Đề thi thử Tốt nghiệp THPT Toán 2025-2026 Cụm 13 trường Hải Phòng có đáp án
22 câu hỏi
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn.Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu thí sinh chỉ chọn một phương án
Tập nghiệm của bất phương trình \({\log _{0,5}}x > 3\) là
\(\left( { - \infty ;{{\log }_{0,5}}3} \right)\).
\(\left( {0;0,125} \right)\).
\[\left( {{{\log }_{0,5}}3; + \infty } \right)\].
\[\left( {0;{3^{0,5}}} \right)\].
Lời giải
Chọn B
Ta có: \({\log _{0,5}}x > 3 \Leftrightarrow {\log _{0,5}}x > {\log _{0,5}}{0,5^3} \Leftrightarrow 0 < x < 0,125\).
Họ nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \cos x\) là
\(\sin x + C\).
\(\cos x + C\).
\( - \cos x + C\).
\( - \sin x + C\).
Lời giải
Chọn A
Ta có: \(\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \int {\cos x{\rm{d}}x} = \sin x + C\).
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau.
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng nào sau đây?
\(\left( {2;4} \right)\).
\(\left( {3; + \infty } \right)\).
\(\left( {1;2} \right)\).
\(\left( {0;1} \right)\).
Lời giải
Chọn C
Từ bảng biến thiên, hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên các khoảng \(\left( {1;2} \right)\) và \(\left( {2;3} \right)\).
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {0;3} \right]\) và có đồ thị như hình vẽ bên. Gọi \(M\) và \(m\) lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn \(\left[ {0;3} \right]\). Giá trị của \(M + m\) bằng
![Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [0;3] và có đồ thị như hình vẽ bên. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn [0;3). Giá trị của M + m bằng (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2026/03/blobid1-1773374518.png)
\(3\).
\(5\).
\(2\).
\(1\).
Lời giải
Chọn D
Dựa vào đồ thị, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}M = \mathop {\max }\limits_{\left[ {0;3} \right]} f\left( x \right) = f\left( 3 \right) = 3\\m = \mathop {\min }\limits_{\left[ {0;3} \right]} f\left( x \right) = f\left( 2 \right) = - 2\end{array} \right. \Rightarrow M + m = 3 - 2 = 1\).
Trong không gian \[Oxyz\], cho \[\overrightarrow {OM} = 6\overrightarrow j + 4\overrightarrow i - 3\overrightarrow k \]. Toạ độ của điểm \[M\] là
\[\left( { - 6; - 4;3} \right)\].
\[\left( { - 4; - 6;3} \right)\].
\[\left( {6;4; - 3} \right)\].
\[\left( {4;6; - 3} \right)\].
Lời giải
Chọn D
Ta có: \[\overrightarrow {OM} = 6\overrightarrow j + 4\overrightarrow i - 3\overrightarrow k \] nên toạ độ của điểm \[M\] là \[\left( {4;6; - 3} \right)\].
Trong không gian với hệ toạ độ \[Oxyz\], cho hai điểm \[A\left( { - 2;3;1} \right)\] và \[B\left( {5;6;2} \right)\]. Đường thẳng \[AB\] cắt mặt phẳng \[\left( {Oxz} \right)\] tại điểm \[M\]. Tính tỉ số \[\frac{{AM}}{{BM}}\].
\[\frac{{AM}}{{BM}} = 2\].
\[\frac{{AM}}{{BM}} = \frac{1}{2}\].
\[\frac{{AM}}{{BM}} = 3\].
\[\frac{{AM}}{{BM}} = \frac{1}{3}\].
Lời giải
Chọn B
Vì \[M \in \left( {Oxz} \right)\] nên \[M\left( {x;0;z} \right)\].
Ta có: \[\overrightarrow {AM} = \left( {x + 2; - 3;z - 1} \right)\], \[\overrightarrow {AB} = \left( {7;3;1} \right)\].
Mặt khác đường thẳng \[AB\] cắt mặt phẳng \[\left( {Oxz} \right)\] tại điểm \[M\] nên \[A\], \[B\], \[M\] thẳng hàng, do đó ta có: \[\frac{{x + 2}}{7} = \frac{{ - 3}}{3} = \frac{{z - 1}}{1} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 9\\z = 0\end{array} \right.\].
Vậy \[M\left( { - 9;0;0} \right)\].
Khi đó \[\overrightarrow {AM} = \left( { - 7; - 3; - 1} \right)\], \[\overrightarrow {BM} = \left( { - 14; - 6; - 2} \right)\].
Vì \[\overrightarrow {BM} = 2.\overrightarrow {AM} \] nên \[\frac{{AM}}{{BM}} = \frac{1}{2}\].
