Đề thi thử Tốt nghiệp THPT Toán 2025-2026 Cụm THPT số 10 Ninh Bình có đáp án

Chọn D

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng \(( - 1;1)\) và \((1;3)\).

Chọn D

\({u_6} = 40 = {u_3}.{q^3} = 5.{q^3} \Rightarrow {q^3} = 8 \Rightarrow q = 2\).

\({u_4} = {u_3}.q = 5.2 = 10\).

Chọn B

Điều kiện xác định \(3x - 1 > 0 \Leftrightarrow x > \frac{1}{3}\).

\({\log _2}(3x - 1) < 3 \Rightarrow 3x - 1 < {2^3} \Rightarrow 3x < 9 \Rightarrow x < 3\). Vậy \(\frac{1}{3} < x < 3\) hay \(x \in \left( {\frac{1}{3};3} \right)\).

Suy ra \(a = \frac{1}{3},b = 3 \Rightarrow 3a + b = 3.\frac{1}{3} + 3 = 4\).

Chọn C

Quan sát đồ thị thấy là đồ thị của hàm phân thức dạng \(y = \frac{{a{x^2} + bx + c}}{{dx + e}}\).

Đồ thị có tiệm cận đứng là \(x = 1\).

Tiệm cận xiên đi qua điểm \(\left( {1;0} \right);\left( {0;1} \right)\) nên có dạng \(y =  - x + 1\).

Vậy hàm số có dạng \(y = \frac{{ - {x^2} + 2x - 2}}{{x - 1}} =  - x + 1 - \frac{1}{{x - 1}}\).

Chọn D

Ta có \(\int {{{2026}^x}dx}  = \frac{{{{2026}^x}}}{{\ln 2026}} + C\).

Chọn C

Ta có \(\int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx} \)\( = F\left( 2 \right) - F\left( 1 \right)\)\( = 5 - 9 =  - 4\).

Chọn C

Diện tích đáy hình chữ nhật \(ABCD\) là \({S_{ABCD}} = AB \cdot BC = a \cdot 2a = 2{a^2}\).

Thể tích khối chóp \(S.ABCD\) là \(V = \frac{1}{3} \cdot SA \cdot {S_{ABCD}} = \frac{1}{3} \cdot 3a \cdot 2{a^2} = 2{a^3}\).

Chọn B

Ta có \(\overrightarrow d  = \overrightarrow a  - 2\overrightarrow b  = \left( {1 - 2 \cdot 2;\,\,2 - 2 \cdot 2;\,\,3 - 2 \cdot \left( { - 1} \right)} \right) = \left( { - 3; - 2;5} \right)\).

Chọn A

Đường thẳng \(d\) có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_d}}  = (2;1; - 3)\).

Vì mặt phẳng cần tìm vuông góc với đường thẳng \(d\) nên vectơ pháp tuyến của mặt phẳng chính là vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\).

Suy ra, vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là \(\overrightarrow {{n_P}}  = (2;1; - 3)\) và đi qua \(A(1;0;1)\) nên phương trình mặt phẳng có dạng \(2\left( {x - 1} \right) + y - 0 - 3\left( {z - 1} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow 2x + y - 3z + 1 = 0\).

Vậy phương trình mặt phẳng là \(2x + y - 3z + 1 = 0\).

Chọn B

Phương trình tổng quát của mặt cầu có dạng \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\), với tâm \(I(a;b;c)\).

So sánh với phương trình mặt cầu \((S):{x^2} + {y^2} + {z^2} + 4x - 2y + 2z - 11 = 0\), ta có:

\( - 2a = 4 \Rightarrow a =  - 2\)

\( - 2b =  - 2 \Rightarrow b = 1\)

\( - 2c = 2 \Rightarrow c =  - 1\)

Vậy tâm \(I\) của mặt cầu \((S)\) có tọa độ là \(I( - 2;1; - 1)\).

Chọn A

- Khoảng \([0;4)\): Giá trị đại diện \({x_1} = \frac{{0 + 4}}{2} = 2\). Tần số \({n_1} = 2\).

- Khoảng \([4;8)\): Giá trị đại diện \({x_2} = \frac{{4 + 8}}{2} = 6\). Tần số \({n_2} = 4\).

- Khoảng \([8;12)\): Giá trị đại diện \({x_3} = \frac{{8 + 12}}{2} = 10\). Tần số \({n_3} = 7\).

