Đề thi thử Tốt nghiệp THPT Toán 2025-2026 Cụm 5 các trường THPT Ninh Bình có đáp án
22 câu hỏi
\(4x - 5y - 3z - 12 = 0\).
\(4x + 5y - 3z - 4 = 0\).
\(4x - 5y - 3z - 8 = 0\).
\(4x + 5y - 3z - 22 = 0\).
Chọn D
Mặt phẳng \((Q)\) có véctơ pháp tuyến là \({\vec n_Q} = (1;1;3)\).
Mặt phẳng \((R)\) có véctơ pháp tuyến là \({\vec n_R} = (2; - 1;1)\).
Vì mặt phẳng \((P)\) vuông góc với cả hai mặt phẳng \((Q)\) và \((R)\) nên véctơ pháp tuyến của \((P)\) là \({\vec n_P}\) sẽ vuông góc với cả \({\vec n_Q}\) và \({\vec n_R}\).
Do đó, ta có thể chọn \({\vec n_P} = \left[ {{{\vec n}_Q},{{\vec n}_R}} \right]\)\( = (4;5; - 3)\).
Mặt phẳng \((P)\) đi qua điểm \(A(2;1; - 3)\) và có véctơ pháp tuyến \({\vec n_P} = (4;5; - 3)\) nên phương trình của \((P)\) là: \(4(x - 2) + 5(y - 1) - 3(z - ( - 3)) = 0\)\( \Leftrightarrow 4x + 5y - 3z - 22 = 0\).
Vậy phương trình mặt phẳng \((P)\) là \(4x + 5y - 3z - 22 = 0\).
\(y = {x^3} + 2x + 1\).
\(y = {x^3} - 3x\).
\(y = - {x^3} + 3x\).
\(y = {x^3} + 3{x^2}\).
Chọn B
Từ đồ thị ta có \(a > 0\) nên loại đáp án C
Đồ thị đi qua gốc tọa độ \(O(0;0)\) nên \(c = 0\)( loại đáp án A)
Đồ thị có hai điểm cực trị nên pt \(y' = 0\) có 2 nghiệm phân biệt (loại đáp án D).
\(3a\).
\(2a\).
\(a\sqrt {14} \).
\(a\sqrt {15} \).
Chọn C
Gọi \(O\) là tâm của hình vuông \(ABCD\). Do \(S.ABCD\) là hình chóp đều nên \(SO\) là đường cao của hình chóp.
Cạnh đáy của hình chóp là \(AB = 2a\).
Đường chéo của hình vuông \(ABCD\) là \(AC = AB\sqrt 2 = (2a)\sqrt 2 \).
Tâm \(O\) của hình vuông là trung điểm của \(AC\).
Vậy \(AO = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}(2a\sqrt 2 ) = a\sqrt 2 \).
Cạnh bên của hình chóp là \(SA = 4a\).
Xét tam giác vuông \(SOA\) tại \(O\), ta có: \(S{A^2} = S{O^2} + A{O^2}\)\( \Rightarrow {(4a)^2} = S{O^2} + {(a\sqrt 2 )^2}\)
\( \Rightarrow SO = \sqrt {14{a^2}} = a\sqrt {14} \).
Vậy độ dài đường cao hình chóp là \(a\sqrt {14} \).
Cho bảng phân bố tần số ghép lớp về độ dài của 60 lá dương xỉ trưởng thành như sau:
Tính khoảng tứ phân vị (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất) của mẫu số liệu trên?
\(13,5\).
\(13,6\).
\(13,8\).
\(13,7\).
Chọn D
\(N = 7 + 19 + 24 + 10 = 60\).
Để tính khoảng tứ phân vị, ta cần tìm \({Q_1}\) và \({Q_3}\).
1. Tính tứ phân vị thứ nhất (\({Q_1}\)): Vị trí của \({Q_1}\) là \(\frac{N}{4} = \frac{{60}}{4} = 15\).
Lớp chứa \({Q_1}\) là \([20;30)\).
