Đề thi thử Tốt nghiệp THPT Toán 2025-2026 Sở GD&ĐT Phú Thọ lần 2 có đáp án

Chọn D 

Nhóm chứa mốt của mẫu số liệu đã cho là \([22;24)\).

Chọn A 

\(n\left( \Omega  \right) = C_{12}^2\).

Gọi biến cố A: “Lấy được 2 viên bi màu đỏ”, có: \(n\left( A \right) = C_5^2\).

Xác suất \(P\left( A \right) = \frac{{C_5^2}}{{C_{12}^2}} = \frac{5}{{33}}\).

Chọn D 

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = \left( {4;2; - 4} \right)\).

Đường thẳng đi qua hai điểm \(A(1;2;3),B(5;4; - 1)\) và có vecto chỉ phương là \(\overrightarrow u  = \left( {2;1; - 2} \right)\).

Vậy phương trình chính tắc là \(\frac{{x - 5}}{2} = \frac{{y - 4}}{1} = \frac{{z + 1}}{{ - 2}}\).

Chọn A 

\(\int_2^5 {\left[ {f(x) - 2g\left( x \right)} \right]} dx = 2 - 2.5 =  - 8\).

Chọn A

+/ ĐKXĐ: \(x \in \mathbb{R}\)

+/ Ta có:   \[\sqrt {2{x^2} + x + 3}  = 1 - x\,\,\,\left( * \right)\]

\[ \Rightarrow 2{x^2} + x + 3 = {\left( {1 - x} \right)^2}\]\[ \Rightarrow 2{x^2} + x + 3 = 1 - 2x + {x^2}\]\[ \Rightarrow {x^2} + 3x + 2 = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 1\left( {t/m\,\,\,\left( * \right)} \right)\\x =  - 2\,\,\left( {t/m\,\,\,\left( * \right)} \right)\end{array} \right.\]

Vậy tổng các nghiệm của phương trình bằng \( - 3\).

Chọn C

\[{u_{10}} = {u_1} + 9d =  - 2 + 9.3 = 25\].

Chọn B

\(f'\left( x \right) = {\left( {\sin x + \cos \left( {3x} \right)} \right)^\prime } = \cos x - {\left( {3x} \right)^\prime }\sin 3x = \cos x - 3\sin 3x\).

Chọn A

\[{\log _{\frac{1}{3}}}\left( {2x - 1} \right) >  - 2\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x - 1 > 0\\2x - 1 < {\left( {\frac{1}{3}} \right)^{ - 2}}\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > \frac{1}{2}\\2x < 10\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > \frac{1}{2}\\x < 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \frac{1}{2} < x < 5\].

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(\left( {\frac{1}{2};5} \right)\).

Chọn A

Ta có \(f'\left( x \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right){\left( {x - 2} \right)^2}\left( {x + 3} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 3\\x = 1\\x = 2\end{array} \right.\).

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đã cho có hai điểm cực trị.

Chọn A

Ta có\(f\left( x \right) = \frac{{2x + 3}}{{x - 1}}\) \( \Rightarrow f'\left( x \right) = \frac{{ - 5}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\) và \(f'\left( x \right) < 0\,\,\forall x \in \left[ {2;5} \right]\).

Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{2x + 3}}{{x - 1}}\) trên đoạn \(\left[ {2;5} \right]\) bằng \(f\left( 5 \right) = \frac{{13}}{4}\).

Chọn B

Ta có \(\sin x = 0\) \( \Leftrightarrow x = k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}\).

Tập nghiệm của phương trình  \(\sin x = 0\) là \(S = \left\{ {k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).

Chọn A

Ta có \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {AA'}  = \overrightarrow {AC'} \)\( \Rightarrow \left| {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {AA'} } \right| = \left| {\overrightarrow {AC'} } \right| = AC'\).

Mà \(AC' = \sqrt {A'{A^2} + A'{{B'}^2} + A'{{D'}^2}} \)\( = \sqrt {{6^2} + {2^2} + {3^2}}  = 7\).

Vậy độ dài vectơ \(\overrightarrow {AB}+ \overrightarrow {AD}+ \overrightarrow {AA'} \)bằng \(7\).