- Khoảng \([12;16)\): Giá trị đại diện \({x_4} = \frac{{12 + 16}}{2} = 14\). Tần số \({n_4} = 4\).

- Khoảng \([16;20]\): Giá trị đại diện \({x_5} = \frac{{16 + 20}}{2} = 18\). Tần số \({n_5} = 3\).

Tổng số học sinh là \(N = \sum\limits_{i = 1}^5 {{n_i}}  = 2 + 4 + 7 + 4 + 3 = 20\).

Tổng của tích giá trị đại diện với tần số tương ứng là \(\sum\limits_{i = 1}^5 {{x_i}} {n_i} = 2 \times 2 + 6 \times 4 + 10 \times 7 + 14 \times 4 + 18 \times 3 = 208\).

Suy ra: Thời gian trung bình (đơn vị: phút) để hoàn thành bài tập của các em học sinh là \(\overline x  = \frac{{\sum\limits_{i = 1}^5 {{x_i}} {n_i}}}{{\sum\limits_{i = 1}^5 {{n_i}} }} = \frac{{208}}{{20}} = 10,4\).

Chọn D

Thiết diện là một tam giác đều có cạnh bằng \(x\).

Diện tích của một tam giác đều với cạnh \(x\) là \(S\left( x \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{4}{x^2}\).

Vật thể được giới hạn bởi hai mặt phẳng \(x = 0\) và \(x = 1\), nên thể tích \(V\) được tính bằng:

\(V = \int\limits_0^1 S (x){\rm{d}}x\)\( = \int\limits_0^1 {\frac{{\sqrt 3 }}{4}} {x^2}{\rm{d}}x\)\( = \frac{{\sqrt 3 }}{{12}}\)

Vậy thể tích của vật thể là \(V = \frac{{\sqrt 3 }}{{12}}\).

a) \(f'\left( x \right) = 3{x^2} - 6x\).

Suy ra là mệnh đề đúng.

b) \(f'\left( x \right) = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.\)

Mệnh đề đúng.

c) Ta có \(A\left( {0;4} \right)\), \(B\left( {2;0} \right)\) là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số.

\(\overrightarrow {AB}  = \left( {2; - 4} \right) \Rightarrow AB = \sqrt {{2^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}}  = 2\sqrt 5 \).

Suy ra là mệnh đề sai.

d) \(f\left( x \right) - 4 = 0 \Rightarrow f\left( x \right) = 4 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = {x_0}\,\,\,\left( {{x_0} > 2} \right)\end{array} \right.\).

\(y = \frac{{{x^4} - 2{x^3}}}{{f\left( x \right) - 4}} = \frac{{{x^3}\left( {x - 2} \right)}}{{a{x^2}\left( {x - {x_0}} \right)}} = \frac{{x\left( {x - 2} \right)}}{{a\left( {x - {x_0}} \right)}}\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {{x_0}} \right)}^ + }} y = \infty  \Rightarrow x = {x_0}\) là tiệm cận đứng.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } y = \infty  \Rightarrow \) Đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.

Mệnh đề sai.

Chọn a) Đúng | b) Sai| c) Đúng | d) Đúng

Đổi \(72\)km/h=\(20\)m/s, \(36\)km/h \( = 10\)m/s.

a) Quãng đường ô tô đi được từ khi phát hiện biển báo giới hạn tốc độ đến khi bắt đầu giảm tốc độ là \(s = 20 \times 2 = 40\left( m \right)\)

Chọn ĐÚNG.

b) Quãng đường mà ô tô đi từ khi giảm tốc độ đến khi gặp biển báo là \({s_2} = 100 - 40 = 60\).

Tại thời điểm \(t = 0\), vận tốc của ô tô là \({v_0} = 20\)(m/s) nên suy ra \(20 = a \times 0 + b \Leftrightarrow b = 20\).

Thời gian ô tô đi được từ khi giảm tốc độ đến khi gặp biển báo là

\(a \times t + 20 = 10 \Leftrightarrow t =  - \frac{{10}}{a}\).

Suy ra \(\int\limits_0^{ - \frac{{10}}{a}} {\left( {at + 20} \right){\rm{d}}t = 60 \Leftrightarrow a =  - 2,5} \).

Vậy \({v_1}\left( t \right) =  - 2,5t + 20\).

Chọn SAI.

c) Khi ô tô đến chỗ biển báo, ta có \({v_1}\left( t \right) = 10\)\( \Leftrightarrow  - 2,5t + 20 = 10 \Leftrightarrow t = 4\).

