_{ABC}} \cdot SA = \frac{1}{3} \cdot 6{a^2} \cdot 4a = 8{a^3}.\)
\(1000\log \alpha \).
\(3\log \alpha \).
\(1000 + \log \alpha \).
\(3 + \log \alpha \).
Chọn D
Với \(\alpha > 0\), ta có \(\log \left( {1000\alpha } \right) = \log 1000 + \log \alpha = 3 + \log \alpha .\)
\(5\).
\(3\).
\( - 2\).
\(8\).
Chọn A
Ta có số hạng tổng quát của cấp số cộng là \({u_n} = 3 + 5n\). Công sai của cấp số cộng được tính bằng:
\(d = {u_{n + 1}} - {u_n} = \left( {3 + 5\left( {n + 1} \right)} \right) - \left( {3 + 5n} \right) = 5.\)
Một cửa hàng quần áo khảo sát một số khách hàng xem họ dự định mua quần áo cho trẻ em với mức giá nào (đơn vị: nghìn đồng). Kết quả khảo sát được ghi lại ở bảng sau:
Mức giá | \(\left[ {60;90} \right)\) | \(\left[ {90;120} \right)\) | \(\left[ {120;150} \right)\) | \(\left[ {150;180} \right)\) | \(\left[ {180;210} \right)\) | \(\left[ {210;240} \right)\) | \(\left[ {240;270} \right)\) | \(\left[ {270;300} \right)\) |
Số khách hàng | \(20\) | \(65\) | \(40\) | \(25\) | \(12\) | \(10\) | \(8\) | \(5\) |
Khoảng \(\left[ {a;b} \right),\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)\) chứa tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm trên. Tính tổng \(S = a + b\) được kết quả là
\(210\).
\(90\).
\(150\).
\(120\).
Chọn A
Tổng số khách hàng: \(N = 20 + 65 + 40 + 25 + 12 + 10 + 8 + 5 = 185\).
Vị trí của tứ phân vị thứ nhất \({Q_1}\) nằm ở giá trị thứ \(\frac{N}{4} = \frac{{185}}{4} = 46,25\) của dãy số liệu đã sắp xếp.
Tần số tích luỹ của nhóm \(\left[ {60;90} \right)\) là \(20\).
Tần số tích lũy của nhóm \(\left[ {90;120} \right)\) là \(20 + 65 = 85\).
Vì \(20 < 46,25 \le 85\), nên giá trị thứ \(46,25\)sẽ rơi vào nhóm \(\left[ {90;120} \right)\).
Vậy nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là \(\left[ {90;120} \right)\).
Suy ra \(a = 90\) và \(b = 120\).
Vậy \(S = a + b = 90 + 120 = 210\).
\(ad > 0\).
\(a + d < 0\).
\(a + d > 0\).
\(ad < 0\).
Chọn C
Xét hệ số \(a\): Ta thấy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = + \infty \Rightarrow a > 0\).
Xét hệ số \(d\): Ta thấy giao điểm của hàm số với trục \(Oy\) tại điểm \(O\)\( \Rightarrow d = 0\).
\( \Rightarrow a + d > 0\)
\(x - 3y - 2z + 13 = 0\).
\(x - 3y - 2z + 11 = 0\).
\(x - 3y + 2z - 1 = 0\).
\(x + 3y - 2z + 1 = 0\).
Chọn B
Gọi mặt phẳng cần tìm là \(\left( P \right)\).
Ta có: \(\left( P \right) \bot AB \Rightarrow \vec n = \overrightarrow {AB} = \left( {1\,;\, - 3\,;\, - 2} \right)\)
Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua điểm \(A\left( {1;2;3} \right)\) và có vectơ pháp tuyến \(\vec n = \left( {1; - 3; - 2} \right)\) có phương trình là:
\(\begin{array}{l}1\left( {x - 1} \right) - 3\left( {y - 2} \right) - 2\left( {z - 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow x - 3y - 2z + 11 = 0\end{array}\)
\[S = \left\{ {\pi + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\].
\[S = \left\{ {\frac{\pi }{4} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\].
\[S = \left\{ {k2\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\].
\[S = \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\].
