Đề thi thử Tốt nghiệp THPT Toán 2025-2026 Sở GD&ĐT Hà Tĩnh có đáp án

Chọn A

\(x = \frac{{10 \times 2 + 30 \times 5 + 50 \times 7 + 70 \times 18 + 90 \times 8}}{{40}} = 62,5\).

Chọn A

\(\int {\left( {\sin x + 4{x^3}} \right){\rm{d}}x}  =  - \cos x + 4\frac{{{x^4}}}{4} + C =  - \cos x + {x^4} + C\).

Chọn D

\(\int\limits_0^3 {f\left( x \right){\rm{d}}x}  = \int\limits_0^6 {f\left( x \right){\rm{d}}x}  - \int\limits_3^6 {f\left( x \right){\rm{d}}x}  = 8 - 3 = 5\).

Đáp án: a)S b)Đ c)Đ  d)Đ

Tổng số học sinh là: 5 + 7 + 8 = 20 học sinh.

a) Số cách chọn 5 học sinh đều thuộc lớp 10A:

Chọn 5 học sinh từ 5 học sinh lớp 10A: \[C_5^5 = 1\]cách. Phát biểu này SAI.

b) Số cách chọn 5 học sinh tùy ý:

Chọn 5 học sinh bất kỳ từ 20 học sinh: \[C_{20}^5 = 15504\] cách. Phát biểu này ĐÚNG.

c) Số cách chọn 5 học sinh có đủ cả ba lớp sao cho số học sinh lớp 10C > 2:

Vì phải có đủ 3 lớp và số học sinh lớp 10C > 2, ta chọn 3 học sinh lớp 10C, 1 học sinh lớp 10A, 1 học sinh lớp 10B: \[C_8^3 \cdot C_5^1 \cdot C_7^1 = 56 \cdot 5 \cdot 7 = 1960\]cách. Phát biểu này ĐÚNG.

d) Xác suất để không tồn tại lớp nào có đúng 1 học sinh được chọn:

Tổng không gian mẫu: \[n(\Omega ) = C_{20}^5 = 15504\]

Gọi biến cố A: "Không có lớp nào có đúng 1 học sinh được chọn". Điều này có nghĩa là mỗi lớp được chọn phải có 0 học sinh hoặc từ 2 học sinh trở lên.

TH1: Chọn 5 em ở cùng 1 lớp: \[C_5^5 + C_7^5 + C_8^5 = 78\]

TH2: Một lớp chọn 3 em, một lớp chọn 2 em:

\[C_5^3 \cdot C_7^2 + C_5^2 \cdot C_7^3 + C_5^3 \cdot C_8^2 + C_5^2 \cdot C_8^3 + C_7^3 \cdot C_8^2 + C_7^2 \cdot C_8^3 = 3556\]

Tổng số cách thuận lợi cho A: n = 78 + 3556 = 3634.

Xác suất: \[P(A) = \frac{{3634}}{{15504}} = \frac{{1817}}{{7752}}\]. Phát biểu này ĐÚNG.

a) \(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 3;5;0} \right)\)

Mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow k  = \left( {0;0;1} \right)\)

Gọi \(\left( \alpha  \right)\) là góc giữa đường thẳng \(AB\) và mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\):

\(\sin \alpha  = \frac{{\left| {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow k } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow k } \right|}} = 0 \Rightarrow \alpha  = {0^{\rm{o}}}\). Suy ra là mệnh đề sai.

b) \(\overrightarrow {MA}  = \left( {4;0; - 4} \right)\). Suy ra là mệnh đề đúng.

c) Phương trình đường thẳng \(MA\):

\(\left\{ \begin{array}{l}x = 4 + t\\y = 0\\z =  - 2 - t\end{array} \right.\). Suy ra là mệnh đề đúng.

d) Gọi \(C\) là giao điểm của đường thẳng \(MA\) và mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) suy ra \(C\left( {2;0;0} \right)\).

\(\overrightarrow {MB}  = \left( {1;5; - 4} \right)\)

Phương trình đường thẳng \(MB\) là

\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 5 + 5t\\z =  - 2 - 4t\end{array} \right.\)

Gọi \(D\) là giao điểm của đường thẳng \(MB\) và mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) thì \(D\left( {\frac{1}{2};\frac{5}{2};0} \right)\).

