Đề thi thử Tốt nghiệp THPT Toán 2025-2026 Sở GD&ĐT Ninh Bình lần 3 có đáp án
22 câu hỏi
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu thí sinh chỉ chọn một phương án.
Hàm số \(F\left( x \right) = \ln \,x\) là nguyên hàm của hàm số nào dưới đây trên khoảng \(\left( {0;\, + \infty } \right)?\)
\(f\left( x \right) = 2026 - \frac{1}{x}\).
\(f\left( x \right) = - \frac{1}{x}\).
\(f\left( x \right) = \frac{1}{x}\).
\(f\left( x \right) = \frac{1}{x} + 2026\).
Chọn C
Nếu \(F\left( x \right)\) là nguyên hàm của \(f\left( x \right)\) thì \(F'\left( x \right) = f\left( x \right)\)
Vậy hàm số cần tìm là \(f\left( x \right) = F'\left( x \right) = {\left( {\ln \,x} \right)^\prime } = \frac{1}{x}.\)
\(x = 25^\circ + k180^\circ ,\,k \in \mathbb{Z}\).
\(x = 35^\circ + k60^\circ ,\,k \in \mathbb{Z}\).
\(x = 30^\circ + k60^\circ ,\,k \in \mathbb{Z}\).
\(x = 60^\circ + k180^\circ ,\,k \in \mathbb{Z}\).
Chọn B
Ta có: \(\cot \,\left( {3x - 45^\circ } \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\)
\( \Leftrightarrow \)\(\cot \,\left( {3x - 45^\circ } \right) = \cot 60^\circ \)
\( \Leftrightarrow 3x - 45 = 60^\circ + k180^\circ \)
\( \Leftrightarrow 3x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 105^\circ + k180^\circ \)
\( \Leftrightarrow x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 35^\circ + k60^\circ .\)
\( - 4052\).
\(4052\).
\(1013\).
\( - 1013\).
Chọn A
Áp dụng tính chất đổi cận, ta có:
\(\int\limits_b^a {2f\left( x \right)} \,dx = - \int\limits_a^b {2f\left( x \right)} \,dx = - 2\int\limits_a^b {f\left( x \right)} \,dx = - 2.\,2026 = - 4052.\)
\(x = 68\).
\(x = 65\).
\(x = 66\).
\(x = 63\).
Chọn B
Tập xác định \(D = \left( {1;\, + \infty } \right)\)
Ta có: \({\log _4}\left( {x - 1} \right) = 3\)
\( \Leftrightarrow x - 1 = {4^3}\)
\( \Leftrightarrow x - 1 = 64\)
\( \Rightarrow x = 65\)(thỏa mãn)
Vậy nghiệm của phương trình là \(x = 65.\)
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ { - 1;5} \right]\) và có đồ thị như hình vẽ. Gọi \(M\) và \(m\) lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số đã cho trên \(\left[ { - 1;5} \right]\). Giá trị của \(M - m\) bằng
1.
4.
6.
5.
Chọn C
Dựa vào đồ thị ta có \(M = 4;m = - 2\).
Vậy \(M - m = 6\).
\(\overrightarrow {{u_2}} = \left( {2;4; - 1} \right)\).
\(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {2;5;3} \right)\).
\(\overrightarrow {{u_4}} = \left( {3;4; - 1} \right)\).
\(\overrightarrow {{u_3}} = \left( {2; - 5;3} \right)\).
Chọn D
\(d:\frac{{x - 3}}{2} = \frac{{y - 4}}{{ - 5}} = \frac{{z + 1}}{3}\)
Vậy vectơ chỉ phương của \(d\) là \(\overrightarrow {{u_3}} = \left( {2; - 5;3} \right)\).
\({u_2} = - 18\).
\({u_2} = 6\).
\({u_2} = 1\).
\({u_2} = - 6\).
Chọn D
\({u_2} = {u_1}q = - 6\).
\(SB\).
\(AB\).
\(AC\).
\(SA\).