Chọn D
Ta có \(\cos x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng (Đ) hoặc sai (S)
Một tổ cắt vải của một công ty may mặc có hai chiếc máy. Xác suất để máy thứ nhất, máy thứ hai hoạt động ổn định lần lượt là 0,95 và 0,98. Biết việc hoạt động ổn định hay không ổn định của hai chiếc máy là đọc lập với nhau và tổ cắt vải hoạt động bình thường được khi ít nhất một máy hoạt động ổn định.Xác suất máy thứ nhất hoạt động không ổn định là \(0,05\).
Xác suất chỉ có một máy hoạt động ổng định là \(0,06\).
Xác suất cả hai máy đều không hoạt động ổn định là \(0,01\).
Xác suất để tổ cắt vải hoạt động bình thường là \(0,999\).
Gọi \(A\) là biến cố “Máy thứ nhất hoạt động ổn định”.
Gọi \(B\) là biến cố “Máy thứ hai hoạt động ổn định”.
Ta có \(P(A) = 0,95;\,\,P(B) = 0,98\).
a) Xác suất máy thứ nhất hoạt động không ổn định là \(P(\overline A ) = P(A) = 1 - 0,95 = 0,05\).
Vậy a – đúng.
b) Xác suất chỉ có một máy hoạt động ổng định là
\(P(A\overline B ) + P(\overline A B) = 0,95 \times 0,02 + 0,05 \times 0,98 = 0,068\).
Vậy b – sai.
c) Xác suất cả hai máy đều không hoạt động ổn định là \(P(\overline A \overline B ) = 0,05 \times 0,02 = 0,001\).
Vậy c – sai.
d) Xác suất để tổ cắt vải hoạt động bình thường là \(1 - 0,001 = 0,999\).
Vậy d – đúng.
Mặt cầu \((S)\) có tâm \(I(2;1; - 1)\).
Khoảng cách từ tâm \(I\) đến mặt phẳng \((P)\) bằng \(5\).
Gọi \(\alpha \) là góc giữa giá của \(\vec u\) và mặt phẳng \((P)\). Khi đó \(\cos \alpha = \frac{4}{{21}}\).
Gọi \(M,N\) là hai điểm lần lượt thuộc mặt cầu \((S)\) và mặt phẳng \((P)\). Biết đường thẳng \(MN\) có vectơ chỉ phương là \(\vec u\). Khi đoạn \(MN\) đạt giá trị lớn nhất thì tọa độ \(M(a;b;c)\) với \(a - 2b + 3c = 4\).
a) Sai.
Phương trình mặt cầu \((S)\) có các hệ số: \(A = 4,B = 2,C = - 2\).
Tọa độ tâm \(I\) được xác định bởi:\({x_I} = \frac{4}{{ - 2}} = - 2;{y_I} = \frac{2}{{ - 2}} = - 1;{z_I} = \frac{{ - 2}}{{ - 2}} = 1\).
Vậy tâm mặt cầu là \(I( - 2; - 1;1)\).
b) Đúng.
Sử dụng tọa độ tâm \(I( - 2; - 1;1)\) vừa tìm được:
\(d(I,(P)) = \frac{{|2( - 2) + 2( - 1) + 1 - 10|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + {1^2}} }} = \frac{{| - 4 - 2 + 1 - 10|}}{{\sqrt 9 }} = \frac{{| - 15|}}{3} = 5\).
c) Sai.