\(OC = \sqrt {{2^2} + {0^2} + {0^2}}  = 2\); \(OD = \sqrt {{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{5}{2}} \right)}^2} + {0^2}}  = \frac{{\sqrt {26} }}{2} \approx 2,55\).

Để che khuất hoàn toàn thanh \(AB\) thì đường tròn có bán kính nhỏ nhất là \(R = \frac{{\sqrt {26} }}{2}\).

\(4\sqrt 2  \approx 5,7\). Suy ra là mệnh đề sai.

a) Sai

Ta có: \[y = f\left( x \right) = \frac{{{x^2} - 2x + 100}}{x} = x - 2 + \frac{{100}}{x}\], \[\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left( {y - \left( {x - 2} \right)} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{100}}{x} = 0\].

Do đó tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \[y = f\left( x \right)\] là đường thẳng có phương trình \[y = x - 2\].

b) Đúng

Tập xác định của hàm số là \[D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\].

c) Đúng

Ta có: \[y' = {\left( {x - 2 + \frac{{100}}{x}} \right)^\prime } = 1 - \frac{{100}}{{{x^2}}}\], cho \[y' = 0 \Rightarrow x =  \pm 10\]

Vậy đồ thị hàm số \[y = f\left( x \right)\] có hai điểm cực trị có hoành độ trái dấu.

d) Sai

Chi phí sản xuất trung bình của một sản phẩm là: \[f\left( x \right) = \frac{{{x^2} - 2x + 100}}{x}\].

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có: \[f\left( x \right) = x - 2 + \frac{{100}}{x} \ge 2\sqrt {x.\frac{{100}}{x}}  - 2 = 18\].

Vậy chi phí sản xuất trung bình của một sản phẩm thấp nhất bằng 18 ngàn đồng.

a) Đúng

Có \(f(0) = \sqrt {1 - {0^2}}  = 1\)

Diện tích thiết diện là:\({S_{td}} = \pi  \cdot {1^2} = \pi \;(d{m^2})\).

b) Sai

Có \(f(0) = \sqrt {1 - {0^2}}  = 1\)

c) Sai

Diện tích hình phẳng \(\left( H \right)\): \(S = \int_{ - 1}^0 {\sqrt {1 - {x^2}} } dx + \int_0^1 {({x^3} + 1)} dx = \frac{{5 + \pi }}{4} \approx 2,04\,d{m^2}\)

d) Đúng

Thể tích  \(V = \pi \left[ {\int_{ - 1}^0 {{{(\sqrt {1 - {x^2}} )}^2}} dx + \int_0^1 {{{({x^3} + 1)}^2}} dx} \right] = \pi \frac{{97}}{{42}} \approx 7,26\,d{m^3}\)

Đáp án: 1050.

+ Ta có hàm số liên tục theo \(t \in \left[ {0;\, + \infty } \right)\): \(f'\left( t \right) = \left\{ \begin{array}{l}2100 - 400t,\,0 \le t \le 3\\a{\left( {t - 3} \right)^2} + b,\,t > 3\end{array} \right.\) nên

\(f'\left( {{3^ - }} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} f'\left( t \right) \Leftrightarrow 2100 - 400.3 = a{\left( {3 - 3} \right)^2} + b \Leftrightarrow b = 900\).

+ Sau 3 giờ 30 phút số lượng khán giả ở lại sân khấu là \(875\) nên

\(f'\left( {3,5} \right) = 875 \Leftrightarrow a{\left( {3,5 - 3} \right)^2} + 900 = 875 \Leftrightarrow a =  - 100\).

Khi đó ta được \(f'\left( t \right) = \left\{ \begin{array}{l}2100 - 400t,\,0 \le t \le 3\\ - 100{\left( {t - 3} \right)^2} + 900,\,t > 3\end{array} \right.\)

+ Khi khán giả ra về hết thì \(f'\left( t \right) = 0 \Rightarrow  - 100{\left( {t - 3} \right)^2} + 900 = 0 \Leftrightarrow {\left( {t - 3} \right)^2} = 9 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 6\,(tm)\\t = 0\,(l)\end{array} \right.\).

+ Khán giả trung bình mỗi giờ

\(\overline f  = \frac{1}{6}\left[ {\int\limits_0^3 {\left( {2100 - 400t} \right)dx}  + \int\limits_3^6 {\left( { - 100{{\left( {t - 3} \right)}^2} + 900} \right)dx} } \right] = 1050\).

Đáp số: 106.