Chọn C
Ta có \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) nên hình chiếu của đường thẳng \(SC\) trên mặt phẳng \(ABCD\) là đường thẳng \(AC\).
\[\frac{{47}}{{50}}\].
\[\frac{{52}}{{50}}\].
\[\frac{{36}}{{50}}\].
\[\frac{{57}}{{50}}\].
Chọn.A.
Số phần tử của không gian mẫu là \[n\left( \Omega \right) = C_{50}^1 = 50\].
Gọi \[A\]là biến cố: “Người được chọn thành thạo tiếng Anh”;
\[B\]là biến cố: “Người được chọn thành thạo tiếng Pháp”;
\[AB\] là biến cố: “Người được chọn thành thạo cả hai thứ tiếng”;
\[A \cup B\]là biến cố: “Người được chọn thành thạo ít nhất một trong hai thứ tiếng Anh hoặc Pháp”.
Khi đó, \[P\left( A \right) = \frac{{31}}{{50}};P\left( B \right) = \frac{{21}}{{50}};P\left( {AB} \right) = \frac{5}{{50}}\].
Xác suất để người được chọn thành thạo ít nhất một trong hai thứ tiếng Anh hoặc Pháp là\[P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) - P\left( {AB} \right) = \frac{{31}}{{50}} + \frac{{21}}{{50}} - \frac{5}{{50}} = \frac{{47}}{{50}}\].
\[{x^2} + {y^2} - {z^2} - 4x + 2y + 2z - 3 = 0\].
\[{x^2} + 2{y^2} + {z^2} - 4x + 2y + 2z - 10 = 0\].
\[{x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 2y + 2z - 2 = 0\].
\[{x^2} + {y^2} + {z^2} - 4xy + 2y + 2z + 8 = 0\].
Chọn C
Loại đáp án A và B do hệ số của \[{x^2},{y^2}\]và \[{z^2}\] không bằng nhau.
Loại D do không thỏa mãn điều kiện \[{a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0\].
Xét đáp án C, ta thấy \[{a^2} + {b^2} + {c^2} - d = {2^2} + {\left( { - 1} \right)^2} + {\left( { - 1} \right)^2} - \left( { - 2} \right) = 10 > 0\]\[ \Rightarrow \] Chọn C.
\[\overrightarrow u = \left( {10;6; - 4} \right)\].
\[\overrightarrow u = \left( {16;3;5} \right)\].
\[\overrightarrow u = \left( {16;15; - 7} \right)\].
\[\overrightarrow u = \left( {10; - 3; - 6} \right)\].
Chọn C
Tọa độ của vectơ là \[\overrightarrow b = \left( {2;3; - 1} \right)\].
Khi đó, tọa độ của vectơ \[\overrightarrow u = 2\overrightarrow a + 3\overrightarrow b = 2\left( {5;3; - 2} \right) + 3\left( {2;3; - 1} \right) = \left( {16;15; - 7} \right)\].
Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] liên tục trên \[\mathbb{R}\] và có bảng xét dấu của đạo hàm như sau:
![Chọn C Tọa độ của vectơ là \[\overrightarrow b = \left( {2;3; - 1} \right)\]. (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2026/05/picture27-1779782577.png)
Số điểm cực đại của hàm số đã cho là
\[2\].
\[5\].
\[4\].
\[3\].
Chọn A
Theo bảng xét dấu, ta thấy có 2 điểm cực trị \[x = - 2\] và \[x = 5\] mà\[y'\] đổi dấu từ dương sang âm nên hàm số đã cho có 2 điểm cực đại.
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng (Đ) hoặc sai (S).
Trong một nghiên cứu, một nhóm học sinh được cho xem cùng một danh sách các loài động vật. Sau đó cứ mỗi tháng, các em sẽ được kiểm tra lại để xem còn nhớ bao nhiêu phần trăm số loài động vật có trong danh sách. Giả sử sau t tháng, khả năng nhớ trung bình \(M\) của nhóm học sinh đó được tính theo công thức \(M\left( t \right) = 75 - 20\ln \left( {t + 1} \right),\,\,0 \le t \le 12\) (đơn vị: %).Khả năng nhớ trung bình của nhóm học sinh đó sau 6 tháng là 36% (kết quả đã làm tròn đến hàng đơn vị).