\({Q_1} = 20 + \frac{{15 - 7}}{{19}} \cdot 10 = 20 + \frac{8}{{19}} \cdot 10 = 20 + \frac{{80}}{{19}} = \frac{{460}}{{19}}\).
2. Tính tứ phân vị thứ ba (\({Q_3}\)):
Vị trí của \({Q_3}\) là \(\frac{{3N}}{4} = \frac{{3 \cdot 60}}{4} = 45\).
Lớp chứa \({Q_3}\) là \([30;40)\).\({Q_3} = 30 + \frac{{45 - 26}}{{24}} \cdot 10 = 30 + \frac{{19}}{{24}} \cdot 10 = 30 + \frac{{190}}{{24}} = 30 + \frac{{95}}{{12}} = \frac{{455}}{{12}}\).
3. Tính khoảng tứ phân vị:
Khoảng tứ phân vị là \({\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1}\)\( = \frac{{455}}{{12}} - \frac{{460}}{{19}} = \frac{{3125}}{{228}} \approx 13,7\).
Làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất, ta được \({\Delta _Q} \approx 13.7\).
\(F(x) = {x^6} - \frac{1}{{2{x^2}}} + \frac{1}{2}\).
\(F(x) = {x^6} + \frac{1}{{2{x^2}}} - \frac{3}{2}\).
\(F(x) = {x^6} - \frac{1}{{2{x^2}}} - \frac{1}{2}\).
\(F(x) = {x^6} - \frac{3}{{{x^2}}} + 2\).
Chọn C
\(f(x) = 6{x^5} + \frac{1}{{{x^3}}} \Rightarrow F(x) = \int {f(x)dx = \int {(6{x^5} + \frac{1}{{{x^3}}})dx} } = {x^6} - \frac{1}{{2{x^2}}} + C\).
Ta có: \(F(1) = 0 \Rightarrow {1^6} - \frac{1}{{{{2.1}^2}}} + C = 0 \Rightarrow C = - \frac{1}{2}\).
Khi đó: \(F(x) = {x^6} - \frac{1}{{2{x^2}}} - \frac{1}{2}\).
\(\left( {{u_n}} \right):{u_n} = \frac{1}{n}\).
\(\left( {{u_n}} \right):{u_n} = 2{u_{n - 1}},\forall n \ge 2\).
\(\left( {{u_n}} \right):{u_n} = {u_{n - 1}} - 2,\forall {\rm{n}} \ge 2\).
\(\left( {{u_n}} \right):{u_n} = {2^n} - 1\).
Chọn C
Ta có \[{u_n} = {u_{n - 1}} - 2,\forall {\rm{n}} \ge 2 \Leftrightarrow {u_n} - {u_{n - 1}} = - 2,\forall {\rm{n}} \ge 2\] không đổi nên dãy \(\left( {{u_n}} \right)\)là CSC với công sai \(d = - 2\)
\(\sqrt {95} \).
\(\sqrt {103} \).
\(\sqrt {89} \).
\[\sqrt {114} \]
Chọn C
Khoảng cách giữa hai điểm I và K là: \(IK = \sqrt {{{(1 - 6)}^2} + {{(4 - 4)}^2} + {{( - 3 - 5)}^2}} = \sqrt {89} \).
\(y > x \ge 0\).
\(x > y \ge 0\).
\(x > y > 0\).
\(y > x > 0\).
Chọn D
ĐKXĐ: \(x > 0,y > 0\).
Vì cơ số \(0,2 < 1\) nên hàm số logrit cơ số 0,2 là hàm nghịch biến.
Ta có:\({\log _{0,2}}x > {\log _{0,2}}y\) \( \Rightarrow y > x > 0\).
\(f\left( { - \frac{1}{2}} \right)\).
\(f\left( { - 1} \right)\).