Góc \(\alpha \) giữa đường thẳng (có VTCP \(\vec u\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) (có VTPT \({\vec n_P} = (2;2;1)\)) được tính theo công thức:
\(\sin \alpha = \frac{{|\vec u \cdot {{\vec n}_P}|}}{{|\vec u| \cdot |{{\vec n}_P}|}} = \frac{{|3(2) + 2(2) + ( - 6)(1)|}}{{\sqrt {{3^2} + {2^2} + {{( - 6)}^2}} \cdot \sqrt {{2^2} + {2^2} + {1^2}} }} = \frac{{|6 + 4 - 6|}}{{7 \cdot 3}} = \frac{4}{{21}}\) nên \(\cos \alpha \ne \frac{4}{{21}}\).
d) Sai.
![+ Vì \(H \in (P)\), ta thay tọa độ của \(H\) vào phương trình mặt phẳng \[\left( P \right)\]: (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2026/05/picture59-1778403571.png)
Gọi \(H\)là hình chiếu của \(M\) lên \[\left( P \right)\].
Ta có: \(\sin \alpha = \frac{{MH}}{{MN}} = \frac{4}{{21}} \Leftrightarrow MN = \frac{{21}}{4}MH \Rightarrow M{N_{\max }} \Leftrightarrow M{H_{\max }}\).
Khi đó \(M\) nằm trên tia đối của tia \(IH\) và \(IM = 3\).
Xét \(\frac{{MI}}{{MH}} = \frac{3}{8} \Rightarrow 8MI = 3MH \Rightarrow 8\overrightarrow {MI} = 3\overrightarrow {MH} \Rightarrow 8\overrightarrow {MI} - 3\overrightarrow {MH} = \overrightarrow 0 \Rightarrow M\left( { - 4; - 3;0} \right)\).
Suy ra \(a - 2b + 3c = - 4 + 6 + 0 = 2\).
Ta tìm tọa độ điểm \(H\) như sau:
+ \(IH\) qua điểm \(I\) nhận VTPT của \[\left( P \right)\] làm VTCP nên \(IH:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 2 + 2t}\\{y = - 1 + 2t}\\{z = 1 + t}\end{array}} \right.\).
+ \(H \in IH\), tọa độ của \(H\) có dạng \(H( - 2 + 2t; - 1 + 2t;1 + t)\).
+ Vì \(H \in (P)\), ta thay tọa độ của \(H\) vào phương trình mặt phẳng \[\left( P \right)\]:
\(\begin{array}{l}2( - 2 + 2t) + 2( - 1 + 2t) + (1 + t) - 10 = 0 - 4 + 4t - 2 + 4t + 1 + t - 10 = 0\\ \Leftrightarrow t = \frac{5}{3} \Rightarrow H\left( {\frac{4}{3};\frac{7}{3};\frac{8}{3}} \right).\end{array}\)
\(y' = f'\left( x \right) = \frac{{{x^2} - 2x - 8}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}};\,\forall x \ne 1\).
Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là đường thẳng có phương trình \(y = x + 3\).
Khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số \(\left( C \right)\) bằng \(6\sqrt 5 \).
Gọi \(M\) là một điểm trên đồ thị. Tiếp tuyến tại \(M\) tạo với hai đường tiệm cận của \(\left( C \right)\) một tam giác có diện tích bằng \(18\).
a) Ta có
\(y' = f'\left( x \right) = \frac{{\left( {2x + 3} \right)\left( {x - 1} \right) - \left( {{x^2} + 3x + 5} \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\)\( = \frac{{2{x^2} - 2x + 3x - 3 - {x^2} - 3x - 5}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} - 2x - 8}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\), \(x \ne 1\)
b) Ta có \(y = \frac{{{x^2} + 3x + 5}}{{x - 1}} = x + 4 + \frac{9}{{x - 1}}\), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left[ {y - \left( {x + 4} \right)} \right] = 0\) nên tiệm cận xiên của đồ thị là đường thẳng \(y = x + 4\).