Hàm số \(y = M\left( t \right)\) nghịch biến trên đoạn [0; 12].
Công thức tìm \(t\) khi biết \(M\) là \(t = {e^{75 - M}} - 1\).
Sau ít nhất 10 tháng thì khả năng nhớ trung bình của nhóm học sinh đó còn dưới 25%.
Chọn a) Đúng | b) Đúng| c) Sai | d) Sai
a) Ta có: \(M\left( 6 \right) = 75 - 20\ln 7 \approx 36\% \). Suy ra là mệnh đề đúng.
b) Ta có: \(M'\left( t \right) = - \frac{{20}}{{t + 1}} < 0\,\,\forall t \in \left[ {0;12} \right]\) suy ra hàm số nghịch biến trên đoạn \(\left[ {0;12} \right]\). Mệnh đề đúng.
c) Ta có: \(M = 75 - 20\ln \left( {t + 1} \right) \Rightarrow \ln \left( {t + 1} \right) = \frac{{75 - M}}{{20}} \Rightarrow t = {e^{\frac{{75 - M}}{{20}}}} - 1\).
Suy ra là mệnh đề sai.
d) \(M\left( t \right) < 25 \Rightarrow 75 - 20\ln \left( {t + 1} \right) < 25 \Rightarrow t > {e^{\frac{5}{2}}} - 1 \approx 11,2\)
Vậy sau ít nhất 12 tháng thì khả năng nhớ trung bình của nhóm học sinh đó còn dưới 25%.
Mệnh đề sai.
[NB] Gọi \(DH\) là đường cao của tứ diện. Một vectơ chỉ phương của \(DH\)là \(\overrightarrow u = \left( {4;5;3} \right)\).
[TH] Cosin góc tạo bởi đường thẳng \(AD\) và mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là \(\frac{{\sqrt {10} }}{{50}}\).
[TH] Phương trình của mặt cầu tâm \(D\) tiếp xúc với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là\({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 50\).
[VD,VDC] Gọi \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\). Nếu \(\left( P \right)\)có phương trình dạng \[ax + by + cz - 2 = 0\] là mặt phẳng đi qua điểm \(G\) và cách điểm \(D\) một khoảng cách lớn nhất thì \(a + 2b + 3c = 9\).
Chọn a) Đúng | b) Sai| c) Sai | d) Đúng
a) Ta có \(\overrightarrow {AC} = \left( { - 1; - 1;3} \right)\) và \(\overrightarrow {AB} = \left( {1; - 2;2} \right)\).
Vectơ chỉ phương của đường thẳng \(DH\) là \({\overrightarrow u _{DH}} = \left[ {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AB} } \right] = \left( {4;5;3} \right)\).
Chọn ĐÚNG.
b) \(\overrightarrow {AD} = \left( {0; - 1;2} \right)\)
Suy ra \(\sin \left( {AD,\left( {ABC} \right)} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {AD} \cdot {{\overrightarrow u }_{DH}}} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {AD} } \right| \cdot \left| {{{\overrightarrow u }_{DH}}} \right|}} = \frac{1}{{\sqrt 5 \cdot 5\sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt {10} }}{{50}}\).
\(\cos \left( {AD,\left( {ABC} \right)} \right) = \sqrt {1 - \frac{{10}}{{2500}}} = \frac{{\sqrt {2490} }}{{50}}\).
Chọn SAI.
c) Theo trên, ta có vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là
\(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AB} } \right] = \left( {4;5;3} \right)\)
Suy ra phương trình mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là : \(4x + 5y + 3z - 11 = 0\)
Do đó \({\rm{d}}\left( {D,\left( {ABC} \right)} \right) = \frac{{\left| {4 \cdot 1 + 5 \cdot 1 + 3 \cdot 1 - 11} \right|}}{{\sqrt {44} }} = \frac{1}{{\sqrt {44} }}\).