\(f\left( 0 \right)\).
\(f\left( { - 2} \right)\).
Chọn B
Ta có: \(f'\left( x \right) = \left( {2x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) = 0 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{1}{2}}\\{x = - 1}\end{array}} \right.\)
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên ta thấy: \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 2;\,0} \right]} f\left( x \right) = f\left( { - 1} \right)\)
\(0\).
\(3\).
\(1\).
\(2\).
Chọn D
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left[ {y - \left( {2x + 3} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left( {\frac{1}{{x - 1}}} \right) = 0 \Rightarrow y = 2x + 3\) là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {2x + 3 + \frac{1}{{x - 1}}} \right) = + \infty \]\( \Rightarrow x = 1\) là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {A{A_1}} = \overrightarrow {A{C_1}} \).
\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {D{D_1}} = \overrightarrow {A{D_1}} \).
\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {C{C_1}} = \overrightarrow {A{B_1}} \).
\(\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {B{B_1}} = \overrightarrow {A{D_1}} \).
Chọn B
Theo quy tắc hình hộp ta có: \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {A{A_1}} = \overrightarrow {A{C_1}} \)\( \Rightarrow \)A đúng.
Ta có: \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {D{D_1}} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {B{B_1}} = \overrightarrow {A{B_1}} \Rightarrow \)B sai.
\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {C{C_1}} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {B{B_1}} = \overrightarrow {A{B_1}} \)\( \Rightarrow \)C đúng.
\(\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {B{B_1}} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {D{D_1}} = \overrightarrow {A{D_1}} \)\( \Rightarrow \)D đúng.
\(g'\left( x \right) = G\left( x \right) + C\).
\(G'\left( x \right) = g\left( x \right)\).
\(G'\left( x \right) = g\left( x \right) - C\).
\(g'\left( x \right) = G\left( x \right)\).
Chọn B
\(\int {g\left( x \right)} \,{\rm{d}}x = G\left( x \right) + C\)\( \Leftrightarrow G'\left( x \right) = g\left( x \right)\).
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng (Đ) hoặc sai (S)
Cho một bể chứa nước và ban đầu chưa có nước. Người ta bắt đầu bơm nước vào bể với lưu lượng là \({L_1}(t) = 6t + 3\) (lít/phút). Cùng lúc đó, do bể có một vết nứt dưới đáy nên nước bị chảy ra ngoài với lưu lượng là \({L_2}(t) = 2t\) (lít/phút). Dung tích tối đa của bể là \(2015\) lít.Hỏi trong các mệnh đề dưới đây, mệnh đề nào là đúng, mệnh đề nào là sai?[VD] Khi nước chảy vào vừa làm đầy bể, thì đã có nhiều hơn \(900\) lít nước bị chảy ra ngoài (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
[TH] Nếu bơm được \(30\) phút thì dừng thì lượng nước trong bể chưa đầy bể.
[NB] Thể tích nước được bơm vào bể trong 5 phút đầu tiên là \(90\) (lít).
[NB] Thể tích nước chảy ra từ bể trong 5 phút đầu tiên là 10 (lít).
a) Đúng.
Ta có lưu lượng nước ròng là \(L(t) = {L_1}(t) - {L_2}(t) = 4t + 3\).
Thời điểm \(a\)(phút) khi nước đầy bể là
\(\int\limits_0^a {(4t + 3)dt} = 2015\)\( \Leftrightarrow 2{a^2} + 3a = 2015 \Rightarrow a = 31\) phút.
Vậy lượng nước chảy ra sau 31 phút bằng \(\int\limits_0^{31} {2t} dt = 961 > 900\).
b) Đúng. Thời điểm \(30\) phút khi bơm thì nước trong bể là \(\int\limits_0^{30} {(4t + 3)dt} = 1890\) \( < 2015\).
c) Đúng. Thể tích nước được bơm vào bể trong 5 phút đầu tiên là \(\int\limits_0^5 {(6t + 3)} dt = 90\)lít.
d) Sai. Thể tích nước chảy ra từ bể trong 5 phút đầu tiên là \(\int\limits_0^5 {(2t)} dt = 25\)lít.