Cho hình lập phương \[ABCD.A'B'C'D'\], góc giữa hai đường thẳng \[A'B\] và \[B'C\] là
\[90^\circ \].
\[30^\circ \].
\[60^\circ \].
\[45^\circ \].
Lời giải
Chọn C
Ta có: \[\left( {A'B,B'C} \right) = \left( {A'B,A'D} \right) = \widehat {BA'D}\].
Vì \[ABCD.A'B'C'D'\] là hình lập phương nên tam giác \[BA'D\] đều, do đó \[\widehat {BA'D} = 60^\circ \].
Nhiệt độ trung bình \[\left( {^\circ {\rm{C}}} \right)\] theo ngày tại thành phố X (trong một tháng) được ghi lại theo bảng sau
Nhiệt độ trung bình tại thành phố X trong ngày xấp xỉ
\[29,79\]\[\left( {^\circ {\rm{C}}} \right)\].
\[29,81\]\[\left( {^\circ {\rm{C}}} \right)\].
\[30,67\]\[\left( {^\circ {\rm{C}}} \right)\].
\[30,33\]\[\left( {^\circ {\rm{C}}} \right)\].
Lời giải
Chọn C
Ta có: Bảng số liệu gồm các giá trị đại diện của các nhóm như sau
Nhiệt độ trung bình tại thành phố X trong ngày là
\[\overline x = \frac{{3.28,5 + 5.29,5 + 10.30,5 + 8.31,5 + 4.32,5}}{{30}} \approx 30,67.\]
Một vườn thú ghi lại tuổi thọ (đơn vị: năm) của con hổ và thu được kết quả như sau:
Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là
\[\left[ {15;16} \right)\].
\[\left[ {16;17} \right)\].
\[\left[ {14;15} \right)\].
\[\left[ {17;18} \right)\].
Lời giải
Chọn B
Xét mẫu số liệu gốc \[{x_1},{x_2},...,{x_{20}}\]
Vì \[n = 20 \Rightarrow \] nửa mẫu số liệu bên trái \[{x_1},{x_2},...,{x_{10}}\] chứa \[{Q_1}\].
Mà \[{x_5},{x_6}\] là hai giá trị chính giữa và thuộc nhóm \[\left[ {16;17} \right)\]. Vậy \[{Q_1} \in \left[ {16;17} \right)\].
Cho \[\int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}} {{{\left( {3\tan x + 2\cot x} \right)}^2}dx} = a + b\frac{{\sqrt 3 }}{3} + c\frac{\pi }{{12}}\left( * \right)\]. Biết rằng tồn tại duy nhất bộ ba số nguyên \[a,b,c\] thỏa mãn \[\left( * \right)\]. Tổng \[T = a + b + c\] có giá trị bằng bao nhiêu?
\[21\].
\[15\].
\[19\].
\[17\].
Lời giải
Chọn D
Ta có
\[\begin{array}{l}\int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}} {{{\left( {3\tan x + 2\cot x} \right)}^2}dx} = \int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}} {\left( {9{{\tan }^2}x + 4{{\cot }^2}x + 12} \right)dx} = \\\int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}} {\left( {9\left( {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - 1} \right) + 4\left( {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}} - 1} \right) + 12} \right)dx} \end{array}\]
\[ = \int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}} {\left( {9.\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} + 4.\frac{1}{{{{\sin }^2}x}} - 1} \right)dx = \left. {\left( {9\tan x - 4\cot x - x} \right)} \right|} _{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}}\]
\[ = \left( {9.\sqrt 3 - 4.\frac{1}{{\sqrt 3 }} - \frac{\pi }{3}} \right) - \left( {9 - 4 - \frac{\pi }{4}} \right) = - 5 + 23.\frac{{\sqrt 3 }}{3} - \frac{\pi }{{12}}\]
Vậy \[T = - 5 + 23 - 1 = 17\].
Cho cấp số nhân \[\left( {{u_n}} \right)\] có \[{u_2} = 2,{u_3} = 6\]. Khi đó số hạng thứ tư của cấp số nhân là
\[{u_4} = 72\].
\[{u_4} = 12\].
\[{u_4} = 18\].
\[{u_4} = - 18\].
Lời giải
Chọn C
Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}{u_2} = {u_1}q\\{u_3} = {u_2}q\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}q = 2\\2.q = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}q = 3\\{u_1} = \frac{2}{3}\end{array} \right. \Rightarrow {u_4} = {u_1}.{q^3} = \frac{2}{3}.27 = 18\].
Trong không gian \[Oxyz\], mặt phẳng \[\left( \alpha \right)\] đi qua điểm \[A\left( { - 1;2;4} \right)\] và nhận \[\overrightarrow n = \left( {1; - 2;3} \right)\] làm vecto pháp tuyến có phương trình
\[x - 2y + 3z + 7 = 0\].
\[x - 2y + 3z - 7 = 0\].
\[ - x + 2y + 4z + 7 = 0\].
\[ - x + 2y + 4z - 7 = 0\].
