Đề thi thử Tốt nghiệp THPT Toán 2025-2026 Sở GD&ĐT Nghệ An lần 1 có đáp án

Chọn B

\(I = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1}{{x + 1}} = \frac{1}{{0 + 1}} = 1\).

Chọn C

Từ hình vẽ ta có đồ thị đã cho là đồ thị của hàm số bậc ba có hệ số \(a < 0\) và \(d > 0\).

Chọn B

Khoảng biến thiên \(R = 10 - 3 = 7\).

Chọn C

Hình chiếu vuông góc của điểm \(M\left( {1;2;3} \right)\) lên trục \(Ox\) là điểm có tọa độ \(\left( {1;0;0} \right)\).

Chọn B

Từ bảng biến thiên, ta thấy đạo hàm \[y'\] đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua \(x = 3\). Suy ra hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 3\).

Chọn A

Hàm số đã cho có tập xác định \(D = \mathbb{R}\).

Đạo hàm bậc nhất \(y' =  - 3{x^2} + 3\).

Đạo hàm bậc hai \(y'' =  - 6x\).

Xét phương trình \(y'' = 0 \Leftrightarrow  - 6x = 0 \Leftrightarrow x = 0\).

Với \(x = 0 \Rightarrow y =  - 2\).

Do đồ thị hàm số bậc ba luôn nhận điểm uốn làm tâm đối xứng, nên tâm đối xứng của đồ thị là điểm \(J\left( {0; - 2} \right)\).

Chọn D

Phép chiếu song song theo phương \[A'A\] lên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) biến điểm \[A'\] thành điểm \(A\).

Do \(C'C{\rm{//}}A'A\) nên hình chiếu của điểm \[C'\] trên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) theo phương \[A'A\] là điểm \(C\). Suy ra ảnh của đoạn thẳng \[A'C'\] qua phép chiếu song song này là đoạn thẳng \[AC\].

Chọn B

Nhận thấy dãy số \({u_n} = n + 1\) là một cấp số cộng có công sai \(d = 1 > 0\) nên đây là dãy số tăng.

Các dãy số còn lại đều dễ dàng thấy là dãy giảm khi \(n\) tăng.

Chọn C

Ta có \[{\log _2}\left( {x - 1} \right) > 3 \Leftrightarrow x - 1 > 8 \Leftrightarrow x > 9\].

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \[\left( {9; + \infty } \right)\].

Chọn B

Vì hai vectơ ngược hướng nên góc giữa hai vecto \[\overrightarrow {CC'} \] và \[\overrightarrow {A'A} \] là \[180^\circ \].

\[\overrightarrow {CC'} .\overrightarrow {A'A}  = \left| {\overrightarrow {CC'} } \right|.\left| {\overrightarrow {A'A} } \right|.\cos 180^\circ  =  - 1\].

Chọn B

Theo định nghĩa phương trình mặt phẳng.

Chọn D

Ta có \[\overrightarrow a  = \left( { - 3;5;1} \right) \Rightarrow \left| {\overrightarrow a } \right| = \sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2} + {5^2} + {1^2}}  = \sqrt {35} \].

Chọn a) Đúng | b) Đúng| c) Sai | d) Sai

a) Lợi nhuận của HTX sau một vụ canh tác là

\(L\left( x \right) = R\left( x \right) - C\left( x \right) = 70x - 100\).

Chọn ĐÚNG.

b) Xét phương trình \(70x - 100 = 250 \Leftrightarrow x = 5\).

Chọn ĐÚNG.

c) Chi phí trung bình là \(P\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 30x + 100}}{x} = x + 30 + \frac{{100}}{x}\)

Ta có \(P'\left( x \right) = 1 - \frac{{100}}{{{x^2}}}\).

\(P'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 1 - \frac{{100}}{{{x^2}}} = 0 \Leftrightarrow x = 10\)

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên suy ra \(P\left( x \right)\) giảm với \(x \in \left( {1;10} \right)\).