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = \left( {1;\, - 1;\, - 4} \right);\,\overrightarrow {AC}  = \left( { - 1;\, - 3;\, - 4} \right)\)

\(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( { - 8;\,8;\, - 4} \right) =  - 4\left( {2;\, - 2;\,1} \right)\).

Phương trình mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\): \(2\left( {x - 0} \right) - 2\left( {y - 1} \right) + \left( {z - 1} \right) = 0\).

\( \Leftrightarrow 2x - 2y + z + 1 = 0\).

Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {1;\,0;\, - 1} \right)\), bán kính \(R = 2\).

a. Đúng

Ta có: \(h = d\left( {I;\,\left( {ABC} \right)} \right) = \frac{{\left| {2.1 - 2.0 - 1 + 1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {1^2}} }} = \frac{2}{3}\).

Bán kính của đường tròn giao tuyến bằng \(r = \sqrt {{R^2} - {h^2}}  = \sqrt {{2^2} - {{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^2}}  = \frac{{4\sqrt 2 }}{3}\).

b. Sai

\(\left( {ABC} \right):2x - 2y + z + 1 = 0\)

c. Đúng

\(\overrightarrow {AB}  = \left( {1;\, - 1;\, - 4} \right)\).

d. Sai

Tọa độ trọng tâm \(G\) của \(\Delta ABC\) là \(G\left( {0;\, - \frac{1}{3};\, - \frac{5}{3}} \right)\).

Khi đó: \(0 + \left( { - \frac{1}{3}} \right) + \left( { - \frac{5}{3}} \right) =  - 2\).

Qua bảng biến thiên ta thấy tốc độ tăng chiều cao của cây cà chua lớn nhất đạt tại thời điểm \(t = \frac{{32}}{3}\), khi đó chiều cao của cây cà chua là \(h\left( {\frac{{32}}{3}} \right) \approx 79,73(cm)\).

c) Đúng

Tốc độ tăng chiều cao trung bình của cây cà chua trong khoảng thời gian 10 tuần đầu kể từ khi trồng là \(h{}_{tb} = \frac{{h(10) - h(0)}}{{10 - 0}} \approx 5,67\)(cm/tuần) .

d) Đúng

Tại thời điểm đúng 6 tuần sau khi trồng, chiều cao của cây cà chua là \(h(6) = 31,56\)(cm).

Gọi các biến cố:

·         A: "Công ty trúng thầu dự án thứ nhất".

·         B: "Công ty trúng thầu dự án thứ hai".

Theo đề bài, ta có các dữ kiện sau:

\[\begin{array}{l}P\left( A \right) = 0,8 \Rightarrow P\left( {\overline A } \right) = 1 - 0,8 = 0,2.\\P\left( {B|A} \right) = 0,9 \Rightarrow P\left( {\overline B |A} \right) = 1 - 0,9 = 0,1.\\P\left( {B|\overline A } \right) = 0,2 \Rightarrow P\left( {\overline B |\overline A } \right) = 1 - 0,2 = 0,8.\end{array}\]

-Xác suất để công ty không trúng thầu dự án thứ nhất là: \[P\left( {\overline A } \right) = 1 - 0,8 = 0,2.\]

- Xác suất để công ty trúng thầu cả hai dự án là:\[P\left( {AB} \right) = P\left( A \right) \cdot P\left( {B|A} \right) = 0,8 \cdot 0,9 = 0,72\].

- Xác suất để công ty trúng thầu dự án thứ hai là

\[P\left( B \right) = P\left( A \right) \cdot P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right) \cdot P\left( {B|\overline A } \right) = 0,8 \cdot 0,9 + 0,2 \cdot 0,2 = 0,72 + 0,04 = 0,76\].

- Nếu công ty không trúng thầu dự án thứ hai thì xác suất trúng thầu dự án thứ nhất là

\[P\left( {A|\overline B } \right) = \frac{{P\left( {A\overline B } \right)}}{{P\left( {\overline B } \right)}} = \frac{{P\left( A \right) \cdot P\left( {\overline B |A} \right)}}{{1 - P\left( B \right)}} = \frac{{0,08}}{{0,24}} = \frac{1}{3} \approx 0,333\].

Kết luận: a) Sai b) Đúng c) Đúng d) Đúng

a) Đúng.

