Đề thi thử Tốt nghiệp THPT Toán 2025-2026 Sở Hải Phòng có đáp án

Chọn C

Xét hệ số \(a\): Ta thấy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f\left( x \right) =  + \infty  \Rightarrow a > 0\).

Xét hệ số \(d\): Ta thấy giao điểm của hàm số với trục \(Oy\) tại điểm \(O\)\( \Rightarrow d = 0\).

\( \Rightarrow a + d > 0\)

Chọn B

Gọi mặt phẳng cần tìm là \(\left( P \right)\).

Ta có: \(\left( P \right) \bot AB \Rightarrow \vec n = \overrightarrow {AB}  = \left( {1\,;\, - 3\,;\, - 2} \right)\)

Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua điểm \(A\left( {1;2;3} \right)\) và có vectơ pháp tuyến \(\vec n = \left( {1; - 3; - 2} \right)\) có phương trình là:

\(\begin{array}{l}1\left( {x - 1} \right) - 3\left( {y - 2} \right) - 2\left( {z - 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow x - 3y - 2z + 11 = 0\end{array}\)

Chọn D

Ta có \(\cos x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Gọi \(A\) là biến cố “Máy thứ nhất hoạt động ổn định”.

Gọi \(B\) là biến cố “Máy thứ hai hoạt động ổn định”.

Ta có \(P(A) = 0,95;\,\,P(B) = 0,98\).

a) Xác suất máy thứ nhất hoạt động không ổn định là \(P(\overline A ) = P(A) = 1 - 0,95 = 0,05\).

Vậy a – đúng.

b) Xác suất chỉ có một máy hoạt động ổng định là

\(P(A\overline B ) + P(\overline A B) = 0,95 \times 0,02 + 0,05 \times 0,98 = 0,068\).

Vậy b – sai.

c) Xác suất cả hai máy đều không hoạt động ổn định là \(P(\overline A \overline B ) = 0,05 \times 0,02 = 0,001\).

Vậy c – sai.

d) Xác suất để tổ cắt vải hoạt động bình thường là \(1 - 0,001 = 0,999\).

Vậy d – đúng.

a) Sai.

Phương trình mặt cầu \((S)\) có các hệ số: \(A = 4,B = 2,C =  - 2\).

Tọa độ tâm \(I\) được xác định bởi:\({x_I} = \frac{4}{{ - 2}} =  - 2;{y_I} = \frac{2}{{ - 2}} =  - 1;{z_I} = \frac{{ - 2}}{{ - 2}} = 1\).

Vậy tâm mặt cầu là \(I( - 2; - 1;1)\).

b) Đúng.

Sử dụng tọa độ tâm \(I( - 2; - 1;1)\) vừa tìm được:

\(d(I,(P)) = \frac{{|2( - 2) + 2( - 1) + 1 - 10|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + {1^2}} }} = \frac{{| - 4 - 2 + 1 - 10|}}{{\sqrt 9 }} = \frac{{| - 15|}}{3} = 5\).

c) Sai.

Góc \(\alpha \) giữa đường thẳng (có VTCP \(\vec u\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) (có VTPT \({\vec n_P} = (2;2;1)\)) được tính theo công thức:

\(\sin \alpha  = \frac{{|\vec u \cdot {{\vec n}_P}|}}{{|\vec u| \cdot |{{\vec n}_P}|}} = \frac{{|3(2) + 2(2) + ( - 6)(1)|}}{{\sqrt {{3^2} + {2^2} + {{( - 6)}^2}}  \cdot \sqrt {{2^2} + {2^2} + {1^2}} }} = \frac{{|6 + 4 - 6|}}{{7 \cdot 3}} = \frac{4}{{21}}\) nên \(\cos \alpha  \ne \frac{4}{{21}}\).

d) Sai.

Gọi \(H\)là hình chiếu của \(M\) lên \[\left( P \right)\].

Ta có: \(\sin \alpha  = \frac{{MH}}{{MN}} = \frac{4}{{21}} \Leftrightarrow MN = \frac{{21}}{4}MH \Rightarrow M{N_{\max }} \Leftrightarrow M{H_{\max }}\).