Chọn SAI.

d) Ta có \(Q\left( x \right) = \frac{{L\left( x \right)}}{{C\left( x \right)}} = \frac{{70x - 100}}{{{x^2} + 30x + 100}}\).

\(Q'\left( x \right) = \frac{{ - 70{x^2} + 200x + 10000}}{{{{\left( {{x^2} + 30x + 100} \right)}^2}}}\).

\(Q'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow  - 70{x^2} + 200x + 10000 = 0 \Leftrightarrow x \approx 13,5\).

Ta có bảng biến thiên

Đồng vốn đầu tư hiệu quả cao nhất khi diện tích canh tác xấp xỉ bằng \(13,5\). Còn chi phí trung bình trên mỗi đơn vị diện tích thấp nhất khi bằng \(x = 10\).

Chọn SAI.

Chọn a) Đúng | b) Sai | c) Sai | d) Đúng

a)  Do \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( { - x - \frac{1}{{x - 1}}} \right) =  - \infty  \Rightarrow x = 1\]là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. Mệnh đề đúng.

b)  Hàm số có \[f'\left( x \right) =  - 1 + \frac{1}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \frac{{ - {x^2} + 2x}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\]. Do đó mệnh đề sai.

c)  Hàm số có \[f'\left( x \right) =  - 1 + \frac{1}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \frac{{ - {x^2} + 2x}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} \Rightarrow f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow y = 1\\x = 2 \Rightarrow y =  - 3\end{array} \right.\].

Qua \[x = 2\], \[f'\left( x \right)\]đổi dấu từ dương sang âm. Vậy \(x = 2\) là điểm cực đại của hàm số. Mệnh đề sai.

d)  Mệnh đề đúng.

a) Khoảng cách từ \(S\) đến \(\left( P \right)\) bằng \(\frac{{\left| {2.1 + 2.1 + 6 - 6} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + {1^2}} }} = \frac{4}{3}\). Vậy a) Đúng.

b) Phương trình tia laser là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 1 - 2t\\z = 6 - 2t\end{array} \right.\,,t \in \mathbb{R}.\). Giao điểm của tia laser và mặt phẳng \(\left( P \right)\) thỏa mãn \(\left( P \right):2\left( {1 + t} \right) + 2\left( {1 - 2t} \right) + \left( {6 - 2t} \right) - 6 = 0 \Leftrightarrow t = 1\), ứng với \(M\left( {2; - 1;4} \right)\). Vậy b) Sai.

c) Vectơ pháp tuyến của \(\left( P \right)\) là \(\overrightarrow n \left( {2;2;1} \right)\), vectơ chỉ phương của Delta là \(\overrightarrow u \left( {1; - 2; - 2} \right)\), nên góc giữa Delta và \(\left( P \right)\) thỏa mãn \[\sin \alpha  = \frac{{\left| {\overrightarrow {n.} \overrightarrow u } \right|}}{{\left| {\overrightarrow n } \right|.\left| {\overrightarrow u } \right|}} = \frac{{\left| {2.1 + 2.\left( { - 2} \right) + 1.\left( { - 2} \right)} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + {1^2}} .\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = \frac{4}{9}\].

Vậy c) Đúng.

d) Gọi \(d\) là đường thẳng nằm trong \(\left( P \right)\) và song song với mặt đất, khi đó dòng nước chảy có phương vuông góc với \(d\). Gọi \(\overrightarrow k \left( {0;0;1} \right)\) là vectơ chỉ phương của trục \(Oz\), khi đó theo tính chất của tích vô hướng, ta có \[\overrightarrow {{u_d}}  = \left[ {\overrightarrow k ,\overrightarrow n } \right]\] và \(\overrightarrow v  = \left[ {\overrightarrow {{u_d}} ,\overrightarrow n } \right]\).

\[\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow k \left( {0;0;1} \right)\\\overrightarrow n \left( {2;2;1} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left[ {\overrightarrow k ,\overrightarrow n } \right] = \left( { - 2;2;0} \right) \Rightarrow \overrightarrow {{u_d}}  = \left( { - 1;1;0} \right)\] suy ra \(\overrightarrow v  = \left[ {\overrightarrow {{u_d}} ,\overrightarrow n } \right] = \left( {1;1; - 4} \right)\). Vậy d) Sai.

