Đề thi thử Tốt nghiệp THPT Toán 2025-2026 Sở GD&ĐT Ninh Bình lần 3 có đáp án

Chọn C

Loại đáp án A và B do hệ số của \[{x^2},{y^2}\]và \[{z^2}\] không bằng nhau.

Loại D do không thỏa mãn điều kiện \[{a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0\].

Xét đáp án C, ta thấy \[{a^2} + {b^2} + {c^2} - d = {2^2} + {\left( { - 1} \right)^2} + {\left( { - 1} \right)^2} - \left( { - 2} \right) = 10 > 0\]\[ \Rightarrow \] Chọn C.

Chọn C

Tọa độ của vectơ là \[\overrightarrow b  = \left( {2;3; - 1} \right)\].

Khi đó, tọa độ của vectơ \[\overrightarrow u  = 2\overrightarrow a  + 3\overrightarrow b  = 2\left( {5;3; - 2} \right) + 3\left( {2;3; - 1} \right) = \left( {16;15; - 7} \right)\].

Chọn A

Theo bảng xét dấu, ta thấy có 2 điểm cực trị \[x =  - 2\] và \[x = 5\] mà\[y'\] đổi dấu từ dương sang âm nên hàm số đã cho có 2 điểm cực đại.

Chọn a) Đúng | b) Đúng| c) Sai | d) Sai

a) Ta có: \(M\left( 6 \right) = 75 - 20\ln 7 \approx 36\% \). Suy ra là mệnh đề đúng.

b) Ta có: \(M'\left( t \right) =  - \frac{{20}}{{t + 1}} < 0\,\,\forall t \in \left[ {0;12} \right]\) suy ra hàm số nghịch biến trên đoạn \(\left[ {0;12} \right]\). Mệnh đề đúng.

c) Ta có: \(M = 75 - 20\ln \left( {t + 1} \right) \Rightarrow \ln \left( {t + 1} \right) = \frac{{75 - M}}{{20}} \Rightarrow t = {e^{\frac{{75 - M}}{{20}}}} - 1\).

Suy ra là mệnh đề sai.

d) \(M\left( t \right) < 25 \Rightarrow 75 - 20\ln \left( {t + 1} \right) < 25 \Rightarrow t > {e^{\frac{5}{2}}} - 1 \approx 11,2\)

Vậy sau ít nhất 12 tháng thì khả năng nhớ trung bình của nhóm học sinh đó còn dưới 25%.

Mệnh đề sai.

Chọn a) Đúng | b) Sai| c) Sai | d) Đúng

a) Ta có \(\overrightarrow {AC}  = \left( { - 1; - 1;3} \right)\) và \(\overrightarrow {AB}  = \left( {1; - 2;2} \right)\).

Vectơ chỉ phương của đường thẳng \(DH\) là \({\overrightarrow u _{DH}} = \left[ {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AB} } \right] = \left( {4;5;3} \right)\).

Chọn ĐÚNG.

b) \(\overrightarrow {AD}  = \left( {0; - 1;2} \right)\)

Suy ra \(\sin \left( {AD,\left( {ABC} \right)} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {AD}  \cdot {{\overrightarrow u }_{DH}}} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {AD} } \right| \cdot \left| {{{\overrightarrow u }_{DH}}} \right|}} = \frac{1}{{\sqrt 5  \cdot 5\sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt {10} }}{{50}}\).

\(\cos \left( {AD,\left( {ABC} \right)} \right) = \sqrt {1 - \frac{{10}}{{2500}}}  = \frac{{\sqrt {2490} }}{{50}}\).

Chọn SAI.

c) Theo trên, ta có vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là

\(\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AB} } \right] = \left( {4;5;3} \right)\)

Suy ra phương trình mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là : \(4x + 5y + 3z - 11 = 0\)

Do đó \({\rm{d}}\left( {D,\left( {ABC} \right)} \right) = \frac{{\left| {4 \cdot 1 + 5 \cdot 1 + 3 \cdot 1 - 11} \right|}}{{\sqrt {44} }} = \frac{1}{{\sqrt {44} }}\).

Phương trình mặt cầu tâm \(D\), tiếp xúc với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là

\({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = \frac{1}{{44}}\).

Chọn SAI.

d) Vì \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\) nên suy ra \(G\left( {1;1;\frac{2}{3}} \right)\).