Phương trình mặt cầu tâm \(D\), tiếp xúc với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là
\({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = \frac{1}{{44}}\).
Chọn SAI.
d) Vì \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\) nên suy ra \(G\left( {1;1;\frac{2}{3}} \right)\).
Gọi \(\left( P \right)\) là mặt phẳng đi qua điểm \(G\).
Ta có \({\rm{d}}\left( {D,\left( P \right)} \right) \le DG\).
Do đó, khoảng cách từ điểm \(D\) đến mặt phẳng \(\left( P \right)\) lớn nhất là \(DG\).
Suy ra mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua điểm \(G\) và nhận \(\overrightarrow {GD} = \frac{1}{3}\left( {0;0;1} \right)\) làm vecto pháp tuyến.
\( \Rightarrow \) Phương trình mặt phẳng \(\left( P \right):3z - 2 = 0\).
Vậy \(a = b = 0,c = 3\).
\(a + 2b + 3c = 9\).
Chọn ĐÚNG.
[NB] Giá trị đại diện của nhóm \[\left[ {50;{\rm{ }}60} \right)\]là \(60\).
[TH] Độ tuổi được dự báo ít xem phim đó nhất là thuộc nhóm \[\left[ {50;{\rm{ }}60} \right)\].
[TH] Nhóm chứa mốt là nhóm \[\left[ {30;{\rm{ 4}}0} \right)\].
[TH] Độ tuổi được dự báo xem phim đó nhiều nhất là 31 tuổi.
a) Sai
Giá trị đại diện của nhóm \[\left[ {50;{\rm{ }}60} \right)\]là \(55\).
b) Đúng
Số người được dự báo xem phim thuộc nhóm \[\left[ {50;{\rm{ }}60} \right)\] là 2 người. Ít nhất trong các nhóm.
c) Đúng
Nhóm \[\left[ {30;{\rm{ 4}}0} \right)\] có \(16\) người cao nhất nên nhóm \[\left[ {30;{\rm{ 4}}0} \right)\] chứa mốt.
d) Sai
Độ tuổi được dự báo xem phim nhiều nhất chính là mốt.
Nhóm \[\left[ {30;{\rm{ 4}}0} \right)\] chứa mốt
Mốt: \[{M_o} = 30 + \frac{{16 - 12}}{{\left( {16 - 12} \right) + \left( {16 - 7} \right)}}.10 \approx 33 \ne 31\].
Tại thời điểm bắt đầu sự cố \(\left( {t = 0} \right)\), tốc độ giảm thể tích tổng cộng của hóa chất trong bồn là \(231,6\) (\({{\rm{m}}^{\rm{3}}}\)/ giờ) (kết quả đã làm tròn đến hàng phần mười).
Mối liên hệ giữa chiều cao \(h\left( t \right)\) và thời gian \(t\) được xác định bởi hệ thức \(h' = - 0,1\sqrt h - \frac{2}{{t + 1}}\).
Trong khoảng thời gian gặp sự cố thì tốc độ giảm thể tích tổng cộng của hóa chất trong bồn luôn tăng.
Nếu bỏ qua sự bốc hơi \(\left( {{v_b} = 0} \right)\) thì bồn sẽ cạn sạch hóa chất \(\left( {h = 0} \right)\) sau đúng \(20\) giờ.
a) Ta có chiều cao bồn chứa hình trụ là \(h = \frac{V}{S} = \frac{{1000}}{{100}} = 10\,\left( {\rm{m}} \right)\).