Sau 3 năm, số tiền cả gốc lẫn lãi ông An nhận được từ ngân hàng là:

\(T = 100{(1 + 0,06)^3}\)

Theo giả thiết về lạm phát, giá trị của \(A\) đồng ở hiện tại tương đương với \(A{(1 + 0,04)^3}\) đồng sau 3 năm.

Do đó, để quy đổi số tiền \(T\) nhận được sau 3 năm về mức giá tại thời điểm hiện tại, ta thực hiện phép chia:

\(A = \frac{T}{{{{(1 + 0,04)}^3}}} = 100{\left( {\frac{{1,06}}{{1,04}}} \right)^3} \approx 105,88\).

Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị, số tiền tương đương ông An nhận được là 106 triệu đồng.

Đáp án: \[26,2\].                                                         

Xếp \[8\] quyển sách giống nhau vào một giá sách gồm \[10\] ngăn chính là bài toán chia kẹo Euler , chia \[8\] chiếc kẹo cho \[10\] người nên có \[n\left( \Omega  \right) = C_{8 + 10 - 1}^{10 - 1} = 24310\].

Coi ngăn không chứa sách, chứa \[1\] quyển sách và ngăn chứa \[2\] quyển sách tương ứng với các số \[0,\;1,\;2\].

Từ đề bài ta có hai trường hợp

Trường hợp 1: Có \[6\] ngăn chứa đúng \[1\] quyển sách, \[1\] ngăn chứa \[2\] quyển sách và \[3\] ngăn không chứa quyển sách.

Xếp \[3\] số \[0\] trước sẽ tạo ra \[4\] khoảng trống , xếp số \[2\] và \[1\] trong \[4\] khoảng trống đó có \[C_4^1\] cách . Khi đó còn \[3\] khoảng trống , chia \[6\] số \[1\] cho \[3\] khoảng trống đó có \[C_{6 + 3 - 1}^{3 - 1}\]. Suy ra trường hợp này có \[C_{6 + 3 - 1}^{3 - 1}.C_4^1 = 112\] cách.

Trường hợp 2: Có \[4\] ngăn chứa đúng \[1\] quyển sách, \[2\] ngăn chứa \[2\] quyển sách và \[4\] ngăn không chứa quyển sách.

Xếp \[4\] số \[0\] trước sẽ tạo ra \[5\] khoảng trống , xếp \[2\] số \[2\] vào \[2\] trong \[5\] khoảng trống đó có \[C_5^2\] cách . Khi đó còn \[3\] khoảng trống , chia \[4\] số \[1\] cho \[3\] khoảng trống đó có \[C_{4 + 3 - 1}^{3 - 1} = C_6^2\]. Suy ra trường hợp này có \[C_6^2.C_5^2 = 150\] cách.

\[P = \frac{{112 + 150}}{{24310}} = \frac{{131}}{{12155}},\;2431P = 26,2.\]

Đáp án: \(6,93\).

Gọi \(h = AA' = BB' = CC'\).

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ ta có:\(A\left( { - \sqrt 2 ;0;h} \right);{\rm{ B}}\left( {\sqrt 2 ;0;h} \right);{\rm{ }}B'\left( {\sqrt 2 ;0;0} \right);{\rm{ }}C'\left( {0;\sqrt 6 ;0} \right).\)

\[\overrightarrow {AB'}  = \left( {2\sqrt 2 ;0; - h} \right);{\rm{ }}\overrightarrow {BC'}  = \left( { - \sqrt 2 ;\sqrt 6 ; - h} \right)\].

Vì \(AB' \bot BC'\) suy ra  \[\overrightarrow {AB'} .\overrightarrow {BC'}  = 0 \Leftrightarrow  - 4 + {h^2} = 0 \Leftrightarrow h = 2\].

Vậy $V=h.S_{△ABC}=2.{\left(2\sqrt{2}\right)}^2\frac{\sqrt{3}}{4}=4\sqrt{3}\simeq \mathrm{6,93}\left(m^3\right)$.

Đáp án: 13,5.