Cách khác: ý d sai vì \(\overrightarrow v \left( {1;1;3} \right)\) và \(\overrightarrow n \left( {2;2;1} \right)\)không vuông góc.

a) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm này là \[100 - 40 = 60\].

Suy ra a) Đúng.

b) Điểm trung vị của 100 học sinh tham gia kỳ thi: \[\frac{n}{2} = 50\,\]nên \[{Q_2} = 60 + \frac{{50 - 25}}{{25}}.10 = 70\] điểm.

Vậy b) Sai.

c) Điểm trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm:

\(\bar x = \frac{{45.10 + 55.15 + 65.25 + 75.30 + 85.15 + 95.5}}{{100}} = 69\), mà \(69 < 69,5 < 70\)

Suy ra Bình thuộc loại "chưa đạt". nhưng điểm số của Bình vẫn cao hơn mức điểm trung bình.

Vậy c) Đúng.

d) Gọi A là biến cố: “4 học sinh được chọn có đầy đủ đại diện của cả 3 nhóm xếp loại và luôn có mặt An”.

\(\frac{{3n}}{4} = 75,\,\,50 < 75 < 80\) nên ta xét nhóm \([70;80)\)

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là \({Q_3} = 70 + \frac{{75 - 50}}{{30}} \cdot 10 = 70 + \frac{{25}}{3} \approx 78,33\)

An đạt số điểm là \(82\) điểm nên An đạt loại “xuất sắc”.

Không gian mẫu có số phần tử là \(n\left( \Omega  \right) = C_{100}^4\).

\(P\left( A \right) = \frac{{C_{24}^1.C_{25}^1.C_{50}^1 + 1.C_{25}^2.C_{50}^1 + 1.C_{25}^1.C_{50}^2}}{{C_{100}^4}} = \frac{{275}}{{14259}}\).

Vậy d) Đúng.

Đáp án: 160.

Gọi mặt hồ bơi là một miền phẳng \(D\) trên hệ trục tọa độ\(Oxy\). Theo dữ kiện đề bài, miền \(D\) được giới hạn bởi các đường:

● Trục\(Ox\): \(y = 0\)

● Trục\(Oy\): \(x = 0\)

● Đường thẳng: \(x = 12\)

● Đường cong: \(y =  - \frac{1}{{18}}{x^2} + \frac{2}{3}x + 4\)

Do đó, với một vị trí có hoành độ \(x \in \left[ {0,12} \right]\), chiều rộng của hồ bơi chính là tung độ của đường cong \(y = f\left( x \right) =  - \frac{1}{{18}}{x^2} + \frac{2}{3}x + 4\).

Tại vị trí có hoành độ \(x\), độ sâu của hồ bơi chỉ phụ thuộc vào hoành độ và được cho bởi công thức: \(h\left( x \right) = \frac{1}{4}x + 1\).

Khi cắt hồ bơi bởi một mặt phẳng vuông góc với trục \(Ox\) tại điểm có hoành độ \(x\), ta được thiết diện là một hình chữ nhật có chiều rộng là \(f\left( x \right)\) và chiều dài  là \(h\left( x \right)\). Diện tích thiết diện này là: \(S\left( x \right) = f\left( x \right) \cdot h\left( x \right)\)

Do đó ta có

\(S\left( x \right) = \left( { - \frac{1}{{18}}{x^2} + \frac{2}{3}x + 4} \right)\left( {\frac{1}{4}x + 1} \right)\)\( =  - \frac{1}{{72}}{x^3} - \frac{1}{{18}}{x^2} + \frac{1}{6}{x^2} + \frac{2}{3}x + x + 4\)

\( =  - \frac{1}{{72}}{x^3} + \left( {\frac{1}{6} - \frac{1}{{18}}} \right){x^2} + \left( {\frac{2}{3} + 1} \right)x + 4\)