Khi đó \(M\) nằm trên tia đối của tia \(IH\) và \(IM = 3\).

Xét \(\frac{{MI}}{{MH}} = \frac{3}{8} \Rightarrow 8MI = 3MH \Rightarrow 8\overrightarrow {MI}  = 3\overrightarrow {MH}  \Rightarrow 8\overrightarrow {MI}  - 3\overrightarrow {MH}  = \overrightarrow 0  \Rightarrow M\left( { - 4; - 3;0} \right)\).

Suy ra \(a - 2b + 3c =  - 4 + 6 + 0 = 2\).

Ta tìm tọa độ điểm \(H\) như sau:

+ \(IH\) qua điểm \(I\) nhận VTPT của \[\left( P \right)\] làm VTCP nên \(IH:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x =  - 2 + 2t}\\{y =  - 1 + 2t}\\{z = 1 + t}\end{array}} \right.\).

+ \(H \in IH\), tọa độ của \(H\) có dạng \(H( - 2 + 2t; - 1 + 2t;1 + t)\).

+ Vì \(H \in (P)\), ta thay tọa độ của \(H\) vào phương trình mặt phẳng \[\left( P \right)\]:

\(\begin{array}{l}2( - 2 + 2t) + 2( - 1 + 2t) + (1 + t) - 10 = 0 - 4 + 4t - 2 + 4t + 1 + t - 10 = 0\\ \Leftrightarrow t = \frac{5}{3} \Rightarrow H\left( {\frac{4}{3};\frac{7}{3};\frac{8}{3}} \right).\end{array}\)

a) Ta có

\(y' = f'\left( x \right) = \frac{{\left( {2x + 3} \right)\left( {x - 1} \right) - \left( {{x^2} + 3x + 5} \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\)\( = \frac{{2{x^2} - 2x + 3x - 3 - {x^2} - 3x - 5}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} - 2x - 8}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\), \(x \ne 1\)

b) Ta có \(y = \frac{{{x^2} + 3x + 5}}{{x - 1}} = x + 4 + \frac{9}{{x - 1}}\), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left[ {y - \left( {x + 4} \right)} \right] = 0\) nên tiệm cận xiên của đồ thị là đường thẳng \(y = x + 4\).

c) Ta có \(y' = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 8 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 2\\x = 4\end{array} \right.\)

Bảng biến thiên

Đồ thị có hai điểm cực trị là \(A\left( { - 2; - 1} \right),B\left( {4;11} \right)\)

Khoảng cách giữa hai điểm cực trị là \(AB = \sqrt {{{\left( {4 + 2} \right)}^2} + {{\left( {11 + 1} \right)}^2}}  = 6\sqrt 5 \).

d) Gọi \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) thuộc đồ thị hàm số \({x_0} \ne 1,{y_0} = {x_0} + 4 + \frac{9}{{{x_0} - 1}}\).

Hệ số góc của tiếp tuyến \(k = y'\left( {{x_0}} \right) = \frac{{x_0^2 - 2{x_0} - 8}}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}}\)

Phương trình tiếp tuyến là \(y = \frac{{x_0^2 - 2{x_0} - 8}}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}}\left( {x - {x_0}} \right) + {x_0} + 4 + \frac{9}{{{x_0} - 1}}\)

Đồ thị có hai đường tiệm cận là \(x = 1,y = x + 4\)

Giao của tiếp tuyến và tiệm cận đứng:

Cho \(x = 1\) \( \Rightarrow y = \frac{{x_0^2 - 2{x_0} - 8}}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}}\left( {1 - {x_0}} \right) + {x_0} + 4 + \frac{9}{{{x_0} - 1}}\)\( = \frac{{5{x_0} + 13}}{{{x_0} - 1}}\)\( \Rightarrow M\left( {1;\frac{{5{x_0} + 13}}{{{x_0} - 1}}} \right)\)

Giao của tiếp tuyến và tiệm cận xiên:

Xét phương trình hoành độ: \(x + 4 = \frac{{x_0^2 - 2{x_0} - 8}}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}}x + \frac{{4x_0^2 + 10{x_0} - 5}}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}}\)

\( \Leftrightarrow x = 2{x_0} - 1\)\( \Rightarrow y = 2{x_0} + 3\) \( \Rightarrow N\left( {2{x_0} - 1;2{x_0} + 3} \right)\)

Ta có tam giác \(IMN\), \(I\left( {1;5} \right)\) là giao điểm của hai đường tiệm cận.