[NB] Lợi nhuận của công ty sau \[1\] quý là \[27\] triệu đồng.
[TH] Lợi nhuận của công ty đạt mức tối đa tại thời điểm \[t = 9\].
[TH] Tại thời điểm \[t = 4\] thì tốc độ tăng trưởng lợi nhuận là lớn nhất.
[NB] Hàm số biểu thị tốc độ tăng trưởng lợi nhuận \[P'\left( t \right) = - 3{t^2} + 20t + 63t\].
a) Sai.
Lợi nhuận của công ty sau \[1\] quý tương ứng với thời điểm \[t = 3\] là \[P\left( 3 \right) = 207\](triệu đồng).
b) Đúng.
Ta có: \[P'\left( t \right) = - 3{t^2} + 20t + 63 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = - \frac{7}{3}\\t = 9\end{array} \right.\].
Khi đó: \[P\left( 0 \right) = - 45\], \[P\left( 9 \right) = 603\], \[P\left( {12} \right) = 423\].
Vậy lợi nhuận của công ty đạt mức tối đa là \[603\] triệu đồng tại thời điểm \[t = 9\] (tháng).
c) Sai.
Ta có: \[P'\left( t \right) = - 3{t^2} + 20t + 63 = 0 = - 3\left( {{t^2} - \frac{{20}}{3}t + \frac{{100}}{9}} \right) + \frac{{289}}{3} = - 3{\left( {t - \frac{{10}}{3}} \right)^2} + \frac{{289}}{3} \le \frac{{289}}{3}\].
Vậy tốc độ tăng trưởng lợi nhuận là lớn nhất tại thời điểm \[t = \frac{{10}}{3}\] (tháng).
d) Sai.
Hàm số biểu thị tốc độ tăng trưởng lợi nhuận là \[P'\left( t \right) = - 3{t^2} + 20t + 63\].
[NB] Mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\)có phương trình:\(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1\).
[TH] Mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) đi qua điểm \(G\left( {1;2;3} \right)\) sao cho \(G\)là trọng tâm tam giác \(ABC\) có phương trình là \(6x + 3y + 2z + 18 = 0\).
[TH] Mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) đi qua điểm \(H\left( {1;1;1} \right)\) sao cho \(H\) là trực tâm tam giác \(ABC\) có phương trình là \(x + y + z - 3 = 0\).
[VDC] Mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) đi qua điểm \(M\left( {2; - 2;3} \right)\)sao cho độ dài \(OA,\,OB,\,OC\) theo thứ tự lập thành cấp số cộng có công sai bằng \(2\). Khoảng cách từ điểm \(D\left( {1;1;1} \right)\)đến mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) bằng \(\frac{m}{n}\), với \(\frac{m}{n}\) là phân số tối giản. Khi đó \(T = m + n = 8\).
a) Theo lý thuyết phương trình đoạn chắn thì mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\)có phương trình:\(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1\,\,\,\left( 1 \right)\). Vậy a) Đúng.
b) Vì \(G\left( {1;2;3} \right)\) là trọng tâm tam giác \(ABC\) nên ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}1 = \frac{{a + 0 + 0}}{3}\\2 = \frac{{0 + b + 0}}{3}\\3 = \frac{{0 + 0 + c}}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = 6\\c = 9\end{array} \right.\)
Thay vào \(\left( 1 \right)\)ta được phương trình mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là: \(\frac{x}{3} + \frac{y}{6} + \frac{z}{9} = 1\,\, \Leftrightarrow 6x + 3y + 2z - 18 = 0\)Vậy b) Sai.
c) Xét tứ diện \(OABC\) có \(OA,\,OB,\,OC\) đôi một vuông góc và \(H\) là trực tâm tam giác \(ABC\) suy ra \(OH \bot \left( {ABC} \right)\) nên \(\left( {ABC} \right)\) đi qua \(H\) và có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {OH} = \left( {1;1;1} \right)\).