\( =  - \frac{1}{{72}}{x^3} + \frac{1}{9}{x^2} + \frac{5}{3}x + 4\)

Thể tích khối nước trong hồ chính là tích phân của diện tích thiết diện \(S\left( x \right)\) trên đoạn từ \(x = 0\) đến \(x = 12\):

\(V = \int_0^{12} S \left( x \right){\mkern 1mu} {\rm{d}}x = \int_0^{12} {\left( { - \frac{1}{{72}}{x^3} + \frac{1}{9}{x^2} + \frac{5}{3}x + 4} \right)} {\mkern 1mu} {\rm{d}}x = 160\).

Kết luận: Thể tích nước tối đa mà hồ bơi có thể chứa là \(160\,\,{{\rm{m}}^3}\).

Quy ước \(1\) đơn vị độ dài trên hệ trục tọa độ tương ứng với \(100m\) thực tế.

Dựa vào giả thiết hệ trục \(Oxyz\), ta có:

Điểm \(A\) cao \(100\,{\rm{m}}\), cách vị trí ban đầu \(200\,\,{\rm{m}}\)về phía Đông và \(100\,\,{\rm{m}}\) về phía Nam \( \Rightarrow A\left( {2;1;1} \right)\)

Điểm \(B\) cao \(300\,\,{\rm{m}}\), cách vị trí ban đầu \(140\,\,{\rm{m}}\)về phía Tây  và \(200\,\,{\rm{m}}\)về phía Nam \( \Rightarrow B\left( { - 1,4;2;3} \right)\) hay \(B\left( { - \frac{7}{5};2;3} \right)\).

Điểm \(P\) nằm trên mặt đất \( \Rightarrow P\left( {a;b;0} \right)\).

Drone di chuyển từ \(P\) theo hướng Tây 40m đến \(Q\), tức là di chuyển ngược chiều trục \(Ox\). Ta có vectơ độ dời \(\overrightarrow {PQ}  = \left( { - 0,4;0;0} \right) = \left( { - \frac{2}{5};0;0} \right)\).

Tổng quãng đường bay là \(d = AP + QB\).

Gọi \(A'\) là ảnh của điểm \(A\) qua phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow {PQ} \).

Ta có \(\overrightarrow {AA'}  = \overrightarrow {PQ}  = \left( { - \frac{2}{5};0;0} \right) \Rightarrow A'\left( {2 - \frac{2}{5};1;1} \right)\) hay \(A'\left( {\frac{8}{5};1;1} \right)\).

Vì \(\overrightarrow {AA'}  = \overrightarrow {PQ} \) nên tứ giác \(AA'QP\) là hình bình hành, suy ra \(AP = A'Q\).

Khi đó, tổng quãng đường bay trở thành: \(d = A'Q + QB\).

Ta cần tìm vị trí điểm \(Q \in \left( {Oxy} \right)\) sao cho \(A'Q + QB\) đạt giá trị nhỏ nhất.

Nhận thấy cao độ của \(A'\) và \(B\) là \({z_{A'}} = 1 > 0\) và \({z_B} = 3 > 0\), nên \(A'\) và \(B\) nằm cùng một phía đối với mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\).

Gọi \(A''\) là điểm đối xứng của \(A'\) qua mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\).

\( \Rightarrow A''\left( {\frac{8}{5};1; - 1} \right)\).

Với mọi điểm \(Q \in \left( {Oxy} \right)\), ta luôn có \(A'Q = A''Q\).

Do đó: \(d = A'Q + QB = A''Q + QB \ge A''B\).

Dấu “=” xảy ra  khi và chỉ khi 3 điểm \(A'',Q,B\) thẳng hàng, hay điểm \(Q\) là giao điểm của đường thẳng \(A''B\) với mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\).

Ta có vectơ chỉ phương của đường thẳng \(A''B\) là \[\overrightarrow {A''B}  = \left( { - \frac{7}{5} - \frac{8}{5};2 - 1;3 - \left( { - 1} \right)} \right) = \left( { - 3;1;4} \right)\].