Tốc độ giảm thể tích tổng cộng của hóa chất trong bồn là
\({v_g}\left( t \right) = {v_r}\left( t \right) + {v_b}\left( t \right) = 10\sqrt {h\left( t \right)} + \frac{{200}}{{t + 1}}\)
Ta có \({v_g}\left( 0 \right) = {v_r}\left( 0 \right) + {v_b}\left( 0 \right) = 10\sqrt {h\left( 0 \right)} + \frac{{200}}{1}\)
Mà \(h\left( 0 \right) = 10\,\left( {\rm{m}} \right)\) nên ta có \({v_g} = 10\sqrt {10} + 200 \approx 231,6\,\)(\({{\rm{m}}^{\rm{3}}}\)/giờ)
Chọn Đúng.
b) Ta có \(V'\left( t \right) = - {v_g}\)
Mà \(V\left( t \right) = S.h\left( t \right) = 100h\left( t \right)\) suy ra \(V'\left( t \right) = 100h'\left( t \right)\)
Nên ta có \(100h'\left( t \right) = - 10\sqrt {h\left( t \right)} - \frac{{200}}{{t + 1}}\)\( \Leftrightarrow h' = - 0,1\sqrt h - \frac{2}{{t + 1}}\) (Do bốc hơi nên chiều cao sẽ giảm nên \(h'\left( t \right) < 0\))
Chọn Đúng
c) Xét hàm số \({v_g}\left( t \right) = 10\sqrt {h\left( t \right)} + \frac{{200}}{{t + 1}} = f\left( t \right) \Rightarrow f'\left( t \right) = \frac{{10.h'\left( t \right)}}{{2\sqrt {h\left( t \right)} }} - \frac{{200}}{{{{\left( {t + 1} \right)}^2}}} < 0\)( do \(h'\left( t \right) < 0\))
Ta có khi \(t\) tăng thì \(h\left( t \right)\) giảm nên \(10\sqrt {h\left( t \right)} \) giảm
Khi \(t\) tăng thì \(\frac{{200}}{{t + 1}}\) giảm
Vậy \({v_g}\left( t \right)\) giảm
Chọn Sai.
d) Cho \({v_b} = 0\) thì ta có \(h'\left( t \right) = - \frac{1}{{10}}\sqrt {h\left( t \right)} \)\( \Leftrightarrow \frac{{h'\left( t \right)}}{{2\sqrt {h\left( t \right)} }} = - \frac{1}{{20}}\)
Lấy nguyên hàm hai vế ta có
\(\int {\frac{{h'\left( t \right)}}{{2\sqrt {h\left( t \right)} }}dt = \int { - \frac{1}{{20}}dt} } \)\( \Leftrightarrow \sqrt {h\left( t \right)} = - \frac{1}{{20}}t + C\)
Với \(t = 0\) thì \(h\left( 0 \right) = 10\) ta có \(C = \sqrt {10} \) suy ra \(\sqrt {h\left( t \right)} = - \frac{1}{{20}}t + \sqrt {10} \)
Khi \(h = 0\) thì ta có \( - \frac{1}{{20}}t + \sqrt {10} = 0 \Leftrightarrow t = 20\sqrt {10} \) (giờ)
Chọn Sai
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.
Một công ty xây dựng cần xếp các ống thép hình trụ thành một chồng trong kho. Hàng dưới cùng có \(50\) ống, hàng thứ hai có \(49\) ống, hàng thứ ba có \(48\) ống, … Cứ như thế, mỗi hàng phía trên ít hơn hàng ngay phía dưới là 1 ống và hàng trên cùng có 21 ống. Biết giá tiền nhập kho của mỗi ống thép là 250.000 đồng. Tính tổng số tiền công ty đó đã chi để nhập toàn bộ số ống thép trên (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị của triệu đồng).
Đáp án: 266
Ta có cấp số cộng với \({u_1} = 50;\,d = - 1\) và \({u_n} = 21\), khi đó
\[{u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d \Rightarrow 21 = 50 - \left( {n - 1} \right) \Rightarrow n = 30\].
Tổng số ống thép là: \({S_{30}} = \frac{{{u_1} + {u_{30}}}}{2} \cdot n = \frac{{50 + 21}}{2} \cdot 30 = 1065\).
Tổng số tiền công ty đó đã chi để nhập toàn bộ số ống thép trên lag:
\(T = 1065 \cdot 250.000 = 266\,250\,000\) (đồng), suy ra \(T \approx 266\) (triệu đồng).
Đáp án: 54.