Lời giải
Chọn B
Mặt phẳng \[\left( \alpha \right)\] có phương trình: \[1.\left( {x + 1} \right) - 2\left( {y - 2} \right) + 3\left( {z - 4} \right) = 0 \Leftrightarrow x - 2y + 3z + 7 = 0\].
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai.Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng (Đ) hoặc sai (S)
Nhà bác An được mô tả như hình vẽ bên dưới, trong đó phần thân nhà là hình hộp chữ nhật \(ABCD.EFGH\). Ngôi nhà được lợp ngói hai mái là hai hình chữ nhật \(PEHQ\) và \(PFGQ\), biết tam giác \(EFP\) là tam giác cân tại \(P\). Gọi \(T\) là trung điểm của cạnh \(DC\). Các kích thước của nhà lần lượt là \(AB = 6m\), \(AE = 5m\), \(AD = 8m\), \(QT = 7m\). Xét hệ trục tọa độ \(Oxyz\) sao cho gốc tọa độ là điểm \(O\) thuộc đoạn \(AD\) sao cho \(OA = 2m\) và các trục tọa độ tương ứng là các trục \(Ox,Oy,Oz\). Khi đó:
[NB] Vectơ \(\overrightarrow {AC} \) có toạ độ là \((6;6;0)\).
[TH] Mái nhà bác An được lợp bằng ngói đất nung Đất Việt, giá tiền mỗi viên ngói là \(11000\) đồng và để lợp được \(1\) \({m^2}\) diện tích mái cần \(22\) viên ngói. Số tiền cần bỏ ra để mua ngói lợp mái nhà là \(13\,960\,000\) đồng (không kể hao phí do việc cắt và ghép các viên ngói, làm tròn kết quả đến hàng nghìn).
[NB] Toạ độ điểm \(A\) là \((2;0;0)\).
[VD] Bác An muốn lắp một chiếc đèn lồng tại vị trí trung điểm của \(FG\) và đầu nguồn điện đặt tại vị trí \(O\). Bác ấy thiết kế đường dây điện nối từ \(O\) đến \(K\) sau đó nối đến chiếc đèn lồng. Độ dài đoạn dây điện nối tối thiểu bằng \(5 + 2\sqrt {10} (m)\).
Lời giải
a) Sai
Ta có \[OD = AD - OA = 8 - 2 = 6\]m.
Tọa độ điểm \[C\left( { - 6;\,6;0} \right)\].
Vì vậy \[\overrightarrow {AC} = \left( { - 8;6;0} \right)\].
b) Sai
Gọi \[M\] là trung điểm của \[HG\] nên \[QM = 7 - 5 = 2\]m, \[MG = \frac{{HG}}{2} = \frac{{AB}}{2} = 3\]m.
Ta có \[QG = \sqrt {Q{M^2} + M{G^2}} = \sqrt {{2^2} + {3^2}} = \sqrt {13} \]m.
Diện tích cần lợp là \[S = 2{S_{PQGF}} = 2.8.\sqrt {13} = 16\sqrt {13} \]m.
Số tiền cần phải trả là \[S.22.11\,000 \approx 13\,961\,000\] đồng.
c) Đúng
Tọa độ điểm \(A\) là \((2;0;0)\).
d) Đúng
Gọi \[J\] là trung điểm của \[BC\] nên \[J\left( { - 2;6;0} \right)\].
Suy ra \[I\] là trung điểm của \[FG\] nên \[I\left( { - 2;6;5} \right)\].
Ta có \[KI = \sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {6^2} + {0^2}} = 2\sqrt {10} \]m.
Vì vậy \[{d_{\min }} = OK + KI = 5 + 2\sqrt {10} \].
Cho hàm số \(y = - {x^3} + 3{x^2} + 4\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:
[TH] Đồ thị \(\left( C \right)\) có hai điểm cực trị và phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là \(2x + y - 4 = 0\).
[NB] Tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R}\) và \(y' = - 3{x^3} + 6x\).
[NB] Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {0;2} \right)\).
[VD] Diện tích của tam giác \(OAB\) bằng 4, với \(O\) là gốc tọa độ và \(A,\,B\) là các điểm cực trị của \(\left( C \right)\).
Lời giải
a) Sai.
Tập xác định \(D = \mathbb{R}\).
Ta có \(y' = - 3{x^2} + 6x\).
\(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = 0\end{array} \right.\).
Bảng biến thiên:
Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là \(A\left( {0;4} \right)\) và \(B\left( {2;8} \right)\).
Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm \(A,\,\,B\) có dạng: \(y = ax + b\). Khi đó ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}b = 4\\2a + b = 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 4\end{array} \right.\). Vậy \(y = 2x + 4 \Leftrightarrow 2x - y - 4 = 0\).
b) Sai.