Phương trình tham số của đường thẳng \(A''B\): \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \frac{8}{5} - 3t}\\{y = 1 + t}\\{z =  - 1 + 4t}\end{array}} \right.\).

Vì \(Q \in \left( {Oxy} \right)\) nên \({z_Q} = 0 \Leftrightarrow  - 1 + 4t = 0 \Leftrightarrow t = \frac{1}{4}\).

Thay \(t = \frac{1}{4}\) vào phương trình tham số, ta tìm được tọa độ điểm \(Q\):

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_Q} = \frac{8}{5} - 3\left( {\frac{1}{4}} \right) = \frac{{17}}{{20}}}\\{{y_Q} = 1 + \frac{1}{4} = \frac{5}{4}}\\{{z_Q} = 0}\end{array}} \right. \Rightarrow Q\left( {\frac{{17}}{{20}};\frac{5}{4};0} \right)\).

Do \(\overrightarrow {PQ}  = \left( { - \frac{2}{5};0;0} \right) \Rightarrow P\left( {\frac{{17}}{{20}} + \frac{2}{5};\frac{5}{4};0} \right)\) hay \(P\left( {\frac{5}{4};\frac{5}{4};0} \right)\).

Suy ra \(a = \frac{5}{4} = 1,25\), \(b = \frac{5}{4} = 1,25\) và \(c = 0\).

Giá trị của biểu thức là: \(S = 2a + 4b + c = 2.1,25 + 4.1,25 + 0 = 7,5\).

Đáp án: \(400\).

Gọi \(x\) là số tiền chi cho quảng cáo trên Facebook.

Gọi \(y\) là số tiền chi cho quảng cáo trên Google.

Điều kiện: \(x,y > 0\).

Từ các điều kiện của đề bài, ta có hệ bất phương trình: \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y \le 80\quad ({d_1})}\\{x \ge 20\quad ({d_2})}\\{x \le 50\quad ({d_3})}\\{y \ge 15\quad ({d_4})}\\{y \le x\quad ({d_5})}\end{array}} \right.\]

Miền nghiệm của hệ là đa giác  \(ABCDE\) với tọa độ các đỉnh là giao điểm của các đường thẳng tương ứng:

A là giao của \(x = 20\) và \(y = 15 \Rightarrow A(20;15)\).

B là giao của \(y = x\) và \(x = 20 \Rightarrow B(20;20)\).

C là giao của \(y = x\) và \(x + y = 80 \Rightarrow 2x = 80 \Rightarrow C(40;40)\).

D là giao của \(x = 50\) và \(x + y = 80 \Rightarrow D(50;30)\).

E là giao của \(x = 50\) và \[y = 15 \Rightarrow E(50;15)\].

Gọi \[F(x;y)\] là tổng lượng khách hàng tiếp cận: \[F(x;y) = 4x + 6y\]

Tại \[A(20;15):F = 4(20) + 6(15) = 80 + 90 = 170\].

Tại \(B(20;20):F = 4(20) + 6(20) = 80 + 120 = 200\).

Tại \[C(40;40):F = 4(40) + 6(40) = 160 + 240 = 400\].

Tại \[D(50;30):F = 4(50) + 6(30) = 200 + 180 = 380\].

Tại \[E(50;15):F = 4(50) + 6(15) = 200 + 90 = 290\].

Giá trị lớn nhất \[{F_{max}} = 400\].

Vậy lượng khách hàng tiếp cận lớn nhất là 400 nghìn khách khi doanh nghiệp chi 40 triệu cho Facebook và 40 triệu cho Google.

Đáp án: \[ - 0,4\].

Gọi \[O\] là trung điểm của \[AB\], do tam giác \[SAB\]cân tại S nên \[SO \bot AB\] mà \[\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\]. Suy ra \[SO \bot \left( {ABCD} \right)\]. Chọn hệ trục toạ độ \[{\rm{Ox}}yz\] như hình vẽ

Diện tích tam giác \[SAB\] là \[\frac{1}{2}.SO.AB = 6 \Leftrightarrow SO = 3\].