Chọn ĐÚNG.

d) Ta chọn lại mốc thời gian: \(t = 0\) là lúc ô tô bắt đầu tăng tốc.

Khi ô tô bắt đầu tăng tốc, ta có \({v_2}\left( 0 \right) = 10\)

\( \Rightarrow m \cdot 0 + n = 10 \Leftrightarrow n = 10\).

Sau \(10\) giây, ô tô đạt vận tốc \(20\)m/s nên ta có \({v_2}\left( {10} \right) = m \cdot 10 + 10 = 20 \Leftrightarrow m = 1\).

Suy ra \({v_2}\left( t \right) = t + 10\).

Quãng đường ô tô đi được kể từ khi phát hiện có công trường đang thi công đến khi đạt vận tốc \(72\)km/h là

\(s = 100 + 200 + \int\limits_0^{10} {\left( {t + 10} \right){\rm{d}}t = 450} \)(m)

Chọn ĐÚNG.

Gọi biến cố \(A:\) “ Người đó mắc bệnh tim mạch ”

Biến cố \(B:\) “ Người đó tập thể dục thường xuyên ”

a) Số người tập thể dục thường xuyên là: \(480 + 7520 = 8000\)

Xác suất người đó tập thể dục thường xuyên là \(P\left( B \right) = \frac{{8000}}{{20\,000}} = \frac{2}{5}.\)

b) Xác suất để người đó mắc bệnh tim mạch và tập thể dục thường xuyên là:

\(P\left( {AB} \right) = \frac{{480}}{{20\,000}} = 0,024\)

Xác suất để người đó mắc bệnh tim mạch là: \(P\left( A \right) = \frac{{480 + 1200}}{{20\,000}} = 0,084\)

Nếu người đó bị mắc bệnh tim mạch thì xác suất người đó tập thể dục thường xuyên là:

\(P\left( {B/A} \right) = \frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( A \right)}} = \frac{{0,024}}{{0,084}} \approx 0,286\)

Vậy, nếu người đó bị mắc bệnh tim mạch thì xác suất người đó tập thể dục thường xuyên là: \(P\left( {B/\overline A } \right) = 1 - P\left( {B/A} \right) = 1 - 0,28 = 0,714 = 71,4\%  > 70\% .\)

c) Số người không mắc bệnh tim mạch là: \(7520 + 10\,800 = 18\,320\)

Xác suất người đó không mắc bệnh tim mạch là \(P = \frac{{18\,320}}{{20\,000}} = 0,916 = 91,6\% \)

d) Xác suất người đó không tập thể dục thường xuyên là: \(P\left( {\overline B } \right) = \frac{{1200 + 10800}}{{20000}} = \frac{3}{5}\)

Nếu người đó không tập thể dục thường xuyên, xác suất có nguy cơ mắc bệnh tim mạch là: \(P\left( {A/\overline B } \right) = \frac{{P\left( {A\overline B } \right)}}{{P\left( {\overline B } \right)}} = \frac{{1200}}{{20000}}:\frac{3}{5} = \frac{1}{{10}}.\)

Nếu người đó tập thể dục thường xuyên, xác suất có nguy cơ mắc bệnh tim mạch là:

\(P\left( {A/B} \right) = \frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{480}}{{20000}}:0,4 = \frac{3}{{50}}.\)

Ta có: \(\frac{{P\left( {A/\overline B } \right)}}{{P\left( {A/B} \right)}} = \frac{1}{{10}}:\frac{3}{{50}} = \frac{5}{3} \approx 1,67.\)

Vậy người không tập thể dục thường xuyên có nguy cơ mắc bệnh tim mạch cao gấp \(1,67\) lần so với người tập thể dục thường xuyên.

a) Ta có \(A\left( {0;0;0,1} \right)\) và \({R_1} = 6\); \(B\left( {10;0;0,1} \right)\) và \({R_2} = 8\). Gọi \(O,\,B'\) lần lượt là chân của trạm phát sóng A và B.