Khi đó \(\left( {ABC} \right):x + y + z - 3 = 0\). Vậy c) Đúng
d) Phương trình mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là: \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1\) \(\left( 1 \right)\)
\(M\left( {2; - 2;3} \right)\) thuộc mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) nên \(\frac{2}{a} - \frac{2}{b} + \frac{3}{c} = 1\,\,\left( 2 \right)\)
Vì \(a,b,c\)đều dương nên ta có \(OA = a;\,OB = b;\,OC = c\).
\(OA,\,OB,\,OC\) theo thứ tự lập thành cấp số cộng có công sai bằng \(2\) nên suy ra
\(b = a + 2\) và \(c = a + 4\).
\(\left( 2 \right) \Leftrightarrow \)\(\frac{2}{a} - \frac{2}{{a + 2}} + \frac{3}{{a + 4}} = 1\,\, \Leftrightarrow {a^3} + 3{a^2} - 2a - 16 = 0 \Leftrightarrow a = 2\).
Từ đó ta được \(b = 4;\,c = 6\).
Thay vào \(\left( 1 \right)\)ta được phương trình mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là: \(\frac{x}{2} + \frac{y}{4} + \frac{z}{6} = 1 \Leftrightarrow 6x + 3y + 2z - 12 = 0\)
\(D\left( {1;1;1} \right)\), \(d\left( {D;\left( {ABC} \right)} \right) = \frac{1}{7}\)
Suy ra \(m = 1;\,n = 7\). Do đó \(T = m + n = 8\).
Vậy d) Đúng.
Một công ty bất động sản thực hiện cuộc khảo sát khách hàng xem họ có nhu cầu mua ở mức giá nào cho một căn nhà, để tiến hành dự án xây dựng khu đô thị mới sắp tới. Kết quả khảo sát 500 khách hàng được ghi lại ở bảng sau:
Tứ phân vị thứ ba là \[25\]
Độ dài mỗi nhóm là \[4\]
Biết rằng công ty sẽ xây dựng phân phúc nhà giá rẻ cho \[25\% \] số khách hàng có nhu cầu ở mức giá thấp nhất theo khảo sát, xây dựng phân khúc nhà giá cao cấp cho \[25\% \] số khách hàng mua ở mức giá cao nhất theo khảo sát. Tuy nhiên trước hết sẽ ưu tiên xây dựng phân khúc nhà tầng trung hướng tới \[50\% \] khách hàng còn lại. Khi đó, theo khảo sát, độ chênh lệch giá cao nhất và giá thấp nhất (đúng đến hàng phần mười, đơn vị triệu đồng) dành cho phân khúc nhà tầm trung là \[6,1\] triệu đồng.
Phương sai xấp xỉ \[20,52\]
a) Kích thước mẫu \[n = 500 \to \frac{n}{2} = 250\].
Xác định nhóm chứa \[{Q_3}\]: Xét nửa mẫu số liệu bên phải \[{Q_2}\] gồm \[250\] số liệu: Trung vị của nửa mẫu số liệu gốc này là trung bình cộng của hai giá trị đứng thứ \[125\]và đứng thứ \[126\].
Suy ra \[{Q_3}\] thuộc nhóm \[3\].
\[{Q_3}\] của mẫu số liệu ghép nhóm được tính bởi:
\[{Q_3} = 18 + \frac{{\frac{{3 \times 500}}{4} - \left( {75 + 105)} \right)}}{{197}} \times \left( {22 - 18} \right) = 21,96\].