Gọi \(A\) là biến cố: “Người được phỏng vấn mặc áo thi đấu”;
\(B\) là biến cố: “Người được phỏng vấn thực sự xem trận đấu”.
Ta có: \(P\left( A \right) = 0,2\); \(P\left( {\overline A } \right) = 1 - 0,2 = 0,8\);
\(P\left( {\left. B \right|A} \right) = 0,85\); \(P\left( B \right) = 0,6 \times 0,9 + 0,4 \times \left( {1 - 0,85} \right) = 0,6\).
Áp dụng công thức xác suất toàn phần:
\(P\left( B \right) = P\left( {\left. B \right|A} \right) \times P\left( A \right) + P\left( {\left. B \right|\overline A } \right) \times P\left( {\overline A } \right)\)
\( \Rightarrow 0,6 = 0,85 \times 0,2 + P\left( {\left. B \right|\overline A } \right) \times 0,8 \Leftrightarrow P\left( {\left. B \right|\overline A } \right) = 0,5375 = 53,75\% \approx 54\% \).
Vậy \(a = 54\).
Đáp án: 1230
Lợi nhuận \(L\) bằng doanh thu trừ chi phí và tiền thuế:
Ta có \(L\left( x \right) = x \cdot P\left( x \right) - C\left( x \right) - \left( {t \cdot x} \right)\)\( = x\left( {1760 - 0,5x} \right) - \left( {\frac{1}{3}{x^3} - 10{x^2} + 200x + 1000} \right) - tx\)
\( = - \frac{1}{3}{x^3} + 9,5{x^2} + 1560x - 1000 - tx\).
\(L\prime \left( x \right) = - {x^2} + 19x + 1560 - t\).
Ta có \(L\left( x \right)\) đạt giá trị lớn nhất khi \(L'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow t = - {x^2} + 19x + 1560\,\,\left( 1 \right)\).
Tổng tiền thuế \(T\) thu được là: \(T\left( x \right) = t \cdot x = \left( { - {x^2} + 19x + 1560} \right) \cdot x\)\( = - {x^3} + 19{x^2} + 1560x\).
\(T\prime \left( x \right) = - 3{x^2} + 38x + 1560\)
\(T'\left( x \right) = 0\)\( \Leftrightarrow x = 30\) hoặc \(x = - \frac{{52}}{3}\) (loại vì \(x > 0\)).
Bảng biến thiên
Thay \(x = 30\) vào phương trình \(\left( 1 \right)\) ta được: \(t = - {30^2} + 19 \cdot 30 + 1560\)\( = 1230\).
![Đáp án: \[50\] \[{d_{1\,}}\,\,\left\{ \begin{array}{l}\o (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2026/05/picture30-1779782862.png)
Đáp án: \[50\]
![Đáp án: \[50\] \[{d_{1\,}}\,\,\left\{ \begin{array}{l}\o (ảnh 2)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2026/05/picture31-1779782881.png)
\[{d_{1\,}}\,\,\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow u = \left( {0;\, - 2;\,1} \right)\,\,:{\rm{VTCP}}\\{\rm{qua}}\,A\left( {1;1;1} \right)\,\end{array} \right.\], \[{d_2}\,\,{\rm{qua}}\,\,B\left( {0; - 2;1} \right)\]; \[\overrightarrow {AB} = \left( { - 1; - 3;0} \right)\]; \[\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {AB} \,} \right]\, = \left( {3; - 1; - 2} \right) = \,\overrightarrow n \].
\[\overrightarrow v = \left( {a;b;6} \right)\] là VTCP của đường thẳng biểu diễn cho máng nước.
Gọi \[\left( P \right)\] là mặt phẳng chứa hai thanh dầm \[{d_1},\,\,{d_2}\]\[\,\left( {{d_1}{\rm{//}}\,{d_2}} \right)\], suy ra \[\left( P \right)\] nhận \[\overrightarrow n = \left( {3; - 1; - 2} \right)\] là VTPT.
Ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}\,\overrightarrow v \cdot \,\overrightarrow u = 0\\\overrightarrow v \cdot \,\overrightarrow n = 0\end{array} \right.\,\, \Leftrightarrow \,\left\{ \begin{array}{l} - 2b + 6 = 0\\3a - b - 12 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 5\\b = 3\end{array} \right.\,\, \Rightarrow \,\,T\, = \,7a + 5b = 35 + 15 = 50\].
![Đáp án: \[50\] \[{d_{1\,}}\,\,\left\{ \begin{array}{l}\o (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2026/05/picture32-1779782906.png)
Đáp án: 600.
Tìm bán kính \(R\) của viên kẹo: \(M(\sqrt {20} ;20) \in (P):y = {x^2}\).
Tiếp tuyến tại \(M\) có hệ số góc \(k = y'({x_M}) = 2\sqrt {20} \Rightarrow y = 2\sqrt {20} \left( {x - \sqrt {20} } \right) + 20\).
Phương trình tiếp tuyến tại \(M\): \(2\sqrt {20} x - y - 20 = 0 \Rightarrow VTCP\left( {1;2\sqrt {20} } \right)\).
Tâm \(I(0;b)\) thuộc\(Oy\), vectơ \(\overrightarrow {IM} = (\sqrt {20} ;20 - b)\) vuông góc với tiếp tuyến:
\(\overrightarrow {IM} \times (1;2\sqrt {20} ) = 0 \Leftrightarrow \sqrt {20} + 2\sqrt {20} (20 - b) = 0 \Rightarrow b = 20.5{\rm{ mm}}\).
\(R = \left| {\overrightarrow {IM} } \right| = \sqrt {{{\left( {\sqrt {20} } \right)}^2} + {{\left( {20 - 20.5} \right)}^2}} = \frac{9}{2} = 4.5\)
Thể tích vỏ nhựa (\[{V_v}\]) giới hạn từ \(y = 0\) đến\(y = 25\).
\({V_v} = \pi \int_0^{25} y {\mkern 1mu} dy = \pi \left[ {\frac{{{y^2}}}{2}} \right]_0^{25} = \frac{{625\pi }}{2}\)
Thể tích viên kẹo (\[{V_K}\]):
\({V_K} = \frac{4}{3}\pi {R^3} = \frac{4}{3}\pi {\left( {\frac{9}{2}} \right)^3} = \frac{{243\pi }}{2}\).
Thể tích nước (\[V\]):
\(V = {V_V} - {V_K} = \frac{{625\pi }}{2} - \frac{{243\pi }}{2} = \frac{{382\pi }}{2} = 191\pi \approx 600{\rm{ m}}{{\rm{m}}^3}\).
Một thiết bị tán sỏi có mặt phản xạ là một nửa đường elip với độ dài trục lớn bằng \(20cm\) và khoảng cách từ tâm đến mỗi tiêu điểm bằng 8cm. Xét một tia sóng phát ra từ nguồn \({F_1}\), theo phương vuông góc với trục lớn, cắt mặt phản xạ tại điểm \(M\)rồi truyền đến viên sỏi tại tiêu điểm \({F_2}\). Hãy tính độ dài quãng đường \(M{F_2}\) (đơn vị: cm).
Đáp án: \(16,4\).
Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2a = 20}\\{c = 8}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 10}\\{c = 8}\end{array};b = \sqrt {{a^2} - {c^2}} = \sqrt {{{10}^2} - {8^2}} = 6} \right.} \right.\)
\(\begin{array}{l}(E):\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{{x^2}}}{{100}} + \frac{{{y^2}}}{{36}} = 1\\M\left( {{x_M};{y_M}} \right) \in (E) \Leftrightarrow \frac{{{x_M}^2}}{{100}} + \frac{{{y_M}^2}}{{36}} = 1\end{array}\)
Mà \({x_M} = - 8;{y_M} > 0 \Rightarrow {y_M} = 3,6.\)
\(M{F_1} + M{F_2} = 2a = 20\) mà \(M{F_1} = 3,6 \Rightarrow M{F_2} = 16,4.\)