Phương trình biểu thị vùng phát sóng của trạm A là phương trình mặt cầu \((S):{x^2} + {y^2} + {(z - 0,1)^2} = 36\). Vậy a – đúng.

b) Gọi \(H;\,\,K\) là hình chiếu vuông góc của C lên trục hoành và trục tung

Có tam giác \(ACB\) vuông vì\(A{B^2} = A{C^2} + B{C^2}\)

Điểm C (nút giao đường) nằm trên mặt đất \((Oxy)\), có tung độ dương nên tọa độ \(C(x;y;0)\) thuộc 2 mặt cầu \({x^2} + {y^2} = {6^2}\) và \({(x - 10)^2} + {y^2} = {8^2}\).

Giải hệ phương trình ta được \(x = 3,6\) và \(y = 4,8\). Vậy \(C(3,6;4,8;0)\).

Nên một vecto chỉ phương của đường thẳng AC là \(\overrightarrow n (36;48; - 1)\)

Vậy phương trình đường thẳng AC là \(\frac{x}{{36}} = \frac{y}{{48}} = \frac{{z - 0,1}}{{ - 1}}\). Vậy b – sai.

c) Ta có \(OC = 6km;\,CD = 60m = 0,06km\)\( \Rightarrow OD = OC - CD = 6 - 0,06 = 5,94\)

Có \(\frac{{OE}}{{OH}} = \frac{{OD}}{{OC}} \Rightarrow OE = \frac{{OH \times OD}}{{OC}} = 3,564\)

Có \(\frac{{OF}}{{OK}} = \frac{{OD}}{{OC}} \Rightarrow OF = \frac{{OK \times OD}}{{OC}} = 4,752\), vậy \(D\left( {3,564;\,4752;\,0} \right)\)

\( \Rightarrow BD = \sqrt {{{(10 - 3,564)}^2} + {{(4,752)}^2} + 0,{1^2}}  = 8,00085 > 8\). Vậy c – đúng.

d) Gọi \(J\) là hình chiếu vuông góc của \({F_2}\) lên \(BB'\)

\( \Rightarrow {F_2}B = 3;\,\,BJ = 0,05;\,\,{F_2}J = \sqrt {{3^2} - 0,{{05}^2}}  = 2,999583304\)

Gọi G là hình chiếu vuông góc của \({F_2}\) lên mặt phẳng \(Oxy\)

\({F_2}D = \sqrt {{F_2}{G^2} + D{G^2}} \), nên \({F_2}D\) đạt lớn nhất khi \(DG\) lớn nhất, khi đó \(D,\,\,B',\,\,G\)thẳng hàng

\( \Rightarrow DG = DB' + B'G\) \( = \sqrt {{{(10 - 3,564)}^2} + 4,{{752}^2}}  + 2,999583304 \approx 10,9998083\).

\( \Rightarrow D{F_2} = \sqrt {0,{{05}^2} + D{G^2}}  = 10,99992194\)

Lại có \(D{F_1}\) lớn nhất khi \(D,\,\,A,\,\,{F_1}\) thẳng hàng\( \Rightarrow D{F_1} = {R_1} + AD = 6 + 5,94 = 11,94\)

Tổng khoảng cách lớn nhất \(D{F_1} + D{F_2} = 22,9392194 \approx 23\) km. Vậy d – sai.

Đáp án: \(3072\).

Ngày bắt đầu: 01/04/2026 (tương ứng \[t = 0\]).

Ngày giao hàng dự kiến: Sáng ngày 15/06/2026.

Ngày hoàn thành thực tế: Trước ngày giao 11 ngày.

Tính số ngày từ 01/04 đến 15/06:

Tháng 4: 30 ngày.

Tháng 5: 31 ngày.

Tháng 6: 14 ngày (đến sáng ngày 15).

Tổng cộng: \[30 + 31 + 14 = 75\] ngày.

Vì công ty hoàn thành trước ngày giao 11 ngày, nên tổng số ngày sản xuất là:

\[T = 75 - 11 = 64{\rm{ ng\`a y}}\].

Tính tổng số ngày công:

\(P = \int_0^{64} p (t){\mkern 1mu} dt = \int_0^{64} {(56 + 30\sqrt t  - 3t)} {\mkern 1mu} dt = \left[ {56t + 30 \cdot \frac{{{t^{3/2}}}}{{3/2}} - 3 \cdot \frac{{{t^2}}}{2}} \right]_0^{64}\)

\( = \left[ {56t + 20t\sqrt t  - 1,5{t^2}} \right]_0^{64} = 3584 + 10240 - 6144 = 7680{\rm{ (ng\`a y c\^o ng)}}\)

Số tiền mà công ty phải trả để hoàn thành đơn hàng đó là \(7680.400000 = \)3072 triệu đồng.