c) Ta có \(y' = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 8 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 2\\x = 4\end{array} \right.\)
Bảng biến thiên
![+ Vì \(H \in (P)\), ta thay tọa độ của \(H\) vào phương trình mặt phẳng \[\left( P \right)\]: (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2026/05/picture60-1778403638.png)
Đồ thị có hai điểm cực trị là \(A\left( { - 2; - 1} \right),B\left( {4;11} \right)\)
Khoảng cách giữa hai điểm cực trị là \(AB = \sqrt {{{\left( {4 + 2} \right)}^2} + {{\left( {11 + 1} \right)}^2}} = 6\sqrt 5 \).
d) Gọi \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) thuộc đồ thị hàm số \({x_0} \ne 1,{y_0} = {x_0} + 4 + \frac{9}{{{x_0} - 1}}\).
Hệ số góc của tiếp tuyến \(k = y'\left( {{x_0}} \right) = \frac{{x_0^2 - 2{x_0} - 8}}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}}\)
Phương trình tiếp tuyến là \(y = \frac{{x_0^2 - 2{x_0} - 8}}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}}\left( {x - {x_0}} \right) + {x_0} + 4 + \frac{9}{{{x_0} - 1}}\)
Đồ thị có hai đường tiệm cận là \(x = 1,y = x + 4\)
Giao của tiếp tuyến và tiệm cận đứng:
Cho \(x = 1\) \( \Rightarrow y = \frac{{x_0^2 - 2{x_0} - 8}}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}}\left( {1 - {x_0}} \right) + {x_0} + 4 + \frac{9}{{{x_0} - 1}}\)\( = \frac{{5{x_0} + 13}}{{{x_0} - 1}}\)\( \Rightarrow M\left( {1;\frac{{5{x_0} + 13}}{{{x_0} - 1}}} \right)\)
Giao của tiếp tuyến và tiệm cận xiên:
Xét phương trình hoành độ: \(x + 4 = \frac{{x_0^2 - 2{x_0} - 8}}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}}x + \frac{{4x_0^2 + 10{x_0} - 5}}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}}\)
\( \Leftrightarrow x = 2{x_0} - 1\)\( \Rightarrow y = 2{x_0} + 3\) \( \Rightarrow N\left( {2{x_0} - 1;2{x_0} + 3} \right)\)
Ta có tam giác \(IMN\), \(I\left( {1;5} \right)\) là giao điểm của hai đường tiệm cận.
Ta tìm góc giữa tiệm cận đứng và tiệm cận xiên
Gọi góc giữa hai đường tiệm cận là \(\varphi \), ta có vec tơ chỉ phương của hai đường tiệm cận là \(\overrightarrow u = \left( {1;0} \right),\overrightarrow v = \left( {1; - 1} \right)\) nên \(\cos \varphi = \frac{1}{{\sqrt 2 }} \Rightarrow \varphi = 45^\circ \).
Ta có góc \(\widehat {MIN}\)\( = 45^\circ \), \(IM = \left| {\frac{{5{x_0} + 13}}{{{x_0} - 1}} - 5} \right| = \frac{{18}}{{\left| {{x_0} - 1} \right|}}\), \(IN = \sqrt {{{\left( {2{x_0} - 2} \right)}^2} + {{\left( {2{x_0} - 2} \right)}^2}} = 2\sqrt 2 \left| {{x_0} - 1} \right|\)
Diện tích tam giác \(IMN\) là \({S_{IMN}} = \frac{1}{2}IM.IN.\sin \widehat {MIN} = \frac{1}{2}.\frac{{18}}{{\left| {{x_0} - 1} \right|}}.2\sqrt 2 \left| {{x_0} - 1} \right|.\frac{{\sqrt 2 }}{2} = 18\).
Khi bắt đầu chạy đà, vận tốc của máy bay là 10,8 km/h
Giá trị của \(a\) là 3.
Trước khi cất cánh, máy bay đã chạy một quãng đường 1200 mét trên đường băng.