Hàm số có đạo hàm là \(y' = - 3{x^2} + 6x\).
c) Đúng.
Từ đồ thị hàm số, ta thấy hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {0;2} \right)\).
d) Đúng.
Ta có \(\overrightarrow {OA} = \left( {0;4} \right),\,\,\overrightarrow {OB} = \left( {2;8} \right)\).
Diện tích tam giác \(OAB\) là: \({S_{OAB}} = \frac{1}{2}\left| {0.8 - 2.4} \right| = 4\).
Lớp 12A có 40 học sinh, trong đó có 8 em tham gia Câu lạc bộ Toán học. Điểm thi học kỳ 1 môn Toán của cả lớp được thống kê trong bảng sau:
Nhóm | [5; 6) | [6; 7) | [7; 8) | [8; 9) | [9; 10] |
Tần số | 2 | 3 | 8 | 15 | 12 |
[TH] Biết 8 học sinh trong Câu lạc bộ Toán học gồm có 5 học sinh nam và 3 học sinh nữ. Trong buổi lễ tuyên dương khen thưởng, 8 học sinh trong Câu lạc bộ Toán học được sắp xếp ngẫu nhiên thành một hàng ngang để trao quà. Xác suất không có hai học sinh nữ nào đứng cạnh nhau lớn hơn \(\frac{1}{3}\).
[TH] Có ít nhất 13 học sinh có điểm thi thấp hơn điểm trung bình của cả lớp.
[NB] Khoảng biến thiên mẫu số liệu là 5.
[VD,VDC] Biết rằng cả 8 học sinh trong Câu lạc bộ Toán học đều có điểm thi không dưới 8. Chọn ngẫu nhiên 6 học sinh trong lớp có điểm thi lớn hơn hoặc bằng 8. Xác suất có đúng 2 em của Câu lạc bộ Toán học được chọn nhỏ hơn \(\frac{1}{3}\).
Lời giải
a) Mệnh đề: Đúng
Số phần tử của không gian mẫu (xếp 8 bạn thành hàng ngang): \(n(\Omega ) = 8! = 40320\).
Gọi \(A\) là biến cố "không có 2 học sinh nữ nào đứng cạnh nhau".
Bước 1: Xếp 5 bạn nam, có 5! cách.
Bước 2: 5 bạn nam tạo ra 6 khoảng trống (bao gồm cả 2 đầu). Xếp 3 bạn nữ vào 3 trong 6 khoảng trống đó để đảm bảo các nữ không đứng cạnh nhau, có \(A_6^3\) cách.
Số kết quả thuận lợi: \(n(A) = 5!.A_6^3 = 14400\).
Xác suất: \(P(A) = \frac{{14400}}{{40320}} = \frac{5}{{14}}\).
So sánh: Vì \(\frac{5}{{14}} \approx 0,357 > \frac{1}{3} \approx 0,333\), nên mệnh đề này đúng.
b) Mệnh đề: Đúng
Ta có giá trị đại diện cho các nhóm là: \(5,5;\;6,5;\;7,5;\;8,5;\;9,5\).
Điểm trung bình của lớp là:
\(\bar x = \frac{{5,5.2 + 6,5.3 + 7,5.8 + 8,5.15 + 9,5.12}}{{40}} = 8,3\)
Nhìn vào bảng, số học sinh có điểm chắc chắn nhỏ hơn 8 là tổng tần số của 3 nhóm đầu tiên: \(2 + 3 + 8 = 13\) (học sinh).
Vì \(8 < 8,3\) nên chắc chắn có ít nhất 13 học sinh này có điểm thấp hơn điểm trung bình.
c) Mệnh đề: Đúng
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm bằng hiệu số giữa đầu mút phải của nhóm cuối cùng và đầu mút trái của nhóm đầu tiên.
Khoảng biến thiên \(R = 10 - 5 = 5\).
d) Mệnh đề: Sai
Số học sinh có điểm thi lớn hơn hoặc bằng 8 (thuộc nhóm \([8;9)\) và [9; 10] là: 15 + 12 = 27 học sinh.
Trong 27 học sinh này, có 8 học sinh thuộc CLB Toán học và \(27 - 8 = 19\) học sinh không thuộc CLB.
Số phần tử không gian mẫu (chọn 6 từ 27 học sinh): \(n(\Omega ) = C_{27}^6 = 296010\).
Gọi \(B\) là biến cố "có đúng 2 em của CLB Toán học". Ta chọn 2 em từ 8 em CLB và 4 em từ 19 em còn lại: \(n(B) = C_8^2.C_{19}^4 = 28.3876 = 108528\).
Xác suất: \(P(B) = \frac{{108528}}{{296010}} \approx 0,3666\).