Vậy a) sai.
b) Độ dài mỗi nhóm bằng \[14 - 10 = 4\]. Vậy b) đúng.
c) \[{Q_1}\] của mẫu số liệu gốc thuộc nhóm \[2\]
\[{Q_1}\] của mẫu số liệu ghép nhóm là: \[{Q_1} = 14 + \frac{{\frac{{500}}{4} - 75}}{{105}} \times \left( {18 - 14} \right) \approx 15,9\].
Suy ra \[\Delta Q = {Q_3} - {Q_1} \approx 21,96 - 15,9 = 6,06 \approx 6,1\].
Suy ra c) đúng.
d)
Giá trị trung bình của mẫu là \[\overline x = \frac{{12 \times 75 + 16 \times 105 + 20 \times 197 + 24 \times 80 + 28 \times 43}}{{500}} = 19,288\].
Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là
\[s_x^2 = \frac{{75 \times {{\left( {12 - 19,288} \right)}^2} + 105 \times {{\left( {16 - 19,288} \right)}^2} + 197 \times {{\left( {20 - 19,288} \right)}^2} + 80 \times {{\left( {24 - 19,288} \right)}^2} + 43 \times {{\left( {28 - 19,288} \right)}^2}}}{{500}}\]
\[s_x^2 \approx 20,52\]. Suy ra chọn d) đúng.
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.
Một nhà máy A chuyên sản xuất một loại sản phẩm cho nhà máy B, nhà máy A chỉ bán sản phẩm cho nhà máy B và nhà máy B cam kết thu mua hết số sản phẩm mà nhà máy A sản xuất được. Nhà máy A có khả năng sản xuất tối đa là 200 tấn sản phẩm trong một tháng. Nếu bán ra \(x\) tấn sản phẩm cho nhà máy B thì giá bán mỗi tấn sản phẩm là \(50 - 0,0002{x^2}\) triệu đồng. Trong một tháng nhà máy A phải chi phí cho nhân công và chi phí khấu hao máy móc một lượng cố định là 150 triệu đồng, ngoài ra khi sản xuất mỗi tấn sản phẩm thì nhà máy phải chi thêm cho mua nguyên vật liệu là 35 triệu đồng. Biết rằng nhà máy A phải nộp 5% doanh thu cho cơ quan thuế. Tính lợi nhuận sau thuế (lợi nhuận khi đã trừ thuế) lớn nhất thu được trong một tháng của nhà máy A (đơn vị tính là tỉ đồng và kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).Đáp án: \(1,08\).
Doanh thu của nhà máy A trong một tháng là:
\(D\left( x \right) = \left( {50 - 0,0002{x^2}} \right)x = 50x - 0,0002{x^3}\) (triệu đồng).
Tiền thuế nhà máy A phải nộp là \(T\left( x \right) = D\left( x \right).5\% \) (triệu đồng).
Chi phí sản xuất: \(C\left( x \right) = 150 + 35x\) (triệu đồng).
Lợi nhuận sau thuế trong một tháng của nhà máy A là:
\(L\left( x \right) = D\left( x \right) - D\left( x \right).5\% - C\left( x \right) = 0,95.\left( {50x - 0,0002{x^3}} \right) - \left( {150 + 35x} \right)\)
\( = - 0,00019{x^3} + 12,5x - 150\) (triệu đồng)
Ta có \(L'\left( x \right) = - 0,00057{x^2} + 12,5\)
\(L'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt {\frac{{125}}{{0,0057}}} \)
Bảng biến thiên
Lợi nhuận sau thuế lớn nhất trong một tháng của nhà máy A là:
\(\max L\left( x \right) = L\left( {\sqrt {\frac{{125}}{{0,0057}}} } \right) \times \frac{1}{{1000}} \approx 1,08\) (tỉ đồng).
Lời giải
Đáp án: \[ - 4,5\].