Đáp án: 0,7

Chọn hệ trục tọa độ \(Oxyz\) như hình vẽ.

\(H \equiv O(0;0;0)\), tia \(HB\) trùng với tia \(Ox\), tia \(HA\prime \) trùng với tia \(Oz\), và trục \(Oy\) song song với \(AD\).

\(d\left( {D,\,\left( {A'BC} \right)} \right) = d\left( {AD,\,\left( {A'BC} \right)} \right) = d\left( {A,\,\left( {A'BC} \right)} \right) = 2d\left( {H,\,\left( {A'BC} \right)} \right)\).

Kẻ \(HI \bot A'B\) suy ra \(d\left( {H,\left( {A'BC} \right)} \right) = HI\).

Theo giả thiết: \(d\left( {D,\,\left( {A'BC} \right)} \right) = \frac{3}{4}\) hay \(2HI = \frac{3}{4} \Leftrightarrow \)\(HI = \frac{3}{8}\).

\(\frac{1}{{A'{H^2}}} + \frac{1}{{H{B^2}}} = \frac{1}{{H{I^2}}} \Rightarrow H{A'^2} = \frac{9}{{28}} = {h^2}\).

Ta có: \(A\left( { - \frac{1}{2};\,{\mkern 1mu} 0\,;{\mkern 1mu} \,0} \right)\); \(B\left( {\frac{1}{2};{\mkern 1mu} \,0\,;{\mkern 1mu} \,0} \right)\); \(C\left( {\frac{1}{2};{\mkern 1mu} \,2\,;{\mkern 1mu} \,0} \right)\);\(D\left( { - \frac{1}{2};\,{\mkern 1mu} 2\,;{\mkern 1mu} \,0} \right)\); \(A\prime \left( {0\,;\,{\mkern 1mu} 0\,;\,h} \right)\).

Đường thẳng \(A\prime B\) đi qua \(B\) có vectơ chỉ phương \({\vec u_1} = \overrightarrow {BA\prime }  = \left( { - \frac{1}{2};\,{\mkern 1mu} 0\,;{\mkern 1mu} \,h} \right)\).

Đường thẳng \(AC\) đi qua \(A\) có vectơ chỉ phương \({\vec u_2} = \overrightarrow {AC}  = \left( {1\,;\,{\mkern 1mu} 2\,;\,{\mkern 1mu} 0} \right)\).

Ta có: \(\left[ {{{\vec u}_1},{{\vec u}_2}} \right] = \left( { - 2h\,;{\mkern 1mu} \,h\,;{\mkern 1mu}  - 1} \right)\) và \(\overrightarrow {AB}  = \left( {1\,;\,{\mkern 1mu} 0\,;\,{\mkern 1mu} 0} \right)\).

Khoảng cách giữa \(A\prime B\) và \(AC\) là:

\[d\left( {A\prime B,AC} \right) = \frac{{\left| {\left[ {{{\vec u}_1},{{\vec u}_2}} \right] \cdot \overrightarrow {AB} } \right|}}{{\left| {\left[ {{{\vec u}_1},{{\vec u}_2}} \right]} \right|}} = \frac{{| - 2h|}}{{\sqrt {4{h^2} + {h^2} + 1} }} = \frac{{2h}}{{\sqrt {5{h^2} + 1} }}\]

Thay \({h^2} = \frac{9}{{28}}\) vào ta được:

\(d = \sqrt {\frac{{4{h^2}}}{{5{h^2} + 1}}}  = \sqrt {\frac{{4 \cdot \frac{9}{{28}}}}{{5 \cdot \frac{9}{{28}} + 1}}}  = \sqrt {\frac{{\frac{9}{7}}}{{\frac{{45 + 28}}{{28}}}}}  = \sqrt {\frac{9}{{73}}}  = \frac{3}{{\sqrt {73} }} \approx 0,7\).

Đáp án: 140.

Ta có

\(x \ge 0\) (1)

\(y \ge 0\) (2)

Ta có số vốn ban đầu không vượt quá \(1,5\) tỷ đồng nên ta có bất phương trình

\(30x + 15y \le 1500\) (3)

Tổng nhu cầu của hệ thống các trường học tại địa phương không vượt quá \(80\) máy nên ta có

\(x + y \le 80\) (4)

Hàm lợi nhuận là \(F = 5x + 3y\)

Từ (1), (2), (3), (4) ta có hệ bất phương trình

\(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\30x + 15y \le 1500\\x + y \le 80\end{array} \right.\)

Ta có miền nghiệm của hệ bất phương trình là tứ giác \(OABC\) với

\(O\left( {0;0} \right)\), \(A\left( {0;80} \right)\), \(B\left( {20;60} \right)\), \(C\)\(\left( {50;0} \right)\).