\(d\) có vectơ chỉ phương là \(\vec u = (5;6;8)\) và đi qua \(H(1;3; - 5).\)

\((P)\) có vectơ pháp tuyến \(\vec n = (2;1; - 2)\)

Ta có: \(\vec n.\vec u = 2.5 + 1.6 - 2.8 = 0 \Rightarrow \vec n \bot \vec u\)

\(2.1 + 1.3 - 2.( - 5) - 6 = 9 \ne 0 \Rightarrow H \notin (P)\)

Suy ra $d\Vert \left(P\right).$

Vì  $M=d\cap d^{\text{'}}\Rightarrow M\in d\Vert \left(P\right)$ nên 

\({V_{MABC}} = \frac{1}{3}{S_{\Delta ABC}}.{\rm{d}}(M,(P)) = \frac{1}{3}{S_{\Delta ABC}}.{\rm{d}}(d,(P)) = \frac{1}{3}{S_{\Delta ABC}}.{\rm{d}}(H,(P)).\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}A({x_A};0;0) \in (P) \Rightarrow 2{x_A} - 6 = 0 \Rightarrow {x_A} = 3 \Rightarrow A(3;0;0)\\B(0;{y_B};0) \in (P) \Rightarrow {y_B} - 6 = 0 \Rightarrow {y_B} = 6 \Rightarrow B(0;6;0)\\C(0;0;{z_C}) \in (P) \Rightarrow  - 2{z_C} - 6 = 0 \Rightarrow {z_C} =  - 3 \Rightarrow C(0;0; - 3)\end{array}\)

\(\overrightarrow {AB}  = ( - 3;6;0),\overrightarrow {AC}  = ( - 3;0; - 3) \Rightarrow {S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}\sqrt {{{18}^2} + {9^2} + {{18}^2}}  = \frac{{27}}{2}\)

\({\rm{d}}(H,(P)) = \frac{{|2.1 + 3 - 2.( - 5) - 6|}}{{\sqrt {4 + 1 + 4} }} = 3\)

Vậy $S_{MABC}=\frac{1}{3}.\frac{27}{2}.3=\frac{27}{2}=\mathrm{13,5}\text{ (}đ\text{vtt)}.$

Đáp án: 36

Tại thời điểm ban đầu \(t = 0\), quần thể có 24 tế bào, tức là \(P(0) = 24\).

Thay \(t = 0\) vào hàm số \(P(t)\), ta có: \(P(0) = \frac{{2a}}{{b + 3{e^0}}} = \frac{{2a}}{{b + 3}}\)

\( \Rightarrow \frac{{2a}}{{b + 3}} = 24 \Rightarrow 2a = 24(b + 3) \Rightarrow a = 12(b + 3)\quad (1)\)

Tốc độ sinh trưởng là đạo hàm của số lượng tế bào theo thời gian:

\(P'(t) = \frac{{ - 2a.3.( - 0,75).{e^{ - 0,75t}}}}{{{{(b + 3{e^{ - 0,75t}})}^2}}}\)\( \Rightarrow P'(t) = \frac{{4,5a.{e^{ - 0,75t}}}}{{{{(b + 3{e^{ - 0,75t}})}^2}}}\)

Tại thời điểm \(t = 0\), tốc độ sinh trưởng là \(6\) tế bào/giờ, tức là \(P'(0) = 6\).

Thay \(t = 0\) vào \(P'(t)\): \(P'(0) = \frac{{4,5a.{e^0}}}{{{{(b + 3{e^0})}^2}}} = \frac{{4,5a}}{{{{(b + 3)}^2}}}\)\( \Rightarrow \frac{{4,5a}}{{{{(b + 3)}^2}}} = 6\quad (2)\)

Thay \((1)\) vào \((2)\), ta được:

\(\frac{{4,5.12(b + 3)}}{{{{(b + 3)}^2}}} = 6\)\( \Leftrightarrow \frac{{54(b + 3)}}{{{{(b + 3)}^2}}} = 6\)\( \Leftrightarrow \frac{{54}}{{b + 3}} = 6 \Rightarrow b + 3 = 9 \Rightarrow b = 6 \Rightarrow a = 12(6 + 3) = 108\)

Vậy hàm số là: \(P(t) = \frac{{216}}{{6 + 3{e^{ - 0,75t}}}}\)

Sau một thời gian về lâu dài nghĩa là ta đi tìm giới hạn của hàm số khi \(t \to  + \infty \).

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{t \to  + \infty } P(t) = \mathop {\lim }\limits_{t \to  + \infty } \frac{{216}}{{6 + 3{e^{ - 0,75t}}}} = \frac{{216}}{6} = 36\) do \(\mathop {\lim }\limits_{t \to  + \infty } {e^{ - 0,75t}} = 0\)

Sau một thời gian về lâu dài, số lượng tế bào của quần thể nấm men sẽ tiến về giá trị 36 tế bào.