So sánh: Vì \(0,3666 > \frac{1}{3}\), nên mệnh đề nói xác suất "nhỏ hơn \(\frac{1}{3}\)" là sai.
Những ngày giáp Tết Nguyên Đán cũng là dịp bước vào vụ Đông Xuân, bà con nông dân tích cực xuống đồng cấy lúa. Cây lúa sau khi được cấy trải qua quá trình tăng trưởng đẻ nhánh và phát triển chiều cao trước khi làm đòng, trổ bông. Qua nghiên cứu một giống lúa mới, các nhà khoa học nhận thấy một cây lúa tính từ lúc được cấy bằng một cây mạ với chiều cao 20 cm có tốc độ tăng trưởng chiều cao cho bởi hàm số \(v\left( t \right) = - 0,1{t^3} + 1,1{t^2}\), trong đó \(t\) tính theo tuần, \(v\left( t \right)\) tính bằng cm/tuần. Gọi \(h\left( t \right)\) là chiều cao của cây lúa ở tuần thứ \(t\) (\(t \ge 0\)).
[TH] Chiều cao tối đa của cây lúa là \(150\,cm\).
[TH] Giai đoạn tăng trưởng chiều cao của cây lúa kéo dài \(12\) tuần.
[VD] Vào thời điểm cây lúa phát triển nhanh nhất, chiều cao của cây đã lớn hơn \(80\,cm\).
[NB] \(h\left( t \right) = - \frac{1}{{40}}{t^4} + \frac{{11}}{{30}}{t^3} + 20\).
Lời giải
\(v\left( t \right) = - 0,1{t^3} + 1,1{t^2}\, \Rightarrow \,h\left( t \right) = \int {v\left( t \right)} \,dt = - \frac{1}{{40}}{t^4} + \frac{{11}}{{30}}{t^3} + C\)
\(h\left( 0 \right) = 20\, \Rightarrow \,C = 20\, \Rightarrow \,h\left( t \right) = - \frac{1}{{40}}{t^4} + \frac{{11}}{{30}}{t^3} + 20\)
\(h'\left( t \right) = 0\, \Leftrightarrow \, - 0,1{t^3} + 1,1{t^2} = 0\, \Leftrightarrow \,\,\left[ \begin{array}{l}t = 0\\t = 11\end{array} \right.\)
\(h\left( {11} \right) = - \frac{1}{{40}}{11^4} + \frac{{11}}{{30}}{11^3} + 20 = \frac{{17041}}{{120}} \approx 142\,cm\)
\(t\) | 0 \(11\) + |
\(h'\left( t \right)\) | + 0 - |
\(h\left( t \right)\) |
|
a) Chiều cao tối đa của cây lúa là \(150\,cm\): Sai vì chiều cao tối đa của cây lúa là 142 cm:
b) Giai đoạn tăng trưởng chiều cao của cây lúa kéo dài \(12\) tuần: Sai vì chỉ có 11 tuần.
c) Vào thời điểm cây lúa phát triển nhanh nhất, chiều cao của cây đã lớn hơn \(80\,cm\).
Ta xét: \(v\left( t \right) = - 0,1{t^3} + 1,1{t^2}\, \Rightarrow \,v'\left( t \right) = - 0,3{t^2} + 2,2t\,;\,v'\left( t \right) = 0\, \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 0\\t = \frac{{22}}{3}\end{array} \right.\)
\(t\) | 0 \(\frac{{22}}{3}\) + |
\(v'\left( t \right)\) | + 0 - |
\(v\left( t \right)\) |   |
Suy ra cây lúa phát triển nhanh nhất tại thời điểm \(t = \frac{{22}}{3}\).
Khi đó chiều cao của cây lúa bằng
\(h\left( {\frac{{22}}{3}} \right) = - \frac{1}{{40}}{\left( {\frac{{22}}{3}} \right)^4} + \frac{{11}}{{30}}{\left( {\frac{{22}}{3}} \right)^3} + 20 = \frac{{37382}}{{405}} \approx 92,3\,cm\,\, > \,80\,cm\)
c) Đúng
d) \(h\left( t \right) = - \frac{1}{{40}}{t^4} + \frac{{11}}{{30}}{t^3} + 20\) Đúng
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn.Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.
Có 5 thẻ màu xanh và 5 thẻ màu đỏ và 5 thẻ màu vàng, mỗi loại được đánh số thứ tự từ 1 đến 5; tất cả thẻ đều có dạng hình vuông \(1 \times 1\). Chọn ngẫu nhiên 5 thẻ để ghép vào hình bên, mỗi thẻ tương ứng với một trong các ô vuông \(A,B,C,D,O\). Tính xác suất để hai hình vuông có đúng 1 cạnh chung thì khác màu, hai hình vuông có đúng 1 đỉnh chung thì khác số(làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
Lời giải
Đáp số: 0,12
Chọn ngẫu nhiên 5 thẻ để ghép vào hình bên, mỗi thẻ tương ứng với một trong các ô vuông \(A,B,C,D,O\) có \(n\left( \Omega \right) = A_{15}^5\) cách.