Gọi \(\left( P \right)\) là mặt phẳng đi qua điểm \(G\).

Ta có \({\rm{d}}\left( {D,\left( P \right)} \right) \le DG\).

Do đó, khoảng cách từ điểm \(D\) đến mặt phẳng \(\left( P \right)\) lớn nhất là \(DG\).

Suy ra mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua điểm \(G\) và nhận \(\overrightarrow {GD}  = \frac{1}{3}\left( {0;0;1} \right)\) làm vecto pháp tuyến.

\( \Rightarrow \) Phương trình mặt phẳng \(\left( P \right):3z - 2 = 0\).

Vậy \(a = b = 0,c = 3\).

\(a + 2b + 3c = 9\).

Chọn ĐÚNG.

a) Sai

Giá trị đại diện của nhóm \[\left[ {50;{\rm{ }}60} \right)\]là \(55\).

b) Đúng

Số người được dự báo xem phim thuộc nhóm \[\left[ {50;{\rm{ }}60} \right)\] là 2 người. Ít nhất trong các nhóm.

c) Đúng

Nhóm \[\left[ {30;{\rm{ 4}}0} \right)\] có \(16\) người cao nhất nên nhóm \[\left[ {30;{\rm{ 4}}0} \right)\] chứa mốt.

d) Sai

Độ tuổi được dự báo xem phim nhiều nhất chính là mốt.

Nhóm \[\left[ {30;{\rm{ 4}}0} \right)\] chứa mốt

Mốt: \[{M_o} = 30 + \frac{{16 - 12}}{{\left( {16 - 12} \right) + \left( {16 - 7} \right)}}.10 \approx 33 \ne 31\].

a) Ta có chiều cao bồn chứa hình trụ là \(h = \frac{V}{S} = \frac{{1000}}{{100}} = 10\,\left( {\rm{m}} \right)\).

Tốc độ giảm thể tích tổng cộng của hóa chất trong bồn là

\({v_g}\left( t \right) = {v_r}\left( t \right) + {v_b}\left( t \right) = 10\sqrt {h\left( t \right)}  + \frac{{200}}{{t + 1}}\)

Ta có \({v_g}\left( 0 \right) = {v_r}\left( 0 \right) + {v_b}\left( 0 \right) = 10\sqrt {h\left( 0 \right)}  + \frac{{200}}{1}\)

Mà \(h\left( 0 \right) = 10\,\left( {\rm{m}} \right)\) nên ta có \({v_g} = 10\sqrt {10}  + 200 \approx 231,6\,\)(\({{\rm{m}}^{\rm{3}}}\)/giờ)

Chọn Đúng.

b) Ta có \(V'\left( t \right) =  - {v_g}\)

Mà \(V\left( t \right) = S.h\left( t \right) = 100h\left( t \right)\) suy ra \(V'\left( t \right) = 100h'\left( t \right)\)

Nên ta có \(100h'\left( t \right) =  - 10\sqrt {h\left( t \right)}  - \frac{{200}}{{t + 1}}\)\( \Leftrightarrow h' =  - 0,1\sqrt h  - \frac{2}{{t + 1}}\) (Do bốc hơi nên chiều cao sẽ giảm nên \(h'\left( t \right) < 0\))

Chọn Đúng

c) Xét hàm số \({v_g}\left( t \right) = 10\sqrt {h\left( t \right)}  + \frac{{200}}{{t + 1}} = f\left( t \right) \Rightarrow f'\left( t \right) = \frac{{10.h'\left( t \right)}}{{2\sqrt {h\left( t \right)} }} - \frac{{200}}{{{{\left( {t + 1} \right)}^2}}} < 0\)( do \(h'\left( t \right) < 0\))

Ta có khi \(t\) tăng thì \(h\left( t \right)\) giảm nên \(10\sqrt {h\left( t \right)} \) giảm

Khi \(t\) tăng thì \(\frac{{200}}{{t + 1}}\) giảm

Vậy \({v_g}\left( t \right)\) giảm

Chọn Sai.

d) Cho \({v_b} = 0\) thì ta có \(h'\left( t \right) =  - \frac{1}{{10}}\sqrt {h\left( t \right)} \)\( \Leftrightarrow \frac{{h'\left( t \right)}}{{2\sqrt {h\left( t \right)} }} =  - \frac{1}{{20}}\)