Ta có

\[y = \frac{{{x^2} - 3x + 6}}{{x - 1}} = \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right) + 4}}{{x - 1}} = x - 2 + \frac{4}{{x - 1}}\]

Vì \[\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left( {y - \left( {x - 2} \right)} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left( {\frac{4}{{x - 1}}} \right) = 0\] nên đường tiệm cận xiên là \[y = x - 2\].

Suy ra \[a = 1,b =  - 2\]. Khi đó \[a - 2b = 5\].

b) Đúng.

Ta có \[y' = 1 - \frac{4}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\], cho \[y' = 0 \Rightarrow x =  - 1;x = 3\]

Ta có bảng biến thiên của hàm số như sau:

Đáp án: 446

Ta có lợi nhuận của doanh nghiệp là

\(R\left( x \right) = F\left( x \right) - xG\left( x \right) =  - 0,03{x^2} + 800x - 450x - 50000\)\( =  - 0,03{x^2} + 350x - 50000\)

Để lợi nhuận lớn hơn \(100\) triệu đồng ta có

\( - 0,03{x^2} + 350x - 50000 > 100000\)\( \Leftrightarrow  - 0,03{x^2} + 350x - 150000 > 0\)

\( \Leftrightarrow \)\(445,59 < x < 11221,07\), \(x \in {\mathbb{N}^*}\)

Vậy doanh nghiệp cần sản xuất ít nhất \(446\) sản phẩm.

Đáp án: 864

Đáy ABCD là hình thoi có \(\widehat {ABC} = 60^\circ  \Rightarrow \Delta ABC\) là tam giác đều.

Gọi độ dài cạnh hình thoi là \(x\).

Vì \(C'A = C'B = C'C\) nên hình chiếu vuông góc của C' lên mặt đáy (ABC) phải cách đều 3 đỉnh A, B, C. Tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta ABC\) đều chính là trọng tâm G của tam giác đó.

Suy ra \(C'G \bot (ABCD)\) và C'G chính là chiều cao \(h\) của lăng trụ.

Gọi M là trung điểm của BC. Trong \(\Delta ABC\) đều, \(AM \bot BC\) và điểm G nằm trên AM. Do đó \(GM \bot BC\).

Ta có \(BC \bot C'G\) và \(BC \bot GM \Rightarrow BC \bot (C'GM) \Rightarrow BC \bot C'M\).

Góc giữa hai mặt phẳng (BCC'B') và (ABC) chính là \(\widehat {C'MG} = 45^\circ \).

Xét \(\Delta C'GM\) vuông tại \(G\), có \(\widehat {C'MG} = 45^\circ \) nên là tam giác vuông cân \( \Rightarrow h = C'G = GM\).

Ta có \(AM = \frac{{x\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow GM = \frac{1}{3}AM = \frac{{x\sqrt 3 }}{6}\). Vậy \(h = \frac{{x\sqrt 3 }}{6}\).

Vì \(AA'\parallel CC'\) nên \(AA'\parallel (BCC'B')\). Do đó, khoảng cách \(d(AA',BC) = d(A,(BCC'B')) = 6\sqrt 3 \).

Trong mặt phẳng \((C'AM)\), kẻ \(AH \bot C'M\) tại \(H\). Vì \(BC \bot (C'AM)\) nên \(BC \bot AH\). Suy ra \(AH \bot (BCC'B')\). Khoảng cách chính là đoạn \(AH = 6\sqrt 3 \).

Gọi \(K\) là hình chiếu của \(G\) lên C'M. Do A, G, M thẳng hàng và \(AM = 3GM\) nên \(d(A,(BCC'B')) = 3d(G,(BCC'B')) \Rightarrow AH = 3GK\).

Trong \(\Delta C'GM\) vuông cân tại \(G\): \(GK = \frac{{C'G \cdot GM}}{{\sqrt {C'{G^2} + G{M^2}} }} = \frac{{GM}}{{\sqrt 2 }}\).

Ta có phương trình: \(AH = 3 \cdot \frac{{GM}}{{\sqrt 2 }} = 6\sqrt 3  \Rightarrow GM = 2\sqrt 6 \).

Thay \(GM = \frac{{x\sqrt 3 }}{6}\) vào, ta được: \(\frac{{x\sqrt 3 }}{6} = 2\sqrt 6  \Rightarrow x = 12\sqrt 2 \).

Suy ra chiều cao \(h = GM = 2\sqrt 6 \).