Gọi E là biến cố: “\(O\) khác màu \(A,B,C,D\) và \(A,B,C,D\) đôi một khác số.
Chọn 15 thẻ xếp vào \(O\) có 15 cách.
Xếp 10 thẻ còn lại vào \(A,B,C,D\) có \(A_{10}^4\) cách.
Ta xét các trường hợp không thoả mãn yêu cầu bài toán sau:
TH1: Có đúng một cặp kề nhau trùng số, giả sử là \(A \equiv B\), ta có:
\(A\) có 10 cách chọn
\(B\) có 1 cách ( do \(B \equiv A\))
C có 8 cách chọn trong 8 thẻ còn lại.
\(D \ne C\) nên \(D\) có 6 cách chọn.
Tương tự với \(B \equiv C,C \equiv D,D \equiv A\). Vậy có \(\left( {10.1.8.6} \right).4 = 1920\) cách.
TH2: Có hai cặp kề nhau trùng số:
Loại 1: Giả sử là \(A \equiv B\),\(C \equiv D\) ta có: \(10.1.8.1 = 80\) cách
Tương tự \(A \equiv D;B \equiv C\),\(C \equiv D\). Vậy ta có \(80.2 = 160\) cách.
Số cách Xếp 10 thẻ còn lại vào \(A,B,C,D\) thoả mãn yêu cầu bài toán là:
\(A_{10}^4 - \left( {1920 + 160} \right) = 2960\) (cách)
Vậy \(n\left( E \right) = 15.2960 = 44\,400\) cách.
Vậy \(P\left( E \right) = \frac{{44400}}{{A_{15}^5}} = \frac{{370}}{{3003}} \approx 0,12\).
Một cơ sở sản xuất lụa dệt thủ công hai loại lụa gấm và lụa tơ tằm. Công suất tối đa một ngày của cả xưởng là \(100\;m\) lụa, biết rằng tiền nguyên liệu cho một mét lụa gấm là \(20\) nghìn đồng và cần hai công thợ để dệt xong, còn đối với lụa tơ tằm thì cần \(10\) nghìn đồng tiền nguyên liệu và một công thợ. Vốn của xưởng một ngày là không quá \(6\) triệu đồng và một công thợ là \(40\) nghìn đồng. Giá bán lẻ một mét lụa gấm và tơ tằm lần lượt là \(150\) nghìn đồng/mét và \(80\) nghìn đồng/mét. Vậy chủ cơ sở cần sản xuất một ngày \(x\) mét lụa gấm và \(y\) mét lụa tơ tằm để thu lãi nhiều nhất (Giả sử mỗi ngày đều bán hết). Tính giá trị của biểu thức \(x + 3y\).
Lời giải
Đáp số: 260
Gọi \(x\) là số mét lụa gấm và \(y\) là số mét lụa tơ tằm mà cơ sở sản xuất mỗi ngày (\(x,y \ge 0\)).
Tổng công suất tối đa của xưởng là \(100\;m\) lụa mỗi ngày, suy ra: \(x + y \le 100\)
Tiền nguyên liệu cho \(1\) mét lụa gấm là \(20\) nghìn đồng.
Tiền nguyên liệu cho \(1\) mét lụa tơ tằm là \(10\) nghìn đồng.
Tiền công thợ cho \(1\) mét lụa gấm cần \(2\) công thợ.
Tiền công thợ cho \(1\) mét lụa tơ tằm cần \(1\) công thợ.
Tiền lương của một công thợ là \(40\) nghìn đồng.
Tổng chi phí nguyên vật liệu và công thợ cho \(x\) mét lụa gấm và \(y\) mét lụa tơ tằm là:
\(C = (20x + 10y) + (2x \cdot 40 + 1y \cdot 40)\)\( = 100x + 50y\) (nghìn đồng)
Vốn của xưởng một ngày không quá \(6\) triệu đồng, tức là \(6000\) nghìn đồng, suy ra:\(100x + 50y \le 6000\)\( \Leftrightarrow 2x + y \le 120\)
Vậy, ta có hệ bất phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge 0}\\{y \ge 0}\\{x + y \le 100}\\{2x + y \le 120}\end{array}} \right.\)
Giá bán \(1\) mét lụa gấm là \(150\) nghìn đồng. Giá bán \(1\) mét lụa tơ tằm là \(80\) nghìn đồng.
Tổng doanh thu \(R = 150x + 80y\) (nghìn đồng).