Biết rằng máy bay có thể cất cánh nếu đạt vận tốc tối thiểu là 270 km/h. Sau khi chạy được 1150 mét trên đường băng, máy bay đã đủ điều kiện cất cánh.
a) Ta có \(v\left( 0 \right) = 3\) m/s \( = 10,8\) km/h
b) Ta có \(v\left( {30} \right) = 78 \Leftrightarrow 3 + a.30 = 78 \Leftrightarrow a = \frac{5}{2}.\)
c) Quãng đường máy bay chạy đà là \(\int_0^{30} {v\left( t \right){\rm{d}}t} = \int_0^{30} {\left( {3 + \frac{5}{2}t} \right){\rm{d}}t} = 1215{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\)
d) Gọi \[a\] (giây) là thời điểm mà máy bay chạy đà được 1150 m. Khi đó,
\[\int_0^a {v\left( t \right){\rm{d}}t} = 1150 \Leftrightarrow \int_0^a {\left( {3 + \frac{5}{2}t} \right){\rm{d}}t} = 1150 \Leftrightarrow 3a + \frac{5}{4}{a^2} = 1150 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a \approx 29,155\\a \approx - 31,555\end{array} \right.\]
Chọn \[a \approx 29,155.\] Khi đó, \(v\left( a \right) \approx 75,888{\rm{ }}\left( {{\rm{m/s}}} \right) \approx 273,197{\rm{ }}\left( {{\rm{km/h}}} \right) > 270\) nên máy bay đã đủ điều kiện cất cánh.
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.
Trong một kỳ thi bằng hình thức vấn đáp, ban tổ chức chuẩn bị một bộ câu hỏi gồm \(12\) câu hỏi khác nhau, mỗi câu được đựng trong một phong bì kín giống hệt nhau. Có ba thí sinh \(A,\,B\) và \(C\) cùng tham gia. Quy tắc chọn câu hỏi như sau: mỗi thí sinh lần lượt chọn ngẫu nhiên \(4\) phong bì từ bộ \(12\) câu hỏi đó để xác định phần thi của mình (sau khi mỗi thí sinh chọn xong, các câu hỏi được hoàn trả lại để thí sinh tiếp theo vẫn chọn từ bộ \(12\) câu ban đầu).
Biết rằng xác suất để xảy ra đồng thời hai điều kiện:
+ Điều kiện 1: Có ít nhất một câu hỏi mà cả ba thí sinh \(A,\,B,\,C\) đều chọn giống nhau.
+ Điều kiện 2: Tổng số câu hỏi khác nhau (bao gồm cả những câu ở Điều kiện 1) mà cả ba thí sinh đã chọn được là đúng \(9\) câu. được viết dưới dạng phân số tối giản \(\frac{a}{b}\) (với \(a,\,b\) là các số nguyên dương). Tính giá trị của biểu thức \(S = a + b.\)
Đáp án: 5893.
Mỗi thí sinh chọn ngẫu nhiên 4 câu hỏi từ bộ 12 câu (có hoàn lại sau mỗi lượt chọn của từng người).
Số cách chọn của mỗi thí sinh là \(C_{12}^4.\) Vì ba thí sinh chọn độc lập, tổng số trường hợp xảy ra là:
\(n\left( \Omega \right) = {\left( {C_{12}^4} \right)^3} = {495^3}.\)
Gọi \({x_i}\) là số câu hỏi \(i\) bạn cùng chọn. Khi đó, ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}{x_3} \ge 1\\{x_1} + {x_2} + {x_3} = 9\\{x_1} + 2{x_2} + 3{x_3} = 12\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} = 7\\{x_2} = {x_3} = 1\end{array} \right.\)
Tức là chọn 1 câu chung cho cả 3 người, 1 câu chung cho 2 người, và 7 câu chỉ có 1 người chọn.
Bước 1: Chọn các câu hỏi mục tiêu từ bộ 12 câu:
Chọn một câu cho \(3\) bạn \(\left( {{x_3} = 1} \right)\) có \(12\) cách.