Vậy khi \(x = 20,y = 60\) thì lợi nhuận doanh nghiệp là lớn nhất, khi đó \(T = x + 2y = 20 + 2.60 = 140\).

Đáp án: \[29\].

Chọn hệ trục toạ độ \(Oxy\) như hình vẽ, mỗi đơn vị là \(1\;m\). Khi đó toạ độ các điểm là \(O\left( {0;0} \right),\;M\left( {0,9;0,9} \right),\;A\left( {2,4;0} \right),\;C\left( {0;2,4} \right)\).

Parabol \(\left( {{P_1}} \right):y = {\rm{a}}{{\rm{x}}^2} + bx + c\) đi qua \(3\) điểm \(O\left( {0;0} \right),\;M\left( {0,9;0,9} \right),\;A\left( {2,4;0} \right)\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}c = 0\\0,81a + 0,9b + c = 0,9\\5,76a + 2,4b + c = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}c = 0\\a =  - \frac{2}{3}\\b = 1,6\end{array} \right. \Rightarrow \left( {{P_1}} \right):y =  - \frac{2}{3}{x^2} + 1,6x\).

Parabol \(\left( {{P_2}} \right):x = {\rm{a}}{{\rm{y}}^2} + by + c\) đi qua \(3\) điểm \(O\left( {0;0} \right),\;M\left( {0,9;0,9} \right),\;C\left( {0;2,4} \right)\).

Gọi \(S\) là diện tích của hình vuông \(OABC\),

\({S_1}\) là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi \(\left( {{P_1}} \right)\), trục hoành, \(x = 0,\;x = 2,4\),

\({S_2}\) là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi \(\left( {{P_2}} \right)\), \(\left( {{P_1}} \right)\), \(x = 0,\;x = 0,9.\)

Hai Parabol này đối xứng nhau qua đường thẳng \(d:y = x\) nên \({S_2} = 2\int\limits_0^{0,9} {\left( { - \frac{2}{3}{x^2} + 0,6x} \right)dx} \).

\({S_3}\) là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi \(\left( {{P_2}} \right)\)và trục tung như hình vẽ, ta có \({S_3} = {S_1}\).

Diện tích phần lắp kính trắng là

\({S_3} + {S_1} - {S_2}\)\( = 2\int\limits_0^{2,4} {\left[ { - \frac{2}{3}{x^2} + 1,6x} \right]} dx - 2\int\limits_0^{0,9} {\left[ { - \frac{2}{3}{x^2} + 0,6x} \right]} dx = 2,91\;{m^2}\).

Diện tích phần tô đậm là \(2,{4^2} - 2,91 = 2,85\;{m^2}\).

Tổng số tiền kính để làm cửa sổ là \(2,91.2 + 2,85.8 \approx 29\) triệu đồng.

Đáp án: 12.

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = \left( {2;1; - 2} \right) \Rightarrow AB = 3\). Vì \(\overrightarrow {AB} \) cùng phương với \(\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} \) nên \(AB \bot \left( P \right)\).

Ta tính được \(d\left( {A,\left( P \right)} \right) = 4\) và \[d\left( {B,\left( P \right)} \right) = 7\]. Gọi \(I\) là hình chiếu của \[A\] lên \[\left( P \right)\].

Do \[I \in AB:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 2t\\y = 5 + t\\ =  - 1 - 2t\end{array} \right. \Rightarrow I\left( {2 + 2t;5 + t; - 1 - 2t} \right) \in \left( P \right):2x + y - 2z + 1 = 0\]

\[ \Rightarrow 2\left( {2 + 2t} \right) + 5 + t - 2\left( { - 1 - 2t} \right) + 1 = 0 \Leftrightarrow t =  - \frac{4}{3} \Rightarrow I\left( { - \frac{2}{3};\frac{{11}}{3};\frac{5}{3}} \right)\].

Gọi \[E\] là tâm mặt cầu và \[M\] là trung điểm \[AB\], ta có: \[MA = MB = \frac{{AB}}{2} = \frac{3}{2}\].