Diện tích đáy (hình thoi ABCD) bằng 2 lần diện tích \(\Delta ABC\):

\({S_{ABCD}} = 2 \cdot \frac{{{x^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{{(12\sqrt 2 )}^2}\sqrt 3 }}{2} = 144\sqrt 3 \).

Thể tích khối lăng trụ: \(V = {S_{ABCD}} \cdot h = 144\sqrt 3  \cdot 2\sqrt 6  = 288\sqrt {18}  = 864\sqrt 2 \).

Theo đề bài \(V = a\sqrt 2 \), ta suy ra \(a = 864\).

Đáp án: 130

\[\begin{array}{l}\overrightarrow {AC'} {\,^2} = \,{\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {AA'} } \right)^2}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \,A{B^2} + A{D^2} + A{{A'}^2} + 2AB.AD.\cos 90^\circ  + 2AB.AA'.\cos 60^\circ  + 2AD.AA'.\cos 60^\circ \end{array}\]

         \[ = 9 + 16 + 25 + 15 + 20 = \,85\, \Rightarrow \,AC' = \sqrt {85} \]

\[{\overrightarrow {D'C} ^2} = {\overrightarrow {A'B} ^2} = A'{B^2} = A{A'^2} + A{B^2} - 2.AA'.AB.\cos 60^\circ  = \,25 + 9 - 15 = 19\,\]\[ \Rightarrow \,D'C = \sqrt {19} \]

\[\overrightarrow {AC'} .\,\overrightarrow {D'C} \,\, = \,\,\left( {\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {AA'} } \right)\left( {\overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AD'} } \right) = \left( {\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {AA'} } \right)\left( {\overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AA'}  - \overrightarrow {AD} } \right)\]

\[\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \,\left( {\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {AA'} } \right)\left( {\overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AA'} } \right) - \,\left( {\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {AA'} } \right)\overrightarrow {AD} \]

\[\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \,A{C^2} - A{A'^2} - \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD}  - \overrightarrow {AA'} .\overrightarrow {AD} \]

\[\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \,25\, - 25\, - \,AC\,.\,AD\,.\,\frac{{AD}}{{AC}} - AA'.AD.\cos 60^\circ \]

\[\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \, - 16 - 10 =  - 26\]

\[\cos \left( {\overrightarrow {AC'} ,\overrightarrow {D'C} } \right) = \frac{{\overrightarrow {AC'} .\,\overrightarrow {D'C} }}{{AC'.\,D'C}} =  - \frac{{26}}{{\sqrt {85} .\sqrt {19} }}\,\].

\[ \Rightarrow \,\left( {\overrightarrow {AC'} ,\overrightarrow {D'C} } \right) \approx 130^\circ \,\]

Đáp án: 3057

Tấm bìa hình vuông cạnh \(40\) cm được chia thành:

  • 4 hình chữ nhật ở giữa làm thân lồng đèn,

  • 4 tam giác phía trên và 4 tam giác phía dưới tạo thành 2 hình chóp tứ giác đều.

Vì cạnh hình vuông là 40 và có 4 mặt bên bằng nhau nên cạnh đáy hình lăng trụ là \(\frac{{40}}{4} = 10\) cm.

Đặt:

  • \(AH = KD = x\),

  • chiều cao phần thân là \(HK = 40 - 2x\).

Khi đó:

  • phần thân là lăng trụ đáy vuông cạnh \(10\), cao \(40 - 2x\);

  • mỗi đầu là một hình chóp tứ giác đều đáy cạnh \(10\).

Với tam giác bên của chóp, đường cao mặt bên bằng \(x\), nên chiều cao chóp là

\(h = \sqrt {{x^2} - {{\left( {\frac{{10}}{2}} \right)}^2}}  = \sqrt {{x^2} - 25} \).

Thể tích đèn lồng: \(V(x) = {10^2}(40 - 2x) + 2 \cdot \frac{1}{3} \cdot {10^2}\sqrt {{x^2} - 25} \)

\( = 100(40 - 2x) + \frac{{200}}{3}\sqrt {{x^2} - 25} \).

Lấy đạo hàm: \(V'(x) =  - 200 + \frac{{200x}}{{3\sqrt {{x^2} - 25} }}\).