Chọn 1 câu cho 2 bạn \(\left( {{x_2} = 1} \right)\)có \(11\) cách còn lại.
Chọn 7 câu cho 1 bạn \(\left( {{x_1} = 7} \right)\) có \(C_{10}^7\) cách còn lại
Bước 2: Phân bổ các câu hỏi vào từng thí sinh:
Số câu \(A\) cần thêm là \(2\)
Số câu \(B\) cần thêm là \(2\) \( \Rightarrow C_7^2.\,C_5^2.\,C_3^3\)
Số câu \(C\) cần thêm là \(3\)
Chọn \(2\) trong \(3\) bạn nhận câu \({x_2}\) có \(C_3^2\)
Xác suất \(P = \frac{{12.11.C_{10}^7.C_7^2.\,C_5^2.\,C_3^3.C_3^2}}{{{{\left( {C_{12}^4} \right)}^3}}} = \frac{{448}}{{5445}} = \frac{a}{b}.\)
Vậy \(a + b = 5893.\)
Chú thích: Đề đã bổ sung lời văn diễn đạt so với lời văn của đề gốc ở đoạn: “bao gồm cả những câu ở Điều kiện 1”.
Đáp án: 9.
Máy bay xuất phát từ điểm \(A\left( { - 506; - 35;8} \right)\) và chuyển động theo vectơ chỉ phương \(\vec u = \left( {91;75;0} \right)\). Phương trình tham số của đường thẳng quỹ đạo bay là:
\(\Delta :\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 506 + 91t}\\{y = - 35 + 75t}\\{z = 8}\end{array}} \right.\)
Khi máy bay xuất hiện trên màn hình lần đầu tiên thì khoảng cách từ máy bay đến gốc tọa độ \(O(0;0;0)\) bằng \[417\] km. Gọi \(M(x;y;z) \in \Delta \) là vị trí đó, ta có:
\[\overrightarrow {OM} = \left( { - 506 + 91t; - 35 + 75t;8} \right)\]
\[OM = 417 \Leftrightarrow \]\(O{M^2} = {417^2}\)\( \Leftrightarrow {\left( { - 506 + 91t} \right)^2} + {\left( { - 35 + 75t} \right)^2} + {8^2} = {417^2}\)
\( \Leftrightarrow 13906{t^2} - 97342t + 83436 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\\t = 6\end{array} \right.\)
Vì máy bay bay từ \(A\) về phía đài kiểm soát, vị trí đầu tiên \(M\) chạm vùng phủ sóng ứng với thời điểm sớm hơn, tức là \(t = 1\).
Thay \(t = 1\) vào phương trình tọa độ, ta có điểm \(M\left( { - 415;40;8} \right)\).
Độ dài quãng đường \(AM\):
\(AM = \sqrt {{{( - 415 - ( - 506))}^2} + {{(40 - ( - 35))}^2} + {{(8 - 8)}^2}} = \sqrt {13906} \)
Thời gian di chuyển: Vận tốc máy bay là \(v = 800{\rm{ km/h}}\).
\(T = \frac{{AM}}{v} = \frac{{\sqrt {13906} }}{{800}}{\rm{ (h)}}\)
Đổi sang phút:
\({T_{{\rm{ph\'u t}}}} = \frac{{\sqrt {13906} }}{{800}} \times 60 \approx 8,844{\rm{ (ph\'u t)}}\)
Vậy thời gian máy bay di chuyển từ \(A\) đến \(M\) là khoảng 9 phút.
Đáp án: \[197\].
Chọn hệ trục toạ độ \(Oxy\) như hình vẽ, mỗi đơn vị là \(1\;mm\). Khi đó toạ độ các điểm là \(O\left( {0;0} \right),\;M\left( {8;4} \right),\;A\left( {20;0} \right),\;C\left( {0;20} \right)\).