Ta tìm góc giữa tiệm cận đứng và tiệm cận xiên

Gọi góc giữa hai đường tiệm cận là \(\varphi \), ta có vec tơ chỉ phương của hai đường tiệm cận là \(\overrightarrow u  = \left( {1;0} \right),\overrightarrow v  = \left( {1; - 1} \right)\) nên \(\cos \varphi  = \frac{1}{{\sqrt 2 }} \Rightarrow \varphi  = 45^\circ \).

Ta có góc \(\widehat {MIN}\)\( = 45^\circ \), \(IM = \left| {\frac{{5{x_0} + 13}}{{{x_0} - 1}} - 5} \right| = \frac{{18}}{{\left| {{x_0} - 1} \right|}}\), \(IN = \sqrt {{{\left( {2{x_0} - 2} \right)}^2} + {{\left( {2{x_0} - 2} \right)}^2}}  = 2\sqrt 2 \left| {{x_0} - 1} \right|\)

Diện tích tam giác \(IMN\) là \({S_{IMN}} = \frac{1}{2}IM.IN.\sin \widehat {MIN} = \frac{1}{2}.\frac{{18}}{{\left| {{x_0} - 1} \right|}}.2\sqrt 2 \left| {{x_0} - 1} \right|.\frac{{\sqrt 2 }}{2} = 18\).

a) Ta có \(v\left( 0 \right) = 3\) m/s \( = 10,8\) km/h

b) Ta có \(v\left( {30} \right) = 78 \Leftrightarrow 3 + a.30 = 78 \Leftrightarrow a = \frac{5}{2}.\)

c) Quãng đường máy bay chạy đà là \(\int_0^{30} {v\left( t \right){\rm{d}}t}  = \int_0^{30} {\left( {3 + \frac{5}{2}t} \right){\rm{d}}t}  = 1215{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\)

d) Gọi \[a\] (giây) là thời điểm mà máy bay chạy đà được 1150 m. Khi đó,

\[\int_0^a {v\left( t \right){\rm{d}}t}  = 1150 \Leftrightarrow \int_0^a {\left( {3 + \frac{5}{2}t} \right){\rm{d}}t}  = 1150 \Leftrightarrow 3a + \frac{5}{4}{a^2} = 1150 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a \approx 29,155\\a \approx  - 31,555\end{array} \right.\]

Chọn \[a \approx 29,155.\] Khi đó, \(v\left( a \right) \approx 75,888{\rm{ }}\left( {{\rm{m/s}}} \right) \approx 273,197{\rm{ }}\left( {{\rm{km/h}}} \right) > 270\) nên máy bay đã đủ điều kiện cất cánh.

Đáp án: 5893.

Mỗi thí sinh chọn ngẫu nhiên 4 câu hỏi từ bộ 12 câu (có hoàn lại sau mỗi lượt chọn của từng người).

Số cách chọn của mỗi thí sinh là \(C_{12}^4.\) Vì ba thí sinh chọn độc lập, tổng số trường hợp xảy ra là:

\(n\left( \Omega  \right) = {\left( {C_{12}^4} \right)^3} = {495^3}.\)

Gọi \({x_i}\) là số câu hỏi \(i\) bạn cùng chọn. Khi đó, ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_3} \ge 1\\{x_1} + {x_2} + {x_3} = 9\\{x_1} + 2{x_2} + 3{x_3} = 12\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} = 7\\{x_2} = {x_3} = 1\end{array} \right.\)

Tức là chọn 1 câu chung cho cả 3 người, 1 câu chung cho 2 người, và 7 câu chỉ có 1 người chọn.

Bước 1: Chọn các câu hỏi mục tiêu từ bộ 12 câu:

Chọn một câu cho \(3\) bạn \(\left( {{x_3} = 1} \right)\) có \(12\) cách.