Khi đó \[S\left( {0;0;3} \right),O\left( {0;0;0} \right),A\left( { - 2;0;0} \right),C\left( {2;4;0} \right),D\left( { - 2;4;0} \right)\].

Phương trình tham số đường thẳng \(AC\)là \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 2 + t\\y = t\\z = 0\end{array} \right.\). Gọi \(J\)là hình chiếu của \(S\)lên \(AC\).

Có \(J\left( {t - 2;t;0} \right)\) mà \(\overrightarrow {SJ} .\overrightarrow {AC}  = 0 \Rightarrow t = 1 \Rightarrow \overrightarrow {JS} \left( {1; - 1;3} \right)\).

Gọi \(K\) là hình chiếu của \(D\)lên \(AC\)tương tự suy ra \(\overrightarrow {KD} \left( { - 2;2;0} \right)\).

\[{\rm{cos}}\left[ {S;AC;D} \right] = {\rm{cos}}\left( {\overrightarrow {JS} ,\overrightarrow {KD} } \right) \approx  - 0,4\].

Đáp án: \(0,06\).

Ta có \[C\left( t \right) = \frac{{at}}{{{t^2} + 4}} \Rightarrow C'\left( t \right) = \frac{{ - a{t^2} + 4a}}{{{{\left( {{t^2} + 4} \right)}^2}}}\].

Khi đó \[C'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow  - a{t^2} + 4a = 0\].

Vì \[a > 0\] nên \[ - {t^2} + 4 = 0 \Leftrightarrow t = 2\].

Do đó \[C\left( 2 \right) = \frac{a}{4} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow a = 2\]và \[C'\left( t \right) = \frac{{ - 2{t^2} + 8}}{{{{\left( {{t^2} + 4} \right)}^2}}}\].

Tốc độ thay đổi tức thời của nồng độ thuốc tại thời điểm \[t = 4\] là

\[C'\left( 4 \right) = \frac{{ - {{2.4}^2} + 8}}{{{{\left( {{4^2} + 4} \right)}^2}}} =  - 0,06\].

Vậy giá trị tuyệt đối của tốc độ \[0,06\].

Đáp án: 8,2.

Số cách chọn \(5\) chữ số phân biệt từ \(1\) đến \(9\) là \(n\left( \Omega  \right) = A_9^5 = 15120\).

Trong tập hợp \(\left\{ {1;2;3;4;5;6;7;8;9} \right\}\) có \(4\) số chẵn và \(5\) số lẻ.

Ta xét các trường hợp mật khẩu thỏa mãn với dãy các số tăng dần:

+ Chọn \(4\) số chẵn và \(1\) số lẻ bất kỳ có \(C_4^4C_5^1 = 5\) cách.

+ Chọn \(3\) số chẵn và \(2\) số lẻ đặt vào “vách ngăn” giữa các số chẵn, nhưng luôn có một “vách ngăn” đặt được \(2\) số lẻ liên tiếp nên có \(C_4^3\left( {C_5^2 - 1} \right) = 36\) cách.

+ Chọn \(2\) số chẵn và \(3\) số lẻ:

Với các cặp \(\left\{ {2;4} \right\}\), \(\left\{ {2;8} \right\}\) và \(\left\{ {6;8} \right\}\): Có.\(1 \times 1 \times 3 = 3\). cách mỗi cặp.

Với các cặp \(\left\{ {2;6} \right\}\), \(\left\{ {4;6} \right\}\) và \(\left\{ {4;8} \right\}\): Có \(1 \times 2 \times 2 = 4\) cách mỗi cặp.

Vậy có tất cả \(3 \times 3 + 3 \times 4 = 21\) cách.

Số các mật khẩu thỏa mãn là \(n\left( A \right) = \left( {5 + 36 + 21} \right) \times 2 = 124\) cách.

Vậy \(a \times {10^{ - 3}} = \frac{{124}}{{15120}} = \frac{{31}}{{3780}} \Rightarrow a = \frac{{1550}}{{189}} \approx 8,2\).