Parabol \(\left( P \right):y = a{x^2} + bx + c\) đi qua \(3\) điểm \(O\left( {0;0} \right),\;M\left( {8;4} \right),\;A\left( {20;0} \right)\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}c = 0\\64a + 8b + c = 4\\400a + 20b + c = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}c = 0\\a = - \frac{1}{{24}}\\b = \frac{5}{6}\end{array} \right. \Rightarrow \left( P \right):y = - \frac{1}{{24}}{x^2} + \frac{5}{6}x\).
Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {0;10} \right)\) và bán kính \(R = 10\), có phương trình \({x^2} + {\left( {y - 10} \right)^2} = 100 \Leftrightarrow y = 10 \pm \sqrt {100 - {x^2}} \)
Gọi \(S\) là diện tích của hình vuông \(OABC\),
\({S_1}\) là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi \(\left( P \right)\), trục hoành, \(x = 0,\;x = 20\),
\({S_2}\) là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi \(\left( P \right)\), nửa đường tròn \(y = 10 - \sqrt {100 - {x^2}} \), \(x = 0,\;x = 8.\)
\({S_3}\) là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi nửa đường tròn \(\left( C \right)\) và trục tung như hình vẽ,
Diện tích cần phủ men sứ màu xanh để đơn vị sản xuất báo giá chính xác chi phí vật liệu là
\(S + {S_2} - {S_3} - {S_1}\)
\( = {20^2} + \int\limits_0^8 {\left[ { - \frac{1}{{24}}{x^2} + \frac{5}{6}x - \left( {10 - \sqrt {100 - {x^2}} } \right)} \right]} dx - \frac{1}{2}\pi {.10^2} - \int\limits_0^{20} {\left( { - \frac{1}{{24}}{x^2} + \frac{5}{6}x} \right)dx \approx 197} \,m{m^2}\).
Một công ty công nghệ chuyên sản xuất chip điện tử. Chi phí để sản xuất \[x\] đơn vị sản phẩm được xác định bởi hàm số: \[C(x) = 0,1{x^2} + 100x + 20000\,\,{\rm{(USD)}}.\]
Một tập đoàn viễn thông ký hợp đồng mua sản phẩm với mức giá như sau: 1000 sản phẩm đầu tiên được bao tiêu với giá 650 USD/sản phẩm. Từ sản phẩm thứ 1001 trở đi, giá thu mua giảm xuống còn 450 USD/sản phẩm.
Do việc sản xuất quá nhiều chip có thể gây quá tải cho hệ thống xử lý chất thải của khu công nghiệp. Vì vậy, cơ quan thuế nhà nước đã áp dụng một mức thuế phụ thu \[t\] (USD) trên mỗi đơn vị sản phẩm, nhưng chỉ tính từ sản phẩm thứ 1001 trở đi. Để cơ quan thuế thu được số tiền thuế phụ lớn nhất thì công ty công nghệ cần sản xuất bao nhiêu sản phẩm để lợi nhuận lớn nhất?
Đáp án: 1375.
Giả sử công ty sản xuất \[x\] sản phẩm (\[x > 1000,x \in \mathbb{N}\]).
- Doanh thu từ việc bán \[x\] sản phẩm được tính theo hai mức giá:
+Doanh thu từ 1000 sản phẩm đầu: \[1000 \times 650 = 650000\] (USD).
+Doanh thu từ sản phẩm thứ 1001 trở đi: \[\left( {x - 1000} \right) \times 450\] (USD).
- Tổng doanh thu: \[R\left( x \right) = 650000 + 450\left( {x - 1000} \right) = 450x + 200000\].
- Chi phí sản xuất: \[C\left( x \right) = 0,1{x^2} + 100x + 20000\,{\rm{(USD)}}.\]
- Thuế phụ thu \[t\] trên mỗi sản phẩm tính từ sản phẩm thứ 1001: \[T(x) = t\left( {x - 1000} \right)\].