Gọi toạ độ điểm \[C'\left( {m;n;p} \right)\].Vì \[ACC'A'\] là hình bình hành nên
\[\left\{ \begin{array}{l}a + m = - 2 + 3\\b + n = 1 + 5\\c + p = 1 + 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 1 - 1\\n = 6 - b\\p = 5 - c\end{array} \right. \Rightarrow C'\left( {1 - a;6 - b;5 - c} \right)\]
Vì \[A'B'C'D'\] là hình bình hành nên
\[\left\{ \begin{array}{l} - 3 + 1 - a = a + 4\\2 + 6 - b = b + 2\\1 + 5 - c = c + 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 3\\b = 3\\c = 3\end{array} \right. \Rightarrow A'\left( { - 3;3;3} \right) \Rightarrow \frac{{a - b - c}}{2} = - 4,5\].
Đáp số: \[121\]
Gọi \(M,\,N\) lần lượt là trung điểm của \(DC,\,DA\). Kẻ \(NP \bot AD\) tại \(N,\,P \in DD'\) \[ \Rightarrow \left[ {D',\,\,AD,\,\,C} \right] = \widehat {MNP}\].
Từ giả thiết suy ra \(AM = AD = AD' = DM = 3\). Tam giác \(ADM\) đều nên \(MN = \frac{{3\sqrt 3 }}{2}\).
Xét \(\Delta ADD'\) có \[{\rm{cos}}\widehat {ADD'} = \frac{{D{A^2} + D{{D'}^2} - A{{D'}^2}}}{{2.DA.DD'}} = \frac{{{3^2} + {4^2} - {3^2}}}{{2.3.4}} = \frac{2}{3}\].
Xét \(\Delta DNP\) vuông tại \(N\) có
\[{\rm{cos}}\widehat {NDP} = \frac{{DN}}{{DP}} \Rightarrow DP = \frac{{DN}}{{{\rm{cos}}\widehat {NDP}}} = \frac{9}{4}\]\( \Rightarrow PN = \sqrt {D{P^2} - D{N^2}} = \frac{{3\sqrt 5 }}{4}\);
Xét \(\Delta DMP\) vuông tại \(D\) có \(MP = \sqrt {D{M^2} + D{P^2}} = \frac{{15}}{4}\).
Xét \(\Delta MNP\) có
\[{\rm{cos}}\widehat {MNP} = \frac{{N{M^2} + N{P^2} - P{M^2}}}{{2.NM.NP}} = \frac{{{{\left( {\frac{{3\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{3\sqrt 5 }}{4}} \right)}^2} - {{\left( {\frac{{15}}{4}} \right)}^2}}}{{2.\frac{{3\sqrt 3 }}{2}.\frac{{3\sqrt 5 }}{4}}} = - \frac{{2\sqrt {15} }}{{15}} \Rightarrow \widehat {MNP} \approx 121^\circ \]
Vậy \[\left[ {D',\,\,AD,\,\,C} \right] \approx 121^\circ \].
Trong hệ trục tọa độ Oxy, đơn vị mỗi trục là mét, một đường trượt mới sẽ được xây dựng theo bản thiết kế đã trình bày như hình vẽ. Thanh trượt bắt đầu từ A và kết thúc tại \(C\), đường cong của thanh trượt là một phần của đồ thị hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{a{x^2} + bx + c}}{{x + d}}\), biết đồ thị hàm số \(f(x)\) tiếp xúc với trục Ox tại điểm \(B\).
Bạn Nam bắt đầu trượt từ điểm A, hỏi khi Nam cách vị trí ban đầu theo phương ngang một khoảng 5 mét thì Nam cách mặt đất bao nhiêu mét, biết trục Ox nằm trên mặt đất (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
Đáp án: 1,67.
Ta có đồ thị hàm số \(f(x)\) tiếp xúc với trục Ox tại điểm \(B\left( {10;0} \right)\) nên \(f\left( x \right) = \frac{{a{{\left( {x - 10} \right)}^2}}}{{x + d}}\)
Đồ thị đi qua \(A\left( {0;10} \right) \Rightarrow 10 = \frac{{a.100}}{d} \Rightarrow d = 10a\).