Cho \(V'(x) = 0\):

\( - 200 + \frac{{200x}}{{3\sqrt {{x^2} - 25} }} = 0\)\( \Leftrightarrow x = 3\sqrt {{x^2} - 25} \)\( \Leftrightarrow {x^2} = 9{x^2} - 225\)

\( \Leftrightarrow 8{x^2} = 225\)\( \Rightarrow x = \frac{{15\sqrt 2 }}{4}\).

Thay vào \(V(x)\):

\({V_{\max }} = 4000 - \frac{{2000\sqrt 2 }}{3} \approx 3057,19\).

Đáp án: 13,8.

Vũng phát hiện của Ra đa là mặt cầu tâm \(A\left( {12;8;3} \right)\), bán kính \(30\) km:

\(\left( S \right):{\left( {x - 12} \right)^2} + {\left( {y - 8} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = {30^2}\).

Quỹ đạo bay của UAV là đường thẳng đi qua \(M\left( {72;28;3} \right)\) và \(N\left( { - 32; - 30;3} \right)\):

\(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 72 + 52t\\y = 28 + 29t\\z = 3\end{array} \right.\).

Gọi \(I\), \(K\) là các giao điểm của \(d\) và \(\left( S \right)\). Khi đó, hình ảnh của UAV xuất hiện trên màn hình của Ra đa khi UAV di chuyển trên đoạn \(IK\).

Ta có: \({\left( {60 + 52t} \right)^2} + {\left( {20 + 29t} \right)^2} = {30^2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t \approx  - 0,5802 \Rightarrow I\left( {41,8315;11,1753;3} \right)\\t \approx  - 1,5073 \Rightarrow K\left( { - 6,3787; - 15,7112;3} \right)\end{array} \right.\).

Vậy tổng thời gian UAV xuất hiện trên màn hình Ra đa là

\(\frac{{IK}}{v} \times 60 = \frac{{\sqrt {{{\left( { - 6,3787 - 41,8315} \right)}^2} + {{\left( { - 15,7112 - 11,1753} \right)}^2}} }}{{240}} \times 60 \approx 13,8\) (phút).

Đáp án: \(33,2\).

Dựng trục \(Ox\) như hình vẽ

Xét mặt phẳng vuông góc với trục \(Ox\) tại điểm \(K\) có hoành độ bằng \(x\left( {0 \le x \le 4} \right)\), thiết diện thu được là hình viên phân \(IMN\) có bán kính \(r = KI = KM = KN\).

Ta có \(\frac{{IK}}{{OA}} = \frac{{SK}}{{SO}} \Rightarrow IK = \frac{{OA.SK}}{{SO}} = \frac{{6.\left( {8 - x} \right)}}{8} = \frac{{3\left( {8 - x} \right)}}{4} = 6 - 0,75x \Rightarrow r = 6 - 0,75x\).

\({S_{\Delta KMN}} = \frac{1}{2}KH.MN = \frac{1}{2}.3.2\sqrt {{r^2} - 9}  = 3\sqrt {{r^2} - 9}  = 3\sqrt {{{\left( {6 - 0,75x} \right)}^2} - 9} \)

Đặt \(\widehat {MKN} = \alpha \left( {rad} \right) \Rightarrow \widehat {IKM} = \frac{\alpha }{2}\).

Ta có \(\cos \frac{\alpha }{2} = \frac{3}{r} \Rightarrow \frac{\alpha }{2} = shift\cos \left( {\frac{3}{r}} \right) \Rightarrow \alpha  = 2shiftcos\left( {\frac{3}{r}} \right)\)

\({S_{quat}} = \frac{\alpha }{{2\pi }}.\pi {r^2} = \frac{{\alpha .{r^2}}}{2} = {r^2}.shift\cos \left( {\frac{3}{r}} \right)\)

Diện tích thiết diện là

\(S\left( x \right) = {S_{quat}} - {S_{\Delta KMN}} = {r^2}.shift\cos \left( {\frac{3}{r}} \right) - 3\sqrt {{r^2} - 9} \)

\( = {\left( {6 - 0,75x} \right)^2}.shift\cos \left( {\frac{3}{{6 - 0,75x}}} \right) - 3\sqrt {{{\left( {6 - 0,75x} \right)}^2} - 9} \)

Thể tích cần tính là: \(V = \int\limits_0^4 {S\left( x \right)dx}  \approx 33,2\) (Sử dụng máy tính).