- Tổng chi phí và thuế là:\[{C_{total}}\left( x \right) = 0,1{x^2} + 100x + 20000 + t\left( {x - 1000} \right)\].
- Lợi nhuận bằng doanh thu trừ đi tổng chi phí:
\[\begin{array}{l}P\left( x \right) = R\left( x \right) - {C_{total}}\left( x \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \left( {450x + 200000} \right) - \left[ {0,1{x^2} + 100x + 20000 + t\left( {x - 1000} \right)} \right]\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = - 0,1{x^2} + \left( {350 - t} \right)x + 180000 + 1000t\end{array}\]
Lợi nhuận đạt cực đại khi: \[x = \frac{{ - (350 - t)}}{{2( - 0,1)}} = \frac{{350 - t}}{{0,2}} = 1750 - 5t\].
Số tiền thuế cơ quan nhà nước thu được là: \[T(t) = t\left( {x - 1000} \right)\].
Thay \[x = 1750 - 5t\] vào biểu thức trên ta được:
\[T\left( t \right) = t\left( {1750 - 5t - 1000} \right) = t\left( {750 - 5t} \right) = - 5{t^2} + 750t\].
Tiền thuế \[T\left( t \right)\]đạt giá trị lớn nhất khi: \[t = \frac{{ - 750}}{{2( - 5)}} = 75\] (USD/sản phẩm).
Khi mức thuế \[t = 75\] USD được áp dụng, để lợi nhuận của công ty lớn nhất thì số lượng sản phẩm cần sản xuất là: \[x = 1750 - 5.75 = 1750 - 375 = 1375{\rm{ }}\](sản phẩm)
Đáp án: 379.
Gọi số tiền anh An vay ngân hàng là \(A = 1\)tỷ với lãi suất \(r = 10,5\% /\)năm.
Số tiền nợ sau một năm: \({A_1} = A + Ar = A\left( {1 + r} \right)\)
Số tiền nợ sau hai năm: \({A_2} = {A_1} + {A_1}r = {A_1}\left( {1 + r} \right) = A{\left( {1 + r} \right)^2} = 1221,025\) triệu đồng.
Anh An dùng 2 tỷ mua căn hộ với giá 40 triệu đồng/\({m^2}\). Nên căn hộ có diện tích \(50{m^2}\).
Sau 2 năm, anh An bán với giá 52 triệu đồng/\({m^2}\)\( \Rightarrow \)số tiền anh thu được là \(52.50 = 2600\) triệu đồng.
Số tiền lãi của anh An sau 2 năm: \(2600 - 1000 - 1221,025 = 378,975 \simeq 379\) triệu đồng.
Đáp án: 2,6.
Gọi \(M\), \(N\) lần lượt là trung điểm \(CD\), \(BC\).
Mà \(\Delta ACD\) và \(\Delta ABC\) là các tam giác đều nên \(AM \bot CD\) và \(AN \bot BC\).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}CD \bot AM\\CD \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {SAM} \right) \Rightarrow CD \bot SM\).
Khi đó, \(\left[ {S,CD,B} \right] = \left[ {S,CD,A} \right] = \widehat {SMA} = 60^\circ \)
\( \Rightarrow AN = AM = SA \times \cot \widehat {SMA} = 3\sqrt 3 \times \cot 60^\circ = 3\) (cm).
Ta có \[AD{\rm{//}}\left( {SBC} \right)\]\( \Rightarrow d\left( {AD,SB} \right) = d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right)\)
Kẻ \(AH \bot SN\) (1)
Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AN\\BC \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAN} \right) \Rightarrow BC \bot AH\] (2)
Từ (1), (2) suy ra \(AH \bot \left( {SBC} \right)\)
hay \(d\left( {AD,SB} \right) = d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right) = AH\).
Lại có: \(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{N^2}}} = \frac{1}{{{{\left( {3\sqrt 3 } \right)}^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} \Rightarrow AH = \frac{{3\sqrt 3 }}{2} \approx 2,6\) (cm).