Chọn 1 câu cho 2 bạn \(\left( {{x_2} = 1} \right)\)có \(11\) cách còn lại.

Chọn 7 câu cho 1 bạn \(\left( {{x_1} = 7} \right)\) có \(C_{10}^7\) cách còn lại

Bước 2: Phân bổ các câu hỏi vào từng thí sinh:

Số câu \(A\) cần thêm là \(2\)

Số câu \(B\) cần thêm là \(2\) \( \Rightarrow C_7^2.\,C_5^2.\,C_3^3\)

Số câu \(C\) cần thêm là \(3\)

Chọn \(2\) trong \(3\) bạn nhận câu \({x_2}\) có \(C_3^2\)

Xác suất \(P = \frac{{12.11.C_{10}^7.C_7^2.\,C_5^2.\,C_3^3.C_3^2}}{{{{\left( {C_{12}^4} \right)}^3}}} = \frac{{448}}{{5445}} = \frac{a}{b}.\)

Vậy \(a + b = 5893.\)

Chú thích: Đề đã bổ sung lời văn diễn đạt so với lời văn của đề gốc ở đoạn: “bao gồm cả những câu ở Điều kiện 1”.

Đáp án: \[197\].        

Chọn hệ trục toạ độ \(Oxy\) như hình vẽ, mỗi đơn vị là \(1\;mm\). Khi đó toạ độ các điểm là \(O\left( {0;0} \right),\;M\left( {8;4} \right),\;A\left( {20;0} \right),\;C\left( {0;20} \right)\).

Parabol \(\left( P \right):y = a{x^2} + bx + c\) đi qua \(3\) điểm \(O\left( {0;0} \right),\;M\left( {8;4} \right),\;A\left( {20;0} \right)\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}c = 0\\64a + 8b + c = 4\\400a + 20b + c = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}c = 0\\a =  - \frac{1}{{24}}\\b = \frac{5}{6}\end{array} \right. \Rightarrow \left( P \right):y =  - \frac{1}{{24}}{x^2} + \frac{5}{6}x\).

Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {0;10} \right)\) và bán kính \(R = 10\), có phương trình \({x^2} + {\left( {y - 10} \right)^2} = 100 \Leftrightarrow y = 10 \pm \sqrt {100 - {x^2}} \)

Gọi \(S\) là diện tích của hình vuông \(OABC\),

\({S_1}\) là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi \(\left( P \right)\), trục hoành, \(x = 0,\;x = 20\),

\({S_2}\) là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi \(\left( P \right)\), nửa đường tròn \(y = 10 - \sqrt {100 - {x^2}} \), \(x = 0,\;x = 8.\)

\({S_3}\) là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi nửa đường tròn \(\left( C \right)\) và trục tung như hình vẽ,

Diện tích cần phủ men sứ màu xanh để đơn vị sản xuất báo giá chính xác chi phí vật liệu là

\(S + {S_2} - {S_3} - {S_1}\)

\( = {20^2} + \int\limits_0^8 {\left[ { - \frac{1}{{24}}{x^2} + \frac{5}{6}x - \left( {10 - \sqrt {100 - {x^2}} } \right)} \right]} dx - \frac{1}{2}\pi {.10^2} - \int\limits_0^{20} {\left( { - \frac{1}{{24}}{x^2} + \frac{5}{6}x} \right)dx \approx 197} \,m{m^2}\).

Đáp án: 1375.

Giả sử công ty sản xuất \[x\] sản phẩm (\[x > 1000,x \in \mathbb{N}\]).

- Doanh thu từ việc bán \[x\] sản phẩm được tính theo hai mức giá:

+Doanh thu từ 1000 sản phẩm đầu: \[1000 \times 650 = 650000\] (USD).

+Doanh thu từ sản phẩm thứ 1001 trở đi: \[\left( {x - 1000} \right) \times 450\] (USD).

- Tổng doanh thu: \[R\left( x \right) = 650000 + 450\left( {x - 1000} \right) = 450x + 200000\].

- Chi phí sản xuất: \[C\left( x \right) = 0,1{x^2} + 100x + 20000\,{\rm{(USD)}}.\]

- Thuế phụ thu \[t\] trên mỗi sản phẩm tính từ sản phẩm thứ 1001: \[T(x) = t\left( {x - 1000} \right)\].