Đồ thị đi qua \(C\left( {15;1} \right) \Rightarrow 1 = \frac{{a.25}}{{15 + d}} \Rightarrow 15 + d = 25a \Rightarrow 15 + 10a = 25a \Rightarrow a = 1;d = 10\).
Do đó \(f\left( x \right) = \frac{{{{\left( {x - 10} \right)}^2}}}{{x + 10}}\).
Có \(x = 5 \Rightarrow y = \frac{{25}}{{15}} \approx 1,67\)
Vậy Nam cách vị trí ban đầu theo phương ngang 1 khoảng 5 mét thì nam cách mặt đất \(1,67\left( m \right)\)
Đáp án: 2.
Đặt hệ trục tọa độ Oxyz có gốc \(O(0;0;0)\), các tia Ox, Oy, Oz lần lượt chứa các cạnh OA, OB, OC của tứ diện. Gọi tọa độ các điểm là \(A(a;0;0)\), \(B(0;b;0)\), \(C(0;0;c)\) với \(a,b,c > 0\).
Phương trình mặt phẳng \((ABC)\) có dạng mặt phẳng theo đoạn chắn: \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1\).
Vì mặt phẳng \((ABC)\) đi qua điểm \(M(1;2;1)\) nên ta có hệ thức: \(\frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{1}{c} = 1\).
Thể tích khối tứ diện OABC là: \(V = \frac{1}{6}abc\).
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy (AM-GM) cho ba số dương \(\frac{1}{a},\frac{2}{b},\frac{1}{c}\), ta có:
\(1 = \frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{1}{c} \ge 3\sqrt[3]{{\frac{1}{a} \cdot \frac{2}{b} \cdot \frac{1}{c}}} = 3\sqrt[3]{{\frac{2}{{abc}}}}\) \( \Rightarrow 1 \ge 27 \cdot \frac{2}{{abc}} \Rightarrow abc \ge 54\).
Thể tích nhỏ nhất \({V_{min}} = \frac{1}{6} \cdot 54 = 9{\rm{ }}{{\rm{m}}^3}\) khi và chỉ khi: \(\frac{1}{a} = \frac{2}{b} = \frac{1}{c} = \frac{1}{3}\) \( \Rightarrow a = 3,b = 6,c = 3\).
Khi đó, phương trình mặt phẳng \((ABC)\) là: \(\frac{x}{3} + \frac{y}{6} + \frac{z}{3} = 1 \Leftrightarrow 2x + y + 2z - 6 = 0\).
Khoảng cách từ gốc tọa độ \(O\) đến mặt phẳng \((ABC)\) là:
\(d(O,(ABC)) = \frac{{|2 \cdot 0 + 0 + 2 \cdot 0 - 6|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {2^2}} }} = \frac{{| - 6|}}{{\sqrt 9 }} = \frac{6}{3} = 2{\rm{ m}}\).
Đáp án: 83.
Gọi \(T\left( t \right)\) là tổng chi phí an sinh xã hội toàn quốc tại thời điểm \(t\) (tính từ đầu năm 2023)
Khi đó \(T\left( t \right) = P\left( t \right).C\left( t \right)\)
\(T'\left( t \right) = \frac{{1.44{e^{ - 0,06t}}}}{{{{\left( {1 + 0,2{e^{ - 0,06t}}} \right)}^2}}}\left( {25 - 20{e^{ - 0,05t}}} \right) + \frac{{120}}{{1 + 0,2{e^{ - 0,06t}}}}{e^{ - 0,05t}}\).
Tốc độ thay đổi của tổng chi phí an sinh xã hội toàn quốc (nghìn tỷ đồng/năm) vào đầu năm 2030
\(T'\left( 7 \right) \approx 83\) (nghìn tỷ đồng/năm).