Lợi nhuận \(L\) mà cơ sở thu được là: \(L = R - C = (150x + 80y) - (100x + 50y) = 50x + 30y\).
Vẽ miền nghiệm của hệ bất phương trình trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy\).
Miền nghiệm là đa giác \(OABC\) với các đỉnh:
- \(O(0,0)\)
- \(A\): Giao điểm của \(y = 0\) và \(2x + y = 120 \Rightarrow \)\(A(60,0)\).
- \(B\): Giao điểm của \(x + y = 100\) và \(2x + y = 120\)\( \Rightarrow \)\(B(20,80)\).
- \(C\): Giao điểm của \(x = 0\) và \(x + y = 100 \Rightarrow \) \(C(0,100)\).
5. Tính giá trị của hàm mục tiêu tại các đỉnh:
- Tại \(O(0,0)\): \(L = 50(0) + 30(0) = 0\)
- Tại \(A(60,0)\): \(L = 50(60) + 30(0) = 3000\)
- Tại \(B(20,80)\): \(L = 50(20) + 30(80) = 1000 + 2400 = 3400\)
- Tại \(C(0,100)\): \(L = 50(0) + 30(100) = 3000\)
Giá trị lớn nhất của lợi nhuận là \(3400\) (nghìn đồng) đạt được tại \(x = 20\) và \(y = 80\).
Đề bài yêu cầu tính giá trị của biểu thức \(x + 3y\) khi lợi nhuận đạt giá trị lớn nhất.
\(x + 3y = 20 + 3(80) = 20 + 240 = 260\).
Người ta xây dựng một chân tháp bằng bê tông có dạng khối chóp cụt tứ giác đều. Cạnh đáy dưới dài \[5{\rm{ m}}{\rm{,}}\] cạnh đáy trên dài \[2{\rm{ m}}{\rm{,}}\] cạnh bên dài \[3{\rm{ m}}{\rm{.}}\] Biết rằng chân tháp được làm bằng bê tông tươi với giá tiền là \[1470000\] đồng/m3. Tính số tiền để mua bê tông tươi làm chân tháp theo đơn vị triệu đồng (làm tròn đến hàng đơn vị của triệu đồng).
Lời giải
Đáp án: 41.
Gọi các điểm như hình vẽ.
Tính đường cao \(h = O'O = A'H\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}{\rm{ }}A'{H^2} & = A{{A'}^2} - A{H^2} = A{{A'}^2} - {(OA - O'A')^2} = A{{A'}^2} - {\left( {\frac{{AB\sqrt 2 }}{2} - \frac{{A'B'\sqrt 2 }}{2}} \right)^2}\\ & = {3^2} - {\left( {\frac{{5\sqrt 2 }}{2} - \frac{{2\sqrt 2 }}{2}} \right)^2} = 9 - \frac{9}{2} = \frac{9}{2} \Rightarrow h = \frac{{3\sqrt 2 }}{2}{\rm{ m}}{\rm{.}}\end{array}\)
Thể tích chân tháp là
\(V = \frac{1}{3}.h.\left( {S + S' + \sqrt {S.S'} } \right) = \frac{1}{3}.\frac{{3\sqrt 2 }}{2}.\left( {{5^2} + {2^2} + \sqrt {{5^2}{{.2}^2}} } \right) = \frac{{39\sqrt 2 }}{2}{\rm{ }}{{\rm{m}}^3}.\)
Số tiền mua bê tông tươi để làm chân tháp là
\(T = \frac{{39\sqrt 2 }}{2}.1470000 \approx 40,54{\rm{ tr }} \approx 41{\rm{ tr}}{\rm{.}}\)
Trong không gian với hệ toạ độ \[{\rm{Ox}}yz\], cho các điểm \[A\left( {5;0;2} \right),B\left( {5;10;4} \right)\].Các điểm \[M,N\] di động trên mặt phẳng \[\left( {{\rm{Ox}}y} \right)\]sao cho độ dài \[MN = 2\]. Tổng \[AM + BN\] có giá trị nhỏ nhất là bao nhiêu?
Lời giải
Đáp án: \[10\].
Gọi \[H,K\] lần lượt là hình chiếu vuông góc của \[A,B\] trên \[\left( {{\rm{Ox}}y} \right)\], suy ra \[H\left( {5;0;0} \right),K\left( {5;10;0} \right)\]
\[A'\] đối xứng với \[A\] qua mặt phẳng \[\left( {{\rm{Ox}}y} \right)\], \[A'\left( {5;0; - 2} \right)\].
Vẽ đường thẳng \[A'E\,{\rm{//}}\,MN,A'E = MN = 2\].