Lấy nguyên hàm hai vế ta có

\(\int {\frac{{h'\left( t \right)}}{{2\sqrt {h\left( t \right)} }}dt = \int { - \frac{1}{{20}}dt} } \)\( \Leftrightarrow \sqrt {h\left( t \right)}  =  - \frac{1}{{20}}t + C\)

Với \(t = 0\) thì \(h\left( 0 \right) = 10\) ta có \(C = \sqrt {10} \) suy ra \(\sqrt {h\left( t \right)}  =  - \frac{1}{{20}}t + \sqrt {10} \)

Khi \(h = 0\) thì ta có \( - \frac{1}{{20}}t + \sqrt {10}  = 0 \Leftrightarrow t = 20\sqrt {10} \) (giờ)

Chọn Sai

Đáp án: 266

Ta có cấp số cộng với \({u_1} = 50;\,d =  - 1\) và \({u_n} = 21\), khi đó

\[{u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d \Rightarrow 21 = 50 - \left( {n - 1} \right) \Rightarrow n = 30\].

Tổng số ống thép là: \({S_{30}} = \frac{{{u_1} + {u_{30}}}}{2} \cdot n = \frac{{50 + 21}}{2} \cdot 30 = 1065\).

Tổng số tiền công ty đó đã chi để nhập toàn bộ số ống thép trên lag:

\(T = 1065 \cdot 250.000 = 266\,250\,000\) (đồng), suy ra \(T \approx 266\) (triệu đồng).

Đáp án: 54.

Gọi \(A\) là biến cố: “Người được phỏng vấn mặc áo thi đấu”;

\(B\) là biến cố: “Người được phỏng vấn thực sự xem trận đấu”.

Ta có: \(P\left( A \right) = 0,2\); \(P\left( {\overline A } \right) = 1 - 0,2 = 0,8\);

\(P\left( {\left. B \right|A} \right) = 0,85\); \(P\left( B \right) = 0,6 \times 0,9 + 0,4 \times \left( {1 - 0,85} \right) = 0,6\).

Áp dụng công thức xác suất toàn phần:

\(P\left( B \right) = P\left( {\left. B \right|A} \right) \times P\left( A \right) + P\left( {\left. B \right|\overline A } \right) \times P\left( {\overline A } \right)\)

\( \Rightarrow 0,6 = 0,85 \times 0,2 + P\left( {\left. B \right|\overline A } \right) \times 0,8 \Leftrightarrow P\left( {\left. B \right|\overline A } \right) = 0,5375 = 53,75\%  \approx 54\% \).

Vậy \(a = 54\).

Đáp án: 1230

Lợi nhuận \(L\) bằng doanh thu trừ chi phí và tiền thuế:

Ta có \(L\left( x \right) = x \cdot P\left( x \right) - C\left( x \right) - \left( {t \cdot x} \right)\)\( = x\left( {1760 - 0,5x} \right) - \left( {\frac{1}{3}{x^3} - 10{x^2} + 200x + 1000} \right) - tx\)

\( =  - \frac{1}{3}{x^3} + 9,5{x^2} + 1560x - 1000 - tx\).

\(L\prime \left( x \right) =  - {x^2} + 19x + 1560 - t\).

Ta có \(L\left( x \right)\) đạt giá trị lớn nhất khi \(L'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow t =  - {x^2} + 19x + 1560\,\,\left( 1 \right)\).

Tổng tiền thuế \(T\) thu được là: \(T\left( x \right) = t \cdot x = \left( { - {x^2} + 19x + 1560} \right) \cdot x\)\( =  - {x^3} + 19{x^2} + 1560x\).

\(T\prime \left( x \right) =  - 3{x^2} + 38x + 1560\)

\(T'\left( x \right) = 0\)\( \Leftrightarrow x = 30\) hoặc \(x =  - \frac{{52}}{3}\) (loại vì \(x > 0\)).

Bảng biến thiên

Thay \(x = 30\) vào phương trình \(\left( 1 \right)\) ta được: \(t =  - {30^2} + 19 \cdot 30 + 1560\)\( = 1230\).