Với \[C\] là tiếp điểm của mặt cầu và \[\left( P \right)\], \[{R_{mc}} = EC = MA + d\left( {A,\left( P \right)} \right) = \frac{3}{2} + 4 = \frac{{11}}{2}\]

\[ \Rightarrow CI = d\left( {I,AB} \right) = \sqrt {R_{mc}^2 - M{B^2}}  = \sqrt {{{\left( {\frac{{11}}{2}} \right)}^2} - {{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^2}}  = 2\sqrt 7 \].

Vậy tiếp điểm \[C\] chuyển động trên đường tròn tâm \[I\left( { - \frac{2}{3};\frac{{11}}{3};\frac{5}{3}} \right)\], bán kính \[2\sqrt 7 \].

Gọi \[H\] là hình chiếu của \[O\] lên \[\left( P \right)\], suy ra \[OH = d\left( {O,\left( P \right)} \right) = \frac{1}{3}\].

Lại có: \[OI = \frac{{5\sqrt 6 }}{3} \Rightarrow IH = \sqrt {O{I^2} - O{H^2}}  = \frac{{\sqrt {149} }}{3} < 2\sqrt 7 \].

Do đó, \[O{C_{\min }} = O{C_1} = \sqrt {O{H^2} + {C_1}{H^2}} \] với \[{C_1}H = CI - IH = 2\sqrt 7  - \frac{{\sqrt {149} }}{3} = \frac{{ - \sqrt {149}  + 6\sqrt 7 }}{3}\]

\[ \Rightarrow O{C_{\min }} = \sqrt {{{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{ - \sqrt {149}  + 6\sqrt 7 }}{3}} \right)}^2}}  \approx 1,2673\] (chục mét).

Vậy chi phí thấp nhất để hoàn thành việc kết nối cáp là \[1,2673 \times 10 \times 950.000 \approx 12\] (triệu đồng).

Đáp án: 2048.

Mỗi cụm đèn trong số 12 cụm đèn có 2 cách chọn màu (Vàng Gold hoặc Xanh Cyan).

Do đó, số phần tử của không gian mẫu là: \(n(\Omega ) = {2^{12}} = 4096\).

12 cụm đèn đặt cách đều nhau trên một vòng tròn tạo thành các đỉnh của một đa giác đều 12 cạnh. Một hình chữ nhật được tạo thành từ 4 đỉnh của đa giác này khi và chỉ khi 2 đường chéo nối các cặp đỉnh đó là 2 đường kính của đường tròn.

Số đường kính nối các cặp đỉnh đối diện là: \(\frac{{12}}{2} = 6\) đường kính.

Số hình chữ nhật là số cách chọn 2 đường kính trong 6 đường kính: \(C_6^2 = 15\) hình chữ nhật.

Xét các trường hợp thỏa mãn:

Trường hợp 1: Tất cả 6 cặp đều khác màu. Mỗi cặp có 2 cách chọn (VX hoặc XV). Số cách: \({2^6} = 64\).

Trường hợp 2: Có đúng 1 cặp cùng màu (V, V), 5 cặp còn lại khác màu. Chọn 1 cặp trong 6 cặp để đặt (V, V), 5 cặp còn lại mỗi cặp có 2 cách.

Số cách: \(C_6^1 \times {2^5} = 6 \times 32 = 192\).

Trường hợp 3: Có đúng 1 cặp cùng màu (X, X), 5 cặp còn lại khác màu. Tương tự trường hợp 2. Số cách: \(C_6^1 \times {2^5} = 192\).

Trường hợp 4: Có đúng 1 cặp (V, V) và đúng 1 cặp (X, X), 4 cặp còn lại khác màu. Chọn 2 cặp trong 6 cặp, 1 cặp gán (V, V), 1 cặp gán (X, X), 4 cặp còn lại có 2 cách.

Số cách: \(C_6^2 \times 2! \times {2^4} = 15 \times 2 \times 16 = 480\).

Tổng số kết quả thuận lợi là: \(n(A) = 64 + 192 + 192 + 480 = 928\).

Xác suất \(a = \frac{{n(A)}}{{n(\Omega )}} = \frac{{928}}{{4096}}\).

Giá trị \(K = \frac{{464}}{a} = \frac{{464}}{{\left( {\frac{{928}}{{4096}}} \right)}} = \frac{{464 \times 4096}}{{928}} = \frac{{1 \times 4096}}{2} = 2048\).