Ta có: \[AM + BN = A'M + BN = EN + BN \ge EB \Rightarrow AM + BN\] nhỏ nhất khi \[E,N,B\] thẳng hàng \[ \Rightarrow A,H,A',M,N,K,B\] đồng phẳng \[ \Rightarrow H,M,N,K\] thẳng hàng,
\[ \Rightarrow \overrightarrow {A'E} = \frac{1}{5}\overrightarrow {HK} \Rightarrow E\left( {5;2; - 2} \right) \Rightarrow BE = 10\]
Tổng \[AM + BN\] có giá trị nhỏ nhất là \[10\].
Trạm không lưu sân bay Đà Nẵng xây dựng hệ toạ độ Oxyz (gốc O đặt tại Đà Nẵng) để theo dõi vị trí các chuyến bay. Lúc 6h máy bay A xuất phát từ Đà Nẵng đến TP.HCM theo tia OA lần lượt hợp với ba tia Ox, Oy, Oz các góc bằng nhau với vận tốc 800 km/h. 10ph sau máy bay B đi Hà Nội theo tia OB hợp với ba tia Ox’, Oy’, Oz các góc bằng nhau với vận tốc 900 km/h (hình vẽ minh hoạ). Tính khoảng cách (đơn vị km và làm tròn đến hàng đơn vị) giữa hai máy bay A và B lúc 6h30ph.
Lời giải
Đáp án: 574
Do tia OA hợp với ba tia Ox, Oy, Oz các góc bằng nhau nên \[A\left( {a\,;\,a\,;\,a} \right)\]
Lúc 6h30, máy bay A đã di chuyển được quãng đường: \[OA = \frac{1}{2}.800 = 400\] (km)
\[ \Leftrightarrow a\sqrt 3 = 400 \Leftrightarrow a = \frac{{400}}{{\sqrt 3 }}\]
Suy ra lúc 6h30ph máy bay A đang ở điểm \[A\left( {\frac{{400}}{{\sqrt 3 }}\,;\,\frac{{400}}{{\sqrt 3 }}\,;\,\frac{{400}}{{\sqrt 3 }}} \right)\]
Do tia OB hợp với ba tia Ox’, Oy’, Oz các góc bằng nhau nên \[B\left( { - b\,;\, - b\,;\,b} \right)\]
Lúc 6h30ph, máy bay B đã di chuyển được quãng đường: \[OB = \frac{1}{3}.900 = 300\] (km)
\[ \Leftrightarrow b\sqrt 3 = 300 \Leftrightarrow b = \frac{{300}}{{\sqrt 3 }}\]
Suy ra lúc 6h30 máy bay B đang ở điểm \[B\left( {\frac{{ - 300}}{{\sqrt 3 }}\,;\,\frac{{ - 300}}{{\sqrt 3 }}\,;\,\frac{{300}}{{\sqrt 3 }}} \right)\]
Vậy khoảng cách giữa hai máy bay lúc 6h30 là:
\[AB = \sqrt {{{\left( {\frac{{400}}{{\sqrt 3 }} + \frac{{300}}{{\sqrt 3 }}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{400}}{{\sqrt 3 }} + \frac{{300}}{{\sqrt 3 }}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{400}}{{\sqrt 3 }} - \frac{{300}}{{\sqrt 3 }}} \right)}^2}} \approx 574\] (km).
Công ty chứng khoán VNStock cần xử lý 18000 lệnh giao dịch trong một ngày làm việc (8 giờ). Hệ thống gồm các máy chủ xử lý với thông số như sau:
Năng suất: 250 lệnh/giờ/máy.
Chi phí triển khai: 15 triệu đồng/máy (cài đặt ban đầu).
Chi phí vận hành: Điện + bảo trì: 120.000 đồng/giờ/máy.
Chi phí nhân viên giám sát: 8 triệu đồng/giờ (trả theo giờ làm việc thực tế).
Tìm chi phí thấp nhất mà công ty phải bỏ ra để thực hiện số lượng giao dịch nói trên (làm tròn đến hàng đơn vị của triệu đồng).
Lời giải
Đáp án: 208.
Gọi \(x\) là số lượng máy chủ và \(t\) (giờ) thời gian hoàn thành công việc. Điều kiện \(x > 0\).
Năng suất: 250 lệnh/giờ/máy: \(250.x.t = 18000 \Rightarrow t = \frac{{72}}{x}\).
Vì thời gian làm việc tối đa là 8 giờ nên \(t \le 8 \Leftrightarrow x \ge 9.\)
Tổng chi phí: \(C\left( x \right) = 15x + 01,2x.t + 8t = 15x + \frac{{576}}{x} + 8,64\).
\( \Rightarrow C'\left( x \right) = 15 - \frac{{576}}{{{x^2}}} > 0,{\rm{ }}\forall x \ge 9 \Rightarrow \min C\left( x \right) = C\left( 9 \right) = 207,64 \approx 208\) triệu đồng.