Đáp án: \[50\]

\[{d_{1\,}}\,\,\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow u  = \left( {0;\, - 2;\,1} \right)\,\,:{\rm{VTCP}}\\{\rm{qua}}\,A\left( {1;1;1} \right)\,\end{array} \right.\], \[{d_2}\,\,{\rm{qua}}\,\,B\left( {0; - 2;1} \right)\]; \[\overrightarrow {AB}  = \left( { - 1; - 3;0} \right)\]; \[\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {AB} \,} \right]\, = \left( {3; - 1; - 2} \right) = \,\overrightarrow n \].

\[\overrightarrow v  = \left( {a;b;6} \right)\] là VTCP của đường thẳng biểu diễn cho máng nước.

Gọi \[\left( P \right)\] là mặt phẳng chứa hai thanh dầm \[{d_1},\,\,{d_2}\]\[\,\left( {{d_1}{\rm{//}}\,{d_2}} \right)\], suy ra \[\left( P \right)\] nhận \[\overrightarrow n  = \left( {3; - 1; - 2} \right)\] là VTPT.

Ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}\,\overrightarrow v  \cdot \,\overrightarrow u  = 0\\\overrightarrow v  \cdot \,\overrightarrow n  = 0\end{array} \right.\,\, \Leftrightarrow \,\left\{ \begin{array}{l} - 2b + 6 = 0\\3a - b - 12 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 5\\b = 3\end{array} \right.\,\, \Rightarrow \,\,T\, = \,7a + 5b = 35 + 15 = 50\].

Đáp án: 600.

Tìm bán kính \(R\) của viên kẹo: \(M(\sqrt {20} ;20) \in (P):y = {x^2}\).

Tiếp tuyến tại \(M\) có hệ số góc \(k = y'({x_M}) = 2\sqrt {20}  \Rightarrow y = 2\sqrt {20} \left( {x - \sqrt {20} } \right) + 20\).

Phương trình tiếp tuyến tại \(M\): \(2\sqrt {20} x - y - 20 = 0 \Rightarrow VTCP\left( {1;2\sqrt {20} } \right)\).

Tâm \(I(0;b)\) thuộc\(Oy\), vectơ \(\overrightarrow {IM}  = (\sqrt {20} ;20 - b)\) vuông góc với tiếp tuyến:

\(\overrightarrow {IM}  \times (1;2\sqrt {20} ) = 0 \Leftrightarrow \sqrt {20}  + 2\sqrt {20} (20 - b) = 0 \Rightarrow b = 20.5{\rm{ mm}}\).

\(R = \left| {\overrightarrow {IM} } \right| = \sqrt {{{\left( {\sqrt {20} } \right)}^2} + {{\left( {20 - 20.5} \right)}^2}}  = \frac{9}{2} = 4.5\)

 Thể tích vỏ nhựa (\[{V_v}\]) giới hạn từ \(y = 0\) đến\(y = 25\).

\({V_v} = \pi \int_0^{25} y {\mkern 1mu} dy = \pi \left[ {\frac{{{y^2}}}{2}} \right]_0^{25} = \frac{{625\pi }}{2}\)

Thể tích viên kẹo (\[{V_K}\]):

\({V_K} = \frac{4}{3}\pi {R^3} = \frac{4}{3}\pi {\left( {\frac{9}{2}} \right)^3} = \frac{{243\pi }}{2}\).

Thể tích nước (\[V\]):

\(V = {V_V} - {V_K} = \frac{{625\pi }}{2} - \frac{{243\pi }}{2} = \frac{{382\pi }}{2} = 191\pi  \approx 600{\rm{ m}}{{\rm{m}}^3}\).

Đáp án: \(16,4\).

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2a = 20}\\{c = 8}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 10}\\{c = 8}\end{array};b = \sqrt {{a^2} - {c^2}}  = \sqrt {{{10}^2} - {8^2}}  = 6} \right.} \right.\)

\(\begin{array}{l}(E):\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{{x^2}}}{{100}} + \frac{{{y^2}}}{{36}} = 1\\M\left( {{x_M};{y_M}} \right) \in (E) \Leftrightarrow \frac{{{x_M}^2}}{{100}} + \frac{{{y_M}^2}}{{36}} = 1\end{array}\)

Mà \({x_M} =  - 8;{y_M} > 0 \Rightarrow {y_M} = 3,6.\)

\(M{F_1} + M{F_2} = 2a = 20\) mà \(M{F_1} = 3,6 \Rightarrow M{F_2} = 16,4.\)