- Tổng chi phí và thuế là:\[{C_{total}}\left( x \right) = 0,1{x^2} + 100x + 20000 + t\left( {x - 1000} \right)\].

- Lợi nhuận bằng doanh thu trừ đi tổng chi phí:

\[\begin{array}{l}P\left( x \right) = R\left( x \right) - {C_{total}}\left( x \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \left( {450x + 200000} \right) - \left[ {0,1{x^2} + 100x + 20000 + t\left( {x - 1000} \right)} \right]\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, =  - 0,1{x^2} + \left( {350 - t} \right)x + 180000 + 1000t\end{array}\]

Lợi nhuận đạt cực đại khi: \[x = \frac{{ - (350 - t)}}{{2( - 0,1)}} = \frac{{350 - t}}{{0,2}} = 1750 - 5t\].

Số tiền thuế cơ quan nhà nước thu được là: \[T(t) = t\left( {x - 1000} \right)\].

Thay \[x = 1750 - 5t\] vào biểu thức trên ta được:

\[T\left( t \right) = t\left( {1750 - 5t - 1000} \right) = t\left( {750 - 5t} \right) =  - 5{t^2} + 750t\].

Tiền thuế \[T\left( t \right)\]đạt giá trị lớn nhất khi: \[t = \frac{{ - 750}}{{2( - 5)}} = 75\] (USD/sản phẩm).

Khi mức thuế \[t = 75\] USD được áp dụng, để lợi nhuận của công ty lớn nhất thì số lượng sản phẩm cần sản xuất là: \[x = 1750 - 5.75 = 1750 - 375 = 1375{\rm{ }}\](sản phẩm)

Đáp án: 379.

Gọi số tiền anh An vay ngân hàng là \(A = 1\)tỷ với lãi suất \(r = 10,5\% /\)năm.

Số tiền nợ sau một năm: \({A_1} = A + Ar = A\left( {1 + r} \right)\)

Số tiền nợ sau hai năm: \({A_2} = {A_1} + {A_1}r = {A_1}\left( {1 + r} \right) = A{\left( {1 + r} \right)^2} = 1221,025\) triệu đồng.

Anh An dùng 2 tỷ mua căn hộ với giá 40 triệu đồng/\({m^2}\). Nên căn hộ có diện tích \(50{m^2}\).

Sau 2 năm, anh An bán với giá 52 triệu đồng/\({m^2}\)\( \Rightarrow \)số tiền anh thu được là \(52.50 = 2600\) triệu đồng.

Số tiền lãi của anh An sau 2 năm: \(2600 - 1000 - 1221,025 = 378,975 \simeq 379\) triệu đồng.

Đáp án: 2,6.

Gọi \(M\), \(N\) lần lượt là trung điểm \(CD\), \(BC\).

Mà \(\Delta ACD\) và \(\Delta ABC\) là các tam giác đều nên \(AM \bot CD\) và \(AN \bot BC\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}CD \bot AM\\CD \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {SAM} \right) \Rightarrow CD \bot SM\).

Khi đó, \(\left[ {S,CD,B} \right] = \left[ {S,CD,A} \right] = \widehat {SMA} = 60^\circ \)

\( \Rightarrow AN = AM = SA \times \cot \widehat {SMA} = 3\sqrt 3  \times \cot 60^\circ  = 3\) (cm).

Ta có \[AD{\rm{//}}\left( {SBC} \right)\]\( \Rightarrow d\left( {AD,SB} \right) = d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right)\)

Kẻ \(AH \bot SN\) (1)

Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AN\\BC \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAN} \right) \Rightarrow BC \bot AH\] (2)

Từ (1), (2) suy ra \(AH \bot \left( {SBC} \right)\)

hay \(d\left( {AD,SB} \right) = d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right) = AH\).

Lại có: \(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{N^2}}} = \frac{1}{{{{\left( {3\sqrt 3 } \right)}^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} \Rightarrow AH = \frac{{3\sqrt 3 }}{2} \approx 2,6\) (cm).